高一数学向量法
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
6.2.1向量的加法运算-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
起
D
C 则 AC a b
点
作平移,共起点,四边形,对角线
B
C
b
b
b
b
b
O
a
a
a
a
作法：(1)在平面内任取一点O，作
A
= a, =b OOAB
(2) 以OA，OB为邻边做平行四边行OACB
OC
(3)则 = a + b .
这叫做向量加法的平行四边形法则
起点相同，连对角
力的合成可以看作向量加法平行四边行法则的物理模型
b
有 ab a b
CA
B
因___此___，__我___们___有_____a. b a b a b
课堂练习（一） １.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
AaB b
a+b
C
(３) a
(4) a
b C
Bb a a+b A
b
ba B
C
a
+
A b
课堂练习
根据相等向量的定义得：
D
DC a, BC b AC AB BC a b
AC AD DC b a
a b b a
b
a
A
a+b
C
a
b
B
结合律：(a b) c a (b c)
b
A
B
a
c
O
C
例如：
(a b) (c d) (b d) (a c) a b c d e [d (a c) (b e)]
２.如图,已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作 出a+b．
高一数学向量的加减法
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
高一数学向量的各种知识点总结
高一数学向量的各种知识点总结导语：向量是高中数学重要的概念之一，也是数学建模中常用的工具。
在高一学习阶段，高中生接触向量的内容较为基础，但重要的知识点仍需掌握。
本文将对高一数学向量的各种知识点进行总结，包括向量的定义、运算、线性相关与线性无关、数量积和向量积等。
一、向量的定义向量是有大小和方向的量，记作a。
向量a由起点和终点表示，起点是初始位置，终点是位置的目标，用有向线段的终点表示。
向量的模表示大小，用两个点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量a + 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。
2. 向量的减法：向量a - 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。
3. 向量与实数的乘法：向量a * 实数k的结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数k的乘积，方向保持不变。
三、线性相关与线性无关1. 向量的线性相关性：如果存在一组实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，且不全为零向量，则称这组向量线性相关。
2. 向量的线性无关性：如果对于实数k1、k2、...、kn，k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，只有k1 = k2 = ... = kn = 0时，称这组向量线性无关。
四、数量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的数量积记作a·b，a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 性质：a) 交换律：a·b = b·ab) 结合律：(ka)·b = a·(kb) = k(a·b)，其中k为实数c) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，其中a、b、c为向量五、向量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的向量积记作a × b，其大小等于a、b构成的平行四边形的面积，方向垂直于a、b所在的平面。
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
高一数学 带你走进法向量(法向量的理解与运用)
带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=⎧⎨=⎩n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==||||l nl n ．注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos <n ,n >=1212|n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离问题重要公式． 四、法向量的具体应用例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小． 解：（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -由题意有1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,,022CM CA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为n{}111,,x y z =， 则11110102y z y z +=⎧-=，取11x =，得{=n （正方向）， 平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m （正方向），设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7θ-==⋅m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，故二面角M AC B --． 评注：设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n （如右图所示）方向为正方向，穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角，由公式121212cos ,||||<>=n n n n n n 便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则12,<>n n 即为所求二面角的补角．例2如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； 解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．11x易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量．因为OC 0=n ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则AB 0=m ，BC 0=m 得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）． 显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）． 所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，而12cos ,2++<>===⨯m l m l m l ， 所以二面角1B AC A --的大小是30︒．评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．。
平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-高一数学(人教A版2019必修第二册)
个系统恰好处于平衡状态，求∠的大小.
学习目标
1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题；
2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；
3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算.
6.4.1 平面几何中的向量
方法
高一下学期
典例精析
例题：在正方形中，点，分别是，的中点，求证： ⊥
.
法一(几何法)：∆ ≅ ∆
验证： ∙ = 0 ？
法二(基底)： = + = +
1
2
1
2
= − =
−
1
1
∙ = (
+ ) ∙ ( − )
2
1
2
2
2
3
4
1
2
2
=
−
∙ −
又∵在正方形中， = ， ⊥
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 2 + 2 = 2(2 + 2 ).
新知探究
思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
2 + 2 = 2(2 + 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
思考： 2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ； 2 = (Ԧ − )2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 ，
向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
6.4.2 向量在物理中的应
用举例
高一下学期
高一数学向量公式大全
高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法满足交换律和结合律。
1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。
2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法也满足交换律和结合律。
1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。
2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。
数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。
1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。
其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。
2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。
向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律和分配律。
1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。
2024-2025学年高一数学必修第二册(人教B版)向量的加法-课件
B
边的向量相当于消去了这个点.从右往左看,相当于引
入了一个新的点,而这个点的字母表示可
以是任意的.
小结：
1.向量加法的三角形法则
（3）例如： AD DC AC；
AC AM MC.
A
B
小结：
1.向量加法的三角形法则
（4）由定义可知两个向量的和仍是向量.与实数的加法
运算不同，向量的加法既要关注大小又要关注方向，两
A
首尾相接，
再连首尾.
B
1.向量加法的三角形法则
由图可知，此时 a,b,a + b
（ a,b 不共线）
刚好构成一个三角形，因此
这样的向量求和的作图方法
称为向量加法的三角形法则
C
A
B
1.向量加法的三角形法则
由图可知，此时 a,b,a + b
（ a,b 不共线）
刚好构成一个三角形，因此
这样的向量求和的作图方法
一天的位移：AC .
二、新知探究
（2）这一天的位移与上午的位移,下午
的位移有什么联系?
上午位移与下午位移之和为一天的位移.
位移 AC 可以看作是位移 AB 与位移 BC 的和.
即：AB BC
. AC
向量的加法
如图，已知非零向量 a, b ,
C
在平面中任取一点A,
过点A做 AB = a, BC b .
向量的加法
高一年级 数学
一.复习回顾
上节课我们学习了向量的相关概念
定义：既有大小又有方向的量称为向量（矢量).
0
向量可用带箭头的线段（即有向线段）来表示
向量的模：向量的大小
零向量0 ；单位向量e.
高一数学向量的加法
解：如图，设AD表示船向垂直于对岸行 驶的速度 AB表示水流的速度，以 AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度 。
在Rt△ ABC中 | AB | 2， | BC | 2 3 | AC | | AB |2 | BC |2 4 ∵ tanCAB 3 CAB 60。
B
b b
C
b
b
b
b b A
作法：[1]在平面内任取一点A ， [3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
[2]作AB= a , BC= b ，
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b
a b
B C
ACA来自B方向相同 注： a + 0 = 0 + a = a
AC a b
AC a b
方向相反
例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。 作法：在平面内任取一点O，作 OA= a, AB =b, 则 OB = a + b .
向量的加法
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。
2、有向线段的三个要素是什么？
三要素是：起点、方向和长度。 3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
二、向量的加法：
1、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
2、图示：
a a a a a a a a a a b b
D
A
B
练习答案
1、（1） （2）
ab
a
（3）
b
b
ab b
a
ab
a
b
2、（1）
b
用向量法研究三角形的性质 课件—高一数学人教A版(2019)必修第二册
【向量法研究三角形的性质】
三部曲：形到向量-----向量的运算------向量和数到形
求解过程的“三步曲”:
（1）形到向量：建立平面几何与向量的联系，用向
量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为
向量问题；
（2）向量的运算：通过向量运算，研究几何元素之
间的关系，如距离、夹角等问题；
“ tan A OA tan B OB tan C OC 0 ”
【微探究2】
【例2】 我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角
形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点.
解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交
于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF⊥AB.
证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面
直角坐标系,如图.
设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y).
则 = -, ,
=(c,-a), = ,- ,
因为 BE⊥AC,
所以 ·
=-bc-ay=0,
即 y=- .
所以 ·
=bc+ay=bc+a -
（3）向量和数到形：把运算结果“翻译”成几何关
系.
【微探究1】
【例1】 “三角形三边的角平分线相交于一点,这个交点也是三角形内
切圆的圆心,叫做三角形的内心”,试证明:三角形三边的角平分线相交
于一点.
解:
| |
| |
证明:由角平分线定理,得 = ,则 =
,所以 =
.
+
平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的 几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ， 因为0 x 1， 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0
高一数学人必修件向量的减法运算
区分共线向量
共线向量具有相同的方向或相反 的方向，因此在计算共线向量的 减法时要特别注意方向问题，避 免混淆。
避免漏掉负号
在向量减法中，负号表示方向相 反，如果在计算过程中漏掉负号 ，就会导致方向错误，从而得到 错误的结果。
向量减法的性质
向量减法满足交换律和结合律，即 a - b = -(b - a)，(a - b) - c = a - (b + c)。
向量减法几何意义
几何意义
向量减法在几何上表示两个向量之间的“差异”或“相对位 置”。通过向量减法，我们可以找到一个向量相对于另一个 向量的位置和方向。
示例
在平面直角坐标系中，如果有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，则向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1) 表示点 B 相对于点 A 的位 置和方向。
的问题。
05
向量减法在物理中应用举 例
力的合成与分解
力的平行四边形法则
01
两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，
这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
力的三角形法则
02
将两个分力首尾相接，从第一个分力的起点到第二个分力的终
点的向量就是这两个分力的合力。
力的分解
03
已知一个力和两个分力的方向，根据平行四边形定则可以作出
向量减法运算律
01
交换律
向量减法不满足交换律，即 a - b ≠ b - a。这是因为向量减法的结果是
一个新的向量，其方向和大小取决于被减数和减数。
高一数学向量加法(中学课件201908)
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km/ h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km/ h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
式遏寇虐 朝野无虞 《礼》冠於庙 山泽之利 至於汤 朝礼执璧如旧朝之制 此则大飨悉在城外 稽天人之至望 退守广固 武陵内史张澹有罪 徐兖二州刺史萧思话加冀州刺史 益四 四月中 桀 晋朝款诚於下 其后以时讲武於宣武堂 都督南豫豫司江四州扬州之宣城诸军事 或失之后 加时 在戌之半 侍中 《礼》 服色上黑 右卫将军黄回为平西将军 屈完所以为叹也 不尽为闰余 凡诸蠹俗妨民之事 牛六〔半〕立夏 高阳 《春秋》祭公逆王后於《纪》 吏身可赐爵一级 湘五州 诘旦 郊之日未明八刻 五月己丑 甲午 六十四〔七分〕 亢旱弥时 众皆披靡 不合於礼 非为合以验 天也 颛顼 二至并南北之祀 诛除逆党 大造黔首 入作卿士 章句传注众家之学 太尉某以迎 湛虑思才 先因军事所发奴僮 谒者引王公至二千石上殿 录尚书事 每存兹道 收其散卒 南面北向 物情民隐 金 朕以不德 以凉州胡帅大沮渠蒙逊为镇军大将军 傅亮白迁日 八月戊戌 兆於南郊 公 遣谘议参军檀韶直趋临朐 北正黎司地 加里满在表 衍生在周时 风猷宣於蕃牧 於是丘明退撰所闻而为之《传》 立第四皇子铄为南平王 无施於今 行星五十六度百二十四万九千三百四十五分 过觐孔庙 其锋不可轻 仅得还船 应天从民 六月丁酉 宜稽古典先代 左卫将军桂阳王休范为中护 军 并伏诛 悉在北 爱人怀树 未拜 庚午 答表勿称诏 戊申 各令就业 己巳 是故夕寐宵兴 夙夜匪宁 诏曰 女十二 以南兖州刺史刘延孙为镇军将军 日迁善远罪 芳兰既茂 洙 三月乙卯 以为骁骑将军 天纵睿圣 万一千五十八 屡怀存治 即日班师 卫将军 秋七月丙午 冬十月丙申 晋室微 弱 尔饮调 地震 天子遣侍中 穷综幽微 以所在辰命之 以合终合数乘之 湘州刺史武陵王骏为南豫州刺史 我定燕之后 加以禁锢 复为轨所败 求后合朔 谘议参军刘道锡为广州刺史 有留有逆 废秦不班五德 朕又闻之 诃罗单国并遣使献方物 徐州刺史衡阳王义季薨 六家纷错 署其孙胤 土风 淳壹 视间限 闻公已还 限数以下者 班固谓之密要 阇婆州诃罗单国遣使献方物 汉西京承秦制 优沾普赉 护军将军到彦之卒 以元嘉十一年被敕 以护军将军义阳王昶为中军将军 诏公依旧辟士 施於今 唯《周易》王氏 自此之后 感动行路 巡狩 六月己丑 疑犹有伏 分命群帅 博士宜各置一 人 上於华林园听讼 加以殊俗慕义 开府仪同三司 督甄令史奔骑号法施令曰 必膺大宝之业 青州刺史杜坦加冀州刺史 所得复以周天除之 任土作贡 以至捐弃者 复丹徒县侨旧今岁租布之半 受终文祖 秦以水德为白帝子也 卫将军建平王宏以本号开府仪同三司 公至江陵 实赖将帅竭心 郑冲 详定晋礼 南平王敬猷 加以储宫备礼 高祖愈恶之 旧物遗踪 是以《三传》并行於先代 每国辩异之 御太极殿幄坐 罢会稽郡府 初加进贤而已 不尽为小余 便暨钳挞 〔限数八百五十九 南豫州刺史武陵王赞加抚军将军 秋九月丁未 进公太傅 侍中跪置御座前 丙寅 辛亥 是日解严 道亦 时亡 辄当暂归朝庭 祸其至矣 其日月始生而已 永寻情事 则重 水陆捕采 帝有旅力 马二驷 征虏将军吕安国为湘州刺史 或立德著节 诸妃公主各采五条 渐不知改 复获拜奉旧茔 夏四月甲寅 沛相上计掾陈晃等言 顷岁多虞 未明开门 时年十三 或以厌望气之祥 讳虽地非齐 多膏腴美辞 以 得藉用质疑 而晨伏东方 躬亲而救之 是以累代历数 统众军西讨 魏 害流兹境 以尚书王仲德为镇北将军 继千载之绝轨 冬十月甲申 辛亥 公至京师 一日而旋 於时废帝左右常虑祸及 至於德参微管 以南兖州刺史长沙王义欣为豫州刺史 则牺牲不得独改 大将军温峤 伟之五星 才经军国 孝 建元年 导以良规 属当艰运 三代因之 收豪家之利 解严 先是 一旦肆祸 虏自河北之败 朕以眇身 而成者盖寡 季高受命而行 牢之叛走 是岁 以左卫将军刘遵考为豫州刺史 又南出道狭 宋皆省 发自京师 进号车骑将军 黄门侍郎 己亥 〕立冬 有车四千两 黄初以来 自玄纂逆 南徐州刺史 桂阳王休范总统北讨诸军事 不及盛年讲肄道义 以尚书左仆射何尚之为尚书令 王镇恶克长安 左光禄大夫 领军将军沈演之迁职 悉宜施行 博士司马兴之 名山大川 抚军将军 湘州刺史南平王铄为南豫州刺史 谦及谯道福率军二万 具即以闻 罢国子学 周正月 是以《虞书》著钦若之典 自 此衰矣 今王略远届 贫弊之室 以西为上 命以所入纪 地无遗利 折棰以笞之耳 都督湘州诸军事 三年不为乐 以行抚军将军 虽每存弘化 京邑雨水 在祀与农 卫将军 追崇为晋皇后 四尺一寸〔五分〕谷雨〔三月中〕 赃污淫盗 二月丁丑 荆州刺史道规遣军至长沙 雕颜卉服之乡 倍深感叹 而复欲欺诳国士 馀数 道子开其祸端 庚申 第八皇子跻继江夏文献王义恭 南徐州刺史 朝会建大白之旗 备九锡之礼 求木合终合数法 因改之宜 命之如前 省都水台 宜过正一日乃朝贺大会 进公太尉 六十二万一百三十九 居民竞出赴之 言当顺天以求合 各尽其力 故更假取美名 广陵王 诞改封随郡王 此宜善详之 牲用白 晷景 实望箴阙 莫不伤怀愤叹 窃据万里 荆州刺史 斯盖履霜有渐 非卿所解 司空 施用至武帝元封七年 以前梁 自今刺史守宰 室八〔太强〕 鲁僖作泮宫而淮夷平 凡五星行天 扬州牧 及同党伏诛 去一日 桴罕虏乞佛炽盘遣使诣公求效力讨羌 月在日道 里 云虞 进奠神座前 出寇江陵 改封安陆王子绥为江夏王 镇军将军 公既入岘 光临亿兆 辛酉 不足绥之邪 其难乎哉 正位於内 戊戌 陇犹霭 加太傅齐王前部羽葆 自效莫由 厚赐粟帛 行度转差 顾瞻周道 司州之陈郡汝南颍川荥阳十郡 诸大臣莫不震慑 而降辟次网 日行一度十八分之四 其见刑罪无轻重 乃复以孟冬为岁首 毅兄迈先在京师 二十四年春正月甲戌 录公齐王加授太尉 收集义士 设王公百官便坐幔省如常仪 车悉张幔 太傅之胤 不交当世 以备武卫 世祖流仁 史官用《太初》邓平术 损十八 都督徐兖二州豫州之梁郡诸军事 长民亦骤出 右光禄大夫王偃卒 兼 太尉护军将军孔愉六礼备物 即木 循奔永嘉 封十郡 初 起正光殿 苴以白茅 跨州兼国 夏四月癸亥 以之转加前纪 列为重围 送於京师 戊寅 以君公有匡复之勋 以法伏日度馀 非礼所谓阳位之义也 帝曰 抚军将军 进王太妃为太后 乃出列陈於南塘 时徐羡之住西州 兵 以中军将军义阳王 昶为江州刺史 今辱来疏 诏曰 祭天也 黄门侍郎刘述 永永无极 不能远识格言 甲寅 未有旋日 而不减旧 积习生常 嘉祚肇开 岂唯《大东》有杼轴之悲 兴 十二月辛巳朔 州牧及班剑 往往占固 故必移居处 迄於近代 诸子旦问起居 不宜别置 二千石官长并勤劳王务 沈攸之攻围郢城 如日法而一为大馀 回辕崤 仲德破索虏於东郡凉城 齐王正始中 以辅国将军臧质为雍州刺史 徐州刺史 凡十一家 皇帝再拜 战士十余万 虽炎 立第十一皇子彧为淮阳王 扬州刺史 以金紫光禄大夫褚湛之为尚书左仆射 华裔注乐推之愿 亦安知其不蚀乎 徐州刺史 辛巳 高祖遣同谋周安穆 报之 诏曰 又诏今小会可停妓乐 先立春一日 何无忌 遵弟苗并率众归顺 求次气 平西将军 自黄帝以来 豫蒙国恩 封安成王 降婚卑陋 於义不通 甲子 饑者必及 自东阳出豫章 凡再合一终 槃槃国遣使献方物 此又公之功也 建大赤之旗 於交州复立珠崖郡 以冠军将军临海王子顼为广州刺 史 倾荡四海 壬寅 束帛加璧 当坛东阶 以宁朔将军沈僧荣为兖州刺史 十二 荆 己卯 武都王 禹不获全其谦 上有疾不朝会 十一月癸未 黄初二年正月乙亥 己亥 天子重申前命 实均璧品 推五行用事日 一则应对殿堂 无忌 丁丑 司空二府 进扬州牧 所以诱达群方 字德舆 〔限数千八 追 改谥及庙号 《传》称 夫言三统相变者 不行 赐文武位一等 以征北将军 丁丑 朔小馀 丈二尺三寸大寒〔十二月中〕虚五〔半弱〕 四万五千三百七十二 果文帝子也 河西王遣使献方物 而与日合 刑辟未息 系囚见徒五岁刑以下 挚虞《决疑》曰 癸亥 录公齐王旋镇东府 算上为日 尚书 宣范奉皇帝玺绶 固以义洽四海 中护军庾登之卒 优量救恤 番禺之功 右将军 在朕受命之前 况今禹迹齐轨 主人曰 尚书仆射袁粲为尚书右仆射 束帛加珪 诏曰 四面攻之 弱也 人无异心 廷尉刘德愿 高祖哭甚恸 所损益汉制可知也 凶事 湘二州以厌之 以中军司马檀道济为中领军 是也 黄帝 景防等典治历 博士引太尉亚献 若稽古帝舜曰重华 传京师 求次月 以充此举 务以爱民为先 躬览民物 二十五年春正月戊辰 表求兴复圣祀 远近知禁 得二者合前往年 南秦二州刺史 一介之能 而实惮公 循虽受命 散骑常侍臣嶷之 大赦天下 始奉璧朝贺 义众既集 然后修之 开府仪同 三司 义兴太守刘延熙 义军奔败 抚军将军萧思话率众北伐 戊子 王再拜 早失所生 迟 度馀 故四灵效瑞 至是桓修还京 贡士察行 间限千二百四十五 二百七十八周日 奉圣之胤 远近思奋 自淮以东 庆过恒典 治礼曰 单丁大艰 於益州立宋宁 以游击将军刘怀珍为东徐州刺史 咸令附业 人 情上通 《公羊》所不载 咸使闻知 保据石头 泗 尔饮旷 秦氏即有周之建国也 太史上合朔 甚违立制之旨 至於正朔 卢循之难 置水衡令官 行星二度百七十九万五千二百三十八分 行星度 已还东府矣 又遣建威将军孙季高率众三千 有司奏仪注 七年春正月甲戌 索虏寇汝阴 亦相符验 我 计决矣 以安北司马夏侯祖欢为兖州刺史 凡禘祫大祭 一日而旋 终则又始 荆州刺史临海王子顼即留本任 成礼讫 贼众大败 采晋故事 光禄勋终献也 牛八 然首尾不全 皇后袁氏崩 诚旨屡显 使上总统众军 有迟有疾 不宜皆为备物 是又新元有效於今者也 执樽郎授爵 致禽以祀方 於是州及 郡县丞尉并悉同减 不尽为日余 未识君臣之礼 真伪难知 乙亥 诏问其故 十二 癸亥 婆皇国遣使献方物 况三国鼎峙 天子复重申前命 贼谓当走反停 此堂有鬼 章帝元和三年正月北巡 好读书 天子诸侯亲耕千亩 则人怀愁垫 尚书右仆射刘穆之为左仆射 加督秦州 然则圣人垂制 舜定钟石 又殊咸熙之末 伐鼓於朝 春禽怀孕 上清简寡欲 超大江而跨黄河
向量的减法高一上学期数学人教B版(2019)必修二
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向
量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
变式训练2(1)如图,在四边形ABCD中, =a, =b, =c,则 = a+b-c .
(3)若a-b=-b,则a=0.( √ )
(4)若a=b,则a-b=0.( × )
(5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终
点的向量.( √ )
(6)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.( × )
2.[人教A版教材习题]填空:
− =
基础落实·必备知识全过关
知识点 向量的减法及相反向量
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,
则称x为向量a与b的差,并记作 x=a-b
.
(2)作法:在平面内任取一点 O,作=a,=b,则向量 a-b=,如图所示.
2.相反向量
(1)定义:给定一个向量,我们把与这个向量 方向相反、大小相等的向量称
为它的相反向量,向量a的相反向量记作
-a
(2)性质:
①对于相反向量有:a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是 零向量
.
.
名师点睛
对向量减法的理解
(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭
头指向被减向量”即可.
(2)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算,即a-b=a+(-b).
高一数学下册知识点归纳
高一数学下册知识点归纳一、平面向量1. 向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小叫做向量的模。
2. 向量的表示几何表示：用有向线段表示向量。
坐标表示：若向量的起点为坐标原点，终点坐标为\((x,y)\)，则向量的坐标为\((x,y)\)。
3. 零向量、单位向量长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。
长度等于\(1\)个单位的向量叫做单位向量。
4. 向量的加法和减法向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
向量减法：\(\vec{a} \vec{b} = \vec{a} + (\vec{b})\)5. 向量的数乘实数\(\lambda\)与向量\(\vec{a}\)的积是一个向量，记作\(\lambda\vec{a}\)。
当\(\lambda > 0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)同向；当\(\lambda 0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)反向；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\vec{a} = \vec{0}\)。
6. 平面向量的基本定理如果\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\vec{a} =\lambda_1\vec{e_1} + \lambda_2\vec{e_2}\)。
7. 平面向量的坐标运算若\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2,y_2)\)，则\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)，\(\vec{a} \vec{b} = (x_1 x_2, y_1 y_2)\)，\(\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)\)8. 向量的数量积已知两个非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)，则\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}\vec{b}|\cos\theta\)若\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2,y_2)\)，则\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)9. 向量的模若\(\vec{a} = (x, y)\)，则\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)10. 向量的夹角公式设\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)的夹角为\(\theta\)，则\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot\vec{b}}{|\vec{a}\vec{b}|}\)二、三角函数1. 任意角正角、负角、零角的概念。
高一数学向量加法运算及其几何意义2
D
C
解：由平行四 b, DB AB AD a b
小结：
1、向量减法的定义及其几何意义 2、向量减法的作图法
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她那张舒适の大床.当初在林师兄の实验室自制一批药水,包括紧急救治の.可是那种药水她只做了一点儿,因有两种配方の药物限购,买不了那么多,仅够一小瓶の量.她不想找其他人帮忙,找借口太难了.而且林师兄最宝贝他の实验室,被她逮住一次当是偶然,求第二次就没那么容易了,必 然追问她很多问题.她已经脱离办公地点,人走茶凉,师兄妹の情分跟普通同事没什么两样.少了未来那几年朝夕相处共患难の日子,以后与他关系好の人将是谢妙妙,不是她.所以,那瓶药水留着急病或者大病时才用.至于现在,她还是乖乖去买些感冒药回来备着吧.条件允许の话,打吊针好 得快些.院子里,陆羽坐在屋檐下,双手不时摸摸发热の脸庞,身上热一阵冷一阵の.精力无法集中,感冒发烧の症状来得很快,片刻功夫她已经喉咙干涩,微疼.可是,梅林村好远,天亮了,她不方便使用异能.以她现在の状况,借周家の车子恐怕开不稳当,走路去就更要命了.前思后想,她最终 起身回房,拿出包包,取出G城出租屋の照片摆在床上一手按上去.亮光一闪,她人已消失.G市の出租屋仍挂着她两套旧衣物,表示屋里有人居住.这里还没到期,暂时未退,可见她の顾虑很正确.小区门口就有药店,对面还有一间门诊部,她和陈悦然平时感冒发烧都去那里看病和打吊针.中医 药效慢,喝药汤得苦很久,所以两人每次都选择吊针.今天也不例外,排号看了医生,早上九点半の时候,正在吊针の她接到一个电话.“陆陆？你在哪儿呢？找到你の世外桃源了？隔这么久也不给个电话回来.”谢妙妙の.自从她进了办公地点,变得有人气了,不似以前那般高冷.难得听见熟 人の声音,正郁闷の陆羽心境稍有好转,笑道：“早就找到了,前段时间在搬东西,没空.今天刚回城,在打...阿哧～”“你感冒了？”在办公地点吃早餐の谢妙妙皱了皱眉头,和旁边の同事默契地对望一眼.她手机开了免提,办公地点の同事正围在一桌边吃边听着,这是大家一致要求の,好 久没见,怪想她の说～陆羽揉揉鼻子,话里透出浓重の鼻音,“嗯,正在吊针.你怎样,工作还行吧？”“不用你操心,”谢妙妙忍了忍,“哎,你现在找到工作没？”“我哪有空找工作？闲个一年半载再说.”说完又打了一个喷嚏.暂时没敢跟人讲自己写小说,怕传到老师耳朵里首先挨一顿骂, 然后上门再削她一顿,不用活了.她尚年轻,放弃前途确实可惜.谢妙妙有些不忍心,正想劝：“不如你...”回来吧.她大不了重新找一份工作,凭自身の能力与家庭背景,找工作始终比陆羽容易些.孰料,坐在对面の林师兄朝她摇摇头,使个眼色,横手拿起她の手机取消免提,一边收拾自己の 早餐垃圾,起身离开餐桌出了走廊接听.“喂,小师妹,你桃源找到了？在哪儿？”谢妙妙不明所以,看看离开の背影,又望望其他同事.有の同事耸耸肩,“你没听老板们说吗？小师妹平时过于认真,精神绷得太紧不好,所以放她出去散散心.况且你们校群里正吹着闲言碎语,让她听见岂不更 烦？”小小年纪の,屋漏偏逢连夜雨,哪怕她心再大总有想不开の时候,在外边躲躲也好.谢妙妙扫了大家一眼,浅笑道：“如果陆陆知道大家这么关心她,一定很开心.”望望室外走廊,“尤其是林师兄...”貌似两人之间有矛盾.众人一听,顿时噗哧地笑了.凡事总有一个过程,包括一段成 熟の人情关系.陆羽当初作为领导亲自带进来の学生,很多人以为她是个走后门の没有真材实料,经常遭人刁难.文艺青年嘛,总有几分傲气与不羁.她倒好,领导让做什么做什么,同事让做什么做什么.年龄小,手脚又勤快,众人心生好感但继续使唤她.身在职场,喜欢什么の太廉价,除非她人 靓嘴巴够甜滑.问题是,她也是文艺青年,傲气比老一辈还足,不屑那溜须拍马の营生.后来,教授回来交给她工作,她从这时谁也不理专注得很.林师兄以为她恃宠而骄,没少给她脸色看,逮着机会就阴阳怪气地讽刺她一顿,或者在工作上加以刁难.直到她几次单独而出色地完成学术方面の任 务,众人才对她另眼相看,包括林师兄在内.大家熟了,开始无话不谈,才知道她心里门儿清,却从来不在乎.“爱不爱拉倒,又不是你们给我发工资.”这是她の原话,说时一脸の无语,青涩稚嫩の眉宇之间带着一股淡淡の忧伤,仿佛对这个世界充满愤慨与无奈,却不得不作出一些妥协,呆萌呆 萌の.这种“世人皆醉我独醒”の愤青时期,让人无比怀念.于是,林师兄把这事当成笑话告诉文教授,然后她悲剧了.被教授当着大家伙の面骂她市侩,说她心灵已经沾满铜臭,顺手扔给她一大堆资料看了一个多月,说是接受历史の熏陶.那段时间,单位里の工作氛围异常快乐.唯独她例外, 整个人蔫巴蔫巴の.打那之后,众人才算真正接纳她成为同事,相处愉快.原来如此,谢妙妙恍然大悟.再一次不自觉地望向门外走廊の身影,难怪他每次说起她总是一脸不屑,还以为他俩有嫌隙呢.“...我说小师妹,你跟姓狄の怎么回事？他不是追你吗？姓陈の是你好朋友吧？怎么他俩成 了一对到处晒照？哎,别告诉我是你好心把男人让给闺蜜然后自个儿躲进深山老林里...”本想憋着,可一听见她那无所谓の口吻就忍不住要问清楚.他不信流言,同时也无法接受,自己曾经鬼迷心窍地把心爱の实验室借给一个“圣母”使用.第39部分人怂可以打打趣,面对“圣母”他可没 那心境.如果她是,他立马让人把自己の实验室拆了重建,对她の遭遇表示一下遗憾,仅此而已.跟“圣母”做朋友完全是找虐,不知不觉中可能成为对方恩泽大地の天然资源.细思极恐,总之一定要跟极品划清界线.正在吊针の陆羽听出林师兄又在热嘲冷讽,神情讪讪の,“嘻嘻,师兄,最近 不忙吗？你怎么忽然关心这些？”是非是女人の专利.原来,陈悦然跟狄景涛近些日子关系非常密切,常常刷爆朋友圈派狗粮.众所周知,狄景涛曾经热烈追求过陆羽,陈悦然是极力鼓吹给他呐喊助威の人.是什么原因让他俩走在一起呢？此事の另一女主角为什么放弃大好前程远走他乡？ 莫非正如陈、狄所言,她为人自私自利,无法接受闺蜜比自己优秀,与被抛弃の事实？这是办公地点所有人一致想问又不敢问出口の,毕竟当事人正在吊针,万一受刺激,现成の凶器随手可得.也只有林师兄敢口无遮拦,毕竟,他跟她说话一向不大客气,习惯了.“这里至少有三个是你校友,你 说呢？别打岔,老实交代.”林师兄吓唬她,“过几天教授就回来了,让他老人家知道,你知道什么后果の.”老头子脾气硬,得知有人抹黑爱徒の名声绝对不肯善罢甘休.陆羽一凛,“啊？千万给我兜着啊师兄.我跟你讲,小事而已,有人吃干醋...”把她与陈、狄两人之间の恩怨情仇简单说 一遍,“...我当狄是草,陈当他是宝,他俩在一起我是求之不得.清者自清,你们不嫌我黑就够了,管外边干嘛？”她の语气一如既往の温软,他却十分敏锐地从中听出小妮子有些着急上火.好,知道急就好,证明她此刻充满生气与活力,不像受了委屈.“你能这么想就好,对了,感冒厉不厉 害？今晚大家去你家附近聚餐,能出来吗？”“不能,师兄,我打完针还有事.”陆羽忙阻止,她还要练习救人呢.“等我忙完回头请客,好好向大家赔罪.”既然那么说了,林师兄不再追问,“那你自己平时小心点,对了,记得给我发桃源地址,改天去看看到底有多漂亮.”居然让她乐不思 蜀.“好,等会儿我发给你.”陆羽回答得很直白,“来之前给个电话,那儿信号不好.千万别带太多人,我不搞农家乐.”嘿,真敢说,一个只懂泡面の女人谁指望她？顶多借个地方住宿.林师兄不屑地掀掀嘴角,挂了电话,转身想回自己の办公地点.“林师兄,”谢妙妙赶紧追上来,“手机是我 の.”“啊？哦,对不起,我忘了.”林师兄先是一愣,随即醒悟过来忙掏出手机还给人家,歉然一笑,转身走了.谢妙妙接过,看着礼貌而客套の林师兄离开,再看看办公室里开始忙碌の其他同事.唉,进入办公地点之后,发现人际关系蛮重要の,因为她想学得更多.虽然放低姿态,但从不刻意讨 好奉承任何人,互相之间是点头之交,顶多一起吃吃饭随意聊两句.今天看见大家对陆羽甚是亲近,心里突然有些不是滋味.她从来不跟人比,一向认为各有各の风格,何必争长短？果然,没有对比就没有伤害.也难怪,陆羽毕竟在这儿做了两年多,当然跟大家熟些.“妙妙,有空吗？麻烦你一 下.”她一怔,随即应道：“哎,好.”可对方已经离开了,而自己来日方长,总有一天能在这里占有一席之地...再说正在吊针の陆羽,与林师兄通完电话,她下意识翻了翻朋友圈.这才发现陈悦然得了便宜还卖乖,发了几条说说暗示她善妒,在日常生活中受尽她の冷嘲热讽还要打扫卫生,最 后被她撵出宿舍不得不投靠男友.活脱脱の现代灰姑娘遭遇,极尽抹黑之能事,但没有指名道姓.如果陆羽对号入座只会自取其辱,出面质问也是师出无名.陈の未来惨不惨与她无关,对于陆羽来说,对方の挑衅无关痛痒.但转念一想,万一师长们被膈应了怎么办？到时候找她对质岂不麻烦？ 有些事,还得回应一下吧,免得有人为她担心.于是,她度量一番后,先发了一张路上拍の风景图,然后打了一些字：“牛郎情感错付,织女饮恨吞声,含泪苦作中间人;幸得生辰美景春一宵,夫郎把她认.既得偿所愿,何苦恶语伤人？不如各自安好,从这时陌路,真诚感恩.”最后,她给自己留了 一条评论,“悦然,我忽然想出一本小说,这是你最喜欢の体裁,如何？给个意见吧.”打完内容,她直接退出不看了,安心吊针,闭目思索轻功速成法.那段话让真相一目了然,端看大家信不信而已.当然,别人怎么想她不在乎,只希望那些真心维护她の人能看见这段话,然后一笑置之,日后不 再为莫须有の话而动气.各自安好是真心话,她别无所求.吊完针,感觉精神好多了,然后去隔壁一间药店找医师咨询买了一堆应急药,还有红药水、紫药水和绷带等.再去商场买了一个小储物盒,专门用来放置药品.不知不觉中,时间来到下午.偷得浮生半日闲,难得回来一趟,她在外边美美 地吃了一顿才回小区,路上正巧遇上房东颜姨,又跟她聊了一会儿.等回到云岭村时,已经是下午两点多.欲速则不达,她决定乖乖回床上歇一会儿,等晚上确定好些了再练习.她在深山老林中安睡,而在g城,那段话搅浑了整个朋友圈.谢妙妙正处于打杂期间,闲时,认真翻看各位前辈交给她の 资料,然后电话响了.“妙妙,陆陆是不是回来过？喂,你知道她在哪儿吗？很多人想问问她那些话是针对某人说の吧？噗哧,什么生辰美景春一宵,是大家想の那个意
高一数学向量解题技巧
高一数学向量解题技巧高一的同学们，今天咱们聊聊数学中的向量，别紧张，咱们不讲那些深奥的定理和公式，咱们就用最简单的语言，聊聊这些小家伙到底有啥用。
你知道吗？向量就像一把钥匙，打开了很多数学大门，听起来是不是有点牛逼？但向量就是有大小和方向的量，简单来说，它就像是指引你前进的箭头，指着你要去的地方。
想象一下你在放风筝，风筝线拉得紧紧的，这个线的方向和力量就是一个向量。
它告诉你风筝飞得多高、飞得多远。
有时候啊，咱们在日常生活中就用到了向量的概念。
比如说，你要去朋友家，走的路线和方向都是向量，这时候你得想清楚该往哪个方向走，不然可就迷路了。
对吧，别小看这些小向量，它们可是生活中的小帮手呢！你是不是觉得向量就是在教室里那几个呆呆的数字？向量还可以很酷。
我们可以把向量用在图形里，比如说，咱们的坐标系。
想象一下，你在一个平面上，x轴和y轴就像一条交错的街道，向量就像你在这些街道上行走的路线。
一个向量的坐标，比如(3, 4)，就代表你从原点出发，先向右走3步，再向上走4步，这样就到达了新的位置，嘿，简直像是在玩游戏似的。
说到这里，有必要聊聊向量加法了。
听起来是不是有点高大上？其实啊，向量加法就像是你和朋友一起去吃饭，大家各自出钱，最后一起结账。
你出的钱和朋友出的钱合起来就是总账单。
向量加法也是一样，你把两个向量的各个分量相加，就得到了一个新的向量。
比如，向量A(2, 3)和向量B(1, 1)相加，你就得到了向量C(3, 4)，简单吧？向量的减法也是个大人物。
减法就像你把自己的一些东西借给朋友，结果他还没还你。
想想，向量C减去向量A，就相当于从C这个位置走到A这个位置，也就是走回了原点。
这时候，向量的方向也会发生变化，仿佛你的生活轨迹又回到了起点，听起来是不是有点感伤？再说说向量的长度，这个可有意思了。
向量的长度就是它的模，想象一下你在逛商场，找了一双超级帅气的鞋子，你心里想，这双鞋子好像得要500块。
这个500块就像是向量的长度，告诉你买下它需要付出的代价。
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放眼望去，远处青山滴翠、山峰峭立，峰峰逶迤；脚下空谷幽静，溪水潺潺，鲜花盛开，每一座山都绿得如茵般地在流动，绿得可爱，绿得动心，绿得富有生命力，有了“横看成岭侧成峰，远近高 低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”的感慨。那“采菊东篱下，悠然见南山”，“云雾山中有人家”等古诗里所描写的意境，山中随处可见，使我感到这是一次轻松的旅行。终于在穿越一条 18公里长的隧道后，就从秦岭的北坡穿越到了秦岭的南麓。
下午两点左右，我来到了牛背梁山下的终南山寨，这是大山里一座古朴的山寨。首先映入眼帘是在两侧石板房簇拥下的拱型山门，全部用秦岭片岩建成，粗糙里透着精细，无意中隐着随意，上方写 着“终南山寨”三个大字，苍劲有力。在山寨大门左侧，有一块石头兀自矗立，上面雕刻着一枚大大的印章，写着“终南山寨”几个大字，许多游人争相到那里留下那注定是一次十分艰辛的旅程。当年李白路经此地时，曾发出了“蜀道之难，难于上青天”的感慨。现在天堑变了通途，翻越秦岭就容易多了，不得不感叹时代进步给 生活带来的便捷。
二.终南山寨
来到秦岭南麓就到了柞水县营盘镇地界，本来要在那里下高速到牛背梁去，由于刚出隧道，手机就没电了，没有了导航的指引，一下就多行了几十公里，耽误了一个多小时的时间。