前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n 个自然数的平方和

十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的：

利用和的立方公式，我们有

（n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1，

移项可得

（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，

此式对于任何自然数n 都成立。

依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得

23 －13＝3•12＋3•1＋1，

33 －23＝3•22＋3•2＋1，

43 －33＝3•32＋3•3＋1，

……………………………

n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1，

（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，

把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到

（n ＋1）3 －1＝3S n ＋2

)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。

对这个结果进行恒等变形可得

n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2

)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n

移项、合并同类项可得

6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1），

∴S n ＝

61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即

12＋22＋32＋…＋n 2＝6

1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。

前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法

袁志红

关于前n 个连续自然数的平方和：

)12)(1(6

13212222++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.

我们先来计算： 222321++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①：

1

2 2 ①

3 3 3

把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表②：

3

3 2 ②

3 2 1

再把数表②顺时针旋转120度得到数表③：

3

2 3 ③

1 2 3

观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？

不难发现：

最顶层的三个数字是：1、3、3；

第二行左侧三个数字是：2、3、2；

第二行右侧三个数字是：2、2、3；

第三行最左侧三个数字是：3、3、1；

第三行中间三个数字是：3、2、2；

第三行最右侧三个数字是：3、1、3.

通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7.

每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：6×7÷3.

而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。

所以3)321()331(321222÷++⨯++=++=（1+2×3）×3×（3+1）÷6；

同理2222321n ++++ 也可以采用上面的方法推导出来：

1

2 2

3 3 3

… … … … ④

n n n n …………n n n n n n

顺时针旋转120度，得到：

n

n n-1

n n-1 n-2

n n-1 n-2 n-3 ⑤

…… …… ……

n n-1 n-2 n-3 …… …… …… 4 3 2 1

把数表⑤再顺时针旋转120度，得到：

n

n-1 n

n-2 n-1 n

n-3 n-2 n-1 n ⑥

…… ……

1 2 3 …… …… n-1 n

三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字：

1+2+3+4+……n=n(n+1)÷2,所以三个数表数字之和：（2n+1）n(n+1)÷2,所以每个数表数字之和：)12)(1(6

1++n n n . 即)12)(1(6

13212222++=++++n n n n . 请大家用相同的方法证明：

1×2+2×3+3×4+……+n ×(n+1)=)2)(1(3

1++n n n .