2021-2022年高三上学期第一次月考数学
宁夏石嘴山市平罗中学重点班2022届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析
2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）1．sin600°的值是（）A ．B ．C ．D ．2．设集合A={x|}，B={x|lgx＞0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．∅D．{x|﹣1＜x＜1或x＞1}3．设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A ．B．4 C ．D．65．下列命题正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．46．若函数f（x）=是奇函数，则实数a的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．57．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知f（x）是偶函数，它在是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）13．已知定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，则f（1）﹣f′（1）= ．14．已知：sinθ+cosθ=（＜θ＜π），则tanθ=．15．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．16．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈时，f（x）=x2，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）17．（10分）（2021秋•石嘴山校级月考）（1）已知tan（3π+α）=3，试求的值．（2）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．18．（12分）（2021春•淄博校级期末）已知p：x2+4mx+1=0有两个不等的负数根，q：函数f（x）=﹣（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）（2021秋•石嘴山校级月考）已知函数f（x）=x﹣klnx，常数k＞0．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．20．（12分）（2022春•南安市校级期末）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且（1）确定函数f（x）的解析式（2）若函数f（x）在（﹣1，1）是单调递增函数，求解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．（12分）（2021秋•石嘴山校级月考）某地区有100户农夫，都从事水产养殖．据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府打算动员部分农夫从事水产加工．据估量，假如能动员x（x＞0）户农夫从事水产加工，那么剩下的连续从事水产养殖的农夫平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水产加工的农夫平均每户的年收入将为万元．（1）在动员x户农夫从事水产加工后，要使从事水产养殖的农夫的总年收入不低于动员前从事水产养殖的农夫的总年收入，求x的取值范围；（2）若0＜x≤25，要使这100户农夫中从事水产加工的农夫的总年收入始终不高于从事水产养殖的农夫的总年收入，求a的最大值．22．（12分）（2021•汕头模拟）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，争辩f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m 的取值范围．2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）1．sin600°的值是（）A ．B ．C ．D ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：把原式的角度600°变形为2×360°﹣120°，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°﹣60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选D点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握诱导公式是解本题的关键，同时留意角度的机敏变换．2．设集合A={x|}，B={x|lgx＞0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．∅D．{x|﹣1＜x＜1或x＞1}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2﹣1＜2x＜2，即﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由lgx＞0=lg1，即x＞1，即B=（1，+∞），则A∪B={x|﹣1＜x＜1或x＞1}．故选D点评：此题考查了并集及其运算，娴熟把握并集的定义是解本题的关键．3．设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：弧度制的应用．专题：三角函数的求值．分析：设扇形的弧长为2，依据扇形的半径和面积，利用扇形面积公式列式算出l=4，再由弧度的定义加以计算，即可得到该扇形的圆心角的弧度数．解答：解：设扇形的圆心角的弧度数是α，弧长为l，∵扇形的半径长r=2cm，面积S=4cm2，∴S=lr，即4=×l×2，解之得l=4，因此，扇形圆心角的弧度数是α===2．故选：C．点评：本题给出扇形的半径和面积，求圆心角的大小．考查了扇形的面积公式和弧度制的定义等学问，属于基础题．4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A ．B．4 C ．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分学问求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查同学分析问题解决问题的力量和意识，考查同学的转化与化归力量和运算力量，考查同学对定积分与导数的联系的生疏，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简洁应用问题．5．下列命题正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：A项依据正弦定理以及四种命题之间的关系即可推断；B项依据必要不充分条件的概念即可推断该命题是否正确；C项依据全称命题和存在性命题的否定的推断；D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．解答：解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA ＞sinB”，若A＞B，则a＞b，依据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则肯定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．点评：本题主要考查各种命题的真假推断，涉及的学问点较多，综合性较强．6．若函数f（x）=是奇函数，则实数a的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不妨设x＜0，则﹣x＞0，依据所给的函数解析式求得f（x）=﹣x2+ax，而由已知可得 f（﹣x）=x2+5x，结合奇函数中f（﹣x）=﹣f（x），可得答案．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）=，∴f（x）=﹣x2+ax，f（﹣x）=x2+5x，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即x2+5x=﹣（﹣x2+ax），∴a=﹣5，故选：C点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，函数的奇偶性的定义，属于基础题．7．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．8．已知f（x）是偶函数，它在上是减函数，在上是增函数，而在=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．点评：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算力量．12．若直角坐标平面内的两个不同点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0 B．1 C．2 D．3考点：函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用．分析：依据题意可知只须作出函数y=（x＞0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数即可．解答：解：由题意得：函数f（x）=，“友好点对”的对数，等于函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数在同一坐标系中做出函数y=（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点．故选：B．点评：本题考查的学问点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键．二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）13．已知定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，则f（1）﹣f′（1）= 2 ．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程；函数的值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由定义在R上的函数y=f（x ）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，知，f（1）+=2，由此能求出f（1）﹣f′（1）．解答：解：∵定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，∴，f（1）+=2，∴f（1）=2﹣=，∴f（1）﹣f′（1）==2．故答案为：2．点评：本题考查导数的几何意义的应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．14．已知：sinθ+cosθ=（＜θ＜π），则tanθ=﹣2 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，解答：解：把sinθ+cosθ=①两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，∵＜θ＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ=，即sinθ﹣cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=﹣2，故答案为：﹣2点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，娴熟把握基本关系是解本题的关键．15．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；命题的否定；一元二次不等式的解法．分析：由已知可得：p：，q：x＜a，或x＞a+1，再由求命题否定的方法求出¬q，结合充要条件的判定方法，不难给出答案．解答：解：∵p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，∴q：x＜a，或x＞a+1∴¬q：a≤x≤a+1又∵p是¬q的充分不必要条件，∴解得：则实数a 的取值范围是故答案为：点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．16．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈时，f（x）=x2，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a 的取值范围是时，f（x）=x2，可得函数在上的解析式．依据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．解答：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=x2，可得当x∈时，f（x）=x2，故当x∈时，f（x）=x2 ，当x∈时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是为++1的递减区间，即有x=25时，取得最小值，且为4+1+1=6，∴a的最大值为6．点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、考查了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22．（12分）（2021•汕头模拟）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，争辩f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m 的取值范围．考点：利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化状况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的微小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．点评：考查利用导数争辩函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类争辩的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属。
天津市北京师范大学天津附属中学2021-2022学年上学期高三数学第一次月考
天津市北京师范大学天津附属中学2021-2022学年上学期高三数学第一次月考一、单选题1．已知全集U ＝{x ∈N|0＜x ＜6}，A ＝{3，4，5}，B ＝{2，3}，则B ∪（∁U A ）＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{2}2．命题“∀1≤x ≤2”,x 2−a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥5C ．a ≤4D ．a ≤43．若2a ＝5b ＝10，则1a+1b＝（ ） A ．−1 B ．lg7C ．1D ．log 7104．函数f (x )=ln |x |x 2+2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知cos （π12−θ）＝13，则sin （2π3−2θ）的值等于（ ）A ．29B ．−29C ．−79D ．796．设a ，b ，c 是实数，若a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a>1bB ．a 2>b 2C ．ac 2>bc 2D ．2021a−b >17．将函数y =sin(2x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列关于函数y ＝f （x ）的说法正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）的周期是π2C ．f （x ）的图像关于直线x =−π12对称D ．f （x ）的图像关于点(−π4，0)对称8．若函数f (x )={(a −1)x −2a ，x <2log a x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，√22] B ．[√22，1)C ．（0，1）D ．（−1，+∞）9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2＝的部分图像如图所示，将f （x ）的图像上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则函数g （x ）的一个单调递增区间为（ ）A ．[−5π3，π3]B ．[π3，7π3] C ．[π4，3π8] D ．[3π8，π2]10．设a ＝ln π，b ＝lg 3，c ＝π−12，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，且函数g （x ）＝log 2x ．若实数a 满足f(a |a−1|)>f[g(14)]，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C ．（0，2）D ．（1，+∞）12．已知函数f (x )={−76x −1，x >a x 2+3x +4，x ≤a ，g （x ）＝f （x ）﹣ax ，若函数g （x ）恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．A ．(−3，−43]B ．[−43，−76)C ．（﹣∞，﹣1）D ．（7，+∞）二、填空题13．函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为 .14．函数f （x ）＝sin （ωx ﹣π3）（ω＞0）的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象的一条对称轴是直线x ＝﹣π6，则ω的最小值为 ． 15．若数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2−2n +1，则数列{a n }的通项公式a n = ． 16．设直线y ＝12x +b 是曲线y ＝lnx （x ＞0）的一条切线，则实数b 的值为 ． 17．已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则11+a +42+b的最小值为 ．18．已知函数f (x )=log 12(x 2−ax −a)对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈(−∞，−12)，都满足不等式f (x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，则实数a 的取值范围 ．三、解答题19．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n．20．已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)−1．（1）求f(x)的最小正周期并写出其图象的对称中心的坐标；（2）求f(x)在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c．（1）求角B的大小；（2）若b＝√13，a+c＝4，求△ABC的面积．22．已知函数f(x)=12ax2−(a+1)x+lnx，g(x)=x2−2bx+78．（1）若a＜1时，函数f(x)有极小值，试确定a的取值范围；（2）当a=14时，函数f(x)在（0，2]上的最大值为M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M 成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分)二、填空题：(每小题5分，共30分)13．(3，+∞)； 14．12； 15．{2，n =16n −5，n ≥2; 16．ln 2﹣1; 17．94;18．[−1，12]三、解答题：(每小题15分，共60分)19．解：（1）设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n ．（2）由（1）得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32． 设{b n }的公差为d ，则{b 1+2d =8b 1+4d =32，解得{b 1=−16d =12从而b n ＝﹣16+12（n ﹣1）＝12n ﹣28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n(−16+12n−28)2＝6n 2﹣22n ．20．解：（1）因为f (x )＝4cos x sin （x +π6）﹣1 ＝4cos x （√32sin x +12cos x ）﹣1 ＝√3sin2x +2cos 2x ﹣1 ＝√3sin2x +cos2x ＝2sin （2x +π6），所以f (x )的最小正周期为π，由2x +π6＝k π得：其图象的对称中心的坐标为：（kπ2﹣π12，0）； （2）因为﹣π6≤x ≤π4，故﹣π6≤2x +π6≤2π3， 于是，当2x +π6＝，即x ＝π6 时，f (x )取得最大值2；当2x +π6＝﹣π6，即x ＝﹣π6时，f (x )取得最小值﹣1．21．解：（1）由正弦定理得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 将上式代入cosBcosC =−b2a+c 得cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ， 即2sin A cos B +sin C cos B +cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B +sin （B +C ）＝0， ∵A +B +C ＝π， ∴sin （B +C ）＝sin A ，∴2sin A cos B +sin A ＝0，即sin A （2cos B +1）＝0， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝﹣12，∵B 为三角形的内角，∴B ＝2π3．（2）将b ＝√13，a +c ＝4，B ＝2π3代入余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B 得： b 2＝（a +c ）2﹣2ac ﹣2ac cos B ，即即13＝16﹣2ac （1﹣12），∴ac ＝3， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3√34．22． 解：（1）函数f (x )的定义域为（0，+∞），f ′(x )=ax −(a +1)+1x =(ax−1)(x−1)x，x >0，①当a ＝0时，f ′(x )=−x−1x，令f ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得x ＞1，∴f (x )在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时f （x ）无极小值； ②当a ≠0时，令f ′（x ）＝0，解得x =1a 或x ＝1，（i ）当0＜a ＜1时，1a>1，令f ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1或x >1a，令f ′（x ）＜0，解得1<x <1a ，∴f (x )在(0，1)，(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a )上单调递减，此时f (x )在x =1a 处取得极小值，符合题意；（ii ）当a ＜0时，1a <0，令f ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得x ＞1，∴f (x )在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时f (x )无极小值； 综上，实数a 的取值范围为（0，1）；（2）由（1）知，当a =14时，函数f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数， ∴M =f (1)=−98，∴存在x ∈[1，2]，使得g(x)≥−98成立，即存在x ∈[1，2]，使x 2−2bx +78≥−98成立，只需函数g （x ）在[1，2]上的最大值大于等于−98， ∴{g (1)=1−2b +78≥−98g (1)=4−4b +78≥−98，解得b ≤32， 故实数b 的取值范围为(−∞，32]．。
高三数学上学期第一次月考试题含解析
一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。
【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。
是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。
【详解】，因为是纯虚数，所以。
【点睛】假如复数是纯虚数，那么。
3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。
【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。
【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。
的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。
综上所述，递增区间是。
【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。
5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。
【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。
2021-2022学年陕西省渭南市韩城市西庄中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2021-2022学年陕西省渭南市韩城市西庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣14．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．14．函数y＝的定义域是．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．解：由M中y＝x2﹣1≥﹣1，得到M＝[﹣1，+∞），由N中y＝，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即N＝[﹣2，2]，则M∩N＝[﹣1，2]，故选：A．2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用集合间的关系，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．解：由于知a，b∈R，当，整理得0＜a＜b；故3a＜3b，当3a＜3b时，整理得：a＜b，故那么是3a＜3b成立的充分不必要条件，故选：C．3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣1【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．解：∵＝（﹣）＝（﹣）f′（x0）＝1，∴f′（x0）＝﹣，故选：A．4．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】对f（x）进行求导，得到其单调性，再利用零点定理进行判断；解：函数f（x）＝x+lnx﹣3，（x＞0）∴f′（x）＝1+，可得f′（x）＞0，f（x）为增函数，f（1）＝1+0﹣3＝﹣2＜0，f（2）＝2+ln2﹣3＝ln2﹣1＜0，f（3）＝3+ln3﹣3＝ln3＞0，∵f（2）f（3）＜0，所以f（x）的零点所在区间为（2，3），故选：C．5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）＝（﹣x+）（﹣sin x）＝（x﹣）sin x＝f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x＝时，f（）＝（）×＜0，排除A，故选：B．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）【分析】根据已知条件及减函数的定义知f（x）在R上是减函数，所以y＝a x在（﹣∞，0）上是减函数，y＝（a﹣3）x+4a在[0，+∞）上是减函数，所以a x＞1，（a﹣3）x+4a≤4a≤1，这样即可得到，解该不等式组即得a的取值范围．解：由已知条件知f（x）在R上是减函数；∴；∴解得0＜a；∴a的取值范围为（0，]．故选：B．7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，设t＝x2﹣2x﹣8，则当x＞4时，g（x）为增函数，此时y＝lnt为增函数，则f（x）为增函数，即f（x）的单调递增区间为（4，+∞），故选：D．8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式和同角的三角函数关系求出sinα、cosα的值，即可求得tanα．解：因为cos（α+）＝﹣sinα＝，所以sinα＝﹣；又因为﹣＜α＜0，所以cosα＝＝，所以tanα＝＝﹣．故选：D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．解：sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝cos70°•sin10°﹣cos10°sin70°＝sin（10°﹣70°）＝﹣sin60°＝﹣．故选：B．10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，log32＜b＝ln2＜lne＝1，c＝＞50＝1，∴a，b，c的大小为c＞b＞a．故选：C．11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意构造函数g（x）＝，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0求出g（﹣1）＝0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．解：由题意设g（x）＝，则g′（x）＝∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．【分析】由题意利用任意角的三角函数定义可求sinα，cosα的值，代入所求即可计算得解．解：P（﹣1，3）为α角终边上一点，可得sinα＝＝，cosα＝﹣，所以＝＝．故答案为：．14．函数y＝的定义域是{x|}．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．解：由2sin x+1≥0，得sin x．∴，k∈Z．∴函数y＝的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于﹣2．【分析】利用奇函数的定义以及已知的恒等式，求出函数的周期，然后利用周期转化f （2019）即可．解：因为f（x）在R上是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2×1＝﹣2．故答案为：﹣2．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是①③．【分析】利用任意角的概念和性质、指数型函数过定点的性质，逐项判断即可．解：对于①，α＝﹣5≈﹣286.5°∈（﹣360°，﹣270°），是第一象限角，①正确；对于②，令x﹣1＝0，得y＝3，故函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点（1，3），②错误；对于③，α为第三象限角，则，k∈Z，所以，当k为偶数时，终边落在第二象限，k为奇数时，终边落在第四象限，故③正确；对于④，当k为偶数时，（k∈Z）终边落在x轴上，故④错误．故答案为：①③．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．【分析】根据题意，直接计算可得答案．解：①原式＝+×＝25+4＝29；②原式＝dx+xdx＝×π+＝+；③原式＝﹣sin cos+（﹣sin）（﹣cos）＝（﹣×）+×＝0．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【分析】（1）由f（1）＝2，求出a的值，由对数的真数大于0，求得x的取值范围，即得定义域；（2）化简f（x），考查f（x）在区间[0，]上的单调性，求出最大值．解：（1）∵f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），∴f（1）＝log a2+log a2＝2log a2＝2，∴a＝2；∴f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x），∴，解得﹣1＜x＜3；∴f（x）的定义域是（﹣1，3）．（2）∵f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x）＝log2（1+x）（3﹣x）＝log2[﹣（x﹣1）2+4]，且x∈（﹣1，3）；∴当x＝1时，f（x）在区间[0，]上取得最大值，是log24＝2．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x+﹣38）﹣3＝35﹣（x+），∴L（x）＝．（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣（x﹣6）2+9，此时，当x＝6时，L（x）取得最大值9；当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+）≤35﹣2＝15，此时，当x＝即x＝10时，L（x）取得最大值15；∵9＜15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，取x＝0求得f（0），进一步求得f′（0），则函数解析式可求；（2）把问题转化为g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，分离参数m，再求出函数y＝e x+2x在[1，2]上的最小值，则答案可求．解：（1）∵f（x）＝f′（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x，∴f′（x）＝f′（0）e x+2x﹣f（0）+1，令x＝0，解得f（0）＝1，则f（x）＝f′（0）e x+x2，令x＝0，得f′（0）＝f（0）＝1，∴f（x）＝e x+x2．（2）∵g（x）＝f（x）﹣mx＝e x+x2﹣mx在[1，2]上单调递增，∴g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，∴m≤e x+2x在[1，2]上恒成立．又∵函数y＝e x+2x在[1，2]上单调递增，∴y min＝e+2，∴m≤e+2，故m的取值范围为（﹣∞，e+2]．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）利用极值点的定义，将问题转化为f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，构造函数g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，利用导数研究其性质，列出不等式，求解即可；（2）当c＝27时，利用导数求出函数f（x）的单调递减区间，结合题意，列出关于a的不等关系，求解即可．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x＝1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k＝0，0＜k＜1，k＝1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．解：（I）当k＝2时，由于所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）当k＝0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k＝1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．。
安徽省黄山市田家炳实验中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分）1．设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A． 2﹣i B．﹣2﹣i C． 1+2i D． 1﹣2i2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（） A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）3．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． B． C． D．5．已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．（4+π） C． D．7．设变量x，y 满足约束条件．目标函数z=ax+2y仅在（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，4） C．（﹣4，0] D．（﹣4，2）8．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一步或最终一步，程序B和C实施时必需相邻，请问试验挨次的编排方法共有（）A． 24种 B． 48种 C． 96种 D． 144种9．如图，F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C． 2 D．10．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（） A． [0，+∞） B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题5分）11．若在的开放式中，第4项是常数项，则n= ．12．随机变量X～N（1，б2），若P（|X﹣1|＜1）=，则P（X≥0）= ．13．已知||=1，||≤1，且S△OAB=，则与夹角的取值范围是．14．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4，π），曲线C的参数方程为（α为参数），则过点M与曲线C相切的直线方程为．15．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；②当b=0，c＞0时，方程f （x）=0，只有一个实数根；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是．三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f（A）=4，求b+c的最大值．17．乒乓球赛规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜败结果相互独立，甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开头第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅱ）设M是线段BD上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点N（﹣4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．20．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分）1．设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A． 2﹣i B．﹣2﹣i C． 1+2i D． 1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规章解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，娴熟把握运算规章是解解题的关键3．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构推断出框图的计算功能5．已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：计算题．分析：由于“|a+b|=|a|+|b|”，说明ab同号，但是有时a=b=0也可以，从而进行推断；解答：解：若ab＞0，说明a与b全大于0或者全部小于0，∴可得“|a+b|=|a|+|b|”，若“|a+b|=|a|+|b|”，可以取a=b=0，此时也满足“|a+b|=|a|+|b|”，∴“ab＞0”⇒“|a+b|=|a|+|b|”；∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”必要不充分条件，故选B；点评：此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题；6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．（4+π） C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，依据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不简洁看出直观图，需要认真观看．7．设变量x，y 满足约束条件．目标函数z=ax+2y仅在（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，4） C．（﹣4，0] D．（﹣4，2）考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：当a=0时，明显成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，解得a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2解得a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一步或最终一步，程序B和C实施时必需相邻，请问试验挨次的编排方法共有（）A． 24种 B． 48种 C． 96种 D． 144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能消灭在第一步或最终一步，从第一个位置和最终一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必需相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能消灭在第一步或最终一步，∴从第一个位置和最终一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必需相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果依据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，留意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽视被捆绑的元素之间还有一个排列．9．如图，F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C． 2 D．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题．分析：依据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．解答：解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+=，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，∴4c2=52，∴c=．∴双曲线的离心率e==．故选A．点评：本题考查双曲线的简洁性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算力量，属于中档题．10．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（） A． [0，+∞） B． C． D．考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；新定义．分析：本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．解答：解：由题意，M、N 横坐标相等，恒成马上k 恒大于等于，则k ≥的最大值，所以本题即求的最大值．由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）AB方程y=（x﹣1）由图象可知，MN=y1﹣y2=x ﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）故选D．点评：解答的关键是将已知条件进行转化，同时应留意恒成立问题的处理策略．二、填空题（共5小题，每小题5分）11．若在的开放式中，第4项是常数项，则n= 18 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用的开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r••x﹣r，由第4项是常数项即可求得n的值．解答：解：设的开放式的通项公式为T r+1，则T r+1=•（﹣1）r••x﹣r=（﹣1）r••，∵第4项是常数项，∴（n﹣3）﹣3=0，∴n=18．故答案为：18．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项开放式的通项公式，属于中档题．12．随机变量X～N（1，б2），若P（|X﹣1|＜1）=，则P（X≥0）= ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：依据X～N（1，σ2），可得图象关于x=1对称，利用P（|X﹣1|＜1）=，即可求得结论．解答：解：∵P（|X﹣1|＜1）=，∴P（0＜X＜2）=，∵X～N（1，σ2），∴图象关于x=1对称，∴P（X＜0）=∴P（X≥0）=1﹣=，故答案为：点评：本题考查正态分布的特点，是一个基础题，解题时留意正态曲线的对称性和概率之和等于1的性质．13．已知||=1，||≤1，且S△OAB =，则与夹角的取值范围是．考点：数量积表示两个向量的夹角；三角形的面积公式；平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：设与夹角为θ，（θ∈[0，π]），由于，且，可得=，化为=，再利用，可得．进而解出．解答：解：设与夹角为θ，（θ∈[0，π]），∵，且，∴=，∴=，∵，∴．∴，∴θ．故答案为：点评：本题考查了三角形的面积公式、向量的数量积和夹角公式和计算力量，属于中档题．14．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4，π），曲线C的参数方程为（α为参数），则过点M与曲线C相切的直线方程为7x ﹣24y+68=0和x=4 ．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，分切线的斜率不存在、存在两种状况，分别求得切线的方程．解答：解：依据点M的极坐标为（4，π），可得点M的直角坐标为（4，4），把曲线C的参数方程为（α为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=9，表示以（1，0）为圆心、半径等于3的圆．当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=4，当切线的斜率存在时，设切线的方程为y﹣4=k（x﹣4），即 kx﹣y+4﹣4k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得 6k2﹣24k﹣13=0，求得k=，故切线的方程为 7x﹣24y+68=0，综上可得，圆的切线方程为：7x﹣24y+68=0和x=4，故答案为：7x﹣24y+68=0和x=4．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类争辩的数学思想，属于基础题．15．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是①②③．考点：命题的真假推断与应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：①c=0，f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），由奇函数的定义推断②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，依据函数的图象可得结论；③由于f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单位，故可得结论；④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，若b≤0，则f（x）有最小值．解答：解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣x|﹣x|+b（﹣x）=﹣f（x），故①正确；②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，由于c＞0，所以当x＞0时，函数顶点在x轴上方且开口向上，图象与x轴无交点，当x＜0时，图象顶点在x轴上方且开口向下，图象与x轴只有一个交点，故方程f（x）=0只有一个实数根，命题②正确；③由于f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确；④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，若b≤0，则f（x ）有最小值，故④不正确综上，正确的命题的序号是①②③故答案为：①②③点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及函数图象在解题中的运用，要求考生娴熟把握函数的性质，并能机敏运用性质求解．三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f（A）=4，求b+c的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和公式对函数解析式整理后，利用三角函数周期公式求得最小周期，然后利用三角函数性质求得函数的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）的值，求得A，进而利用正弦定理分别表示出b和c，然后利用两角和公式整理后，利用三角函数的性质求得b+c的最大值．解答：解：（Ⅰ）=2sin（2x+）+3 ∴f（x）的最小正周期T==π由得∴f（x ）的单调递减区间为，（Ⅱ）由f（A）=4得2sin（2A+）+3=4，sin（2A+）=∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=，∴又∵===2，∴=∴当时，b+c最大为2点评：本题主要考查两角和公式的运用，正弦定理的应用，三角函数的性质等学问点．考查了同学对三角函数基础学问的综合运用．17．乒乓球赛规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜败结果相互独立，甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开头第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）记A i为大事“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为大事+A 2+，由此能求出开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率．（2）由题意ξ=0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出Eξ．解答：解：（1）记A i为大事“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为大事+A 2+，其概率为P （+A 2+）=2×××+××=，即开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为．…（6分）（2）由题意ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）=××=，P（ξ=1）=2×××+（）3=，P（ξ=2）=2×××+××=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，认真解答，留意概率学问的合理运用．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅱ）设M是线段BD 上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）说明DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．求出A，F，E，B，C的坐标，设平面BEF 的法向量为=（x，y，z），利用，求出，说明为平面BDE 的法向量，通过，求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．（Ⅱ）设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF ，通过，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到的值．解答：解：（Ⅰ）由于DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．由于BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，所以．由AD=2可知DE=，AF=．则A（3，0，0），F（3，0.），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，（8分）设平面BEF 的法向量为=（x，y，z ），则，即，令z=，则=（4，2，）．由于AC⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，=（3，﹣3，0），所以==．由于二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D 的余弦值为．（8分）（Ⅱ）解：点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，由于AM∥平面BEF ，所以，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），符合题意．（12分）点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，空间向量与空间直角坐标系的应用，考查计算力量．19．已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q 到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点N（﹣4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得，由此能示出抛物线C的方程．（Ⅱ）设，由题意推导出A （4，4），B（4，﹣4），直线AB过定点（4，0），由此能证明M为定点（4，0）．解答：（Ⅰ）解：由题意得：点Q 的横坐标为，则所以抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）证明：设，所以由题意，，当y1+y2=0时，y1=﹣y2，则y1=4，y2=﹣4，A（4，4），B（4，﹣4），直线AB过定点（4，0），当直线AB方程为y﹣y1=．即M（4，0），综上过定点M（4，0）．点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与x轴的交点为定点的证明，解题时要认真审题，留意函数与方程思想的合理运用．20．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围考点：等比关系的确定；利用导数争辩函数的极值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，依据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而依据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知﹣64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，进而可知x3﹣12x2+36x+b＜1+45x﹣9x2在x∈[﹣2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=﹣x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（﹣1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[﹣2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=x（x﹣a）2+b=x3﹣2ax+a2x+b，f'（x）=3x2﹣4ax+a2，f'（2）=12﹣8a+a2=0，解得a=2，a=6，当a=2时，函数在x=2处取得微小值，舍去；当a=6时，f'（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．（Ⅱ）f（x）=x3﹣12x2+36x+b，设切点为（x0，x03﹣12x02+36x0+b），则切线斜率为f'（x）=3x02﹣24x0+36，切线方程为y﹣x03+12x02﹣36x0﹣b=（3x02﹣24x0+36）（x﹣x0），即y=（3x02﹣24x0+36）x﹣2x03+12x02+b，∴﹣2x03+12x02+b=0∴b=2x03﹣12x02．令g（x）=2x3﹣12x2，则g'（x）=6x2﹣24x=6x（x﹣4），由g'（x）=0得，x1=0，x2=4．函数g（x ）的单调性如下：∴当﹣64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．（Ⅲ）∵当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，∴x3﹣12x2+36x+b＜1+45x﹣9x2在x∈[﹣2，4]时恒成立，即b＜﹣x3+3x2+9x+1在x∈[﹣2，4]时恒成立．令h（x）=﹣x3+3x2+9x+1，则h'（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x﹣3）（x+1），由h'（x）=0得，x1=﹣1，x2=3．∵h（﹣2）=3，h（﹣1）=﹣4，h（3）=28，h（4）=21，∴h（x）在[﹣2，4]上的最小值是﹣4，b＜﹣4．点评：本题主要考查了用导函数求函数的单调性和极值问题．综合性强，难度大，属中档题．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．点评：本小题主要考查数列、不等式等基本学问，考查化归的数学思想方法，考查综合解题力量．考点：等差关系的确定；数列递推式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）整理题设递推式得a n+1+1=2（a n+1），推断出{a n+1}是等比数列，进而求得a n+1，则a n可求．（Ⅱ）依据题设等式可推断出2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n和2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．两式相减后整理求得b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n进而推断出{b n}是等差数列．（Ⅲ）利用（Ⅰ）中数列{a n}的通项公式，利用不等式的传递性，推断出，进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1∈N*）．（Ⅱ）证明：∵∴．∴2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n，①2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．②②﹣①，得2（b n+1﹣1）=（n+1）b n+1﹣nb n，即（n﹣1）b n+1﹣nb n+2=0，nb n+2﹣（n+1）b n+1+2=0．③﹣④，得nb n+2﹣2nb n+1+nb n=0，即b n+2﹣2b n+1+b n=0，∴b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），∴{b n}是等差数列．（Ⅲ）证明：∵，k=1，2，n，∴．∵，k=1，2，…，n，∴，∴．。
宁夏银川一中2022届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析
2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=23．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+15．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为．14．已知，，则=．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x ）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，知C R A={x≤1}，由此能求出（C R A）∩B．解答：解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，∴C R A={x≤1}，∴（C R A）∩B={0，1}．故选A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：四种命题的真假关系．专题：简易规律．分析：本题考查全称命题和特称命题真假的推断，逐一推断即可．解答：解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．点评：本题考查规律语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属简洁题．3．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义计算定积分．解答：解：y=，即（x+1）2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π，∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B点评：本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础学问，考查考查数形结合思想．属于基础题．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出推断．解答：解：函数y=log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log2|﹣x|=log2|x|，∴函数y=log2|x|为偶函数，当x＞0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算力量，属于基础题．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：依据指数函数幂函数对数函数的图象与性质，得到不等式与0，1的关系，即可比较大小．解答：解：x∈（0，1），∴lgx＜0，2x＞1，0＜＜1，∴2x ＞＞lgx，故选：C．点评：本题考查了不等式的大小比较，以及指数函数幂函数对数函数的图象与性质，属于基础题．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．解答：解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再依据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，其次个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，图象都在x轴的下方，再结合函数的解析式，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：D．点评：本题考点是考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的学问进行争辩，一是函数的性质，二是函数图象要过的特殊点．9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的值域．分析：先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=﹣1代入可求取值范围．解答：解：∵∴∴=2sin （）+4∵∴∴sin∴f′（﹣1）∈[3，6]故选A．点评：本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]，依据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，y=Asin（ωx+∅）的周期性，属于中档题．11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，f（x）=．由于g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m ≤时，两函数有两个交点，故选D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的力量，体现了数形结合的思想．也考查了同学制造性分析解决问题的力量，属于中档题．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2考点：正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：构造函数f（x）=xsinx，x ∈，利用奇偶函数的定义可推断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx 可推断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．解答：解：令f（x）=xsinx，x ∈，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x ∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．点评：本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x ∈，通过争辩函数f （x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为8．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象观看可得：y min=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．解答：解：∵由题意可得：y min =﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为：8．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本学问的考查．14．已知，，则=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用帮助角公式sinα+cosα=sin（α+），可求得sin（α+），结合α的范围，可α+∈（，），利用同角的三角函数关系可求cos（α+），tan（α+）的值．解答：解：∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣，∵α∈（，π），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣．∴tan（α+）==．故答案为：．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查了计算力量，属于基础题．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是．考点：导数的几何意义．专题：计算题；数形结合．分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再依据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：依据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础学问，考查运算求解力量，考查数形结合思想、化归与转化思想．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是②③④．考点：命题的真假推断与应用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①利用弧度制的定义可得公式：s扇形=Lr，L=αr，求解即可；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1，再推断α+2β＜180°，得出答案；③考查了周期函数，+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，④考查三角函数对称轴的特征：过余弦函数的最值点都是对称轴，把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，解答：解：①s扇形=Lr，L=αr∴s=1，故错误；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1∵α，β为锐角，，∴α+2β＜180°∴，故②正确；③+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，故③正确；④把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，故正确；故答案为：②③④．点评：考查了弧度制的定义和三角函数的周期性，对称轴和和角公式，属于基础题型，应娴熟把握．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由表中已知数据易得，可得表格和解析式；（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，可得对称中心．解答：解：（1）依据表中已知数据，解得数据补全如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 0 ﹣5 0∴函数的解析式为；（2）函数f（x ）图象向左平移个单位后对应的函数是g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+），其对称中心的横坐标满足2x+=kπ，即x=﹣，k∈Z，∴离原点最近的对称中心是点评：本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换，涉及三角函数的对称性，属基础题．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而依据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f （）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最终利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f （）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f （）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin =．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学学问解决问题的力量．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）依据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．（2）利用导数争辩函数的最值，先求出y的导数，依据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．解答：解：（1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件；∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9明显，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；在（9，+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且y max=135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．点评：本小题主要考查依据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的学问解决实际问题的力量．属于基础题．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类争辩，然后利用导数求出函数的单调性；（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设g（a）=4a3﹣12a+8，求出g（a）在[]内是减函数，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，2a）2a （2a，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，2a）2a （2a，0）0 （0，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又f（2）﹣f（1）=（8﹣12a+b）﹣（1﹣3a+b）=7﹣9a＞0，∴M=f（2），m=f（2a）=8a3﹣12a3+b=b﹣4a3，∴M﹣m=（8﹣12a+b）﹣（b﹣4a3）=4a3﹣12a+8，设g（a）=4a3﹣12a+8，∴g'（a）=12a2﹣12=12（a+1）（a﹣1）＜0（a∈[]），∴g（a）在[]内是减函数，故g（a）max=g （）=2+=，g（a）min=g （）=﹣1+4×=．∴≤M﹣m ≤．点评：本题考查利用导数争辩函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k ＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．点评：本题考查利用导数争辩函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相像，得到同位角角相等，从而两直线平行．解答：证明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（Ⅱ）由（Ⅱ）有，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵圆的内接四边形对角互补，∴∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相像等学问．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．考点：简洁曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，依据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类争辩，去掉确定值符号，解相应的一次不等式，最终取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2争辩，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（5分）（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）点评：本题考查确定值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析力量，突出恒成立问题的考查，属于难题．。
安徽省合肥市肥东县锦弘中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试卷(重点班) Word版含解析
2022-2021学年安徽省合肥市肥东县锦弘中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（重点班）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案直接填涂到答题卡上.1．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 93．方程的实数根的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D．不确定4．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0 ）上增函数，若|a|＞|b|，则以下结论正确的是（）A． f（a）﹣f（b）＜0 B． f（a）﹣f（b）＞0 C． f（a）+f（b）＞0 D． f（a）+f（b）＜05．若函数f（x）=x2+ax（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∃a∈R，f（x）是偶函数 B．∃a∈R，f（x）是奇函数C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 D．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数6．已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（） A． B． C． D．7．集合M={f（x）|f（﹣x）=f（x），x∈R}，N={f（x）|f（﹣x）=﹣f（x），x∈R}，P={f（x）|f（1﹣x）=f（1+x），x∈R}，Q={f（x）|f（1﹣x）=﹣f（1+x），x∈R}．若f（x）=（x﹣1）3，x∈R，则（） A． f（x）∈M B． f（x）∈N C． f（x）∈P D． f（x）∈Q8．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（） A． 1 B． C． D．9．若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ﹣同伴函数”．下列关于“λ﹣同伴函数”的叙述中正确的是（）A．“同伴函数”至少有一个零点B． f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”C． f（x）=log2x是一个“λ﹣同伴函数”D． f（x）=0是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的全部零点之和为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上．11．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（f （））的值等于．12．曲线y=x3+3x2+6x﹣1的切线中，斜率最小的切线方程为．13．定义在R上的函数f（x）满足关系，则的值等于．14．已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m 的取值范围是．15．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0且2f（x）+xf′（x）＞0，有下列命题：①f（x）在R上是增函数；②当x1＞x2时，x12f（x1）＞x22f（x2）③当x1＞x2＞0时，＞④当x1+x2＞0时，x12f（x1）+x22f（x2）＞0⑤当x1＞x2时，x12f（x2）＞x22f（x1）则其中正确的命题是（写出你认为正确的全部命题的序号）三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（1）当m=3时，求A∩（∁R B）；（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．17．已知函数y=g（x）与f（x）=log a（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．（1）写出y=g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）+m为奇函数，试确定实数m的值；（3）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．18．已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax ，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f（x）≥g（x）．19．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．（1）求y=f （x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出全部这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），（1）若x=0为函数的一个极值点，且f（x）在区间（﹣6，﹣4），（﹣2，0）上单调且单调性相反，求的取值范围．（2）当b=3a，且﹣2是f（x）=ax3+3ax2+d的一个零点，求a的取值范围．21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．2022-2021学年安徽省合肥市肥东县锦弘中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（重点班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案直接填涂到答题卡上.1．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；综合题．分析：分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后依据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．解答：解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的推断，是基础题．2．已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合M中的不等式表示数轴上到1的距离与到4的距离之和小于5，求出x的范围，确定出M，由M 与N的交集及N，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：由集合M中的不等式，解得：0＜x＜5，∴M={x|0＜x＜5}，∵N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5，则a+b=2+5=7．故选B点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．3．方程的实数根的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D．不确定考点：根的存在性及根的个数推断．专题：计算题．分析：将方程的实数根的个数转化成y=与y=2x﹣1的图象的交点的个数，在同一坐标系下画出它们的图象，观看图象即可得到结论．解答：解：方程的实数根的个数可看成y=与y=2x﹣1的图象的交点的个数在同一坐标系下画出它们的图象明显一个交点，故方程的实数根的个数为1故选B．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及指数函数与对数函数的图象，属于基础题．4．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0 ）上增函数，若|a|＞|b|，则以下结论正确的是（）A． f（a）﹣f（b）＜0 B． f（a）﹣f（b）＞0 C． f（a）+f（b）＞0 D． f（a）+f（b）＜0考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用偶函数的性质，偶函数f（x）在（﹣∞，0 ）上增函数，则它在（0，+∞）上递减，由f（﹣x）=f（x）=f（|x|），|a|＞|b|，即可作出推断．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴其图象关于y轴对称，又∵f（x）在（﹣∞，0 ）上增函数，∴f（x）在（0，+∞）上递减，∴当|a|＞|b|时，f（|a|）＜f（|b|），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数知，f（﹣x）=f（x）=f（|x|），∴f（|a|）=f（a），f（|b|）=f（b），∴f（|a|）＜f（|b|），即f（a）＜f（b），∴f（a）﹣f（b）＜0，故选：A．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想与推理力量，属于中档题．5．若函数f（x）=x2+ax（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∃a∈R，f（x）是偶函数 B．∃a∈R，f（x）是奇函数C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 D．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数考点：全称命题；特称命题；函数单调性的推断与证明；函数奇偶性的推断．分析：当a=0时，f（x）是偶函数；有x2的存在，f（x）不会是奇函数；在（0，∝）上，只有当a＞0时，（x）在（0，+∞）上是增函数；∵g（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，不存在a∈R，有f（x）在（0，+∞）上是减函数．解答：解：当a=0时，f（x）是偶函数故选A点评：本题通过规律用语来考查函数的单调性和奇偶性．6．已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A． B． C．D．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：压轴题．分析：依据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．解答：解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排解B，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f（x）的导函数的值在减小，所以原函数应当斜率渐渐变小，排解AC，故选D．点评：本题主要考查但函数的意义．建议让同学在最终一轮肯定要回归课本，抓课本基本概念．7．集合M={f（x）|f（﹣x）=f（x），x∈R}，N={f（x）|f（﹣x）=﹣f（x），x∈R}，P={f（x）|f（1﹣x）=f（1+x），x∈R}，Q={f（x）|f（1﹣x）=﹣f（1+x），x∈R}．若f（x）=（x﹣1）3，x∈R，则（） A． f（x）∈M B． f（x）∈N C． f（x）∈P D． f（x）∈Q考点：元素与集合关系的推断．专题：集合．分析： M中的f（x）是偶函数，图象关于y轴对称；N中的f（x）是奇函数，图象关于x轴对称；P中的f （x）图象关于直线x=1轴对称；Q中的f（x）图象关于点（1，0）对称；解答：解：∵f（x）=（x﹣1）3，x∈R的图象关于点（1，0）对称，而条件f（1﹣x）=﹣f（1+x），x∈R 说明函数f（x）的图象关于点（1，0）对称．∴f（x）∈Q故选D．点评：本题通过集合与元素的关系来考查函数图象的对称问题．要记住一些常的结论．8．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（） A． 1 B． C． D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t 的值为故选D点评：可以结合两个函数的草图，发觉在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．9．若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ﹣同伴函数”．下列关于“λ﹣同伴函数”的叙述中正确的是（）A．“同伴函数”至少有一个零点B． f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”C． f（x）=log2x是一个“λ﹣同伴函数”D． f（x）=0是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”考点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的零点．专题：新定义．分析：令x=0，可得．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，．可得f（x ）在上必有实根，可推断A假设f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可推断B由于f（x）=log2x的定义域不是R可推断C设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，可推断D解答：解：令x=0，得．所以．若f（0）=0，明显f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，．又由于f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x ）在上必有实数根．因此任意的“同伴函数”必有根，即任意“同伴函数”至少有一个零点．：A正确，用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．B错误由于f（x）=log2x的定义域不是R．C错误设f（x）=C是一个“λ﹣同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”．D错误，点评：本题考查的学问点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ﹣同伴函数的定义，是解答本题的关键．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的全部零点之和为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：奇偶性与单调性的综合；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：由已知可分析出函数g（x）是偶函数，则其零点必定关于原点对称，故g（x）在[﹣6，6]上全部的零点的和为0，则函数g（x）在[﹣6，+∞）上全部的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上全部的零点之和，求出（6，+∞）上全部零点，可得答案．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）﹣1，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）﹣1=（﹣x）[﹣f（x）]﹣1=xf（x）﹣1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对消灭的．∴函数g（x）在[﹣6，6]上全部的零点的和为0，∴函数g（x）在[﹣6，+∞）上全部的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上全部的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2|x﹣1|﹣1，即∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1又∵当x＞2时，f（x）=∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x=8时，f（x）=，函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x ）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）﹣1在（8，10]上无零点同理g（x）=xf（x）﹣1在（10，12]上无零点依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点综上函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的全部零点之和为8故选B点评：本题考查的学问点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在查找（6，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上．11．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（f （））的值等于﹣1 ．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由已知可得f（﹣x）=﹣f（x），结合已知可求f（）=﹣2，然后再由f（﹣2）=﹣f（2），代入已知可求解答：解：∵y=f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∵当x＞0时，f（x）=log2x，∴=﹣2则f（f （））=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了奇函数的性质的简洁应用，属于基础试题12．曲线y=x3+3x2+6x﹣1的切线中，斜率最小的切线方程为3x﹣y﹣2=0 ．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程；直线的斜率．专题：计算题．分析：已知曲线y=x3+3x2+6x﹣1，对其进行求导，依据斜率与导数的关系进行求解；解答：解：∵曲线y=x3+3x2+6x﹣1，y'=3x2+6x+6=3（x+1）2+3≥3．当x=﹣1时，y'min=3，此时斜率最小，即k=3当x=﹣1时，y=﹣5．此切线过点（﹣1，﹣5）∴切线方程为y+5=3（x+1），即3x﹣y﹣2=0，故答案为3x﹣y﹣2=0；点评：此题主要利用导数争辩曲线上的某点切线方程，此题是一道基础题，还考查直线的斜率；13．定义在R上的函数f（x）满足关系，则的值等于7 ．考点：函数的值．专题：计算题．分析：依据给出的式子的特点，令化简得f（x）+f（1﹣x）=2，即两个自变量的和是1则它们的函数值的和是2，由此规律求出所求式子的值．解答：解：由题意知，，令代入式子得，f（x）+f（1﹣x）=2，∴==6+∵+=2，∴=7．故答案为：7．点评：本题的考点是抽象函数求值，即依据所给式子的特点进行变形，找出此函数的规律，并利用此规律对所给的式子进行求值．14．已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；分类争辩．分析：由确定值得意义知，p：即 m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即 m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．解答：解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当 1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题考查在数轴上理解确定值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类争辩思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．15．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0且2f（x）+xf′（x）＞0，有下列命题：①f（x）在R上是增函数；②当x1＞x2时，x12f（x1）＞x22f（x2）③当x1＞x2＞0时，＞④当x1+x2＞0时，x12f（x1）+x22f（x2）＞0⑤当x1＞x2时，x12f（x2）＞x22f（x1）则其中正确的命题是②③④（写出你认为正确的全部命题的序号）考点：命题的真假推断与应用．分析：利用函数的性质和构建函数来求解．解答：解：通过审题，特殊是所要推断的项，我们可以得出当x∈（0，+∞），2f（x）+xf′（x）＞0等价于：2xf（x）+x2f′（x）＞0即可以看成是R（x）=x2f（x）的导函数∴R（x）与f（x）一样，也为奇函数，且在x∈（0，+∞）时，R（x）为单调递增函数通过奇函数的性质，可以发觉R（x）在R上都为单调增函数①通过分析，无法判定f（x）是增函数还是减函数②依据前面的分析，我们可以通过增函数的性质判定②是正确的③∵x1和x2都是大于0∴f（x1）和f（x2）也都大于0∴可以化简成x12f（x1）＞x22f（x2），明显成立④x1+x2＞0等价于x1＞﹣x2∴x12f（x1）＞（﹣x2）2f（﹣x2）=﹣x22f（x2）∴x12f（x1）+x22f（x2）＞0⑤通过分析，无法判定等式肯定成立点评：涉及到多个函数，我们一般可以通过构造一个函数来进行简化分析．对于无法判定的选项，只要找出一个反例就行．机敏运用奇偶函数的性质．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（1）当m=3时，求A∩（∁R B）；（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（1）先分别求出函数f（x）和g（x）的定义域，再求出集合B的补集，再依据交集的定义求出所求；（2）先求出集合A，再依据A∩B的范围以及结合函数g（x）的特点确定出集合B，然后利用根与系数的关系求出m的值．解答：解：函数的定义域为集合A={x|﹣1＜x≤5}（1）函数g（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为集合B={x|﹣1＜x＜3}C R B={x|x≤﹣1或x≥3}∴A∩（∁R B）=[3，5]（2）∵A∩B={x|﹣1＜x＜4}，A={x|﹣1＜x≤5}而﹣x2+2x+m=0的两根之和为2∴B={x|﹣2＜x＜4}∴m=8答：实数m的值为8点评：本题主要考查了对数函数、根式函数的定义域的求解，已经交、并、补集的混合运算等学问，属于基础题．17．已知函数y=g（x）与f（x）=log a（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．（1）写出y=g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）+m为奇函数，试确定实数m的值；（3）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，进而可得M（x，y）关于原点的对称点为N的坐标，代入f（x）中进而求得x和y的关系式．（2）跟函数F（x）为奇函数求得F（﹣x）=﹣F（x）代入解析式即可求得m的值．（3）利用f（x）+g（x）≥n 求得，设，只要Q（x）min≥n 即可，依据在[0，1）上是增函数进而求得函数的最小值，求得n的范围．解答：解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，则M（x，y）关于原点的对称点为N（﹣x，﹣y）N在函数f（x）=log a（x+1）的图象上，∴﹣y=log a（﹣x+1）（2）∵F（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x）+m为奇函数．∴F（﹣x）=﹣F（x）∴log a（1﹣x）﹣log a（1+x）+m=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）﹣m∴，∴m=0（3）由设，由题意知，只要Q（x）min≥n即可∵在[0，1）上是增函数∴n≤0点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用．考查了同学分析问题和解决问题的力量．18．已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f（x）≥g（x）．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最终用a表示b，利用导数的工具求b的最大值，从而问题解决．（2）先设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数争辩此函数的单调性，欲证f（x）≥g（x）（x＞0），只须证明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．解答：解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，∵f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），∴+2ax=3a2lnx0+b，x0+2a=，由x0+2a=得x0=a，x0=﹣3a（舍去）即有b=（3分）令h（t）=，则h′（t）=2t（1﹣3lnt）当t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t ＜时，h'（t）＞0；当t（1﹣3lnt）＜0，即t ＞时，h'（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h （）=（6分）（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=，则F'（x）=x+2a ﹣=（10分）故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0．故当x＞0时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）（12分）点评：考查同学会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数争辩函数的单调区间以及依据函数的增减性得到函数的最值．考查化归与转化思想．属于中档题．19．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出全部这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（1）对f（x）进行求导，依据f（x）的图象与直线y=4相切于M（1，4），可得f′（1）=0和f （1）=0，求出f（x）的解析式，再求其最值；（2）依据函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上分两种状况，若f（x）=x3﹣6x2+9x 在[s，t]上单调增；若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调减，从而进行推断；解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b，（1分）依题意则有：，即解得（2分）∴f（x）=x3﹣6x2+9x令f'（x）=3x2﹣12x+9=0，解得x=1或x=3（3分）当x变化时，f'（x），f（x）在区间（0，4]上的变化状况如下表：x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，4） 4f'（x） + 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增↗ 4 单调递减↘ 0 单调递增↗ 4 所以函数f（x）=x3﹣6x2+9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0．（4分）（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上；（5分）①若极值点x=1在区间[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不行能等于t；故在区间[s，t]上没有极值点；（7分）②若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，则，即，解得不合要求；（10分）③若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调减，即1＜s＜t＜3，则，两式相减并除s﹣t得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0，①两式相除可得[s（s﹣3）]2=[t（t﹣3）]2，即s（3﹣s）=t（3﹣t），整理并除以s﹣t得：s+t=3，②由①、②可得，即s，t是方程x2﹣3x+1=0的两根，即存在s=，t=不合要求．（13分）综上可得不存在满足条件的s、t．（14分）点评：此题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值，是一道综合性比较强，其次问难度比较大，存在性问题，假设存在求出s，t，计算时要认真；20．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），（1）若x=0为函数的一个极值点，且f（x）在区间（﹣6，﹣4），（﹣2，0）上单调且单调性相反，求的取值范围．（2）当b=3a，且﹣2是f（x）=ax3+3ax2+d的一个零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得f'（x）=3ax2+2bx+c，f'（0）=0，由此利用导数性质能求出的取值范围．（2）由已知得f（﹣2）=﹣8a+12a+d=0，从而f'（x）=3ax2+6ax，令f'（x）=0，x=0或x=﹣2．列表争辩能求出实数a的取值范围．解答：解：（1）由于f（x）=ax3+bx2+cx+d，所以f'（x）=3ax2+2bx+c．又f（x）在x=0处有极值，所以f'（0）=0即c=0，所以f'（x）=3ax2+2bx．令f'（x）=0，所以x=0或．又由于f（x）在区间（﹣6，﹣4），（﹣2，0）上单调且单调性相反，所以所以．（5分）（2）由于b=3a，且﹣2是f（x）=ax3+3ax2+d的一个零点，所以f（﹣2）=﹣8a+12a+d=0，所以d=﹣4a，从而f（x）=ax3+3ax2﹣4a，所以f'（x）=3ax2+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=﹣2．（7分）列表争辩如下：x ﹣3 （﹣3，﹣2）﹣2[ （﹣2，0） 0 （0，2） 2a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0f'（x） + ﹣ 0 ﹣ + 0 + ﹣f（x）﹣4a↗↘ 0 ↘↗﹣4a ↗↘ 16a所以当a＞0时，若﹣3≤x≤2，则﹣4a≤f（x）≤16a．当a＜0时，若﹣3≤x≤2，则16a≤f（x）≤﹣4a．从而或，即或所以存在实数，满足题目要求．（13分）点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，留意导数的性质的机敏运用．21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）f′（x）=x2+2bx+c，由f′（2﹣x）=f′（x），解得b=﹣1．由直线y=4x﹣12与x轴的交点为（3，0），解得c=1，d=﹣3．由此能求出函数g（x）在[0，m]上的最大值．（Ⅱ）h（x）=ln（x﹣1）2=2ln|x﹣1|，则h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，由当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，知不等式2ln|x﹣t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|＜2x+1，且x≠t恒成立，由此能求出实数t的取值范围．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2bx+c，∵f′（2﹣x）=f′（x），∴函数y=f′（x）的图象关于直线x=1对称，则b=﹣1．∵直线y=4x﹣12与x轴的交点为（3，0），∴f（3）=0，且f′（x）=4，即9+9b+3c+d=0，且9+6b+c=4，解得c=1，d=﹣3．则．故f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，g（x）=x=x|x﹣1|=，如图所示．当时，x=，依据图象得：（ⅰ）当x＜m时，g（x）最大值为m﹣m2；（ⅱ）当时，g（x ）最大值为；（ⅲ）当m时，g（x）最大值为m2﹣m．…（8分）（Ⅱ）h（x）=ln（x﹣1）2=2ln|x﹣1|，则h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，∵当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，∴不等式2ln|x﹣t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|＜2x+1，且x≠t恒成立，由|x﹣t|＜2x+1恒成立，得﹣x﹣1＜t＜3x+1恒成立，∵当x∈[0，1]时，3x+1∈[1，4]，﹣x﹣1∈[﹣2，﹣1]，∴﹣1＜t＜1，又∵当x∈[0，1]时，由x≠t恒成立，得t∉[0，1]，因此，实数t的取值范围是﹣1＜t＜0．…（14分）点评：本题考查函数最大值的求法，考查实数的取值范围的求法．考查推理论证力量的应用，考查计算推导力量．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，认真解答，留意合理地进行等价转化．。
安徽省黄山市田家炳实验中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x34．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 07．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C ． D．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x轴的交点个数是．15．已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规章解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，娴熟把握运算规章是解解题的关键2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；不等关系与不等式．专题：简易规律．分析：由于“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a ＜”或“0＞b ＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要留意基本不等式的合理运用．3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：对于A，C均是偶函数；对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数．解答：解：对于A，C均是偶函数，故不满足题意对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数所以B满足题意故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．4．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．解答：解：令y=log a t，t=2﹣ax，∵a＞0∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函数y=log a t是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a ≤故选B．点评：本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论争辩其单调性，再求参数的范围．本题简洁忽视t=2﹣ax＞0的状况导致出错．5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：把x∈（﹣∞，0）的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化求出函数f（x）在（0，+∞）上的解析式．解答：解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），由于函数f（x）是奇函数，故f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）．故选B点评：已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是依据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用．6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．解答：解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，∴f（0.5）=f（8.5）=9．故选：B．点评：本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．7．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的推断；进行简洁的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最终看f（x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，所以f（x）==，则f（﹣x）==﹣（）=﹣f（x），故f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．故选 A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题，属于易错题题．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C． D．考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，我们易推断出a，b与0，±1的关系，依据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象可得b＜﹣1＜0＜a＜1则函数g（x）=a x+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的学问点是指数函数的图象变换，其中依据已知推断出a，b与0，±1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；转化思想；对应思想．分析：由题意，可得出a2+1＞1，结合log a（a2+1）＜0，可得出a∈（0，1），再由log a2a＜0得出2a＞1，即可解出a的取值范围，选出正确选项解答：解：∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，a2+1＞1∴a∈（0，1），且2a＞1∴a ∈（，1）故选C点评：本题考查对数函数的单调性，考察了对数数符合与真数及底数取值范围的关系，解题的关键是确定出a2+1＞1，由此打开解题的突破口，本题考察了观看推理的力量，题目虽简，考查学问的方式很奇妙．10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f （x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a ∈（，2）．故选D．点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质依据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．考点：命题的真假推断与应用．专题：综合题；转化思想．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分别出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴f（x）＜f（1）=5，∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]点评：将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ﹣1 ．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；转化思想．分析：本题争辩的是一个对数型的函数，其可以看作是由函数g（x）=lg|x|图象向右平移了一个单位而得到，由同一性的思想方法就可以求出m的值．解答：解：由于函数g（x）=lg|x|图象关于直线x=0对称，函数g（x）=lg|x|图象向右平移一个单位后所得函数为r（x）=lg|x﹣1|，其对称轴方程为x=1由题设条件知f（x）=r（x）=lg|x﹣1|，故m=﹣1故答案为﹣1点评：本题考点是函数图象的对称性，考查函数图象本身的对称性及图象变换后所得函数图象的对称性，及利用变换规章求参数，本题旧考点新考法，较好．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞）．考点：函数的值域；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：当m=0时，检验合适； m＜0时，不满足条件； m＞0时，由△≥0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集．解答：解：当m=0时，f（x）=，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣3）2﹣4m≥0，∴m≤1或 m≥9，综上，0≤m≤1或 m≥9，∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞）；故答案为[0，1]∪[9，+∞）．点评：本题考查函数的值域及一元二次不等式的应用．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x 轴的交点个数是 2 ．考点：函数零点的判定定理；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：函数的单调性和奇偶性、函数零点的判定定理，可得函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，在（﹣∞，0）上有唯一零点，可得函数f（x）在R上有2个零点，从而得出结论．解答：解：依据当x＞0时，y=f（x ）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点．又∵函数f（x）时R 上的偶函数，图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上有唯一零点．综上可得，函数f（x）在R上有2个零点，即函数y=f（x）的图象与x轴的交点个数是2．故答案为：2．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数零点的判定定理、函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．15．已知函数f（x）=（a∈R ），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是a ≥﹣．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；综合题．分析：由于x∈N *，可将f（x）=≥3转化为a≥﹣﹣x+3，再令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），利用其单调性可求得g（x）max，从而可得答案．解答：解：∵x∈N *，∴f（x）=≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立，∴ax≥﹣x2﹣8+3x，又x∈N*，∴a≥﹣﹣x+3恒成立，∴a≥g（x）max，令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），再令h（x）=x+（x∈N*），∵h（x）=x+在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，而x∈N*，∴h（x）在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，∵h（2）=6，h（3）=，h（2）＞h（3），∴当x∈N*时，h（x）min=．又g （x）=﹣﹣x+3=﹣h（x）+3，∴g（x）max=﹣+3=﹣．∴a≥﹣．点评：本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥﹣﹣x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．考点：子集与真子集；集合的包含关系推断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由x∈Z，知={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．由此能求出A的非空真子集的个数．（2）由A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，知，或，由此能求出m的取值范围．解答：解：（1）∵={x|﹣2≤x≤5}，∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254．（2）∵A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，∴，或，解得﹣1≤m≤2，或m不存在．故m的取值范围{m|﹣1≤m≤2}．点评：本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．考点：确定值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类争辩．分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式，代入函数y=f（x）可得g（x）的解析式．（Ⅱ）不等式可化为 2x2﹣|x﹣1|≤0，分类争辩，去掉确定值，求出不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g （x）的图象上，且，即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故，g（x）=﹣x2+2x．（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x ≤．因此，原不等式的解集为[﹣1，]．点评：本题考查求函数的解析式的方法以及解确定值不等式的方法，体现了分类争辩的数学思想，属于基础题．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题；应用题．分析：先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数争辩此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．解答：解：方法1：导数法设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x≥10，x∈Z+），令f'（x）=0得x=15当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则，当且进行，即x=15时取等号．答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：本小题主要考查应用所学导数的学问、思想和方法解决实际问题的力量，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础学问．19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．考点：对数函数的定义域；函数单调性的性质．专题：计算题；综合题．分析：（1）由对数函数的性质知其真数必需大于0，对字母a进行分类争辩：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；（2）由题意知函数f（x）是由y=和复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．解答：解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．（2）令，由于为减函数，故要使f（x）在（2，4）上是减函数，则在（2，4）上为增且为正．故有．故a∈[1，2）．点评：本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，整体思想是解决本类问题的根本．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的推断．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x可得f（0）=f（x）+f（﹣x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f （0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．（2）先将不等关系f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0转化成f（k•3x）＜f（﹣3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最终利用分别系数法即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．（2）解：f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），k•3x＜﹣3x+9x+2，令t=3x＞0，分别系数得：，问题等价于，对任意t＞0恒成立．∵，∴．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的力量，属于中档题．说明：问题（2）本题解法：是依据函数的性质．f（x）是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f（t）=t2﹣（1+k）t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f（t）进行争辩求解．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）依据“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”，令F （x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，利用F（1）•F（4）＜0可确定函数F （x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，从而得到结论；（2）依题意，存在x∈[1，4]，使，争辩将a分别出来，利用导数争辩出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．解答：解：（1）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”（2分），F（x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线（3分），F（1）•F（4）=﹣4×1＜0（4分），所以函数F（x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点（5分）．（2）依题意，存在x∈[1，4]，使当x=1时，使（6分）；当x≠1时，解得（8分），由（9分），得x=2或（，舍去）（10分），x （1，2） 2 （2，4）a′ + 0 ﹣a ↗最大值↘（12分），当x=2时，（13分），所以常数a 的取值范围是（14分）．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数争辩最值等有关学问，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题
当 ， ； ， ；
所以 在 上单调递减， 上单调递增，而要使 有两个零点，要满足 ，
即 ；
因为 ， ，令 ，由 ，
所以 ，即 ，因此 ，
而要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
由 ，只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增， ，
故 在 上递增， ，
所以 ．
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于 的化简要用到 ，即 ；
由 两边平方可求 ，再由平方关系求 .
由题得 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15.递增的等比数列 的每一项都是正数，设其前 项的和为 ，若 则 _______.
364
由等比数列的性质将 化为 ，再由 可求出 ，然后列出关于 的方程组，求出 ，进而可以求出结果
设等比数列 的公比为 ，
A. B. C. D.
A
通过函数的奇偶性， ， ，可分别排除D，C，B，即得解
因为 ，所以 是奇函数，排除D；
当 时， ， ．
由 ，可排除C； ，排除B故选：A
11.已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（）
A.3B.4C.5D.6
C
先由 求出 ，根据 得到 ，求出 的最小值，即可得出结果.
C. D.
C
根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.
因为 ，
所以数列 的前n项和
.故选C
本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.
6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点， ，则 =（）
江西省上饶市广丰一中2022届高三上学期第一次月考试题 数学(理) Word版含答案
广丰一中2021—2022学年上学期第一次月考高三数学（理）试卷命题人：刘小伟 审题人：胡孝海一、选择题（12×5=60）1、若复数z 满足1zii =-，其中i 为虚数为单位，则22015()2z =（ ）（A ）i （B ）-i （C ）1-i （D ）1i -+2、设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩（∁R B ）=( )A ．（1，4）B ．（3，4）C ．（1，3）D ．（1，2）∪（3，4） 3、下列说法错误的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0B ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件C ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”D ．已知p ：∃x ∈R ，cos x ＝1，q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则“p ∧(¬q )”为假命题 4、已知0a >且1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．),1()41,61[+∞C ．),1()41,81[+∞ D ．)41,61[5、执行下面的程序框图，则输出的m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．116、已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体 的体积不行能是( )A ．13B ．6πC ．1D ． 238、已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，M ＝f ′(a )，N ＝f (a ＋1)－f (a )，P ＝f ′(a ＋1)，Q ＝f (a ＋2)－f (a ＋1)，则A ，B ，C ，D 中最大的数是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q9、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (a 2log )＋f (a21log )≤2f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4] B. (0，4] C.]41,0( D ．]4,41[ 10、如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．2C ．D ．11、已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0,2)(2x x f x x x x f ，当]10,0[∈x 时，关于x 的 方程51)(-=x x f 的全部解的和为（ ）A ．55B ．100C ．110D ．12012、已知函数y ＝f (x )为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1＋x )＝－f (1－x )．当x ∈(2，3)时，f (x )＝log 2(x－1)．给出以下4个结论：其中全部正确结论的为 （ ） ①函数y ＝f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称； ②函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数； ③函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增；④当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－log 2(1－x )． A ．①②④B ．②③C ．①④D ．①②③④二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填写在答题卷相应位置上．）13、设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则不等式f （x ）≤2的解集为 ． 14、已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.15．函数f (x )＝x ＋x 3x 4＋2x 2＋1的最大值与最小值之积等于________．16、设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________． 三、解答题17、(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，集合B ＝{x |2x 2－9x ＋k ≤0}．(1)求集合A ．(2)若B ⊆A ，求实数k 的取值范围．18、（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点， 2,PA PD AD AB ====1BC = （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角Q PC B --的平面角的正弦值。
吉林省长春市重点高中2021年高三上学期第一次月考理科数学试题及参考答案
根据题意,分析得当 , 与 相交,在 有两个交点,再根据周期性,作出函数图像,数形结合求解即可.
【试题解析】
解:当 时, 即
当 时,直线 过点 ,此时直线与半圆 相交,
当 时,圆心 到直线 的距离为 ,此时直线与与半圆 相切,
所以当 , 与 相交,在 有两个交点,
因为 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,
A. B. C. D.
3.已知向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,则 ()
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是 上的增函数,又是以 为周期的偶函数的是()
A. B.
C. D.
5.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数.若 为真命题,则实数 的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若 , , ,则 ､ ､ 的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(-∞,a)单调递减,则a的取值范围是()
A.(－∞,－1]B.(－∞,2]C.[5,＋∞)D.[3,＋∞)
8.已知函数 则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
9.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)()
合肥168中学2021-2022学年高三第一次月考数学试卷
合肥168中学2021-2022学年高三第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知lg ,010()13,105x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ⋅⋅的取值范围为( )A. (1，15)B. (10，15)C. (15，20)D. (10，12)2.若复数z 满足|z ﹣1+i |＝|1﹣2i |，其中i 为虚数单位，则z 对应的点（x ，y ）满足方程（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝5B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝5C ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝5D ．（x +1）2+（y +1）2＝53.（多选题）f （x ）是定义在R 上周期为4的函数，且f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-]3,1(|,2|1]1,1(,122x x x x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的值域为[0，2]B ．当x ∈（3，5]时，f （x ）＝21582-+-x xC ．f （x ）图像的对称轴为直线x ＝4k ，k ∈ZD ．方程3f （x ）＝x 恰有5个实数解 4.已知（2x 2+1）（2xa﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．﹣10 B ．﹣7C ．9D ．105.已知复数z ＝1+i ，设复数w ＝22zz，则w 的虚部是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．iD ．﹣i6.直线y ＝kx ﹣1是曲线y ＝1+lnx 的一条切线，则实数k 的值为（ ） A ．e B ．e 2C ．1D ．e ﹣17.若（2﹣x ）10展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A +B +C ＝（ ） A ．4095 B ．4097 C ．﹣4095 D ．﹣40978.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（ ） A ．8日 B ．9日 C ．12日 D ．16日9.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆()2221x y -+=所截得的弦长为（ ）A. 2B. 1D. 10.（多选题）定义在实数集R 的函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣12π，3），与之相邻的一个对称中心为（6π，0），将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．f （x ）的振幅为3 B ．f （x ）的频率为π C ．g （x ）的单调递增区间为[125π-，12π]D ．g （x ）在[0，2π]上只有一个零点 11.若0c b a >>>，则（ ） A. b c c b a b a b > B. 2ln ln ln b a c <+ C. c c a b a b->- D. log log a b c c >12.函数f （x ）＝|2sin （2x ﹣3π）﹣1|，下列描述错误的是（ ） A ．定义域是R ，值域是[0，3] B ．其图象有无数条对称轴C ．127π是它的一个零点 D ．此函数不是周期函数二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知直线l :2x +y -2=0过抛物线2:C y mx =的焦点F ,且与y 轴交于点P ,M 是抛物线C 上一点,O 为坐标原点,FM 的中点Q 满足(||||PM POPQ PM PO λ=+,则∠PMF =____,点M 的坐标为____.(本题第一空3分,第二空2分) 14.已知x ＞2，y ＞0且满足2x •2y ＝16，则x +y ＝ ， yx 222+-的最小值为 ． 15.设α，β，γ三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且______，则m //n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α//γ，n ⊂β；②m //γ，n //β；③n //β，m ⊂γ. 16.曲线()ln 2f x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程为__________．三、解答题17.设椭圆2222b y a x +＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝36，焦距为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，是否存在直线l 与点P ，使得△ABP 恰好为等边三角形，若存在求出△ABP 的面积，若不存在说明理由． 18.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点． （1）求△FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点P 作圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E ．证明：直线DE 与圆M 相切． 19.如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面为矩形，平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D ，且CC 1＝CD ＝DD 1＝21C 1D 1＝1． （1）证明：AD ⊥平面CC 1D 1D ；（2）若A 1C 与平面CC 1D 1D 所成角为3，求二面角C ﹣AA 1﹣D 的余弦值．20.已知函数f (x )=x ln x .(1)若函数f (x )在[t ,t +1](t >0)上有极值,求t 的取值范围及该极值; (2)求使n (x -1)<f (x )+x +1对任意x >1恒成立的自然数n 的取值集合. 21.某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为43，三步篮投中的概率为54，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．（Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．试卷答案1.B 【分析】画出函数的图象，根据f (a )f =(b )f =(c )，不妨a b c <<，求出abc 的范围即可． 【详解】解：作出函数()f x 的图象如图，不妨设a b c <<，则1lg lg 3(0,1)5a b c -==-+∈1ab =，10315c <-+<则(10,15)c a b c =∈⋅⋅． 故选：B ．【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，是中档题． 2.B解：设z ＝x +yi ， ∵|z ﹣1+i |＝|1﹣2i |，∴|（x ﹣1）+（y +1）i |＝|1﹣2i |， ∴＝，故（x ﹣1）2+（y +1）2＝5， 故选：B ． 3.ABD解：当x ∈（﹣1，1]时，由y ＝，得；当x∈（1，3]时，y＝1﹣|x﹣2|＝．作出f（x）的部分图象如图：由图可知，f（x）的值域为[0，2]，故A正确；把x∈（﹣1，1]时，y＝右移4个单位，可得x∈（3，5]时，y＝2，即，故B正确；函数f（x）图像的对称轴为直线x＝2k，k∈Z，故C错误；方程3f（x）＝x的解的个数，即y＝f（x）与y＝的交点个数，由图可知，两函数交点个数为5，故D正确．故选：ABD．4.C解：（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，则（）5，即，它的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2r﹣10，令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展开式中常数项是 2﹣＝9，故选：C．5.A解：复数z＝1+i，复数w＝＝＝＝＝﹣1﹣i，则w的虚部是﹣1，6.A解：设切点为（x0，1+lnx0），由y＝1+lnx，得y′＝，则，则曲线在切点处的切线方程为y﹣1﹣lnx0＝，由已知可得，切线过定点（0，﹣1），代入切线方程可得：﹣2﹣lnx0＝﹣1，解得，则k＝．故选：A．7.C解：（2﹣x）10展开式的通项公式为•x r，所以一次项系数C＝＝﹣5120，二项式系数和A＝210＝1024，令x＝1，则所有项的系数和B＝（2﹣1）10＝1，所以A+B+C＝﹣4095．故选：C．8.B解：由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则a n＝103+13（n﹣1）＝13n+90，b n＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，则数列{a n}与数列{b n}的前n项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n}的前n项和为×（103+13n+90）＝×（193+13n），数列{b n}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）＝×（194.5﹣n），∴×（193+13n）+×（194.5﹣n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．9.C 【分析】由直线的点斜式方程可得直线l 的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离d ,结合勾股定理，即可得结论.【详解】根据题意，设过点()1,0且倾斜角为30的直线为l , 其方程为()tan301y x =-,即()313y x =-,变形可得310x y --=， 圆()2221x y -+= 的圆心为()2,0，半径1r = , 设直线l 与圆交于点AB 圆心到直线的距离211213d -==+, 则12134AB =⨯-=，故选C. 10.AD解：函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），所以，所以ω＝2，当x ＝时，φ）＝0，解得φ＝﹣．故f （x ）＝3sin （2x ﹣）．f （x ）的图象向右平移个单位长度得到函数g （x ）＝3sin （2x ﹣）的图象，故函数的振幅为3，函数的周期为π，频率为，故A 周期，B 错误；当时，，故函数在该区间上单调递减，故C 错误，对于D ：当x ∈[0，]时，，只存在x ＝，g （）＝0，故D 正确；故选：AD ．11.A 【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误； 选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 12.D解：函数f （x ）的定义域为R ， ∵﹣1≤sin （2x ﹣）≤1，∴0≤|2sin （2x ﹣）|≤3，故A 正确，由sin （2k π+π﹣x ）＝sin x 得，sin （2k π+π﹣2x +）＝sin （2x ﹣）（k ∈Z ），即sin （2（﹣x +k π++）﹣）＝sin （2x ﹣）（k ∈Z ），即f （﹣x +k π++）＝f （x ）（k ∈Z ），故x ＝+（k ∈Z ）都是函数图象的对称轴，故有无数条，故B 正确，∵f （）＝|2sin （2×﹣）﹣1|＝0，∴C 正确， ∵f （x +π）＝|2sin （2x +2π﹣）﹣1|＝|2sin （2x ﹣）﹣1|＝f （x ），∴π是函数的周期，故D 不正确， 故选：D ． 13. 90°；(1,2)14.4，4解：（1）因为2x•2y＝2x+y＝16＝24，所以x+y＝4；（2）＝＝，当且仅当x＝3，y＝1时取“＝”；故最小值为4．故答案为：4，4．15.①或③【分析】利用空间中直线与平面的位置关系分析选项即可求解【详解】由面面平行的性质定理可知，①正确；当m//γ，n//β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n//β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以，m//n，③正确；【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于基础题16.--=310x y17.解：（1）因为焦距为4，所以2c＝4，解得c＝2，因为椭圆的离心率e＝，即＝，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）知F（2，0），当直线l斜率不存在时，直线l的方程x＝2，把x＝2代入椭圆的方程，得+＝1，解得y＝±，所以A（2，），B（2，﹣），所以AB的中点为F（2，0），若△ABP恰好为等边三角形，则PF⊥AB，所以此时P点坐标为（3，0），此时|PA|＝＝≠|AB|＝，不合题意，舍当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程得，化简得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，所以|x1﹣x2|＝＝2•所以|AB|＝|x1﹣x2|＝2•，设AB的中点M（x0，y0），则x0＝，y0＝﹣，直线MP的斜率为﹣，且x P＝3，所以|MP|＝|x0﹣x P|＝•，当△ABP为正三角形是，|MP|＝|AB|，所以•＝•2•，解得k＝±1，所以|AB|＝2•＝，所以S△ABP＝××sin60°＝，综上所述，△ABP的面积为．18.解：（1）由抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），可得F到直线y＝x﹣2的距离d＝＝，由，可得x2﹣8x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝8，x1x2＝4，|AB|＝＝•＝4，所以△FAB的面积为S＝d|AB|＝××4＝2；（2）证明：设P（，y0），E（，y1），D（，y2），（y0+y1≠0，y0+y2≠0），直线PE的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+（x﹣），所以y＝+，即4x﹣（y0+y1）y+y0y1＝0，因为直线PE与圆M相切，可得＝2，化简可得（y02﹣4）y12+16y0y1+80﹣4y02＝0，同理可得（y02﹣4）y22+16y0y2+80﹣4y02＝0，所以y1，y2是方程（y02﹣4）y2+16y0y+80﹣4y02＝0的两根，可得，设圆心M到直线DE的距离为d，因为直线DE的斜率为＝，直线DE的方程为y﹣y1＝（x﹣），化为4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，则d＝＝＝2，所以直线DE与圆M相切．19.【解答】（1）证明：在梯形CC1D1D中，因为CC1＝CD＝DD1＝，所以∠DD1C1＝，连结DC1，由余弦定理可求得DC1＝，因为，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC，DC∩DC1＝D，所以AD⊥平面CC1D1D；（2）解：连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C在平面CC1D1D内的射影为D1C，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1＝，在Rt△A1CD1中，因为，所以A1D1＝3，则D1（0，0，0），A1（3，0，0），D（0，），C（0，），C1（0，2，0），所以，，设平面AA1D1D的法向量为，则有，即，令y＝3，则x＝0，z＝，故，设平面AA1C1C的法向量为，则有，即，令a＝2，则b＝3，，故，所以＝，由图可知，二面角C﹣AA1﹣D锐二面角，故二面角C﹣AA1﹣D的余弦值为．20.21.解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，则P（A）＝P（B）＝所以P（C）＝＝；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X 0 1 2 34P故E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．。
山东省邹平双语学校二区2022届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
邹平双语学校2021—2022第一学期第一次月考试题(1、2区) 高三 班级 数学（文科）试题（时间：120分钟，分值：150分）一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A ∪B=（ ） A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4} 2．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．3．命题p ：“∃x 0∈R“，x 02﹣1≤0的否定￢p 为（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣1＞0 C ．∃x 0∈R ，x 02﹣1＞0 D ．∃x 0∈R ，x 02﹣1＜0 4．函数y=sin2x +cos2x 的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π5．已知函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ） A ．⊥B ．||=||C ．∥D ．||＞||7．已知函数f （x ）=3x ﹣（）x ，则f （x ）（ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 8．设函数f （x ）=cos （x +），则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y=f （x ）的图象关于直线x=对称C ．f （x +π）的一个零点为x=D ．f （x ）在（，π）单调递减9．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，且f′（x ）=2f （x ），则tan2x 的值是（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．10．已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x +），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 211．函数y=f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数y=的部分图象大致为（ ）A ．B.C ．D ．二．填空题（每题5分，共4小题）13．已知集合A={1，2}，B={a ，a 2+3}．若A ∩B={1}，则实数a 的值为 ． 14．设f （x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2，则x 0的值为 ．15．函数f （x ）=sin 2x +cosx ﹣（x ∈[0，]）的最大值是 ．班级：____________ 姓名：_____________ 考号：________________________16．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的条件．三．解答题（共6小题，70分）17．（10分））已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分））已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．20．（12分）．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知，，且．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积，求a的值．21．（12分））某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p2=，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．22．（12分））已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．邹平双语学校2021—2022第一学期第一次月考试题(1、2区) 高三班级数学（文科）试题答案一．选择题（共12小题）1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}故选A．【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规章，是集合中的基本概念型题．2．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=﹣=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．3．命题p：“∃x0∈R“，x02﹣1≤0的否定￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣1＞0C．∃x0∈R，x02﹣1＞0 D．∃x0∈R，x02﹣1＜0【分析】直接写出特称命题的否定得答案．【解答】解：命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故选：B．【点评】本题考查特称命题的否定，留意命题的否定的格式是关键，是基础题．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A ．B ．C．πD．2π【分析】利用帮助角公式，化简函数的解析式，进而依据ω值，可得函数的周期．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x +），∵ω=2，∴T=π，故选：C【点评】本题考查的学问点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．【解答】解：依据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．∵a＞0，a≠1，∴a=2．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的性质的运用，属于基础题．6．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A ．⊥B．||=||C ．∥D．||＞||【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的推断，是基础题，解题时要认真审题，留意向量的模的性质的合理运用．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，认真解答．7．已知函数f（x）=3x ﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f （x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x ﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x ﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的学问点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．8．设函数f（x）=cos（x +），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x ）在（，π）单调递减【分析】依据三角函数的图象和性质分别进行推断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x +）=cos （+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f （+π）=cos （+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C 正确，D ．当＜x＜π时，＜x +＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假推断，依据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【分析】求出f（x）的导函数，依据f′（x）=2f（x）列出关系式，计算即可求出tan2x的值．【解答】解：求导得：f′（x）=cosx+sinx，∵f′（x）=2f（x），∴cosx+sinx=2（sinx﹣cosx），即3cosx=sinx，∴tanx=3，则tan2x===﹣．故选C【点评】此题考查了三角函数的化简求值，以及导数的运算，娴熟把握求导公式是解本题的关键．10．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x +）=cos（2x +）=sin（2x +）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算力量．11．函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】依据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，依据函数图象，即可推断函数的单调性，然后依据函数极值的推断，即可推断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最终单调递增，排解A，C，且其次个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排解B，故选D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的推断，考查数形结合思想，属于基础题．12．函数y=的部分图象大致为（）A ． B ．C D ．【分析】推断函数的奇偶性排解选项，利用特殊值推断即可．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排解选项B，当x=时，f （）==，排解A，x=π时，f（π）=0，排解D．故选：C．【点评】本题考查函数的图形的推断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是推断函数的图象的常用方法．二．填空题（共4小题）13．已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意交集定义及性质的合理运用．14．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0的值为e．【分析】先依据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．15．函数f（x）=sin2x +cosx ﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题16．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的充分条件．【分析】A⇒B验证充分性x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，可推出x1+x2=﹣，而必要性不肯定成立，故得是充分条件【解答】解：由题意若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，由根与系数的关系肯定可以得出x1+x2=﹣，故A⇒B成立；若x1+x2=﹣，成立，不能得出x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，由于此方程有根与否要用推断式进行推断，须考虑a，b，c三个字母，故B⇒A不肯定成立；故可得，A是B的充分条件故答案为充分【点评】本题考查必要条件充分条件充要条件的推断，求解的关键是正确理解充分条件与必要条件的定义，以及二次方程有根的条件．三．解答题（共6小题）17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p 是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x ＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R ，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p 是q的充分条件，所以A ⊆B，且A ≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．18．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及帮助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）依据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查的学问点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，即可求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【解答】解：（1）y=x3的导数为y′=3x2，则曲线在点P（1，1）处的切线斜率为3，即有曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，∴直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=．【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程的求法，考查运算力量，属于基础题．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c ，已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC 的面积，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角A的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积，求出c，然后利用余弦定理求解a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=s in（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即又0＜A＜π∴，（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴．【点评】本题考查向量与三角函数相结合求解三角形的几何量，考查余弦定理的应用，是基础题．21．某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p2=，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．【分析】（1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p2=中求出k的值确定出P的解析式，然后依据总利润=总销售额﹣总成本得出L（x）即可；（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．【解答】解：（1）由题意有，解得k=25×104，∴，∴总利润=；（2）由（1）得，令，令，得，∴t=5，于是x=t2=25，则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L（25）≈﹣416.7+2500﹣1200≈883．答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．【点评】考查同学依据实际问题选择函数关系的力量，及利用导数求函数最值的方法的力量．22．已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．【分析】（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m 转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行争辩，求出新函数的最值，求出a的范围．【解答】解：（I）当a=1时，，可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为，要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m 的取值范围是（2）已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即恒成立．设．即g（x）的最大值小于0.（1）当时，，∴为减函数．∴g（1）=﹣a ﹣≤0∴a ≥﹣∴（2）a≥1时，．为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当时，g（x ）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a 的取值范围是．【点评】解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．第页，共页第页，共页。
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={0，2}，B={1，2，3}，则A∩B=．2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．3．复数z=的模是．4．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人．5．运行如图所示的伪代码，其结果为．6．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是．7．已知{an }为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20= ．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）= ．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P﹣AA1C1C的体积为．10．设实数x，y满足约束条件，则z=的最小值为．11．在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，点D满足，则= ．12．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．14．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．16．（14分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）18．（15分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；（2）当a=2时，求函数f（x）的极值；（3）求函数f（x）在[1，e]上的最大值．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n ≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（xx秋•亭湖区校级月考）已知集合A={0，2}，B={1，2，3}，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合交集的定义求出A、B的交集即可．【解答】解：∵A={0，2}，B={1，2，3}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】本题考查了集合的交集的运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．2．（xx秋•山西校级期末）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】从袋中任取两球，先利用组合数公式求出基本事件总数，再利用组合数公式求出两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出两球颜色为一白一黑的概率．【解答】解：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数m==6，∴两球颜色为一白一黑的概率p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3．（xx秋•亭湖区校级月考）复数z=的模是．【考点】复数求模．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z====﹣1+i．∴|z|=|﹣1+i|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（xx•湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有6人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．【解答】解：设抽到女运动员的人数为n则=解得n=6故答案为：6【点评】本题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，一般利用各层抽到的个体数与该层的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．5．（xx•盐城一模）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【考点】伪代码．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5+7的值，所以S=1+1+3+5+7=17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的S，I的值是解题的关键，是基础题目．6．（xx秋•亭湖区校级月考）函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是（1，2）∪（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1或x≠2，故函数的定义域是（1，2）∪（2，+∞），故答案为：（1，2）∪（2，+∞）【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．7．（xx秋•宝山区期末）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，即可求得a20．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式a n=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用，熟练应用公式是解题的关键．8．（xx•江苏二模）若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．【点评】本题考查正切的和差公式的运用，涉及诱导公式的运用，注意分析（β﹣2α）与α与（α﹣β）的关系．9．（xx秋•亭湖区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P﹣AA1C1C的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；作差法；立体几何．【分析】四棱锥P﹣AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．=，【解答】解：V=V正方体=V=S•B1C1==，V C﹣ABP∴V==．故答案为．【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．10．（xx秋•连云港期末）设实数x，y满足约束条件，则z=的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=再利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（0，0）连线的斜率的值最小，从而得到z=的最小值．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=z=，将z的值转化可行域内的点与点（0，0）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的A（3，1）时，z=的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．（xx春•连云港期中）在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，点D满足，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用向量的数量积的定义可得•=||•||cosA=AC2，再由向量的加减运算和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，•=||•||cosA=AC2，且AB2﹣AC2=BC2=4，由，可得=，则=（﹣）•（﹣）=（﹣）•（﹣）=2﹣•+2=2﹣2+2=（2﹣2）=2=×4=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算求解能力，属于中档题．12．（xx•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．13．（xx•大观区校级四模）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】数形结合法．【分析】先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，14．（xx春•榆阳区校级期中）已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为[1，+∞）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数⇔≥0⇔对于任意x＞0．⇔．利用导数即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．令g（x）=，=﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．∴m≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（xx秋•亭湖区校级月考）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】整体思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过凑角，把公式化简，从而求单调区间；（2）整体思想求三角函数在闭区间上的最值．【解答】解：（1）由题意知，f（x）==2sin，f（x）的最小正周期为T==π．当﹣，所以，f（x）的单增区间为[﹣，（k∈Z）．（2）∵x∈[﹣，]，所以，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣．【点评】本题考查了三角函数的化简及单调区间和最值的求法，运用了整体的思想，属于中档题．16．（14分）（xx•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）（xx•绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论．【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．18．（15分）（xx•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q （4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（16分）（xx秋•亭湖区校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣ax，（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；（2）当a=2时，求函数f（x）的极值；（3）求函数f（x）在[1，e]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（3）求出导数，讨论m的范围，当m≤0时，当m＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，从而求出函数的最大值即可；【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，f（e）=1﹣e，f′（e）=﹣1，故切线方程是：y﹣1+e=（﹣1）（x﹣e），即y=（﹣1）x；（2）a=2时，f（x）=lnx﹣2x，（x＞0），f′（x）=﹣2=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，=f（）=﹣1﹣ln2；故f（x）极大值（3）∵f′（x）=﹣a，（x＞0），当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；故f（x）在[1，e]上单调递增，f max（x）=f（e）=lne﹣me=1﹣ae，当a＞0时，由f′（x）＞0得0＜x＜，由f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，①若0＜≤1，即m≥1时，f max（x）=f（1）=﹣m，②若1＜＜e，即＜a＜1时，f max（x）=f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1，③若≥e，即a≤时，f max（x）=f（e）=lne﹣ae=1﹣ae，综上：当a≤，f max（x）=1﹣ae，＜a＜1时，f max（x）=﹣lna﹣1，a≥1时，f max（x）=f（1）=﹣a．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（16分）（xx春•靖江市校级期中）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】综合题；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把S n+1+S n﹣1=2S n+1整理为：（s n+1﹣s n）﹣（s n﹣s n﹣1）=1，即a n+1﹣a n=1 即可说明数列{a n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）因为数列{b n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可【解答】解：（1）∵数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*，∴（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n+1；（2）∵a n=n+1；∴b n=a n•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴T n=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得：T n=1++…+﹣（n+1），∴T n=3﹣，代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．【点评】本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列35220 8994 覔25312 62E0 拠33796 8404 萄32094 7D5E 絞P#n 31648 7BA0 箠29415 72E7 狧520847 516F 兯29862 74A6 璦34242 85C2 藂20763 511B 儛。
高三数学上学期第一次月考试题 理 7
涪陵实验中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷 〔选择题 一共60分〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分；每一小题只有唯一符合题目要求之答案〕1.集合{|A x y ==，{0,1,2,3,4}B =，那么AB =( )A ．∅B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．(,3){4}-∞ 2.假设命题1,:00<∈∃x e Z x P ，那么为〔 〕A ．B ．C ．D ．3.以下函数中，既在()0,+∞上单调递增，又是奇函数的是〔 〕A ．y x =B ．1y x x -=- C ．1y x x -=- D ．lg y x = 4.定积分〔 〕 A ．0 B ．C ．D ．5.等于〔 〕A ．0B ．C ．1D ．6．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增〞是“4a ≤-〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0.5342,log π,c=log 2a b -== ，那么〔 〕A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>8.函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，且当0x ≥时，2()12xmf x +=-，那么(1)=f -〔 〕A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 9． 函数3x xe e y x x--=-的图像大致是〔 〕A ．B ．C ．D ．10．将函数x x f 2sin )(=向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，那么)(x g 具有性质〔 〕 A ．在)4,0(π上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线43π=x 对称C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称 11．假设函数()x f 上存在两个不同点B A ,关于原点对称，那么称B A ,两点为一对“优美点记作()B A ,,规定()B A ,和()A B ,是同一对“优美点〞.()()⎩⎨⎧<--≥=0lg 0 cos x x x x x f ，那么函数()x f 上一共存在“优美点〞 〔 〕A ．14对B ． 3对C ．5对D ．7对A 是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图像上的一个最高点，点B 、C 是函数()f x 图像上相邻两个对称中心，且三角形ABC的周长的最小值2.假设0m ∃>，使得()()f x m mf x +=-，那么函数()f x 的解析式为( )A ．sin()24y x ππ=+ B ．sin()23y x ππ=+C.sin()4y x ππ=+D ．sin()3y x ππ=+第二卷 〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13. 函数()sin 126f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为_____.14. tan 2α=，那么=__________．15．十六世纪与十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及HY 事的开展，改良数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而创造了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N =⇔ log a b N =.如今23a =， 34b =，那么ab =__________.16．在),1(+∞上的函数)(x f 满足：①)()2(x cf x f =〔c 为正常数〕；②当42≤≤x 时，2)3(1)(--=x x f ，假设)(x f 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，那么=c ．三、解答题〔一共6个小题，一共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题满分是10分〕2:340p x x +-≤,()():10q x x m +-<.〔1〕假设2m =，命题“〞为真，务实数x 的取值范围；〔2〕假设p 是q 的必要不充分条件，务实数m 的取值范围．18．〔本小题满分是12分〕α.β为锐角，3sin 5α=，()sin αβ-=〔1〕求cos2α的值； 〔2〕求的值．19．〔本小题满分是12分〕函数.〔1〕求函数的极值；〔2〕假设函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，务实数m 的取值范围.20．〔本小题满分是12分〕函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，它的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭．〔1〕求函数()x f y =图象的对称轴方程；〔2〕假设方程()13f x =在(0，π)上的解为21,x x ，求()12cos x x -的值．21．〔本小题满分是12分〕函数()sin f x x x =+．〔1〕求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；〔2〕假设不等式()f x ax ≥对任意(0,]2x π∈恒成立，务实数a 的取值范围．22.〔本小题满分是12分〕函数.〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕设a Z ∈，假设对任意的()0,0x f x >≤恒成立，求整数a 的最小值； 〔3〕求证：当320ln 210xx e x x x x x >-+-+->时，.涪陵实验中2021年秋期高2021级第一次月考理科数学答案一、选择题〔每一小题5分〕1、C2、 B3、C4、 C5、C6、B7、A8、C9、A 10、A 11、D 12、A二、填空题〔每一小题5分〕13、4 14、 15、2 16、 1或者2 三、解答题17、〔本小题10分〕 解：〔1〕时，,“〞为真时，，两个命题都为真，即，所以为真时,即x 的取值范围为……………………………(4分) 〔2〕假设是 的必要不充分条件，那么的解集的解集,①时，即时，满足题意②时，当时,,因为,所以。
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2021-2022年高三上学期第一次月考数学
一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，只．有一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．．。
） 1．函数的定义域是 （ ） A B C D
2. 已知为常数）的图象经过点，则 的值域（ ） A.[9，81] B. [3，9] C. [1，9] D. 3．已知集合，{}121-<<+=m x m x B ，且，若， 则
（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．复数的值是 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.i
5. 直线与圆的位置关系是 ( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定 6．已知奇函数，若时，,则时， ( )
A ． B. C. D. 7．f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝
（ ）
A ．3－cos2x
B ．3＋cos2x
C ．3－
sin2x
D ．3＋sin2x
8．当时，幂函数为减函数，则实数m 的值为 （ ） A m=2 B m=-1 C m=-1或m=2 D
9. 方程的根所在的区间是
A. （0，1）
B. （1，2）
C. （2，3）
D. （3，4）
10．若函数f (x)满足周期为2，且则函数y=f(x)的图象与函数 的图象的交点的个数为
（ ） A ． 3
B ． 4
C ． 6
D ． 8
11．函数的图象在点处的切线方程是)5()5(,8f f x y '++-=则等于
A ．1
B ．2
C ．0
D ．
12.若，则下列结论不正确的是
A. B.()2211log log 2a b a b ⎛⎫
+++> ⎪⎝⎭
C. D.log log log log a b a b b a b a +>+
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
13．设2231(0)
2(1)(),()(0)2(1)
x x x x f x g x x x x ⎧+≥⎧-≤⎪==⎨⎨
<>⎪⎩⎩
,则= 。
14.当0<x<1时，22
1
2
)(,)(,)(-==
=x x h x x g x x f 的大小关系是_____________；
15．的值域为 ；
16.椭圆的离心率是，则椭圆两准线间的距离为 。
答题页（请将选择题和填空题答案填写在相应题号处，考试结束后只交此卷）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 一、选择题答案：
题
号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
D
C D B B B B A C B B D
二、填空题答案：
13． 1 14． 15． 16．
三、必做解答题：
17. （本小题10分） 若函数的定义域和值域均为[1,b]（b>1），求a,b 的值。
解：因函数的对称轴为，故在定义域[1,b]（b>1）内单调递增，
所以最小值，所以；最大值，则b=3或1（舍）。
18．（本小题10分）数列中，()111,1
n
n n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：数列{}是等差数列； （2）求通项；
（1）证明：由()111,1n
n n a a a n N a *+==
∈+，得：，即：
，则数列{}是等差数列； （2），所以。
19．（本小题12分）已知命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题只有一个实数满足不等式，若命题是假命题，命题是真命题，求的取值范围。
解：（1）和是的两根，所以
121212||2
x x m
x x x x +=⎧⇒-==⎨
⋅=-⎩又，则有。
因为不等式对任意实数恒成立，所以212max 42||3a a x x --≥-=，所以2423(,1][5,)a a a --≥⇒∈-∞-+∞
由题意有2
11()41100或2
a a a ∆=--⨯=⇒==
由命题假真，所以。
20.（本小题12分）
已知函数对任意实数恒有且当x ＞0， (1)判断的奇偶性和单调性； (2)求在区间[－3,3]上的最值；
(3) 解不等式6)62()13(2-≤-++x f x f .
解：（1）令x=y=0，则，令y=-x ，则，函数为奇函数； 设，则，由已知121()()()()f x x f x f x f x +==+， 所以，即函数为减函数；
（2）由及，得(2)4,(3)(2)(1)6f f f f =-=+=- 由奇函数，即函数在[－3,3]上的最值为-6和6. 21. （本小题14分）
已知函数且
（I ）试用含的代数式表示； （Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．
解：（1）0212)1(12=+-=++=-'-=b a b ax x f x ，即b=2a-1 (2)由)12)(1(1222)(22-++=-++=++='a x x a ax x b ax x x f =0 ①a>1时，为增区间，为减区间； ②a=1时，函数在R 上为增函数；
③a<1时，为增区间，为减区间； （3）证明：时，，，得 则MN ：，由方程化简得：
易知，x=-1,x=3,x=1是方程的根，即线段与曲线存在异于、的公共点（1，-）． 四、选做解答题.(本小题满分10分.请考生任选一题作答，在选作题号前画“√”.如果都做，则按第一题记分)
22.选修4－1：几何证明选讲.
如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB 过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点.
（1）求证：;
（2）若⊙O 的半径为，OB =OE ，求EF 的长． （1）证明：∵DF 是切线，∴
又∠DEF=∠CEO=900-∠ECO=900-∠EFO=∠DFE ∴DE=DF ∴
（2）由相交弦定理：CE ·EF=AE ·EB
4,2,32===CE OE OC 则
又232,322-=+=EB AE ，∴
D
A
F
E
O
B
C
23. 选修4－4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点 （1）写出C 的直角坐标方程，并求出M,N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程
解：（1）将极坐标方程为化为：1sin 2
3
cos 21=+
θρθρ 则其直角坐标方程为：，，其极坐标为 （2）其中点P （1，） OP 的直线方程为，化为极坐标方程为：
化简，即极
坐标方程为。
uT37418
922A
鈪24470 5F96 徖
38396 95FC 闼29019 715B 煛
y28935 7107 焇20620 508C 傌36248 8D98 趘)!:。