中考数学第一轮考点专题测试题

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中考数学一轮复习《圆》专项练习题-附参考答案

中考数学一轮复习《圆》专项练习题-附参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知⊙O的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在圆心2．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC若∠AOB=40°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．80°3．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面AB的宽度为24cm，则水的最大深度为（）A．5cm B．10cm C．13cm D．8cm4．如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交BC于点D，则∠AED 的正切值是（）A．12B．2 C．√52D．√555．如图所示，将⊙O沿弦AB折叠，AB⌢恰好经过圆心O.若⊙O的半径为3，则AB⌢的长为（）.A．12πB．πC．2πD．3π6．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接OA、OB，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD、AD若∠ADC= 30°，OA=1，则AB的长为（）A．1B．√3C．2D．47．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．√6C．3 D．2√38．如图所示，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为2√5，AB=8，则BC的长是（）.A．5√3B．√2552C．6√2D．14√53二、填空题9．扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于cm2．10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是．11．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上一点，若∠A=102°，则∠DCE= ．⌢的长12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则BE度为.，OB=6，则PB的长为．13．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，tanP=34三、解答题14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．⌢=ED⌢．（1）求证：BD⌢，BE⌢的度数之比为4∶5时，求四边形ABDE四个内角的度数．（2）当AE15．如图，中，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若求的值．16．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP.（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3√2，CD＝8，求BC的长.17．如图，AB是的直径，点C，M为上两点，且C点为的中点，过C点的切线交射线BM、BA于点EF．（1）求证：；（2）若， MB=2 ，求的长度．18．如图，在中以为直径的分别与、相交于点、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．参考答案1．C2．A3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．18π10．60°11．102°12．23π13．414．（1）证明：如图，连接AD∵AB是直径∴∠ADB＝90°∵AB＝AC∴∠BAD＝∠CAD∴BD⌢=ED⌢．（2）解：∵AE⌢ + BE⌢ =180°，AE⌢与BE⌢的度数之比为4：5∴AE⌢ =80°，BE⌢ =100°∴BD⌢ = ED⌢ =50°∴AD⌢ = AE⌢ + ED⌢ =130°∴∠BAE＝12BE⌢＝50°，∠B＝12AD⌢＝65°∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．15．（1）解：是的切线证明：连接在和中∵OD是圆的半径是的切线（2）解：．设在中．设的半径为，则在中．在中16．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB=90°∵点P是△ABC的内心∴∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP∴∠ABD=∠ACD=45°∵∠DPB=∠BCP＋∠CBP=45°＋∠CBP，∠DBP=∠ABD＋∠CBP=45°＋∠EBP ∴∠DPB=∠DBP∴BD=DP（2）解：连接AD，如图所示∵AB是直径∴△ABD是等腰直角三角形∵⊙O的半径是3√2∴AB=6√2∴△ABD是等腰直角三角形∴BD=√22×AB=√22×6√2=6∵∠EDB=∠BDC ∵△DBE∽△DCB∴DEDB =DBCD∵CD＝8∴DE=DB2CD =628=4.5∵∠ACD=∠ABD=45°∴△AEC∽△BED∴ACBD =CEDE∴AC=143∴在Rt△ABC中BC=√AB2−AC2=2√1133. 17．（1）证明：如图连接．∵是的切线∴∵点C是的中点∴∵OB=OC∴∴∴∴∴（2）解：如图，连接∵∴∵OM=OB∴为等边三角形∴OB=MB=2∴的长度18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC，∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接，的半径为第11 页共11 页。

九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：相交线与平行线(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：相交线与平行线（附答案）1．下列说法正确的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．直线是射线的2倍C．射线AB与射线BA是同一条射线D．三条直线两两相交，有三个交点2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，如果∠AOD＝104°，那么∠BOM 等于（）A．38°B．104°C．140°D．142°3．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是（）A．35°44′B．34°84′C．34°74′D．34°44′4．如图，AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，若AC＝6，则AD的长不可能是（）A．5.5B．6C．7D．85．已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，P A＝2.5cm，PB＝3cm，PC＝2.2cm，则点P到直线MN的距离（）A．等于3cm B．等于2.5cmC．不小于2.2cm D．不大于2.2cm6．下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．不相交的两条直线叫做平行线7．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（）个．A．0B．1C．2D．38．如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②9．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°10．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）11．观察下列图形，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，10条直线相交最多有个交点．12．如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝220°，则∠3＝．13．如图，已知AO⊥BC于O，∠BOD＝120°，那么∠AOD＝°．14．如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是．15．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是．16．如图，∠B的内错角是．17．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．18．若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是．19．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是．20．如图，AB∥CD，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为度．21．为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n＝2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9＝45条直线．请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．23．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．24．如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l 上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．25．已知点A，B，C如图所示，根据要求完成下列各题．（1）画直线BC，线段AB和射线CA．（以（2）过点A画BC的垂线段AD，垂足为D，并量出点A到直线BC的距离为cm．答题纸为测量依据，结果精确到0.1cm）．26．如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠MFD．∵AB∥CD，根据可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的角，根据，可判断角平分线EG、FH的位置关系是．27．（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．28．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？29．如图，已知：∠DGA＝∠FHC，∠A＝∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）30．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．（1）请完成下列书写过程．∵AO∥CD（已知）∴∠O＝＝40°（）又∵OB∥DE（已知）∴＝∠1＝°（）（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝°．参考答案1．解：A、直线AB和直线BA是同一条直线，故本选项说法正确．B、直线和射线不能度量，故本选项说法不正确．C、射线AB与射线BA方向相反，不是同一条射线，故本选项说法不正确．D、三条直线两两相交有三个或一个交点，故本选项说法不正确．故选：A．2．解：∵∠AOD＝104°，∴∠AOC＝76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝×76°＝38°，∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣38°＝142°．故选：D．3．解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝55°16′，∴∠2＝90°﹣55°16′＝34°44′．故选：D．4．解：∵AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，AC＝6，∴AD≥6，故选：A．5．解：当PC⊥MN时，PC的长是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离等于2.2cm，当PC不垂直于MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2.2cm，综上所述：点P到直线MN的距离不大于2.2cm，故选：D．6．解：A、对顶角相等，正确；B、两点之间所有连线中，线段最短，正确；C、等角的补角相等，正确；D、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；故选：D．7．解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；②同位角不一定相等，故说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；故选：B．8．解：①∵∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；②∵4＝∠5，∴a∥b，故本小题正确；③∵∠8＝∠1，∠8＝∠2，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；④∵∠6+∠7＝180°，∠6+∠2＝180°，∴∠7＝∠2，∴a∥b，故本小题正确．故选：A．9．解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选：B．10．解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；B．∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；C．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故C选项错误；D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），正确；故选：C．11．解：两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有1+2＝3个交点，四条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，五条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点，……十条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个交点；故答案为：45．12．解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝220°，∴∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．13．解：∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∵∠BOD＝120°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，故答案是：30．14．解：过D点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．15．解：∵AB⊥l1，则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；故答案为：4．16．解：∠B的内错角是∠BAD；故答案为：∠BAD．17．解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行和相交．18．解：若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是平行，故答案为：平行．19．解：由图形得，有两个相等的同位角存在，这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．20．解：∵AB∥CD，∴∠CMF＝∠1＝57°，∵MF平分∠CME，∴∠CME＝2∠CMF＝114°．又∵∠CME+∠EMD＝180°，∴∠EMD＝180°﹣∠CME＝180°﹣114°＝66°．故答案为：66．21．解：（1）当有2，3，4条直线时最多交点的个数分别是：∴20条直线最多有1+2+3+…+19＝190个交点；（2）当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：∴100条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+100）＝5051个部分，同理n条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+n）＝1+＝．22．解：（1）∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；（2）OA平分∠DOF，理由如下：∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，∵∠AOF：∠EOF＝2：3，∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，∵∠AOD＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠AOF，∴OA平分∠DOF．23．解：∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．24．解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．25．解：（1）如图所示：（2）经测量AD＝1.8cm，故答案为：1.8．26．解：如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠MFD．∵AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ＝∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可判断角平分线EG、FH的位置关系是平行．故答案为：两直线平行，同位角相等；＝；同位、同位角相等，两直线平行、平行．27．解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案为：CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．故答案为：平行．28．解：∠BFC等于30度，理由如下：∵AB∥GE，∴∠B+∠BFG＝180°，∵∠B＝110°，∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，∵AB∥CD，AB∥GE，∴CD∥GE，∴∠C+∠CFE＝180°，∵∠C＝100°．∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．29．证明：∵∠DGA＝∠FHC＝∠DHB，∴AE∥BF，（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠FBC，（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠F，∴∠F＝∠FBC，（等量代换）∴DF∥AC．（内错角相等，两直线平行）30．解：（1）∵AO∥CD（已知），∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），又∵OB∥DE（已知），∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．故答案为：（40或140）。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin 45°＋22的值等于()A.1B.2C.3D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两点相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB 的值为()第4题图A.55B.255C.22D.255.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.34B.43C.35D.45第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A 处放置高为1米的测角仪AB ，在B 处测得塔顶F 的仰角为30°，沿AC 方向继续向前行38米至点C ，在CD 处测得塔顶F 的仰角为65°(点A ，C ，E 在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN .测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN 的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝22＋22＝2.2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α.∵AB ＝x ，∴AC ＝x cos α.4.B 【解析】如解图，连接BD ，在△ABD 中，AB ＝32＋12＝10，AD ＝22＋22＝22，BD ＝12＋12＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∴cos ∠CAB ＝AD AB＝255.第4题解图5.D 【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD ＝1，AB ＝5，设Rt △ABC 的AC 边为x ，则x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，∴BC ＝4，∴cos α＝BC AB ＝45.第5题解图6.D 【解析】根据题意可知，∠BAD ＝90°，∠BCA ＝45°，AB ＝5，∴AC ＝AB ＝5，在Rt △ABD中，∠D ＝30°，∴tan 30°＝AB AD ，∴AD ＝AB tan 30°＝5tan 30°＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈3.66(米).7.C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .由题意可知DM ＝EN ＝15，∵背水坡CD 的坡度i ＝1∶0.6，∴DM CM ＝53，∴CM ＝9.∵DE ＝MN ＝2，∴CN ＝7.∵背水坡EF 的坡度i ＝3∶4，∴EN NF ＝157＋CF＝34，解得CF ＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E .在△BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°，∴BD ＝OD ＝2cm ，∴CE ＝BD ＝2cm.在△COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∵tan 37°＝CE OE≈0.75，∴OE ≈2.7cm.∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.43【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A ＝β＝∠B ，∴tan α＝tan B ＝OD BD.易知△ACO ∽△BDO ，∴AC BD ＝OC OD ＝36＝12.∵CD ＝12，∴OD ＝8，∴tan α＝tan B ＝43.10.(3＋2)【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米).∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第10题解图11.解：如解图，设BD 的延长线与EF 交于点G ，由题意可得∠FDG ＝65°，∠FGD ＝90°，∴∠DFG ＝25°.AB ＝CD ＝EG ＝1米，AC ＝BD ＝38米，设FG ＝x 米，在Rt △BFG 中，∠FBG ＝30°，tan 30°＝FG BG ＝x BG ＝33，解得BG ＝3x ，在Rt △DFG 中，∠DFG ＝25°，tan 25°＝DG FG ＝DG x≈0.47，解得DG ＝0.47x ，∴BD ＝BG －DG ＝3x －0.47x ＝38，解得x ≈30，∴EF ＝FG ＋EG ＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF 的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A 作AF ⊥MN ，垂足为点F ，设BF ＝x cm ，∵BC ＝9cm ，∴CF ＝BC ＋BF ＝(x ＋9)cm.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝∠DBN ＝35°，∴AF ＝BF ·tan 35°≈0.7x cm.在Rt △ACF 中，∠ACF ＝∠ECN ＝22°，∴AF ＝CF ·tan 22°≈0.4(x ＋9)cm ，∴0.7x ＝0.4(x ＋9)，解得x ＝12，∴AF ＝0.7x ＝8.4cm ，∴新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 分别作DF ⊥MN 于点F ，作DG ⊥BE 于点G ，则易得四边形DGEF 是矩形，DF ＝16cm ，∴EF ＝DG ，DF ＝GE .在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，tan ∠DCF ＝DF CF ，∴CF ＝DF tan ∠DCF ＝16tan 30°＝1633＝163cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin∠DBG＝DGBD，cos∠DBG＝BGBD，∴DG＝BD·sin∠DBG＝BD·sin40°≈0.64BD，BG＝BD·cos∠DBG＝BD·cos40°≈0.77BD，∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋163，解得BD≈18.2cm.答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2cm.第13题解图。

中考数学第一轮考点专题测试题教试题

中考一轮复习之二次根式的运算本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。

也是学习其它数学知识的根底，应纯熟掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能纯熟进展二次根式的混合运算。

精典例题：【例1】计算：〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322212143222；〔2〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--31221821812；〔3〕()()()200215415215200020012002++-+-+；〔4〕()()235235-++-；〔5〕()100211321231260sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---++。

答案：〔1〕3324-；〔2〕24332-；〔3〕2021；〔4〕62；〔5〕－1 【例2】化简：b a b ab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 分析：将b a ba +和b a b+分别分母有理化后再进展计算，也可将除以ab 变为乘以ab 1，与括号里各式进展计算，从而原式可化为：原式＝b a bb a a++-+1＝1-++b a ba ＝0【例3】131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a ab 的值。

分析：直接代入求值比拟费事，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。

解：由得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探究与创新：【问题一】比拟23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜测n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。

分析：先将各式的近似值求出来，再比拟大小。

∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn n n ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122 ＝n n ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n ＝()()1122-+--n n n n ＝11-+n n又∵n n ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n 【问题二】阅读此题的解答过程，化简：ab ab b a b a a 322442+--〔b a 20<<〕解：原式＝ab ab a b b a a )44(222+-- ① ＝22)2(2ab a ab b a a -- ② ＝ab ab a b a a ⋅-⋅-22 ③ ＝ab a b a b a a ⋅-⋅-22 ④ ＝ab问：〔1〕上述解题过程中，从哪一步开场出现错误，请填写上出该步的代号；〔2〕错误的原因是；〔3〕此题的正确结论是。

中考数学第一轮重点题(完整版)

中考数学第一轮重点题（完整版）数学是专门多学生的弱项科目。

也是中考一定程度上能够一决高下的科目，因此如何学好数学是专门多考生和家长共同关怀的问题，距中考越来越近了，为了使初三数学的学习和复习落到实处，特预备了中考数学第一轮模拟题。

A级基础题1.分式方程5x+3=2x的解是()A.x=2B.x=1C.x=12D.x=-22.(2021年湖南永州)下面是四位同学解方程2x-1+x1-x=1过程中去分母的一步，其中正确的是()A.2+x=x-1B.2-x=1C.2+x=1-xD.2-x=x-13.(2021年湖北随州)分式方程10020+v=6020-v的解是()A.v=-20B.v=5C.v=-5D.v=204.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时刻相同.已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是()A.30x=40x-15B.30x-15=40xC.30x=40x+15D.30x+15=40x5.若代数式2x-1-1的值为零，则x=________.6.今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用.某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为______________元.7.解方程：6x-2=xx+3-1.8.当x为何值时，分式3-x2-x的值比分式1x-2的值大3?9.某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件如此的产品，机器加工所用的时刻是手工加工所用时刻的37倍，求手工每小时加工产品的数量.B级中等题10.若关于x的分式方程2x-ax-1=1的解为正数，那么字母a的取值范畴是__________.11.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解，则a的值是__________.12.中山市某施工队负责修建1800米的绿道.为了尽量减少施工对周边环境的阻碍，该队提高了施工效率，实际工作效率比原打算每天提高了2 0%，结果提早两天完成.求实际平均每天修绿道的长度?C级拔尖题13. 由于受到手机更新换代的阻碍，某手机店经销的iPhone4手机二月售价比一月每台降价500元.假如卖出相同数量的iPhone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.(1)一月iPhone4手机每台售价为多少元?(2)为了提高利润，该店打算三月购进iPhone4S手机销售，已知iPhone 4每台进价为3500元，iPhone4S每台进价为4000元，估量用不多于7.6万元且许多于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?(3)该店打算4月对iPhone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台iPhone4手机再返还顾客现金a元，而iPhone4S按销售价4400元销售，如要使(2)中所有方案获利相同，a应取何值?参考答案1.A2.D3.B4.C5.36.2200解析：设条例实施前此款空调的售价为x元，由题意列方程，得10 000x(1+10%)=10 000x-200，解得x=2200元.7.解：方程两边同乘以(x-2)(x+3)，得6(x+3)=x(x-2)-(x-2)(x+3)，化简，得9x=-12，解得x=-43.经检验，x=-43是原方程的解.8.解：由题意列方程，得3-x2-x-1x-2=3，解得x=1.经检验x=1是原方程的根.9.解：设手工每小时加工产品的数量为x件，则由题意，得18002x+9=1800x?37解得x=27.经检验，x=27符合题意且符合实际.答：手工每小时加工产品的数量是27件.10.a>1且a≠211.2或112.解：设原打算平均每天修绿道的长度为x米，则1800x-1800?1+20%?x=2，解得x=150.经检验：x=150是原方程的解，且符合实际.150×1.2=180(米).答：实际平均每天修绿道的长度为180米.13.解：(1)设二月iPhone4手机每台售价为x元，由题意，得90 000x+500=80 000x，解得x=4000.经检验：x=4000是此方程的根.x+500=4500.故一月iPhone4手机每台售价为4500元.(2)设购进iPhone4手机m台，则购进iPhone4S手机(20-m)台.由题意，得74 000≤3500m+4000(20-m) ≤76 000，解得8≤m≤12 ，因为m只能取整数，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

中考数学第一轮考点专题测试题17试题(共7页)

中考一轮(y ī l ún)复习之分式〔一〕知识考点：分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比拟灵敏。

理解分式的概念，纯熟掌握分式的根本性质，并能灵敏运用它进展分式的约分、通分及计算是解题的关键。

精典例题：【例1】〔1〕当为何值时，分式有意义？〔2〕当x 为何值时，分式2122---x x x 的值是零？分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进展讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式中，假设B ＝0，那么分式BA无意义；假设B ≠0，那么分式B A 有意义；③分式BA的值是零的条件是A ＝0且B ≠0，两者缺一不可。

答案：〔1〕x ≠2且x ≠－1；〔2〕x ＝1 【例2】计算：〔1〕〔2〕〔3〕分析：〔1〕题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进展约分，有乘方的要先算乘方，假设分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；〔2〕题把当作整体进展计算较为简便；〔3〕题是分式的混合运算，须按运算顺序进展，结果要化为最简分式或者整式。

答案(dáàn)：〔1〕；〔2〕；〔3〕【例3】计算：〔1〕〔2〕分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。

〔1〕题可以将看作一个整体，然后用分配律进展计算；〔2〕题可采用逐步通分的方法，即先算，用其结果再与相加，依次类推。

答案：〔1〕；〔2〕探究与创新：【问题】先阅读以下文字，再解答以下问题：初中数学课本中有这样一段表达：“要比拟与的大小，可先求出a与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零。

〞由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。

试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购置粮食〔假设两次购置粮食的单价不一样〕，甲每次购置粮食100千克，乙每次购粮用去100元。

〔1〕假设x、分别表示两次购粮的单价〔单位：元／千克〕。

试用含x、y的代数式表示：甲两次购置粮食一共需付款元；乙两次一共购置千克的粮食；假设甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，那么1Q ＝；2Q ＝。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52，即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题手拉手模型解决全等、相似问题知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题手拉手模型解决全等、相似问题知识精练1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，以AB，AC为一边向Rt△ABC的外侧作等边△ABE，等边△AC D.(1)如图①，连接BD，CE.(ⅰ)求证：△ABD≌△AEC；(ⅱ)若BC＝1，求CE的长；(2)如图②，连接DE交AB于点F.求BFAF的值．图①)图②第1题图2.(2023黄冈)[问题呈现]△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】(1)如图①，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：________．(2)如图②，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m＝3，AB＝47，DE＝4时，将△CDE绕点C转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．图①图②备用图第2题图参考答案与解析1.(1)(i)证明：∵△ABE 为等边三角形，∴AB ＝AE ，∠EAB ＝60°.∵△ACD 为等边三角形，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝60°，∴∠EAC ＝∠DAB .在△ABD 和△AEC 中，＝AE ，EAC ＝∠DAB ，＝AC ，∴△ABD ≌△AEC (SAS)；(ii)解：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AB ＝2BC ＝2，AC ＝AB 2－BC 2＝3.∵△ABE 为等边三角形，∴AE ＝AB ＝2，∠EAB ＝60°.∵∠BAC ＝30°，∴∠CAE ＝30°＋60°＝90°，∴△ACE 为直角三角形，∴EC ＝AC 2＋AE 2＝7；(2)证明：如解图，过点E 作EG ⊥AB 于点G .∵AE ＝BE ，∴AG ＝12AB .∵BC ＝12AB ，∴AG ＝BC .在Rt △AEG 与Rt △BAC 中，＝BC ，＝BA ，∴Rt △AEG ≌Rt △BAC (HL)，∴EG ＝AC ＝AD .又∵∠EGF ＝∠DAF ＝90°，∴在△GFE 与△AFD 中，EGF ＝∠DAF ，EFG ＝∠DFA ，＝AD ，∴△GFE ≌△AFD (AAS)，∴GF ＝AF ，∴BG ＝AG ＝2AF ，∴BF ＝3AF ，∴BF AF＝3.第1题解图2.解：(1)AD ⊥BE ；【解法提示】如解图①，延长BE 交AD 于点G ，∵m ＝1，∴AC ＝BC ，DC ＝EC .∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DCA ＋∠ACE ＝∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠DCA ＝∠ECB ，∴△DCA ≌△ECB ，∴∠DAC ＝∠CBE .∵∠CAB ＋∠ABG ＋∠CBE ＝90°，∴∠CAB ＋∠ABG ＋∠DAC ＝90°，即∠AGB ＝90°，∴AD ⊥BE .图①图②第2题解图(2)(1)中结论成立．证明：如解图②，延长BE 交AD 于点G ，∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠DCE －∠ACE ，∴∠ACD ＝∠BCE .∵CB ＝mCA ，CE ＝mCD ，∴CD CE ＝CA CB ＝1m，∴△DCA ∽△ECB ，∴∠DAC ＝∠CBE .∵∠CAB ＋∠ABG ＋∠CBE ＝90°，∴∠CAB ＋∠ABG ＋∠DAC ＝90°，即∠AGB ＝90°，∴AD ⊥BE .(3)当A ，D ，E ，三点恰好在同一直线上时，分两种情况讨论：①当点D 在线段AE 上时，如解图③，∵△DCA ∽△ECB ，∴BE AD ＝BC AC＝m ＝3.∵DE ＝4，∴BE ＝3AD ＝3(AE －4).∵AD ⊥BE ，∴∠AEB ＝90°，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，即AE 2＋3(AE －4)2＝112，解得AE ＝8或AE ＝－2(舍去)，∴BE ＝43；图③图④第2题解图②当点D 在AE 的延长线上时，如解图④，∵△DCA ∽△ECB ，∴BEAD＝BCAC＝m＝3.∵DE＝4，∴BE＝3AD＝3(4＋AE).∵AD⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋3(4＋AE)2＝112，解得AE＝2或AE＝－8(舍去)，∴BE＝63.综上所述，BE的长为43或63.。

中考数学第一轮重点练习题(有解析)

中考数学第一轮重点练习题（有解析）面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最佳的解题方法，进一步提高解题能力。

下文预备了中考数学第一轮模拟练习题供大伙儿练习。

A级基础题1.若二次函数y=ax2的图象通过点P(-2,4)，则该图象必通过点()A.(2,4)B.(-2，-4)C.(-4,2)D.(4，-2)2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4，则b，c的值为()A.b=2，c=-6B.b=2，c=0C.b=-6，c=8D.b=-6，c=23.如图3-4-11，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象通过(3,0)，下列结论中，正确的一项是()A.abcB级中等题10.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是()A.x1=1，x2=-1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=311.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3-4-13，给出下列结论：①2a+b> 0;②b>a>c;③若-112.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.(1)当二次函数的图象通过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式;(2)如图3-4-14，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标;(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短?若P点存在，求出P点的坐标;若P点不存在，请说明理由.C级拔尖题13.(2021年黑龙江绥化)如图3-4-15，已知抛物线y=1a(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线过点M(-2，-2)，求实数a的值;(2)在(1)的条件下，解答下列问题;①求出△BCE的面积;②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直截了当写出点H的坐标.14.已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x 1,0)，B(x2,0)，x10且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值.15.(2021年广东湛江)如图3-4-16，在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，-5).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，假如以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判定抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明;(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由.参考答案1.A2.B解析：利用反推法解答，函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1，-4)，其向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数y=x2+bx+ c，又∵1-2=-1，-4+3=-1，∴平移前的函数顶点坐标为(-1，-1)，函数解析式为y=(x+1)2-1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0.3.D4.C5.C6.B7.k=0或k=-18.y=x2+1(答案不唯独)9.解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c通过点A(3,0)，B(-1,0)，∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1)，即y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4).10.B11.①③④12.解：(1)将点O(0,0)代入，解得m=±1，二次函数关系式为y=x2+2x或y=x2-2x.(2)当m=2时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，∴D(2，-1).当x=0时，y=3，∴C(0,3).(3)存在.接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求.由C(0,3)，D(2，-1)求得直线CD为y=-2x+3.当y=0时，x=32，∴P32，0.13.解：(1)将M(-2，-2)代入抛物线解析式，得-2=1a(-2-2)(-2+a)，解得a=4.(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x+4)，当y=0时，得0=14(x-2)(x+4)，解得x1=2，x2=-4.∵点B在点C的左侧，∴B(-4,0)，C(2,0).当x=0时，得y=-2，即E(0，-2).∴S△BCE=12×6×2=6.②由抛物线解析式y=14(x-2)(x+4)，得对称轴为直线x=-1，依照C与B关于抛物线对称轴x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求.设直线BE的解析式为y=kx+b，将B(-4,0)与E(0，-2)代入，得-4k+b=0，b=-2，解得k=-12，b=-2.∴直线BE的解析式为y=-12x-2.将x=-1代入，得y=12-2=-32，则点H-1，-32.14.(1)证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，∴抛物线的对称轴为x=2，即-n2m=2，化简，得n+4m=0.(2)解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10时，n=1，m=-14，∴抛物线解析式为：y=-14x2+x+p.联立抛物线y=-14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3，化简，得x2-4(p-3)=0.∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，∴一元二次方程根的判别式等于0，即Δ=02+16(p-3)=0，解得p=3.∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.15.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4，此抛物线过点A(0，-5)，∴-5=a(0-3)2+4，∴a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4，即y=-x2+6x-5.(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，∴B(1,0)，C(5,0).设切点为E，连接CE，由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.∴ABBC=OBCE，即12+524=1CE，解得CE=426.∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r=d=426.又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2，而2>426.则现在抛物线的对称轴与⊙C相离.(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，∵A(0，-5)，C(5,0)，∴AC2=50，AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y 2p-10xp+25.①当∠A=90°时，在Rt△CAP中，由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，整理，得xp+yp+5=0.∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，∴yp=-x2p+6xp-5.∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.∴点P为(7，-12)或(0，-5)(舍去).②当∠C=90°时，在Rt△ACP中，由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，整理，得xp+yp-5=0.∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，∴yp=-x2p+6xp-5，∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

2023年中考数学一轮专题练习一次函数(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——一次函数1一、单选题（本大题共12小题）1. （四川省广安市2022年）在平面直角坐标系中，将函数y =3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（） A ．y =3x +5 B ．y =3x ﹣5C ．y =3x +1D ．y =3x ﹣12. （广东省广州市2022年）点(3,5)-在正比例函数y kx =（0k ≠）的图象上，则k 的值为（） A ．-15B ．15C ．35 D ．53-3. （安徽省2022年）在同一平面直角坐标系中，一次函数2y ax a =+与2y a x a =+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．4. （浙江省杭州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M5. （广西柳州市2022年）如图，直线y 1＝x +3分别与x 轴、y 轴交于点A 和点C ，直线y 2＝﹣x +3分别与x 轴、y 轴交于点B 和点C ，点P （m ，2）是△ABC 内部（包括边上）的一点，则m 的最大值与最小值之差为（）A ．1B ．2C ．4D ．66. （广西梧州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，直线2y x b =+与直线36y x =-+相交于点A ，则关于x ，y 的二元一次方程组236y x by x =+⎧⎨=-+⎩的解是（）A ．20x y =⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩C ．19x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩7. （黑龙江省哈尔滨市2022年）一辆汽车油箱中剩余的油量(L)y 与已行驶的路程(km)x 的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L 时，那么该汽车已行驶的路程为（）A ．150kmB ．165kmC ．125kmD ．350km8. （山东省聊城市2022年）如图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点()2,0C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2FB ．()2,2E -，()0,2FC ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,2E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭9. （山东省威海市2022年）如图，在方格纸中，点P ，Q ，M 的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN ∥PQ ，则点N 的坐标可能是( )A ．（2，3）B ．（3，3）C ．（4，2）D ．（5，1）10. （陕西省2022年（A 卷））在同一平面直角坐标系中，直线4y x =-+与2y x m =+相交于点(3,)P n ，则关于x ，y 的方程组4020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩的解为（）A ．15x y =-⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=⎩D ．95x y =⎧⎨=-⎩11. （浙江省绍兴市2022年）已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（）． A ．若120x x >，则130y y > B ．若130x x <，则120y y > C ．若230x x >，则130y y >D ．若230x x <，则120y y >12. （贵州省贵阳市2022年）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+与()0y mx n a m =+<<的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y mx n =+的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；③方程0mx n +=的解为2x =； ④当0x =时，1ax b +=-．其中结论正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共9小题）13. （天津市2022年）若一次函数y x b =+（b 是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（写出一个．．即可）． 14. （河南省2022年）请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式． 15. （江苏省宿迁市2022年）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y 随自变量x 增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．16. （江苏省泰州市2022年）一次函数2y ax =+的图像经过点(1，0)．当y >0时，x 的取值范围是．17. （上海市2022年）已知直线y =kx +b 过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：．18. （浙江省杭州市2022年）已知一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组31x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解是．19. （广西梧州市2022年）在平面直角坐标系中，请写出直线2y x =上的一个点的坐标．20. （四川省德阳市2022年）如图，已知点()2,3A -，()2,1B ，直线y kx k =+经过点()1,0P -．试探究：直线与线段AB 有交点时k 的变化情况，猜想k 的取值范围是．21. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年）如图，直线y ＝2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 为OB 的中点，▱OCDE 的顶点C 在x 轴上，顶点E 在直线AB 上，则▱OCDE 的面积为．三、解答题（本大题共9小题）22. （天津市2022年）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km ，超市离学生公寓2km ，小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min 到阅览室；在阅览室停留70min 后，匀速步行了10min 到超市；在超市停留20min 后，匀速骑行了8min 返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离km y 与离开学生公寓的时间min x 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：(2)填空：①阅览室到超市的距离为 km ；②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km /min ；③当小琪离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为 min ． (3)当092x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．23. （四川省内江市2022年）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ (3)学校租车总费用最少是多少元？24. （四川省南充市2022年）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）(1)求真丝衬衣进价a 的值．(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？25. （四川省泸州市2022年）某经销商计划购进A ，B 两种农产品．已知购进A 种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A 种农产品1件，B 种农产品4件，共需720元．(1)A ，B 两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A ，B 两种农产品共40件，且A 种农产品的件数不超过B 种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A 种每件160元，B 种每件200元的价格全部售出，那么购进A ，B 两种农产品各多少件时获利最多？26. （四川省凉山州2022年）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A 、B 两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A 型羽毛球拍和4副B 型羽毛球拍共需248元；购买5副A 型羽毛球拍和2副B 型羽毛球拍共需264元． (1)求A 、B 两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A 、B 两种类型的羽毛球拍共30副，且A 型羽毛球拍的数量不少于B 型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 27. （四川省成都市2022年）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h ，乙骑行的路程()km s 与骑行的时间()h t 之间的关系如图所示．(1)直接写出当00.2t ≤≤和0.2t >时，s 与t 之间的函数表达式； (2)何时乙骑行在甲的前面？28. （江苏省苏州市2022年）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大．．利润不低于800元，求正整数m的最大值．29. （陕西省2022年（A卷））如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．根据以上信息，解答下列问题：(1)当输入的x值为1时，输出的y值为；(2)求k，b的值；(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．30. （浙江省绍兴市2022年）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y kx b =+（0k ≠），y =ax 2+bx +c （0a ≠），ky x=（0k ≠）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像．(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x ．参考答案1. 【答案】D 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．【详解】解：将函数y =3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y =3x ﹣1, 故选：D 2. 【答案】D 【分析】直接把已知点代入，即可求出k 的值．【详解】解：∵点(3,5)-在正比例函数(0)y kx k =≠的图象上， ∴53k -=， ∴53k =-，故选：D ． 3. 【答案】D 【分析】分为0a >和0a <两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．【详解】解：当1x =时，两个函数的函数值：2y a a =+，即两个图像都过点()21,a a +，故选项A 、C 不符合题意；当0a >时，20a >，一次函数2y ax a =+经过一、二、三象限，一次函数2y a x a =+经过一、二、三象限，都与y 轴正半轴有交点，故选项B 不符合题意；当0a <时，20a >，一次函数2y ax a =+经过一、二、四象限，与y 轴正半轴有交点，一次函数2y a x a =+经过一、三、四象限，与y 轴负半轴有交点，故选项D 符合题意．故选：D ． 4. 【答案】B 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B （2，PB的解析式，依次将M 1，M 2，M 3，M 4四个点的一个坐标代入y +2中可解答．【详解】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，2+2设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（-0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上．故选：B ．5. 【答案】B【分析】由于P 的纵坐标为2，故点P 在直线y = 2上，要求符合题意的m 值，则P 点为直线y = 2与题目中两直线的交点，此时m 存在最大值与最小值，故可求得．【详解】∵点P (m ， 2)是△ABC 内部(包括边上)的点．∴点P 在直线y = 2上，如图所示，，当P 为直线y = 2与直线y 2的交点时，m 取最大值，当P 为直线y = 2与直线y 1的交点时，m 取最小值，∵y 2 =-x + 3中令y =2，则x = 1，∵y 1 =x + 3中令y =2，则x = -1，∴m 的最大值为1， m 的最小值为- 1．则m 的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．故选：B ．6. 【答案】B【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．【详解】解：由图象可得直线2y x b =+与直线36y x =-+相交于点A （1，3），∴关于x ，y 的二元一次方程组236y x b y x =+⎧⎨=-+⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩．故选：B ．7. 【答案】A【分析】根据题意所述，设函数解析式为y =kx +b ，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．【详解】解：设函数解析式为y =kx +b ，将（0，50）、（500，0）代入得505000b k b =⎧⎨+=⎩解得：50110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴函数解析式为15010y x =-+ 当y =35时，代入解析式得：x=150故选A8. 【答案】C【分析】作C （-2，0）关于y 轴的对称点G （2，0），作C （2，0）关于直线y =x +4的对称点D ，连接AD ，连接DG 交AB 于E ，交y 轴于F ，此时△CEF 周长最小，由y =x +4得A （-4，0），B （0，4），∠BAC =45°，根据C 、D 关于AB 对称，可得D （-4，2），直线DG 解析式为1233y x =-+，即可得20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得52,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【详解】解：作()2,0C -关于y 轴的对称点()2,0G ，作()2,0C 关于直线4y x =+的对称点D ，连接AD ，连接DG 交AB 于E ，交y 轴于F ，如图：∴DE CE =，CF GF =，∴CE CF EF DE GF EF DG ++=++=，此时CEF △周长最小，由4y x =+得()4,0A -，()0,4B ，∴OA OB =，AOB 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=︒，∵C 、D 关于AB 对称，∴45DAB BAC ∠=∠=︒，∴90DAC ∠=︒，∵()2,0C -，∴2AC OA OC AD =-==，∴()4,2D -，由()4,2D -，()2,0G 可得直线DG 解析式为1233y x =-+，在1233y x =-+中，令0x =得23y =， ∴20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴E 的坐标为53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，F 的坐标为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C ．9. 【答案】C【分析】根据P ，Q 的坐标求得直线解析式，进而求得过点M 的解析式，即可求解．【详解】解：∵P ，Q 的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线PQ 的解析式为y kx b =+，则230b k b =⎧⎨+=⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线PQ 的解析式为223y x =-+，MN ∥PQ ，设MN 的解析式为23y x t =-+，()14M ，，则243t =-+，解得143t =， ∴MN 的解析式为214y x 33=-+，当2x =时，103y =，当3x =时，83y =，当4x =时，2y =，当5x =时，43y =，故选C10. 【答案】C【分析】先把点P 代入直线4y x =-+求出n ，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；解：∵直线4y x =-+与直线2y x m =+交于点P （3，n ），∴34n =-+，∴1n =，∴()3,1P ，∴1=3×2+m ，∴m =-5,∴关于x ，y 的方程组40250x y x y +-=⎧⎨--=⎩的解31x y =⎧⎨=⎩；故选：C ．11. 【答案】D【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵直线y =−2x +3∴y 随x 增大而减小，当y =0时，x =1.5∵(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为直线y =−2x +3上的三个点，且x 1<x 2<x 3∴若x 1x 2>0，则x 1，x 2同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项A 不符合题意；若x 1x 3<0，则x 1，x 3异号，但不能确定y 1y 2的正负，故选项B 不符合题意；若x 2x 3>0，则x 2，x 3同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项C 不符合题意；若x 2x 3<0，则x 2，x 3异号，则x 1，x 2同时为负，故y 1，y 2同时为正，故y 1y 2>0，故选项D 符合题意．故选：D ．12. 【答案】B【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数y mx n =+的图象过一，二，四象限，y 的值随着x 值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组y ax b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩，即方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；故②符合题意；由一次函数y mx n =+的图象过()2,0, 则方程0mx n +=的解为2x =；故③符合题意；由一次函数y ax b =+的图象过()0,2,- 则当0x =时，2ax b +=-．故④不符合题意；综上：符合题意的有②③，故选B13. 【答案】1（答案不唯一，满足0b >即可）根据一次函数经过第一、二、三象限，可得0b >，进而即可求解．【详解】解：∵一次函数y x b =+（b 是常数）的图象经过第一、二、三象限，∴0b >故答案为：1答案不唯一，满足0b >即可）14. 【答案】y x =（答案不唯一）【分析】在此解析式中，当x 增大时，y 也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．【详解】解：如y x =，y 随x 的增大而增大．故答案为：y x =（答案不唯一）．15. 【答案】22y x =-+（答案不唯一）【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．【详解】解：根据题意，甲：“函数值y 随自变量x 增大而减小”；可设函数为：2,y x b =-+又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，则函数关系式为22y x =-+，故答案为：22y x =-+（答案不唯一）16. 【答案】x <1【分析】先用待定系数法，求出a 的值．当y >0时，用含x 的代数式表示y ，解不等式即可．【详解】解：把(1，0)代入一次函数2y ax =+，得a +2=0，解得：a =-2，∴-22y x =+，当y >0时，即-220x +>，解得：x <1．故答案为：x <1．17. 【答案】2y x =-+（答案不唯一）【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】∵直线y kx b =+过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，∴0k <，0b ，∴符合条件的一条直线可以为：2y x =-+（答案不唯一）．18. 【答案】12x y =⎧⎨=⎩ 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，故答案为：12x y =⎧⎨=⎩． 19. 【答案】（0，0）（答案不唯一）【分析】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．【详解】解：当x =0时，y =0，∴直线y =2x 上的一个点的坐标为（0，0），故答案为：（0，0）（答案不唯一）．20. 【答案】13k ≥或3k ≤-##3k ≤-或13k ≥ 【分析】根据题意，画出图象，可得当x =2时，y ≥1，当x =-2时，y ≥3，即可求解．【详解】解：如图，观察图象得：当x =2时，y ≥1，即21k k +≥，解得：13k ≥，当x =-2时，y ≥3，即23k k -+≥，解得：3k ≤-，∴k 的取值范围是13k ≥或3k ≤-．故答案为：13k ≥或3k ≤- 21. 【答案】2【分析】根据一次函数解析式求出点B 的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点E 的坐标，从而得出点C 的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．【详解】解：当x ＝0时，y ＝2×0+4＝4，∴点B 的坐标为（0，4），OB ＝4．∵点D 为OB 的中点，∴OD ＝12OB ＝12×4＝2．∵四边形OCDE 为平行四边形，点C 在x 轴上，∴DE ∥x 轴．当y ＝2时，2x +4＝2，解得：x ＝﹣1，∴点E 的坐标为（﹣1，2），∴DE ＝1，∴OC ＝1，∴▱OCDE 的面积＝OC •OD ＝1×2＝2．故答案为：2．22. 【答案】(1)0.8，1.2，2(2)①0.8；②0.25；③10或116(3)当012x ≤≤时，0.1y x =；当1282x <≤时， 1.2y =；当8292x <≤时，0.08 5.36y x =-【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当092x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式．(1)由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,故当x =8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；在1282x ≤≤时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km故当x =50时，距离不变，都是1.2km ；在92112x ≤≤时，离学生公寓的距离不变，都是2km ，所以，当x =112时，离学生公寓的距离为2km故填表为：(2)①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8km ；②小琪从超市返回学生公寓的速度为：2÷（120-112）=0.25km /min ；③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为： 1÷0.1=10min ；当小琪返回与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为：112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min ；故答案为：①0.8；②0.25；③10或116(3)当012x ≤≤时，设直线解析式为y =kx ，把（12，1.2）代入得，12k =1.2,解得，k =0.1∴0.1y x =；当1282x <≤时， 1.2y =；当8292x <≤时，设直线解析式为y mx n =+，把（82，1.2），（92，2）代入得，82 1.2922m n m n +=⎧⎨+=⎩解得，0.085.36m n =⎧⎨=-⎩ ∴0.08 5.36y x =-，由上可得，当092x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式为()0.10121.2(1282)0.08 5.36(8292)y x x y x y x x ⎧=≤≤⎪=<≤⎨⎪=-<≤⎩．23. 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆(3)学校租车总费用最少是2800元．【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；(2)师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：3530(8)255 400320(8)3000m mm m+-≥⎧⎨+-≤⎩，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．24. 【答案】(1)a=260；(2)真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；(3)每件最多降价28元．【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；（3）设降价z 元，根据题意列出不等式求解即可．(1)解：根据表格数据可得：50a +25×80=15000，解得：a =260；(2)解：设真丝衬衣件数进货x 件，则真丝围巾进货(300-x )件，根据题意可得：300-x ≥2x ，解得：x ≤100；设总利润为y ，根据题意可得y =(300-260)x +(100-80)(300-x )=20x +6000，∵20>0，∴y 随x 的增大而增大，当x =100时，y 最大为：20×100+6000=8000元，此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；(3)设降价z 元，根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z ）≥8000×90%，解得：z ≤28，∴每件最多降价28元．25. 【答案】(1)A 每件进价120元，B 每件进价150元；(2)A 农产品进20件，B 农产品进20件，最大利润是1800元．【分析】（1）根据“购进A 种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A 种农产品1件，B 种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A 、B 两种农产品每件的价格分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．(1)设A 每件进价x 元，B 每件进价y 元，由题意得236904720x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：120150x y =⎧⎨=⎩，答：A 每件进价120元，B 每件进价150元；(2)设A 农产品进a 件，B 农产品（40-a ）件，由题意得，120150(40)54003(40)a a a a +-≤⎧⎨≤-⎩解得2030a ≤≤，设利润为y 元，则(160120)?(200150)(40)102000y a a a =-+--=-+， ∵y 随a 的增大而减小，∴当a =20时，y 最大，最大值y =2000-10×200=1800，答：A 农产品进20件，B 农产品进20件，最大利润是1800元．26. 【答案】(1)A 型羽毛球拍的单价为40元，B 型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副A 型羽毛球拍，10副B 型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析【分析】（1）设A 型羽毛球拍的单价为x 元，B 型羽毛球拍的单价为y 元，根据“购买3副A 型羽毛球拍和4副B 型羽毛球拍共需248元；购买5副A 型羽毛球拍和2副B 型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；（2）设该班采购A 型羽毛球拍m 副，购买的费用为W 元，则采购B 型羽毛球拍(30)m -副，结合（1）的结论可得8960W m =+，再根据“A 型羽毛球拍的数量不少于B 型羽毛球拍数量的2倍”求出m 的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．(1)解：设A 型羽毛球拍的单价为x 元，B 型羽毛球拍的单价为y 元，由题意得：3424852264x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得4032x y =⎧⎨=⎩，答：A 型羽毛球拍的单价为40元，B 型羽毛球拍的单价为32元．(2)解：设该班采购A 型羽毛球拍m 副，购买的费用为W 元，则采购B 型羽毛球拍(30)m -副，由（1）的结论得：4032(30)8960W m m m =+-=+， A 型羽毛球拍的数量不少于B 型羽毛球拍数量的2倍，2(30)300m m m ≥-⎧∴⎨->⎩，解得2030m ≤<，在2030m ≤<内，W 随m 的增大而增大，则当20m =时，W 取得最小值，最小值为8209601120⨯+=，此时30302010m -=-=，答：最省钱的购买方案是采购20副A 型羽毛球拍，10副B 型羽毛球拍；最少费用为1120元．27. 【答案】(1)当00.2t ≤≤时，15s t =；当0.2t >时，201s t =-(2)0.5小时后【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．(1)由函数图像可知，设00.2t ≤≤时，s kt =，将()0.2,3代入，得3150.2s k t ===，则15s t =，当0.2t >时，设s at b =+，将()0.2,3，()0.5,9代入得0.230.59t b t b +=⎧⎨+=⎩解得201t b =⎧⎨=-⎩∴201s t =-(2)由（1）可知00.2t ≤≤时，乙骑行的速度为15km /h ，而甲的速度为18km/h ，则甲在乙前面，当0.2t >时，乙骑行的速度为20km /h ，甲的速度为18km/h ，设x 小时后，乙骑行在甲的前面则18201x x <-解得0.5x >答：0.5小时后乙骑行在甲的前面28. 【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元(2)正整数m 的最大值为22【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a 元，乙种水果的进价为每千克b 元，根据总费用列方程组即可；（2）设水果店第三次购进x 千克甲种水果，根据题意先求出x 的取值范围，再表示出总利润w 与x 的关系式，根据一次函数的性质判断即可．(1)设甲种水果的进价为每千克a 元，乙种水果的进价为每千克b 元．根据题意，得60401520,30501360.a b a b +=⎧⎨+=⎩解方程组，得12,20.a b =⎧⎨=⎩答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．(2)设水果店第三次购进x 千克甲种水果，则购进()200x -千克乙种水果，根据题意，得()12202003360x x +-≤．解这个不等式，得80x ≥．设获得的利润为w 元，根据题意，得()()()()1712302020035352000w x m x m x m =-⨯-+-⨯--=--+．∵50-<，∴w 随x 的增大而减小．∴当80x =时，w 的最大值为351600m -+．根据题意，得351600800m -+≥．解这个不等式，得1607m ≤． ∴正整数m 的最大值为22．29. 【答案】(1)8(2)26k b =⎧⎨=⎩(3)3-【分析】对于（1），将x =1代入y =8x ，求出答案即可；对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b 得二元一次方程组，解方程组得出答案；对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．(1)当x =1时，y =8×1=8；故答案为：8；(2)将（-2，2），（0，6）代入y kx b =+，得226k b b -+=⎧⎨=⎩，解得26k b =⎧⎨=⎩； (3)令0y =，由8y x =，得08x =，∴01x =<．（舍去）由26y x =+，得026x =+，∴31x =-<．∴输出的y 值为0时，输入的x 值为3-．30. 【答案】(1)y ＝x ＋1（0≤x ≤5），图见解析(2)4小时【分析】（1）观察表格数据，y 的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解；（2）根据5y =，代入解析式求得x 的值即可求解．(1)（1）选择y ＝kx ＋b ，将（0，1），（1，2）代入，得12bk b=⎧⎨+=⎩，，解得11.kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1（0≤x≤5）．(2)当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．。

中考数学第一轮考点专题测试题16试题

卜人入州八九几市潮王学校中考一轮复习之分式〔二〕知识考点：分式的化简求值方法灵敏多样，它是分式中的重点内容，也是中考的热点。

纯熟掌握分式的计算，灵敏运用整体代换、因式分解等方法对分式进展适当的变形是解决此类题目的关键。

精典例题：【例1】〔1〕211222-=-x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x 111112的值。

〔2〕当()00130sin 4--=x 、060tan =y 时，求y x y xy x y x x 3322122++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-222y x xy x -++的值。

分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把化简后的条件代入化简后的式子求值。

略解：〔1〕原式＝22x- ∵211222-=-x x ∴21222-=-x x ∴21212-=-x ∴222-=-x∴原式＝2-〔2〕∵()1130sin 400=--=x ，360tan 0==y ∴原式＝1331312+=--=--y x y x 【例2】〔1〕02322=-+y xy x 〔x ≠0，y ≠0〕，求xy y x x y y x 22+--的值。

〔2〕0132=+-a a ，求142+a a 的值。

分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。

略解：〔1〕原式＝x y 2-∵02322=-+y xy x∴()()023=+-y x y x ∴y x32=或者y x -= 当y x 32=时，原式＝－3；当y x -=时，原式＝2 〔2〕∵0132=+-a a，a ≠0 ∴31=+aa ∴142+a a ＝221aa +＝212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a ＝232-＝7 探究与创新：【问题一】a 、b 、c 为实数，且满足()()02)3(432222=---+-+-c b c b a ，求c b b a -+-11的值。

解：由题设有()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-≠--0432023222c b a c b ，可解得a ＝2，3-=b ，c ＝－2 ∴c b b a -+-11＝321321-++＝3232++-＝4【问题二】c c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，求()()()abca c cb b a +++的值。

整式及其运算考点专题检测—2024年中考数学一轮复习(全国通用)(解析版)

整式及其运算考点专题检测一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）下列说法中正确的是（）．A ．2不是单项式B ．2abc −的系数是12−C ．23πr 的次数是3D ．多项式25612a ab −+的次数是4【答案】B【分析】根据单项式和多项式的概念逐一求解可得．【详解】解：A ．2是单项式，故此选项不符合题意；B ．2abc −的系数是12−，故此选项符合题意；C ．23πr 的次数是2，故此选项不符合题意；D ．多项式25612a ab −+的次数是2，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查单项式与多项式的概念．解题的关键是正确理解单项式与多项式．2．核桃的单价为m 元/千克，栗子的单价为n 元/千克，买2千克核桃和3千克栗子共需（）A ．()m n +元B ．()32m n +C ．()23m n +元D ．()5m n +元【答案】C【分析】本题考查了列代数式，根据“总价=单价×数量”得出答案，需注意代数式的书写规范．【详解】解：根据题意得：买2千克核桃和3千克栗子共需()23m n +元．故选：C ．3．（2023·广东云浮·统考三模）下列运算中，正确的是（）A ．()326b b -=B ．334a a a +=C ．()()22224x y x y x y +−=−D ．62322a a a ÷= 【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，平方差公式，同底数幂的除法，用各运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、()326b b -=-，不符合题意； B 、3332a a a +=，不符合题意；C 、()()22224x y x y x y +−=−，符合题意；D 、62422÷=a a a ，不符合题意．故选：C ．4．（2023·广东东莞·统考一模）如果2n x =，5n y =，那么()3n xy 的值是（）A ．100B ．1000C ．150D ．40【答案】B【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算方法，将要求的代数式换成与已知条件相关的代数式，然后再代入求值，即可得到答案．【详解】解：原式()()333333••2581251000n n n n x y x y =⨯==⨯==，故选：B ．5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，已知点()()1,0,4,A B m ，若将线段AB 平移至CD ，其中点()()2,1,,C D a n −，则m n −的值为（）A ．3−B ．1−C ．1D ．3【答案】B 【分析】根据A ，C 两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．【详解】解：线段CD 由线段AB 平移得到，且(1,0)A ，(2,1)C −，(4,)B m ，(,)D a n ，011m n ∴−=−=−．故选：B ．【点睛】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同．6．（2023·河北保定·校考一模）如图所示的运算程序中，甲输入的x 为32a b +，乙输入的x 为32a b −−，丙输入的x 为23b a −．若0a b >>，则输出结果相同的是（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．三人均不相同【答案】B 【分析】先判断320a b +>，320a b −−<，230b a −<，分别计算输出的结果得到答案．【详解】解：∵0a b >>∴320a b +>，320a b −−<，230b a −<∴甲输出的结果为：()2232262y a a b ab a ab =+−=+；乙输出的结果为：()22326610y a a b ab a ab =−−−+=+；丙输出的结果为：()2223662y a b a ab a ab =−−+=+；输出结果相同的是甲和丙，故选B ．【点睛】本题考查整式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．7．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：①()2222a b a ab b +=++ ②()2222a b a ab b −=−+③22()()a b a b a b +−=− ④22()()4a b a b ab −=+− 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．8．若x 2＋（m ﹣1）x ＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m 的值为（）A ．﹣3B ．1C ．﹣3，1D ．﹣1，3【答案】D【分析】利用完全平方公式的运算判断即可．【详解】∵ x 2＋（m ﹣1）x ＋1可以用完全平方公式进行因式分解，∴ m ﹣1＝±2，解得：m ＝﹣1或m ＝3．故选：D ．【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．9．（2022·江苏泰州·统考二模）如果a 是二次函数2y x x 2=−−与x 轴交点的横坐标，那么代数式2(1)(2)(2)a a a −++−的值为（） A ．1−B ．1C ．7D ．9【答案】B 【分析】先求出二次函数与x a 的值，再化简整式，最后将a 代入代数式求值即可．【详解】解：在二次函数2y x x 2=−−中，令y =0，得220x x −−=，解得：122,1x x ==−，∴此二次函数与x 轴的交点横坐标为2或-1，∴a =2或-1，2222(1)(2)(2)214223a a a a a a a a −++−=−++−=−−，当a =2时，原式=2222231⨯−⨯−=，当a =-1时，原式=()()2212131⨯−−⨯−−=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点及求整式的值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．10．（2022·重庆·重庆市育才中学校联考二模）已知多项式22A x y m =++和22B y x n =−+（m ，n 为常数），以下结论中正确的是（）①当2x =且1m n +=时，无论y 取何值，都有0A B +≥；②当0m n ==时，A B ⨯所得的结果中不含一次项；③当x y =时，一定有A B ≥；④若2m n +=且0A B +=，则x y =；⑤若m n =，1−=−A B 且x ，y 为整数，则1x y +=．A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤ 【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】①当2x =且1m n +=时，A +B =()222424211y m y n y y y +++−+=++=+，∵无论y 取何值，总有()201y +≥，∴无论y 取何值，都有0A B +≥，故①正确；②当0m n ==时，()()22223322224A B x y y x x y x y xy ⨯=+−=−+−， ∴A B ⨯所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x y =时，()222222224A B x y m y x n x x m x x n x m n −=++−−+=++−+−=+−，其结果与0无法比较大小，故③错误；④若2m n +=且0A B +=，则2222222220A B x y m y x n x y y x +=+++−+=++−+=，变形得：()()22110x y −++=，∴x =1，y =-1，∴x =-y ，故④错误；⑤若m n =，1−=−A B 且x ，y 为整数，则()222222221A B x y m y x n x y y x −=++−−+=+−+=− 222210x y x y −+++=变形得：()()22111x y +−−=−，因式分解得：()()21x y x y +−+=−，∵x ，y 为整数，则必有1x y +=．故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）因式分解：316y y −= ．【答案】()()44y y y +−【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()32161644y y y y y y y −=−=+−，故答案为：()()44y y y +−．【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−．12．（2023·广东韶关·统考模拟预测）若122m x y +与3213x y 是同类项，则m = ．【答案】2【分析】根据同类项的定义进行求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．【详解】解：∵122m x y +与3213x y 是同类项， ∴13m +=，∴2m =，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．13．（2023·宁夏银川·校考二模）已知a ，b 满足等式2690a a ++=，则20232022a b = ．【答案】3−【分析】先根据非负数的性质求出a 、b ，然后根据积的乘方逆运算法则解答．【详解】解：∵2690a a ++=，∴()230a +=．∵2(3)0a +≥0，∴2(3)0+=a 0=． ∴13,3a b =−=． ∴()202320222022()133a b ab a ==−⋅⨯=−．故答案为：3−．【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，属于常考题型，熟练掌握非负数的性质、能逆用积的乘方法则求解是关键．14．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）定义：若a b ab +=，则称a 、b 是“西溪数”，例如：3 1.5315+=⨯.，因此3和1.5是一组“西溪数”，若m 、n 是一组“西溪数”，则2(36)mn mn m n −−−−的值为．【答案】6【分析】根据“西溪数”的概念得到m n mn +=，代入所求的代数式，根据整式的加减混合运算法则计算，得到答案．【详解】解：m 、n 是一组“西溪数”，m n mn ∴+=，则原式2()[3()6]m n m n m n =+−+−−−22(336)m n m n m n =+−+−−−22336m n m n m n =+−−+++6=，故答案为：6．【点睛】本题考查新定义，整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则、正确理解“西溪数”的概念是解题的关键．15．（2022·广西百色·统考一模）观察：()()2111x x x −+=−，()()23111x x x x −++=−，()()324111x x x x x −+++=−，据此规律，当()()5432110x x x x x x −+++++=时，代数式20232x −的值为．【答案】-1或-3/-3或-1【分析】先根据已知等式为0确定出x 的值，再代入原式计算，即可得到结果．【详解】解：()()5432110x x x x x x −+++++=，根据规律得：610x −=，61x ∴=，32()1x ∴=，31x ∴=±，1x ∴=±，当1x =时，原式2023121=−=−，当=1x −时，原式()2023123=−−=−．故答案为：-1或-3．【点睛】本题主要考查了通过规律解决数学问题，发现规律，求出x 的值是求解本题的关键．16．（2023·河北衡水·校考模拟预测）琪琪同学做一道计算题：已知两个多项式A 和B ，求2A B −，他误将2A B −看成了2A B +，求得结果为232x x −，已知232A x x =+−．（1）则多项式B = ；（2）求2A B −的正确结果为．【答案】 284x x −+ 2148x x +−【分析】（1）根据题意得出2322B x x A =−−，代入求解即可；（2）将A 、B 代入计算即可．【详解】解：（1）∵将2A B −看成了2A B +，求得结果为232x x −，232A x x =+−．∴2322B x x A =−−22322(32)x x x x =−−+−2232264x x x x =−−−+ 284x x =−+；故答案为：284x x −+；（2）2A B −222()()3284x x x x +−−−+=2264842x x x x −+−+−=2148x x =+−；故答案为：2148x x +−．【点睛】题目主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）（1）先化简，再求值：()33(2)()4a b a b a b ab ab +−++÷,其中,212a b ==−．（2）计算()()()232346a a a −⋅−÷ 【答案】（1）2212272a ab b ++，；（2）6a − 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算．【详解】解：（1）()33(2)()4a b a b a b ab ab +−++÷222224a ab b a b =+−++2222a ab b =++，把,212a b ==−代入得：原式()()2211222222⎛⎫=⨯+⨯−+⨯− ⎪⎝⎭ 12184=⨯−+ 172=；（2）()()()232346a a a −⋅−÷ ()61212a a a =⋅−÷6a =−．18．（2022·安徽·校联考模拟预测）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①40413→⨯=⨯−；②411423→⨯+=⨯−；③421433→⨯+=⨯−；④→ ；⑤→ ．(1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；(2)猜想第n （n 是正整数）个图形相对应的等式，并证明．【答案】(1)431443⨯+=⨯−，441453⨯+=⨯−；(2)()41143n n −+=−，证明见解析．【分析】（1）结合图形，根据所给的等式即可继续写出等式；（2）在计算（1）的过程中，发现：第n 个图中，等式的左边是()1n −个4，再加上1，右边是n 个4减去3．【详解】（1）∵401413→⨯+=⨯−①；411423→⨯+=⨯−②；421433→⨯+=⨯−③；∴431443⨯+=⨯−④，441453⨯+=⨯−⑤，故答案为：431443⨯+=⨯−，441453⨯+=⨯−；（2）由401413→⨯+=⨯−①；411423→⨯+=⨯−②；421433→⨯+=⨯−③；431443→⨯+=⨯−④；441453→⨯+=⨯−⑤；L ；∴第n 个图形：()41143n n −+=−，右边()41144143n n n =−+=−+=−，∴左边=右边，即()41143n n −+=−．【点睛】此题考查了图形变化规律，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键．19．（2023·河北保定·统考二模）已知整式2232a a −+的值为P ，23a a −−的值为Q ．(1)【发现】当0a =时，2P =，Q =__________，P __________Q （填“>”“＝”或“＜”）；当3a =时，P =__________，3Q =，P __________Q ．(2)【猜想与验证】无论a 为何值，P __________Q 始终成立，并证明该猜想的结论．【答案】(1)3−；>；11；>(2)>，见解析【分析】（1）将字母值代入代数式求值，判断；（2）用作差法，根据整式加减运算法则，配方法处理；【详解】（1）0a =时，233Q a a =−−=−∴P Q >；3a =时，223211P a a =−+=∴P Q >；（2）证明：()222323P Q a a a a −=−+−−− 222323a a a a =−+−++225a a =−+2(1)4a =−+．2(1)0a −≥，2(1)40a ∴−+>，P Q ∴>．【点睛】本题考查整式的求值，整式的加减运算，配方法，能够根据完全平方公式，运用配方法确定代数值取值范围是解题的关键．20．（2023·河北唐山·统考二模）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD 内()AD AB >，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为1S ，2S ，已知小长方形绿化带的长为a 米，宽为b 米，且a b >．(1)当20AD =米时，请用含a ，b 的式子分别表示1S = 米2，2S = 米2，12S S −= 米2；(2)由于空间有限，花坛的短边AB 长度为定值，而花坛的长边AD 可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD 内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积12S S =，求a ，b 满足的数量关系．【答案】(1)402b ab −，202a ab −，4020b a −(2)2a b =【分析】（1）由题意可得，根据长方形面积公式表示1S 和2S ，即可得12S S −；（2）设AD y =，由题意可得，根据长方形面积公式表示1S 和2S ，使12S S =，即得到a ，b 满足的数量关系．【详解】（1）解：由题意可得：1S 的长边为AD a −，1S 的短边为2b ，2S 的长边为2AD b −，2S 的短边为a ，根据长方形面积公式得()12402S AD a b b ab =−⨯=−，()22202S AD b a a ab =−⨯=−，那么()124022024020S S b ab a ab b a −=−−−=−；故答案为：()402b ab −；()202a ab −；()4020b a −．（2）解：设AD y =，由题意可得，1S 的长边为AD a −，1S 的短边为2b ，2S 的长边为2AD b −，2S 的短边为a ，根据长方形面积公式得：()1222S AD a b yb ab =−⨯=−，()222b S AD b a ya a =−⨯=−，因为12S S =，所以222yb ab ya ab −=−，即2a b =，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积12S S =，a ，b 满足的数量关系为2a b =．【点睛】此题考查了整式的乘法法则以及列代数式等问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示()0n >，面积分别为S 甲和S 乙．(1)①用含n 的代数式表示S =甲______，S =乙______②用“<”、“=”或“>”号填空：S 甲______S 乙；(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S 正．①该正方形的边长是______；（用含n 的代数式表示）②小聪同学发现，“S 正与S 乙的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．【答案】(1)①21227n n ++，21024n n ++；②>；(2)①5n +；②S 正与S 乙的差是定值，值为1．【分析】（1）①结果长方形的面积的计算方法可表示出为S 甲和S 乙；②作差法，可比较大小；（2）①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．【详解】（1）解：①由长方形的面积的计算方法得，()()2931227S n n n n =++=++甲，()()2641024S n n n n =++=++乙，故答案为：21227n n ++，21024n n ++；②()()2212271024S S n n n n −=++−++甲乙2212271024n n n n =++−−−23n =+，0n >，230n ∴+>，S S ∴>乙甲，故答案为：>；（2）①乙的周长为：2(6)2(4)420n n n +++=+，正方形的周长与乙的周长相等，∴正方形的边长为42054n n +=+，故答案为：5n +；②()22(5)1024S S n n n −=+−++乙正2210251024n n n n =++−−−1=，因此“S 正与S 乙的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．【点睛】本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式等知识，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键．22．（2023下·陕西西安·七年级校考开学考试）泉州市鲤城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：(1)若张老师一次性购物600元，则她实际付款___________元．(2)若某顾客在该超市一次性购物x 元，当x 小于500元但不小于200时，他实际付款_______ 元，当x 大于或等于500元时，他实际付款元（用含x 的代数式表示并化简）；(3)若张老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a 元（200300a <<），请用含a 的代数式表示这两天购物张老师的实际付款总额；并求出当250a =元时，张老师两天一共节省了多少元？【答案】(1)470(2)0.8x ，()0.750x +(3)0.1680a +，195【分析】本题考查了代数式的求值、列代数式，整式加减的实际应用，掌握要正确列代数式，分清数量之间的关系，表示超出的部分是解题关键．（1）根据表格中的计算方法求解即可；（2）当x 小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，500这部分按8折计算，超出的()500x −这部分7折计算；（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．【详解】（1）5000.8(600500)0.74001000.740070470⨯+−⨯=+⨯=+=（元），（2）当x 小于500元但不小于200时，实际付款0.80.8x x ⨯=（元），当x 大于或等于500元时，实际付款：5000.8(500)0.70.750x x ⨯+−⨯=+（元）（3）因为第一天购物原价为a 元(200300)a <<则第二天购物原价为()900a −元，则900500a −>第一天购物优惠后实际付款 0.80.8a a ⨯=（元）第二天购物优惠后实际付款[]5000.8(900)5000.76800.7a a ⨯+−−⨯=−（元）则一共付款0.86800.70.1680a a a +−=+（元）当250a =元时，实际一共付款6800.125068025705+⨯=+=（元）一共节省900705195−=（元）答：一共节省了195元．23．（2023·山西晋中·统考一模）阅读与思考下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．任务：(1)请补充完整小明的日记：①______，②______，③______，④______，⑤______；(2)解决问题：若多项式()()()282413n x n x n −+−++是一个完全平方式，利用以上结论求出n 的值．(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程．请你再举出一例．【答案】(1)①()23x −，②()232x +，③24b ac =，④有两个相等的实数根，⑤一个(2)12n =(3)计算平方，()2229910011002100111000020019801=−=−⨯⨯+=−+=（答案不唯一）【分析】（1）借助题中所给举例填空，根据举例得出24b ac =的结论．（2）借助（1）中所得结论，找出()()()282413n x n x n −+−++中的a 、b 、c 值，代入24b ac =，求解即可．（3）所学知识中涉及完全平方公式的知识点举例即可．【详解】（1）解：()22693x x x −+=−； ()22912432x x x ++=+； ()26419−=⨯⨯中，6b =−，1a =，9c =，则有24b ac =；212494=⨯⨯中，12b =，9a =，4c =，则有24b ac =；故系数a ，b ，c 之间存在的关系式为24b ac =．（2）解：由（1）知，系数a ，b ，c 之间存在的关系式为24b ac =，()()()282413n x n x n −+−++中，8a n =−，24b n =−，13c n =+，根据24b ac =，得()()()2244813n n n −=−+ 2241616420416n n n n −+=+−解得12n =．（3）解：利用完全平方公式计算较大数的平方，()2229910011002100111000020019801=−=−⨯⨯+=−+=（答案不唯一）．【点睛】此题考查了完全平方公式的综合应用，解题的关键是正确理解题意并应用公式．。

初三数学第一轮复习测试题

初三数学第一轮复习测试（120分钟120分）一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1．在0，﹣2，1，12这四个数中，最小的数是（）A.0B.-2C.1D.2．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=50°，则∠AED 等于（）A ．130°B ．65°C ．105°D ．115°3．在下列算式:①9=±3；②()213-=9；③26÷23=4；④()202020202=-；⑤a+a=a 2．中，随机选取一个算式，运算结果正确的概率是（）A ．45B ．35C ．25D ．154.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表,那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（）人数（人）1341分数（分）80859095A.90，90B.90，85C.90，87.5D.85，855．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点，把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A.正六边形B.正五边形C.正方形D.正三角形6．关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +1=0有两个实数根，则a 的取值范围为（）A ．a ≤2B ．a ＜2C ．a ≤2且a ≠1D ．a ＜2且a ≠1.7．已知点M （1﹣2m ，m ﹣1）在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是()A B C D2题图8.如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B 重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为()A B C D二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)9．分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2=___________________.10.一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其三视图如图所示，要摆成这样的图形，需用块小正方体.11．如图，AB、CD是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若AC=8，BC=6，则DP=；12.如图，已知双曲线)0(〉=kxky经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，且与直角边AB 相交于点C．若点B的坐标为（6，8），则△BOC的面积为_______.13.函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b+c=0；②b2﹣4c＞0；③b ＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确结论的序号是.11题图主视图左视图俯视图14．如图，直线y＝﹣x ﹣6交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以3个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是．15.计算：1260sin 221232+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-︒-的结果为16．如图，渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向30（1+）海里的C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东45°方向上，A 位于B 的北偏西30°的方向上，则A 、C 之间的距离为．三、解答题(本大题共8个小题，每小题9分，共72分)17．化简求值：12113++÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+a a a a ，其中a 是满足﹣3＜a ＜1的整数18．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 与点E ，DF ∥AB 交AC 与点F ，求证：四边形AEDF 是菱形。

2024成都中考数学第一轮专题复习之二次函数图象与系数a,b,c的关系知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系1.(2023贵州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点P (a ，b )所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第1题图2.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B 两点，对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是()第2题图A.a >0B.b >0C.点B 的坐标为(4，0)D.当x >－1时，y 的值随x 值的增大而增大3.(2023日照)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)a ＋b >0＋b <0，已知点(－3，m )，(2，n )，(4，t )在该抛物线上，则m ，n ，t 的大小关系为()A.t <n <mB.m <t <nC.n <t <mD.n <m <t 4.(2023凉山州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()第4题图A.abc<0B.4a－2b＋c<0C.3a＋c＝0D.am2＋bm＋a≤0(m为实数)5.(2023恩施州改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，其中一个交点为位于(2，0)，(3，0)两点之间．下列结论正确的是()A.2a＋b>0B.bc<0c D.－3<x1·x2<0C.a>－13第5题图6.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，若－2<x1<－1，则下列结论正确的是()第6题图A.3a＋2b>0B.b2<a＋c＋4acC.a>b>cD.a(m＋1)(m－1)<b(1－m)7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是()第7题图A.10a＋3b＋c>0B.a＋b>am2＋bmC.3a＋c<0D.若ax21＋bx1＝ax22＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4参考答案与解析1.D【解析】由二次函数的图象开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，知a＞0，x＝－b2a ＞0，∴b＜0，∴P(a，b)在第四象限．2.B【解析】A.由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B.∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴是直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0，故选项B正确，符合题意；C.由A(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1可知，点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；D.∵抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意，故选B.3.C【解析】∵当x＝0时，y＝ax2＋bx＝0，∴抛物线恒过(0，0)a＋b>0＋b<0，∴9a＋3b>0，∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＝9a＋3b>0，当x＝1时，y＝ax2＋bx＝a＋b<0，∴抛物线开口向上，∴抛物线的对称轴在直线x＝12与x＝32之间．∵点(－3，m)到对称轴的距离在72到92之间，点(2，n)到对称轴的距离在12到32之间，点(4，t)到对称轴距离在52到72之间，∴n＜t＜m.4.C【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a＜0，∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；∵当x＝4时，y＞0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，故B 选项错误，不符合题意；∵当x＝3时，y＝0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，又∵b＝－2a，∴3a＋c＝0，故C选项正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a＋b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c，∴am2＋bm＋c≥－a＋c，∴am2＋bm＋a≥0，故D选项错误，不符合题意．5.D【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，故A错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝－2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故B错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＜0，∴a＜－13c，故C错误；∵抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，∴x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴－3＜x1·x2＜0，故D正确．6.C【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，∴其对称轴为直线x＝1，即－b2a＝1，∴b＝－2a，∴3a＋2b＝3a－4a＝－a.由图象可知该抛物线开口向上，∴a＞0，∴3a＋2b＝－a＜0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0.由图象结合题意可知当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b.∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0，∴b2－4ac＞a＋c，即b2＞a＋c＋4ac，故B错误；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，由②可知a－b＋c＜0，b＝－2a，∴3a＋c＜0，∴c＜－3a，∴b＞c，∴a＞b＞c，故C正确；由图象可知当x＝1时，y有最小值，且为a ＋b＋c.∵a(m＋1)·(m－1)－b(1－m)＝am2＋bm－a－b＝am2＋bm＋c－(a＋b＋c)，又∵对于任意实数m，都有y m≥y＝a＋b＋c，∴am2＋bm＋c－(a＋b＋c)≥0，即a(m＋1)(m－1)－b(1－m)≥0，∴a(m＋1)(m－1)≥b(1－m)，故D错误．7.C【解析】∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在(3，0)左边，∴9a＋3b＋c＜0，∵图象开口向下，∴a＜0，∴10a＋3b＋c＜0，故A错误；∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a＋b＋c，∴m为任意实数时a＋b＋c≥am2＋bm＋c，∴a＋b≥am2＋bm，故B错误；∵对称轴是直线x＝1，∴－b2a＝1，b＝－2a.由图可知抛物线与x轴交点在(3，0)左边，∴由对称得另一个交点在(－1，0)右边，得a－b＋c＜0，∴3a＋c＜0，故C正确；∵ax21＋bx1＝ax22＋bx2，∴ax21＋bx1－ax22－bx2＝0，∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0，∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，∴x1＋x2＝－ba.∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，故D错误．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之一线三等角模型解决全等、相似问题知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题知识精练1.如图，△ABC 为等边三角形，D 是BC 上一点，连接AD ，点P ，Q 在AD 上，连接BP ，CQ ，且∠BPD ＝∠CQD ＝60°，若BP ＝3，CQ ＝5，则PQ 的长为________．第1题图2.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，连接DE ，CE ，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ，则BE BC的值为________．第2题图3.(2023重庆A 卷)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，连接A D.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F .若BE ＝4，CF ＝1，则EF 的长度为________．第3题图4.如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是CB 延长线上一点，且AB ＝DB ，连接AD ，若AD ＝6，则△ACD 的面积为________．第4题图5.(2023荆州)如图①，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB 和射线BA ，∠2的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM 交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP∶PB＝1∶2，BF＝2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．图①图②图③第5题图参考答案与解析1.2【解析】∵∠BPD ＝∠CQD ＝60°，∴∠APB ＝∠CQA .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵∠BPD ＝∠BAP ＋∠ABP ＝60°，∠BAC ＝∠BAP ＋∠CAQ ＝60°，∴∠ABP ＝∠CAQ .在△ABP 和△CAQ ABP ＝∠CAQ ，APB ＝∠CQA ，＝CA ，∴△ABP ≌△CAQ (AAS)，∴BP ＝AQ ＝3，AP ＝CQ ＝5.∵AP ＝AQ ＋PQ ＝BP ＋PQ ，∴PQ ＝AP －BP ＝5－3＝2.2.45【解析】∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ，∴△DAE ∽△EBC [钝角一线三等角(同侧)]，∴AD BE ＝AE BC .∵AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝5，∴BE BC ＝AD AE ＝45.3.3【解析】∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠CFA ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠CAF .又∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ＝1，AF ＝BE ＝4，∴EF ＝AF －AE ＝4－1＝3.4.9【解析】如解图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥AD 交DA 的延长线于点H ，CH 即为点C 到直线AD 的距离．∵BG ⊥AD ，AB ＝DB ，∴∠AGB ＝90°，AG ＝DG ＝12AD ＝3.∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BAC ＝90°，∴∠GAB ＋∠HAC ＝90°.又∵CH ⊥AD ，∴∠AGB ＝∠CHA ＝90°，∴∠HCA ＋∠HAC ＝90°，∴∠GAB ＝∠HCA .在△ABG 和△CAH AGB ＝∠CHA ，GAB ＝∠HCA ，＝CA ，∴△ABG ≌△CAH (AAS)，∴AG ＝CH ＝3，∴S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×6×3＝9.第4题解图5.解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8第5题解图①(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：如解图②，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵∠A，∠CPD，∠PBD互为等联角，∴∠A＝∠CPD＝∠PBD＝90°.∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM.又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2＋∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．第5题解图②②如解图②，过点F作FQ⊥BE于点Q，作FR⊥PB交PB的延长线于点R，则∠R＝∠A ＝90°.∵∠1＋∠5＝∠5＋∠6＝90°，∴∠1＝∠6.由△PCF是等腰直角三角形，得PC＝PF，∴△APC≌△RFP(AAS)，∴AP＝FR，AC＝PR.∵AC＝AB，∴AP＝BR＝FR.∵在Rt △BRF 中，BR 2＋FR 2＝BF 2，BF ＝2k ，∴AP ＝BR ＝FR ＝k .∵AP ∶PB ＝1∶2，∴PB ＝2AP ＝2k ，∴AB ＝AP ＋PB ＝BN ＝3k .由BR ＝FR ，∠QBR ＝∠R ＝∠FQB ＝90°，得四边形BRFQ 为正方形，∴BQ ＝QF ＝k ，由FQ ⊥BN ，CN ⊥BN ，得FQ ∥CN ，∴QE NE ＝QF NC，而QE ＝BN －NE －BQ ＝3k －NE －k ＝2k －NE ，即2k －NE NE＝k 3k ＝13，解得NE ＝32k ，由①知PM ＝AP ＝k ，ME ＝NE ＝32k ，∴PE ＝PM ＋ME ＝k ＋32k ＝52k .。

中考数学第一轮考点专题测试题19试题

卜人入州八九几市潮王学校中考一轮复习之二元二次方程组知识考点：理解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组〔Ⅰ〕；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组〔Ⅱ〕。

精典例题：【例1】解以下方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ；2、⎩⎨⎧==+67xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x 分析：〔1〕〔2〕题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；〔2〕题也可用根与系数的关系求解。

〔3〕为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或者02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。

答案：〔1〕⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22122y x ；〔2〕⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x 〔3〕⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例2】方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。

略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k即⎩⎨⎧<≠10k k∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。

【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。

分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。

初中数学专题初三数学第一轮模拟试题(含答案)

初三数学第一轮模拟试题（含答案）第一部分（50分）一. 填空题:（每小题2分，共24分） 1、-5的绝对值是；21-的相反数是 . 2、432a a a ⋅⋅= ；()32____________a -= .3、若2x -=是方程01k x 2=-+的根，则k ＝ .4、点P （3，2）在第象限；Q （-3，2）在第象限.5、下列命题：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的等边三角形都相似；（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的直角三角形都相似。

其中真命题的序号是__________(注：把所有真命题的序号都填上)6、因式分解：x 3－x=___________________.7、如果一个角的补角是150°，那么这个角是度.8、若三角形三边的长分别是3，5，x ，则x 的取值范围是 .9、方程组{53=+=-y x y x 的解是 .10、如图，已知DE ∥BC ，21=DB AD ,则______AEAC =，如果BC=12，则DE=____________.11、观察下列一组图形，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为___________.12、小颖同学是一个非常喜欢思考问题而又乐于助人的同学，一天邻居家正在读小学的小明，请小颖姐姐帮忙检查作业： 7×9＝63 8×8＝64 11×13＝143 12×12＝144 24×26＝624 25×25＝625 小颖仔细检查后，夸小明聪明仔细，作业全对了！小颖还从这几道题发现了一个规律。

你知道小颖发现了什么规律吗？请用一个字母表a 示这一规律： ________________________.二、解答下列各题:（13—16小题每题4分，17、18两小题每题5分，共26分）13、计算：()22121221⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫⎝⎛--ADCBE14、解不等式组：212223x x x ->-⎧⎪-⎨<⎪⎩ 15、计算：⎪⎭⎫⎝⎛+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a a b b b a a 1122.16、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE=CF 。

中考数学第一轮重点试卷练习(有解析)

中考数学第一轮重点试卷练习（有解析）初中的学习至关重要，宽敞中学生朋友们一定要把握科学的学习方法，提高学习效率。

以下是查字典数学网为大伙儿提供的中考数学第一轮模拟试题，供大伙儿复习时使用！一、选择题(每小题2分，共6分)1.下列事件为不可能事件的是()A.若a，b，c差不多上实数，则a(bc)=(ab)cB.某一天内收到的呼叫次数为0C.没有水分，种子发芽D.一个电影院某天的上座率超过50%2.下列事件：①打开电视机，正在播广告;②从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰好是白球;③同性电荷，相互排斥;④抛掷硬币1 000次，第1 000次正面向上.其中为随机事件的是()A.①②B.①④C.②③D.②④3.下列说法错误的是()A.必定发生的事件发生的概率为1B.不可能发生的事件发生的概率为0C.随机事件发生的概率大于0且小于1D.不确定事件发生的概率为0二、填空题(每小题4分，共8分)4.在一个不透亮的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________.5.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图J25-1-1所示方格地面上(每个小方格差不多上边长相等的正方形)，则小鸟落在阴影方格地面上的概率为________.图J25-1-1三、解答题(第6题6分，第7题5分，共11分)6.指出下列事件中，哪些是必定事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.①两直线平行，内错角相等;②打靶命中靶心;③掷一次骰子，向上一面是3点;④在装有3个球的布袋里摸出4个球;⑤物体在重力的作用下自由下落.7.一袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个，从袋中任意摸出一球.(1)“摸出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?(2)“摸出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?1.C2.B3.D4.585.9256.解：①和⑤是必定事件;④是不可能事件;②和③是随机事件.7.解：(1)“摸出的球是白球”是不可能事件，它的概率是0.(2)“摸出的球是黄球”是随机事件，它的概率是10-610=25.基础知识反馈卡?25.21.B2.B3.144.13唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。