映射及映射法及例题

映射及映射法及例题

知识、方法、技能

1．映射的定义

设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →

（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.

（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.

（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.

（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.

2．一一映射

一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.

3．逆映射

如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.

显然有（f —1）—1= f ，即

如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射

是f .

事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不

同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.

任给b a f A a =∈)(,设，则a b f

=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.

这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映

射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f

—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .

赛题精讲

Ⅰ映射

关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.

例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使

得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a f

f f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.

【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.

【略解】由f 的定义和已知数据，得

⎩

⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得

.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y

显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u

同理，由.9)(,3)(223,221]11

27[

,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.

3,

9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.

【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.

例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x

y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.

【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.

集合A 为直线x y x y 33

3==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：

},36,,0|)sin ,cos {(π

θπρρθρθρ<<∈≠=R A 图Ⅰ－1－2－1

}.20,,0|)sin ,cos {(π

ϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B

令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-

=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23π

θϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3

,6(ππθ∈ ).2

,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.

【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.

Ⅱ映射法

应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.

例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.

【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠

≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为

.))()((21)(11

1∑∑=='+=n

i i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n

如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.

例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作

各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平

行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边

形的个数.

【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，

先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和

AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记

A={边不平行于BC 的小平行四边形}，

}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B