线性代数第一章15

子可以提到行列式符号的外面． 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素对应
成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. i ) a1 n a11 a12 (a1i a1 a 21 a 22 (a 2 i a 例如 2i ) a2n D a n1 a n 2 (a ni a ni ) a nn
例4
证明
1 2

(1) 对角行列式
12 n ;
n
1
(2)
n
2

1
n n1 2
12 n .
a11
例5 计算上三角行列式
a11 a12 a1n
a12 a1n
0 a 22 a 2 n 0 0 a nn
解
0 a 22 a 2 n 0 0 a nn
a11 a12 a1n kai 1
a11
a12 a1n

kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in an 2 ann a n1 a n 2 a nn
a n1
推论
行列式的某一行（列）中所有元素的公因
1 2 n
a1 p1 a2 p2 anpn
(
指n!个n级排列之和.) p p p
1 2 n
例
计算行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解:
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
1
t 12n
a11a 22 a nn
a11a22 ann .
1 2 3 4
例6
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D a n1

a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a11a22 ann . a n1 an2 a n 3 a nn
上三角行列式和下三角行列式统称为 三角行列式 注意 如果一个n阶行列式中等于零的元 素比
n 2 n还多，则此行列式必等 于零.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
2176354
1
2 nn 1n 2321
§3 n 阶行列式的定义
一、三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义
一、 三阶行列式的结构
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
例如
a 21 a 2 i a n1 a ni
a2 j a2 j k a nj a nj
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ci kc j an1 (ani kanj ) anj anj
31 32 33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
2.
三阶行列式的计算
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
简记作det(aij ).
其中 :
p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n ( 3) D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
t p1 p2 pn
1 p p p
7 1 5 1 7 5 c 2 c3 6 6 2 6 6 2 . 5 3 8 3 5 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不
同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 Pn表示. 同理
P3 3 2 1 6. Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
由方程组的四个系数确定.
（3）
1. 定义
由四个数排成二行二列（横排称行(row)、 竖排称列(column))的数表 a11 a12
a21 a22
( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11
a12
a21 a22
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
t 132 1 0 1,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
二、n 阶行列式的定义
1. 定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn 记作 D a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n 来自百度文库n 2 ann
1t a11a22a33a44 x 3 , 1t 1234 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
§5 行列式的性质
一、定义 二、行列式的性质 三、应用举例
一、定义
a11 a12 a1n 记 a21 a22 a2 n D
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
二、排列的逆序数
n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 1. 定义 在一个排列 p1 p2 pt ps pn 中, 若数 pt ps , 则称这两个数组成一个逆序. (即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数. 例如 排列 32514 中，
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
设排列为 p1 p2 pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t N ( p1 p2 pn ) t1 t 2 t n1 例1 求排列 32514 的逆序数.
二、三阶行列式
1. 定义 设有9个数排成 3行3列的数表
a11 a12 a21 a22
记 a11
a13 a23 a33 ( 5)
a31 a32
a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a a a
§1 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
(1) ( 2)
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，
蓝线上三元素的乘积冠以负号．
x
例2
1 0 x 0 0. 1 1
(1) 求解方程
1 4
解
(1) 方程左端
D x2 1
由 x 2 1 0 解得
x1 1 或 x2 1.
§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数
一、全排列
例1 求解二元线性方程组
6 x1 4 x2 10, 5 x1 7 x2 29.
解
D
6 4 5 7
42 ( 20) 62 0,
D1
10 4 29 7
186, D2
6 10 5 29
124,
124 D1 186 D2 3, x2 2. x1 62 D 62 D
a12 , a22
a11 b1 D2 . a21 b2
3. 则当系数行列式 D 0时，
二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
思考题
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1 a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43
两式相减消去 x2 , 得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21