5.3诱导公式
5.3三角函数的诱导公式
授课主题三角函数的诱导公式教学目标1．了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导公式的过程．2．理解诱导公式一至六的特征及其适用条件，掌握运用诱导公式解题的基本步骤，能灵活运用诱导公式解决三角函数的求值及证明等问题．3．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．4．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．教学内容1．诱导公式1）公式：公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；公式五：sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α；公式六：sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α.2）说明：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．公式二：是π＋α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化为锐角求值．公式三：研究角α与－α间关系，常用来把任意角求值转化为正角求值．公式四：研究π－α与α间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值．公式五：研究α与π2－α间关系，可实现正、余弦相互转化．公式六：研究α与π2＋α间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角π2＋α转化为锐角求值．3）记忆：公式可以概括为：对于k·π2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos ；cos→sin(奇变偶不变)． ③然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)．2．角的对称关系1）π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． 2）π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称． 3）－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．题型一 已知角，利用诱导公式求值例1 求下列三角函数值：(1)cos 1 290°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3； (3)cos(－1 650°)．分析：1 290°＝210°＋3×360°，－16π3＝－4π－4π3，－1 650°＝－4×360°－210°. 解析：(1)cos 1 290°＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3＝32. (3)cos(－1 650°)＝cos 1 650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.巩 固 求下列各三角函数的值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π； (2)cos(－945°)． 解析： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝sin π3＝32. (2)cos ()－945°＝cos ()－3×360°＋135°＝cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－22. 题型二 已知角的三角函数值，利用诱导公式求值例2 已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．分析：题目提供的主要信息有：已知α角加一个常量的三角函数值．因此，解答本题可先利用诱导公式化简再求值．解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α， 当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，例3 已知cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．分析：观察分析各角的内在联系，再利用诱导公式或同角关系式进行求值． 解析：cos(105°－α)＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(75°＋α)．∵cos(75°＋α)＝13>0，且α为第三象限角，可知75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋a )＝－23 2.∴cos(105°－a )＋sin(a －105°)＝22－13. 点评：注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学习三角函数的一个重要基础． 巩 固 已知cos 165°＝a ，求tan 195°的值．解析：∵165°＋195°＝360°，∴195°＝360°－165°. 又∵sin 165°＝1－cos 2165°＝1－a 2，∴tan 195°＝tan(360°－165°)＝－tan 165°＝－sin 165°cos 165°＝－1－a 2a .题型三 利用诱导公式化简例4 化简：cos (2π－α)cos (3π＋α)cos (－π＋α)cos (3π－α)cos (－α－π).解析：原式＝cos α(－cos α)－cos α(－cos α)(－cos α)＝1cos α.点评：三角函数式的化简方法．(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.例5 已知α是第三象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)tan (－α－π)sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)． 分析：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二至四，哪些是可以利用公式五、六，同时注意同角公式的应用，认真进行化简然后再求值．解析：(1)f (α)＝sin αcos αtan ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (－α－π)＝sin αcos α ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (α＋π)＝sin αcos α · cos αsin α－cos α＝－cos α.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，得cos ⎝⎛⎭⎫a ＋π2＝15即sin α＝－15，又α是第三象限角．∴cos α＝－265.∴f (x )＝－cos α＝256.巩 固 化简：cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (－α－π)sin ⎝⎛⎭⎫9π2－α.解析： 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎣⎡⎦⎤6π－⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (α＋π)sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α·(－cos α)sin α·cos α＝1.题型四 求角问题例6 是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出a ，β的值；若不存在，请说明理由．分析：先对条件进行化简，再求出α，β的一个三角函数值，进而求角． 解析：由条件，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②①2＋②2⇒sin 2α＋3cos 2 α＝2.又∵ sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cos 2 α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入②，得cos β＝32，又∵β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②，得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．A 组1．cos 690°的值为( )A ．－32 B.32 C.12 D ．－12答案：B2．cos ⎝⎛⎭⎫－10π3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案：B3．sin 1 290°＝________.解析：sin 1 290°＝sin(3×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.答案：－124．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3(n ∈N)； ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6(n ∈N)；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3(n ∈N)；⑤sin ⎣⎡⎦⎤()2n ＋1π－π3(n ∈Z)． 其中与sin π3数值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：∵sin π3＝32，∴cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝32，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3＝32， 而cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝cos π3≠32，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝si n ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32， 且对sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3，当n ＝2k (k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3， 当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 7π3＝sin π3. 答案：C5．若cos(π＋α)＝－12，3π2<α<2π，则sin(2π－α)等于( )A ．－32 B.32 C.12 D ．±32解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.又∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. 故sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：B6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π12－α等于( ) A.233 B.13 C ．－13 D ．－233解析：∵f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x2＝－f (x )．即A 错． ∵f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x2＝－f (x )．即B 错． ∵f (－x )＝cos (－x )2＝cos x2＝f (x )．即C 错，故选D.答案：D7．(1)sin(－1 200°)＝________；(2)cos 174π＝________.答案：(1)－32 (2) 228．已知函数f (x )＝cos x2，则下列等式成立的是( )A ．f (2π－x )＝f (x )B ．f (2π＋x )＝f (x )C ．f (－x )＝－f (x )D ．f (－x )＝f (x ) 解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x 2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x 2≠f (x )．对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x2≠－f (x )，故选D.答案：D9．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2s in(6π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m2解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ， 得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2si n(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.故选B. 答案：B10．已知α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34，又α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎦⎤π2，π.∴sin α＝35，cos α＝－45. ∴ sin α＋cos α＝－15.故选C.答案：C11．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13，则tan α等于________．解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－24.答案：－24B 组1．已知以下四个函数值：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3，②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3，③sin ⎣⎡⎦⎤n π＋(－1)n ·π3，④cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋(－1)n ·π6，其中n ∈Z ，与sin π3的值相同的是________． 答案：③④2．已知α是第二象限角，按要求做下列各题：(1)已知cos α＝－34，求sin α和tan α的值；(2)化简：1－cos 2⎝⎛⎭⎫π2－ α · tan α.解析：(1)sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－342＝74，tan α＝sin αcos α＝74－34＝－73. (2)原式＝1－sin 2α·sin αcos α＝－cos α·sin αcos α＝－sin α.3．化简式子：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α).解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为( ) A ．－1 B ．－3－2 C ．－2 D ．－3解析：f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.故选C.答案：C5．|cos α|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．解析：|cos α|＝cos(π＋α)＝－cos α，∴cos α≤0，α＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤α≤2k π＋32π，k ∈Z 答案：B6．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43.∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.7．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32，x 是第二象限的角． (1)求sin x 与cos x 的值；解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32，∴sin x cos x ＝－34.又x 是第二象限的角， ∴sin x >0，cos x <0.∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32. (2)求x 的集合．解析：(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， ∴在⎣⎡⎦⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6. ∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .1．计算：1）k ∈Z ，cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝________.2）sin 4π3＝________. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝________. 4）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 5）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 解析：1）cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝cos π3＝12. 2）sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－tan 2π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝tan π3＝ 3. 4）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝13. 5）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13. 2．下列四个命题正确的是( )A ．sin(－α)＝sin αB ．cos(－α)＝cos α。
数学人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
归 思 想
tan(180 ° -α) = -tanα
诱导公式（一）
sin(2k ) +sin sin( ) sin
公 式
cos(2k
) cos
cos( ) cos
公 式
一 tan(2k ) + tan tan( ) tan 二
公 sin( ) sin 式 cos( ) cos 三 tan( ) tan
)
2
sin tan . cos
变式
3. 已 知
f(α)
＝
cos π2＋α sin 32π－α cos－π－αtanπ－α
，
则
f
－25π 3
的值为
____解_．析：因为f(α)＝cocsos－π2π＋－ααsitnan32ππ－－αα
＝ －sin －cos
αα－－ccsoiosnsααα＝cos
例3.化简:
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
解：
( sin )( cos )( sin )cos[5 ( )]
原式
( cos )sin(
)[ sin(
2
)]sin[4 (
)]
2
sin2 cos[ cos( )]
2
( cos )sin[( sin )]sin(
3
sin(2 + 2 ) sin 2
3
3
sin（ ） sin
3
3
3 2
(3)
sin(
16 3
)
sin
16 3
sin(5
3
)
sin(
5.3 诱导公式(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin αcos (π＋α)＝－cos αtan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin (－α)＝－sin αcos (－α)＝cos αtan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin (π－α)＝sin αcos (π－α)＝－cos αtan (π－α)＝－tan α公式五sin()cos 2cos()sin 2π-α=απ-α=α公式六sin()cos 2cos()sin 2π+α=απ+α=-α记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)sin1470︒；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（5）()()cos120sin150tan855︒︒︒--+.【答案】(1)12(2)24）12；（5）34-【解析】（1）()1sin1470sin 436030sin302︒=⨯︒+︒=︒=．（2）9πππcos cos 2πcos 444⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（3）11πππtan tan 2πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 66ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭1=2.（5）原式()()()cos 18060sin 18030tan 1352360︒︒︒︒︒︒=--⋅-++⨯()cos60sin 30tan135︒︒︒=--+()cos60sin30tan 18045︒︒︒︒=+-cos60sin 30tan 45︒︒︒=-1131224=⨯-=-.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（）A．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由三角函数的定义可得tan 2θ=，则()sin πsin tan 2πsin cos tan 13cos cos 2θθθθθθθθ-===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．【答案】(1)12-；(2)2；(3)(4)2【解析】（1）ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭；（2）ππcos cos 442⎛⎫-== ⎪⎝⎭；（3）7πππtan tan πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）7πππsin sin 2πsin 4442⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）47ππcos πcos 8πcos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．（6）7π7πππsin sin sin 2πsin 3333⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）())tan 855tan855tan(2360135tan135-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒()tan 18045tan451=-︒-︒=︒=．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】36-【解析】由题意得22(14m +=，解得2116m =，因为α为第二象限角，可得0m <，所以14m =-，所以1sin ,cos 4αα=-，所以()π1sin cos 243πsin cos 1sin πsin 12αααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--++⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．【答案】35-【解析】()()()sin sin tan 3sin tan sin 5f ααααααα-===--.2．（2023秋·高一课时练习）已知1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（）A．－411B．－11C．11D【答案】C 【解析】因为1cos 3α=-，且α为第二象限角，所以sin 3α=，则()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--sin cos 3cos sin =cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+--sin 3cos tan =cos 3sin tan ααβααβ+--13311⎛⎫-⨯ ⎪=故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A 【解析】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】由sin()sin παα-=，可得1sin 3α=，则1sin(2021π)sin[(π)2020π]sin(π)sin 3αααα-=--=-=-=-.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．79-B ．3C ．79D ．13【答案】D 【解析】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BCD 【答案】D【解析】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又πsin 063α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．23B ．23-C D ．【答案】B【解析】因为2πππ2cos()cos π()cos()3333ααα⎡⎤-=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知2π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于．【答案】35-/0.6-【解析】7πππππ2π3cos cos(π)cos()sin()sin()6662635x x x x x ⎛⎫+=++=-+=-++=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为；【答案】1116【解析】π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，5πππ1cos cos cos 6664x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππcos cos sin 3266x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222πππ115cos sin 1cos 13661616x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，25ππ11511cos cos 6341616x x ⎛⎫⎛⎫∴-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1116.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【答案】证明见解析.【解析】左边=()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tan α=右边，∴等式成立．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin(22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan)(sin)cos sin sincos sinsin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tancosααα=-=-=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2(77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++=31mm++=右边，所以原等式成立.方法2：由8tan()7mπα+=，得tan()7mπα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17mmπαπα+++=+++=右边，等式成立.。
第五章 §5.3 诱导公式(一)
§5.3 诱导公式(一)学习目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．知识点 公式二～四终边关系 图示 公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？答案 诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠k π＋π2，k ∈Z .1．若sin(π＋α)＝13，则sin α＝ .答案 －13解析 sin(π＋α)＝－sin α＝13，∴sin α＝－13.2．若cos(π－α)＝13，则cos α＝ .答案 －13解析 ∵cos(π－α)＝－cos α＝13，∴cos α＝－13.3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝ . 答案 －64．sin 585°＝ . 答案 －22解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°) ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.一、给角求值例1 求下列三角函数值： (1)cos(－480°)＋sin 210°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3·cos 23π6·tan 37π6. 解 (1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°) ＝cos(360°＋120°)－sin 30° ＝cos 120°－12＝cos(180°－60°)－12＝－cos 60°－12＝－12－12＝－1.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3·cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6 ＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫－π6·tan π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos π6·tan π6 ＝－sin π3·cos π6·tan π6＝－32×32×33＝－34. (学生)反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 跟踪训练1 sin 5π6＋tan 7π4－cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝ . 答案 0解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4－cos 2π3 ＝sin π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－π4－cos ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝sin π6－tan π4＋cos π3＝12－1＋12＝0. 二、给值(式)求值例2 (1)(多选)已知cos(π－α)＝－35，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 答案 AB解析 因为cos(π－α)＝－cos α＝－35，所以cos α＝35，所以α为第一或第四象限角， 所以sin α＝±1－cos 2α＝±45，所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝±45.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ . 答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 延伸探究1．若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6？ 解 cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (教师)2．若本例(2)条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 的值．解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23 ＝－2＋33.反思感悟 解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练2 (1)已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35 B.35 C ．±35 D.45答案 B解析 由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－45，而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角， 所以cos α＝1－sin 2α＝35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－13，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋θ＝ . 答案 －223解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3>0， 即cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π3＝223，∴原式＝－223.三、化简求值例3 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (α－3×360°)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos α(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.反思感悟 三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析 因为tan(5π＋α)＝tan α＝m ，所以原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255答案 C2．sin 780°＋tan 240°的值是( ) A.332B.32C.12＋ 3 D ．－12＋ 3答案 A解析 sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°) ＝32＋tan 60°＝32＋3＝332.3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是()A.45 B ．－45 C ．±45 D.35 答案 B解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角， 所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.4．化简：cos (3π－α)sin (－π＋α)·tan(2π－α)＝ .答案 －1解析 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·tan(－α)＝－cos α－sin α·(－tan α) ＝－cos αsin α·tan α＝－1. 5.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于 ．答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2.1．知识清单：(1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式二～四．2．方法归纳：公式法、角的构造． 3．常见误区：符号的确定．1．sin 240°＋cos(－150°)的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3 答案 A解析 原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150° ＝－sin 60°＋cos(180°－30°) ＝－sin 60°－cos 30° ＝－32－32＝－ 3. 2．(多选)已知sin(π－α)＝13，则cos(α－2 020π)的值为( )A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－13 答案 AB解析 sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，cos(α－2 020π)＝cos α＝±1－sin 2α＝±23 2.3．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin C D ．－sin C答案 B解析 由于A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C .所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－4 3 D. 3 答案 C解析 由题意，得tan 600°＝a－4， 则a ＝－4·tan 600°＝－4tan(180°＋60°) ＝－4tan 60°＝－4 3.5．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．－513 D.513答案 B解析 方法一 因为cos(508°－α) ＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.方法二 cos(212°＋α)＝cos [720°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.6．计算：sin ⎝⎛⎭⎫－19π3cos 7π6＝ . 答案 34解析 原式＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6 ＝sin π3·cos π6＝34.7．已知sin(－π－α)＝35，且α为第二象限角，则sin (π－α)tan (α－2π)＝ .答案 －45解析 ∵sin(－π－α)＝35，∴－sin(π＋α)＝35，∴sin α＝35，∵α为第二象限角，∴cos α＝－45，sin (π－α)tan (α－2π)＝sin αtan α＝cos α＝－45.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝ ，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－9π4＝ . 答案 －13 89解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13， cos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－9π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4·cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4－2π ＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝89. 9．化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.解 (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α. 10．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( )A.a 1－a 2 B ．－a 1－a 2 C.a 1＋a 2 D ．－a 1＋a 2答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ，∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2，∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a 2.12．(多选)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2答案 BD解析 当k ＝2n ，n ∈Z 时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，A ＝sin[(2n ＋1)π＋α]sin α＋cos[(2n ＋1)π＋α]cos α＝sin (π＋α)sin α＋cos (π＋α)cos α＝－2.13．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 ．(用“>”表示)答案 b >a >c 解析 因为a ＝－tan π6＝－33， b ＝cos 23π4＝cos π4＝22， c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4＝－sin π4＝－22， 所以b >a >c .14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x <0)，f (x －1)－1(x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为 ． 答案 －2解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6 ＝sin π6＝12；f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.15．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 019)＝－1，则f (2 020)的值为 ．答案 1解析 ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a si n[π＋(2 019π＋α)]＋b cos[π＋(2 019π＋β)]＝－[a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)]＝1.16．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由题意得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4或3π4. 当A ＝3π4时，cos B ＝－32<0， 所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．所以A ＝π4，cos B ＝32， 所以B ＝π6，所以C ＝7π12. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.。
5.3 诱导公式
5.3诱导公式(一)教材梳理填空(1)诱导公式二①角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．②公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.(2)诱导公式三①角－α与角α的终边关于x 轴对称．如图所示．②公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.(3)诱导公式四①角π－α与角α的终边关于y 轴对称．如图所示．②公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.(二)基本知能小试1．判断正误(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．()(3)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()2．sin 585°的值为()A ．－22B ．22C ．－32D ．323．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________.4．化简sin 16π3·cos ________.题型一给角求值[学透用活][典例1]求下列三角函数值．(1)tan34π＋cos(－1650°)＋sin116π；(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cosπ5＋cos 25π＋cos35π＋cos45π.[对点练清]1．sin210°等于()A．12B．－12C．－32D．322．(2018·重庆一中检测)tan5π3＝() A．－3B．3C．－33D．333．求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan855°.题型二条件求值问题[学透用活][典例2](1)已知＝33，求cos(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[对点练清]1．[变结论]本例(1)条件不变，求sin2．[变条件]若将本例(1)中条件“33”改为“33，α∈cos3．当θ∈(0，π)时，若＝－35，求tan 题型三化简求值问题[学透用活]三角函数式化简的思路以及含有k π±α(k ∈Z )形式的处理方法(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数转化．(2)含有k π±α(k ∈Z )形式的化简时需对k 分是偶数还是奇数来确定选用的公式．[典例3](1)化简sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝________.(2)设k 为整数，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).[对点练清]1．化简1＋2sin (π－3)·cos (π＋3)的结果是________．2．若cos α＝23，α是第四象限角，则sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝________.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是()A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β2．sin 315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为()A.12B ．－12C ．－22D.223．sin 4π3cos ________.4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是________．二、创新应用题5．求值：cosπ7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．sin 780°＋tan 240°的值是()A ．332B ．32C ．12＋3D ．－12＋32．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是()A ．43B ．±43C ．－43D ．33．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于()A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5124．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为()A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．15．现有下列三角函数式：①πn ∈Z )；②n πn ∈Z )；③sin(2n ＋1)π－π6(n ∈Z )；④sin (2n ＋1)π－π3(n ∈Z )．其中值与sin π3的值相同的是()A ．①②B ．②④C ．①③D ．①②④6．化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________.7．若sin(π－α)＝log 814，且α－π2，cos(2π－α)的值是________．8．已知＝－13，则cos ________．9．已知cos α＝14，求sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α的值．10．(2018·山东师大附中高一期末)(1)计算：sin11π6＋tan29π4；(2)化简：tan(π－α)cos(2π－α)cos (3π－α)cos(－π－α)sin(π＋α).B级——高考水平高分练1．已知a＝b＝cos23π4，c＝则a，b，c的大小关系是________(用“＞”表示)．2．已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2019)＝3，则f(2020)＝________.3．化简：1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°.4．已知1＋tan(θ＋720°)1－tan(θ－360°)＝3＋22，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·1cos2(－θ－2π)的值．5．对于函数f(x)＝a sin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2。
5.3 诱导公式(解析版)
5.3 诱导公式一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三： sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值： 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 三、利用诱导公式求值与求解解题策略 1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．题型一 利用诱导公式给角求值【例1】cos210 的值等于（ ）A ．12 B3 C ．3D ．2【答案】C【解析】()3cos 210cos 18030cos30︒=︒+︒=-︒=故选:C.【变式1-1】35πsin6=（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．3【答案】B 【解析】35ππππ1sin sin 6πsin sin 66662⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．【变式1-2】计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan 663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1322312=⨯-.故答案为：1.【变式1-3】计算：1417sin cos tan 336πππ+-=___________. 【答案】0 【解析】141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2533sincos 0036ππ⎛=+-== ⎝⎭故答案为：0题型二 利用诱导公式给值求值【例2】若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（ ） A ．45- B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由()4sin sin 5παα+=-=-，得4sin 5α， 又由α为第二象限角，所以23cos 1sin 5αα=---．故选：B.【变式2-1】设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．45C ．35D ．45-【答案】C【解析】因为02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=， 所以3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式2-2】若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45- B ．35 C ．45 D ．35【答案】A【解析】∵()4sin sin 5παα+=-=-，∴4sin 5α， ∴34cos sin 25παα⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭.故选：A.【变式2-3】设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（ ） A 221a- B ．221a- C ．2a - D ．2a【答案】C【解析】因为sin65cos25︒=︒，()cos115cos 9025sin 25︒=︒+︒=-︒，()sin 25tan 205tan 18025tan 25cos 25︒︒=︒+︒=︒=︒， 所以22sin 65cos115tan 205sin 25a ︒⋅︒⋅︒=-︒=-.故选：C.【变式2-4】已知sin 37a =，则cos 593=（ ）A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --【答案】B【解析】()()cos593cos 63037cos 27037sin37a =-=-=-=-.故选：B.题型三 利用互余互补关系求值【例3】已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【答案】D【解析】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．【变式3-1】已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13B ．223C ．13-D ．22【答案】A【解析】πππππ1cos cos cos sin 442443αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A.【变式3-2】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．13- C ．79 D ．79- 【答案】B【解析】因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【变式3-3】已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________. 【答案】0 【解析】∵5cos cos cos 666a πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2sin sin cos 3266a ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.【变式3-4】已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）化简()f x ； （2）若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）35【解析】（1）()ππππcos 2cos 2π2tan 22333ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为()00π3cos 2310f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以000ππππ3sin 2sin 2cos 2632310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0002πππ3cos 2cos 2πcos 233310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故00π2π3sin 2cos 2635x x ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.题型四 利用诱导公式化简求值【例4】化简()()12sin 4cos 4ππ+--的结果为（ ）A ．sin 4cos4-B ．sin4cos4--C ．cos4sin 4-D ．sin4cos4+ 【答案】C()()12sin 4cos 4ππ+--12sin 4cos 4=-()2sin 4cos 4=-cos4sin 4=-，故选：C【变式4-1】（多选）已知角α满足sin cos 0αα⋅≠，则()()()sin πcos πsin cos k k k αααα+++∈Z 的取值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．0 【答案】AC【解析】因为sin cos 0αα⋅≠，则sin 0α≠且cos 0α≠，当k 为奇数时，原式sin cos 112sin cos αααα--=+=--=-； 当k 为偶数时，原式sin cos 112sin cos αααα=+=+=. 故原式的取值可能为2-、2.故选：AC.【变式4-2】已知α是第四象限角，且5cos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 【答案】3-【解析】由题设，225sin 1cos αα=-()()525sin cos cos sin 553sin cos 255cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-【变式4-3】（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值. 【答案】（1）cos θ-；（23【解析】（1）原式()222cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθ=--；（2）因为()sin3n f n π=，所以函数的周期为6， ()31sin 3f π==()232sin 3f π==，()3sin 0f π==， ()434sin3f π==，()535sin 3f π==，()6sin 20f π==； 由于201233562=⨯+，所以(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)3f =【变式4-4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+. （1）化简()f α；（2）若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【答案】（1）()f αcos α=；（2）()26f α= 【解析】（1）由题意得：()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+ ()()()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα---=---cos α=（2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=.∴α为第一或第二象限角， ∴226cos 1sin αα=-， ∴()26f α=题型五 三角恒等式的证明【例5】已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424AB C+⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】证明见解析【解析】证明：在ABC 中，πA B C ++=，则π22B C A+-=. 所以，πππππππcos cos cos cos 2424224224B C A A A ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 24A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原等式得证.【变式5-1】（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan )(sin )cos sin sin cos sin sin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tan cos ααα=-=-=右边， 所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2()]77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++ =31m m ++=右边， 所以原等式成立. 方法2：由8tan()7m πα+=，得tan()7m πα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17m m παπα+++=+++=右边，等式成立.【变式5-2232sin()cos()1222sin ππθθ-+-＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-． 【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+- ()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----. ∴左边＝右边，故原等式成立．【变式5-3】证明：()()()()()2sin cos 1cos sin sin nn n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z ．【答案】证明见解析【解析】证明：当n 为偶数时，令2n k =，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 22sin cos 2sin cos cos sin 2sin 2sin sin 2sin k k k k απαπααααααπαπααα+-====++-+． 右边()21cos cos k αα=-=，∴左边=右边．当n 为奇数时，令21n k =-，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 2sin 2sin 2k k k k αππαππαππαππ+--+=+-+-+()()()()2sin cos sin sin απαπαπαπ-+=-++ ()()()()2sin cos 2sin cos cos sin sin 2sin αααααααα--===--+--． 右边()211cos cos k αα-=-=-，∴左边=右边．综上所述，()()()()()2sin cos 1cos sin sin n n n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z 成立．。
第五章-5.3-诱导公式高中数学必修第一册人教A版
π
2
− ] ⋅ −sin =
⋅ −cos −sin = −cos2 .
cos π−
sin
⋅ [−sin
π
2
− ] ⋅ −sin =
（2）
tan 2π− sin −2π− sin
sin −π cos
3π
−
2
3π
+
2
.
π
【解析】原式=
tan − sin − sin[π+ 2 + ]
sin = sin ”的( C
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】若存在 ∈ 使得 = π + −1 ，则当 = 2, ∈ 时， = 2π + ，
则sin = sin(2π + ) = sin ；
∴ cos
11π
2
+ + sin 3π − =
6
11
+
6
11
=
12
..
11
6
，
11
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用诱导公式化简
例3 化简：
cos −π
（1）
sin π−
⋅ sin
π
−
2
cos
π
2
+ ;
【解析】原式
=
cos[− π− ]
sin
−cos
sin
⋅ sin[−
4
1
15
cos 2π − = cos = ，∴ sin = ± ，故D符合条件.故选ACD.
专题5.3 诱导公式(解析版)
专题5.3诱导公式一、单选题1．函数3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，点A 在角θ终边上，则3cos π2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C【解析】3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过点()3,4A ，因为点A 在角θ终边上，所以4sin 5θ=，则34cos πsin 25θθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C2．若4π5cos 513α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】7π7π4π3π4π5sin sin sin cos 101052513αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C3．若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B【解析】：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.4．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()sin 2021απ+=（）A B ．14C ．34-D ．【答案】A【解析】解：因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0α<且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin 4α==-，所以()()()sin 2021sin 10102sin sin 4απαππαπα+=++⨯=+=-=；故选：A5．已知3cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．34D ．34-【答案】C【解析】因为362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以632πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以3sin sincos 63234ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：C 6．已知()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A．BC．D ．1k-【答案】A【解析】解：因为()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，所以sin α==所以()sin sin παα+=-=A7．已知()()()sin cos 5sin sin 22αππαπαπα++-=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．34B ．43C ．32-D ．32【答案】D【解析】()()()sin cos sin cos 5cos sin sin sin 22αππαααπαααπα++---==-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，可得()sin cos 5cos sin αααα--=-，即4sin 6cos αα=，故3tan 2α=.故选：D.8．已知71sin 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13-B．3-C ．13D．3【答案】C【解析】由题意，5571sin sin sin 1212123πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C.9．已知角α终边上一点P 的坐标为4sin ,cos55ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的一个可能值为（）A ．5πB ．310π-C ．5π-D ．45π【答案】B 【解析】πsin 05>，4πcos 05<，因此α是第四象限角，2222π4πππsin cos sin cos 15555+=+=，因此πππ3π3πcos sin cos()cos cos()5251010α==-==-，所以3π2π,10k k Z α=±∈，只有B 符合．故选：B ．10）A ．sin 4cos4-B ．sin 4cos4--C ．cos 4sin 4-D ．sin 4cos4+【答案】C【解析】=，cos 4sin 4=-，故选：C11．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】C【解析】33sin cos 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos 5α∴=-，又α是第三象限角，4sin 5α∴==-，20214cos sin 25παα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭.故选：C.12．若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=（）A ．110B ．310C ．910D ．32【答案】C【解析】解：()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选：C.13．已知角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3cos cos 2ππαα⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭（）A ．75B ．75-C ．65-D ．15-【答案】D【解析】∵角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，35x ∴=-，45y =，1r OA ==．4sin 5α∴==y r ，cos 53x r α==-，()3341cos cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫⎛⎫∴-+-+=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D14．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（）A ．14-B．4-C ．14D．4【答案】A【解析】因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0<α且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以()()()1cos 2021cos 10102cos cos 4+=++⨯=+=-=-απαππαπα；故选：A15．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（）A ．52B ．52-C ．14-D ．14【答案】D 【解析】由()tan π3α-=可得，tan 3α=，故sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα---===+++，故选:D二、填空题16．已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【答案】12-或0.5-【解析】：因为2362πππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2326πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21cos cos sin 32662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：12-17__________．【答案】1【解析】原式＝sin 20cos 201cos 20sin160sin 20cos 20+==++．故答案为：1．18．若sin θcos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值_______【答案】6【解析】原式=cos cos (cos 1)θθθ---+cos cos cos cos θθθθ-⋅+11cos 11cos θθ=++-1cos 1cos (1cos )(1cos )θθθθ-++=+-221cos θ=-22sin θ=，因为sin θ=，所以22261sin 3θ==.所以cos(π)cos(2π)63ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+=--++-+.故答案为：6.19．若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____．或【解析】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=--=当角α为第三象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=+=20．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】32或1.5【解析】因为π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 626ππππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332cos 2642πα⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32三、解答题21．已知()()()()sin cos 2sin cos 2f πθπθθπθπθ--=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f θ，并求83f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()3f θ=，求22sin 3sin cos θθθ-的值．【答案】(1)()tan f θθ=，83f π⎛⎫=⎪⎝⎭(2)910【解析】(1)()()()()sin cos 2sin()cos 2f πθπθθπθπθ--=-+sin cos()sin (cos )2θθπθθ-=⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin cos cos (cos )θθθθ=--tan θ=则83f π⎛⎫⎪⎝⎭8tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭2tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=(2)由（1）知，tan 3θ=．则22sin 3sin cos θθθ-2222sin 3sin cos sin cos θθθθθ-=+222222sin 3sin cos cos sin cos cos θθθθθθθ-=+222tan 3tan tan 1θθθ-=+22233331⨯-⨯=+9.10=22．（1）若α是第二象限角，且π1cos 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2）已知()()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=---，化简()f α，在（1）的条件下，求()f α的值.【答案】（1）4-（2）3-【解析】（1）π1cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin 3α=，α是第二象限角，cos 3α∴==-，则sin 2tan cos 4ααα==-.（2）()()()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos cos πsin πcos sin f αααααααααααα⎛⎫--- ⎪-⎝⎭===----，由（1）知：cos 3α=-，则()cos 3f αα==-.23．已知函数()()3sin sin 2cos 3tan x x f x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=--⋅．(1)求353f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)若()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求2cos 2sin 10sin 2cos sin θθθθθ++-的值．【答案】(1)12-(2)2【解析】(1)()()3sin sin sin cos 2cos cos 3tan cos tan x x x x f x x x x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭===---⋅-⋅，35351cos cos 3332f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)由()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭得1cos sin 3θθ=，tan 3θ=，所以222cos 2sin 12tan 10tan 10sin 7922cos sin 2tan 1tan θθθθθθθθθ+++=+=-+=--+．24．已知cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭．(1)求tan()πα+的值；(2)求2sin cos cos ααα+的值．【答案】(1)12(2)65【解析】(1)由cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，可得sin cos 33sin cos αααα+=-，所以8sin 4cos αα=，解得1tan 2α=，所以1tan()tan 2παα+==．(2)由（1）知1tan 2α=，所以22222sin cos cos tan 16sin cos cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++．。
5.3诱导公式(第二课时)-课件(人教版)
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
立德树人 和谐发展
计算或化简：
（1）cos
65π 6
y 的终边
2
P2 y, x
提示: 横、纵坐标互换 公式五
α的终边
O
P1(x，y)
sin(
)
cos
x
2
y=x
cos( ) sin
2
诱导公式五
探究(二 )
诱导公式六
公式六
sin(
立德树人 和谐发展
) cos
思考4： 与 有什么内在联系？
2
2
2
提示: ( )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
cos( ) sin
sin( ) cos cos 2sin sin cos
sin sin cos
tan tan 1
2
立德树人 和谐发展
必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 答：
角 α 0° 30° 45° 60°
角α的 0
弧度数
π 6
π 4
π 3
90°
π 2
(
3 2
)
cos
cos(32 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
例2已知：tan(3 ) 2 ，求值；
立德树人 和谐发展
sin( 3 ) cos( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) sin( ) cos( )
5.3诱导公式(第一课时)
用途：“小”角化“锐”角
反思归纳
公式二
sin(＋)＝−sin，
cos(＋)＝−cos ，
tan(＋)＝tan .
公式三
sin(−)＝−sin，
cos(−)＝cos ，
tan(−)＝−tan .
公式四
sin(−)＝sin，
cos(−)＝−cos ，
的关系如何？
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
y
P1(x,y)
+
O
P2（-x,-y）
P2
sin(＋)＝ -y =-sinα
cos(＋)＝ -x =-cosα
y y
tan
tan(＋)＝
x
x
x
导学
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
诱导公式（二）
sin(＋)＝ -sin
概括为：
负化正，正化小，化到锐角就终了
悟学【跟踪训练 1】：求下列各源自角函数值.(1)sin π;
解:(1)sin
(2)cos(-765°);
(3)tan(-750°).
=sin(4π+ π)=sin π=sin(π+ )=-sin =- .
(2)cos(-765°)=cos 765°=cos(2×360°+45°)=cos 45°= .
其中k Z.
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
预学
1
2
1
2
3
2
3
2
3
3
3
3
-
1
2
3
2
5.3(3)同角三角比的关系与诱导公式
二、特殊角的三角比
α
sinα
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
cosα
tanα
例2、化简： cos(2 ) cot( ) tan( ) (1) ； sin( ) cot( 3 )
tan( ) cos( ) cos( ) (2) ； cot( ) sin( 2 )
第一组诱导公式
(the first group of induction formulas) 终边相同的角，同名三角比相等 由此得到：
y
P
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan cot( 2k ) cot k Z
o
x
5.3 任意角三角比的诱导公式
第二组诱导公式
(the second group of induction formulas) 由此得到：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
y
P ( x，y )
o
x
P1(-x,-y)
5.3 任意角三角比的诱导公式
第四组诱导公式
(the fourth group of induction formulas) 把第三组诱导公式α换成 α，得到：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
3、利用诱导公式，化简三角式；
Hale Waihona Puke ox
5.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
高考总复习·数学 高考总复习 数学 证法二：由题意知 cos x ≠ 0 ，所以 1 + sin x ≠ 0,1 − sin x ≠ 0
(1 − sin x)(1 + sin x) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x ⋅ cos x 又∵ cos x 1 + sin x = ∴ 1 − sin x cos x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
sin α ⋅ ( − tan α ) ⋅ (− sin α ) sin 2 α = = tan α ⋅ sin α 解：（ ）原式＝ 1 − tan α ⋅ (− cos α ) cos α π 1 1 (2)由 cos(α + ) = ,得 : − sin α = , 2 5 5 1 2 6 ∵α 是第三象限的角， cos α = − 1 − (− ) 2 = − ∴ , 5 5 1 2 5 6 ∴ f (α ) = (− ) × (− )=− . 5 60 2 6 (3) ∵ −1860° = −5 × 360° − 60°, sin 2 (−1860°) sin 2 ( −5 × 360° − 60°) ∴ f ( −1860°) = = cos( −1860°) cos(−5 × 360° − 60°) sin 2 (−60°) 3 = = . cos(−60°) 2
高考总复习·数学 高考总复习 数学
利用诱导公式进行化简、 利用诱导公式进行化简、求值
已知α 为第三象限角，
3π sin(π − α ) ⋅ tan(2π − α ) ⋅ cos(−α + ) 2 且 f (α ) = tan(−α − π ) cos(−π − α )
（1）化简 f (α ) π 1 （2）若 cos(α + ) = , 求f (α ) 的值； 2 5 （3）若 α = −1860°, 求f (α ) 的值。
5.3.1.诱导公式(1)
6
3
6
6
2 3 3
类型三 化简求值问题
【典例】1.计算: cos ＋cos 2 ＋cos 3 ＋cos 4 ＋cos 5
7
7
7
7
7
＋cos 6 =___0_____.
7
2.已知tan(π +α )=m,求值:
tan(2－ )sin(－2－ )cos(6－ cos(－ )sin(5－ )
6－ 3－4 4
【加练·固】
求 sin(2n＋2 ) cos(n＋4 ) (n∈Z)的值.
3
3
【解析】(1)当n为奇数时,原式=
sin
2
3
(－cos 4 )
3
sin(－ ) [－cos(＋ )] sin cos 3 1 3 .
3
3
3 3 22 4
(2)当n为偶数时,原式= sin 2 cos 4
A．1－a2 B.－ 1－a2 C．1－a2
a
a
D． 1＋a 2 a
【习练·破】
4
1.已知sin(π +α )= 5 ,且α 是第四象限角,则cos(α -
2π )的值是 ( B )
A. －3
B. 3
5
5
C． 3
D. 4
5
5
2.已知 cos( － )＝ 3 ，求 cos( 5 ＋ ) sin2 ( ) 的值.
3
3
＝sin(－ ) cos(＋ )＝sin (－cos )＝ 3 (－1 )＝－ 3 .
3
3
3
32 2
4
综上所述,原式=
3. 4
＝sin cos
5.3 诱导公式
.
1.诱导公式二 (1)角π+α与角α的终边关于原点对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
P1点的坐标（x,y）?
(2)诱导公式二:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)=
高考真题 能力提升部分
5．(1)设 f(α)＝12＋sisninπ2＋α＋αccooss32ππ－＋αα－－csoins2ππ2＋＋αα (1＋2sinα≠0)，求 f(－263π)的值． (2)化简 sin(nπ＋23π)·cos(nπ＋43π)(n∈Z)．
课堂小结
1、“函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时由新角所在象限确定符号.
奇变偶不变，符号看象限
【2】“奇变偶不变”：角α前面的是
，如果 是 的奇数倍，那么得到的
三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果 是 的偶数倍，
那么得到的三角函数名不变化
【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，
此时判断
所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号
因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°
由
，得143°＜β＜180°
所以
所以
高考真题 能力提升部分
1．(2010·全国卷Ⅰ)cos300°＝
A．－
3 2
B．－12
1
3
C.2
D. 2
解析：cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.
5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝ －cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三 三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
5.3 第一课时 诱导公式二、三、四
[新知初探]
知识点 诱导公式二、三、四
1．公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终 边关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
tan(π＋α)＝ tan α
2．公式三 终边关系
角－α与角α的终边 关于 x轴 对称
公式
解：(1)原式＝－sin73π＝－sin2π＋π3＝－sinπ3＝－
3 2.
(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－ 23－cos 45°－tan 45°
＝－ 23－ 22－1
＝－
2＋ 3＋2 2.
(3)原式＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4 ＝－sinπ3cosπ6tanπ4＝－ 23× 23×1＝－34.
给值(式)求值问题
[例3](1)已知cos( ) m, ( , 3 ),求sin(5 )。
2
(2)已知 cosπ6－α＝ 33，求 cos56π＋α的值． [母题探究]
1．(变设问)在本例条件下，求：
(1)cosα－136π的值；(2)sin2α－π6的值． 2．(变条件)若将本例中条件“改为“sinα－π6＝ 33，
()
A．12
B．－12
Hale Waihona Puke C．－3 2D．
3 2
解析：由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.
答案：B
3．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是
A．sin α＝sin β
B．sin(α－2π)＝sin β
()
5.3诱导公式(第一课时)2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin( − ) = sin
cos( − ) = −cos
tan( − ) = −tan
试一试
3
tan
4
= tan( − )
4
= − tan
4
= −1
二、新授
公式一
sin （ + 2） = sin
cos（ + 2） = cos ��
tan （ + 2） = tan
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P(, )
的终边
x
o
-的终边
2 (x, −y)
cos(−) = x
tan(−) = −
公式三
sin( −) = − sin
cos(−) = cos
tan(−) = −tan
试一试
sin(− )
3
= − sin
3
3
=−
2
二、新授
公式二
sin( + ) = − sin
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
公式三
sin( −) = − sin
cos(−) = cos
tan(−) = −tan
公式四
sin( − ) = sin
cos( − ) = −cos
公式二
sin( + ) = − sin
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
试一试
cos +
6
= − cos