第三章 随机变量的数字特征习题

第三章 随机变量的数字特征习题

一、 填空题

1. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，则10颗骰子的点数和的

数学期望为 ， 方差为 。

2. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，ξ表示取到的白球个数，ξ表示取到的黑球个数，则=)(ξE ，=)(ξD ，=)(ηE ，=)(ηD

3. 设随机变量ξ的期望为μ，均方差为0>σ，则当___________,

==b a 时， 0)(=+ξb a E ，1)(=+ξb a D 4 .已知随机变量ξ的概率密度为1

22

1

)(-+-=

x x

e x π

ϕ（+∞<<∞-x ），则

=)(ξE ，=)(ξD 。

5 .设随机变量ζ与η的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧

<

<=其它,

010,2)(2θθx x x f

若θ

ηζ1

)2(=

+c E ，则 c= 。

6.设连续型随机变量ζ的概率密度为

⎩

⎨

⎧≤≤+=其他

01

0)(x b

ax x f

且18

1

)(=

ξD ，则___________,

==b a ，=)(ξE 7. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，

1)(=+b a D ζ 则 =a , =b , 或=a ，=b 。

8. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ， 相关系数8.0=ζηρ，

则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。

9. 设两随机变量ζ与η的方差分别为25与16，相关系数为0.4，则

=+)2(ηζD ，=-)2(ηζD

10 . 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为2

σ，

令 i n

i n ζζ∑==1

1 ，则 =ζE ，=ζD

二、 选择题

1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必

有（ ）。

A. ζηaE E =

B. ζηaD D =

C. b aE E +=ζη

D. b aD D +=ζη 2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ ）（a , b 为常数）。 A. b aD +ζ B. ζD a 2 C. b D a +ζ2 D. ζD a 3. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12

(

2

=-ζE ，2

1

)12

(

=

-ζ

D ，则=ζ

E （ ）。

A. 0

B. 1

C. 2

D. 8

4. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（ ）。

A. ζ与η独立

B. ζ与η不相关

C. 0=ηD

D. 0=⋅ηζD D 5. 如果随机变量ζ与η不相关，则下列等式中（）不成立

A 0),cov(=ηξ

B ηξηξD D D +=+)(

C ))(()(ηξξη

D D D = D ))(()(ηξξη

E E E =

三、计算题

1. 设随机变量ζ的分布律为

求 )(ζE ， )(2ζE ，)53(2

+ζE ， )12(-ζD

2. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该

乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，已知ζ的概率密度为

⎩⎨

⎧<<=其他

010

01.0)(x x f 求ζ的数学期望与标准差。 3. 设ζ为一个随机变量。已知1=ζE ，1)2

(=ζ

D ，求 2)1(-ζE

4. 设4=ζD ，1=ηD ，6.0=ζηρ 求 )23(ηζ-D

5. 设随机变量),(ηζ的密度为)(8

1

),(y x y x +=

ϕ ， 20≤≤x ，20≤≤y 求ζE ，ηE ，),cov(

ηζ。 6 设二维连续型随机变量),(ηζ的联合概率密度为

⎩

⎨

⎧>>=+-其他

00

,0),()

(y x ye y x f y x

计算ζ与η的相关系数，问ζ与η是否不相关？是否独立?

7.精制食盐每袋的重量是随机变量，期望值为500克，标准差为5克，求装有50袋这种食盐的一箱总重量的数学期望与标准差 8.设连续型随机变量ζ的分布函数为

⎪⎩⎪⎨⎧

≥-=其他

02

81)(3x x x F 求ζ的期望和方差

9.设ζ与η是两个随机变量，已知20,22==ξξE E ，34,32

==ηηE E ，5.0=ρ求

（1）)(),23(ηξηξ-+E E （2）)(),23(ηξηξ-+D D 10.设二维连续型随机变量),(ηζ的联合概率密度为

⎩

⎨

⎧<<<<=其他

00,10),(x

y x k y x f ，试确定常数k ，

并计算)()(ξηξηD E 与

四、 证明题

设随机变量),(ηζ的联合分布律为

ζ η -1 0 1

-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试证ζ与η既不相关也不独立。

五、附加题

设随机变量ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,

00,2

cos 21

)(π

ϕx x x ，对ζ独立地重复观察4次，用η表示观察值大于3

π

的次数，求2η的数学期望。