半导体物理基础(5)扩散运动

2 p d p p D p 2 p p p gp t x dx x p
2 p p Dp 2 t x p
——非平衡少数载流子的扩散方程
p
p
恒定光照下
2 p p Dp 0 2 x p
——稳态扩散方程
2 用恒定光照射n型半导体，并被表面均匀吸收,且gp=0。 假定材料是均匀的，且外场均匀，试写出少数载流子满 足的运动方程，并求解。 解
x 0
----在x附近，单位时间、单位体积中积累的电子数 稳态时，积累=损失
dSn x nx dx n
d nx nx 那么 Dn 2 dx n
2
稳态扩 散方程
d nx nx Dn 2 dx n
2
三维
Dn n
球坐标

J p漂 qp （ 0 x） p
dp0 x J p 扩 qS p x qD p dx
qp （ 0 x） p
p0 ( x) Nve

dp0 x qD p dx
Ev ( x ) EF k0T
Nv e
[ Ev qV ( x )] EF k0T
2
n
n
1 d 2 dp n Dn 2 (r ) r dr dr n
解方程, 得 nx Ae
其中 Ln Dn n
x Ln
Be
x Ln
称作扩散长度
若样品足够厚
x
有nx 0
B 0
又 x 0时, nx n0
最后得 nx n0 e
p
gp 0
p p p0 p g p
空穴向表面扩散，满足的扩散方程
d p p Dp gp 0 2 dx p
2
边界条件为
p() p g p
p( x ) Dp x
x 0
s p p(0)
例 今有一块均匀的n型硅材料，用适当的频率、稳 定的光照射样品的左半边（如下图），产生电子-空 穴对，其产生率为gp，求稳态时、低注入水平、样品 足够长时两边的空穴浓度及分布。
2 p
2 p
2L
2 p
1 ~ “” 2 ~ “”
Lp ( ) p p
——空穴的牵引长度
空穴在寿命时间内所漂移的距离 考虑到非平衡载流子是随x衰减的
p Be
又x
2 x
0时，p （p） 0
则B （p） 0
最后得：
p (p)0 e
2 x
其中
Lp ( ) Lp
dn S n x Dn dx
扩散定律
Dn---电子扩散系数（ electron diffusion coefficients）
Sn x Sn x x
---单位时间在小体积Δx· 1中 积累的电子数
S n x S n x x dS n x lim x dx
5.5 非平衡载流子的扩散（Diffusion）运动
（1）扩散运动与扩散电流（diffusion current）
考察p型半导体的非少子扩散运动 沿x方向的浓度梯度
电子的扩散流密度
dn dx
S n x
（单位时间通过单位 截面积的电子数）
dn S n x dx
dn x dx
对于p型半导体：
p 0 x
n
n d n n Dn 2 nn n gn t x dx x n
2
p
2 p d p p D p 2 p p p gp t x dx x p
应用举例 1 用光照射n型半导体，并被表面均匀吸收，且gp=0 。 假定材料是均匀的，且无外场作用，试写出少数载流子 满足的运动方程。
∆p
p
t=0
t=t1 t=t2 0 A x
4 稳态下的表面复合
稳定光照射在一块均匀掺杂的n型半导体中均匀产生非平 衡载流子，产生率为gp。如果在半导体一侧存在表面复合 （如图所示），试写出非平衡载流子的表达式。 表面复合
0
体内产生的非子为
x

p

p
2 p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
3 在一块均匀的半导体材料中，用适当频率的光脉冲 照射其局部区域，请分别写出没有外场和加外场时， 非平衡载流子在光脉冲停止后的运动方程。 没有外场：
2 p p Dp 2 t x p ∆p t=0
t=t1 t=t2 0 x
p
有外场：
2 p p p Dp p 2 t x x p
2
L p ( ) L2p ( ) 4 L2p 2L
2 p
1 L（ p ） 1 Lp
Lp ( ) Lp
( p ) 0 e p x ( p ) e L p 0
x L p ( )
电场很强
电场很弱
结论：由表面注入的非平衡载流子深入样品的平均距 离，在电场很强时为牵引长度，而电场很弱时为扩散 长度。
当W<<Ln时，
x n( x) (n)（ ） 0 1 W
相应的 Sn=常数
扩散电流密度
电子的扩散电流密度
dnx J n 扩 qS n x qDn dx
空穴的扩散电流密度
dp x J p 扩 qS p x qD p dx
Dn dnx n0 e J n 扩 qSn x qDn q dx Ln
P 空穴 积累率 复合率 其它产生率 t
*空穴积累率： 空穴的扩散和漂移流密度
p Sp Dp p p q x Jp
空穴积累率
2 p d p D p 2 p p p x x dx x
S p
复合率
p

p
p
2
其它产生率
gp
注意到 1 nLn n 0 e

x Ln
x Ln
若样品厚为W（W
∞)
并设非平衡少子被全部引出
则边界条件为： ∆n(0)= (∆ n)0
∆n(W)=0
x Ln
带入方程 nx Ae
得
Be
x Ln
W x sinh( ) Ln n( x) (n) 0 W sinh( ) Ln
p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
p 0 t p p x x d 0 dx
------连续性方程
讨论（1）光照恒定 （2）材料掺杂均匀
（3）外加电场均匀
（4）光照恒定，且被半导体均匀吸收
p 0 t
光照
0
x
p
p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
2
dp0 ( x) q dV x p0 ( x) dx k0T dx
dV 而 dx
最后得 同理
Dp
k0T p q
பைடு நூலகம்
Dn
k0T n q
5.6 连续性方程
指扩散和漂移运动同时存在时，少数载流子所遵守的运动方程 以一维n型为例来讨论：
ε
光 照
在外加条件下，载流子未 达到稳态时，少子浓度不仅是x 的函数，而且随时间t变化：
p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
2
p
此时连续性方程变为
d 2 p dp p Dp p 0 2 dx dx p
方程的通解为：
p Ae
1 x
Be
2 x
1， 2
其中
Lp ( ) L ( ) 4 L

x Ln
Dn q nx Ln
Dp dpx p 0 e J p 扩 qS p x qDp q dx Lp

x Lp
q
Dp Lp
px
（2）总电流密度
dnx J n J n漂 J n扩 qn n qDn dx
dp x J p J p漂 J p扩 qp p qD p dx
在光照和外场同时存在的情况下:
J总 J n J p
（3） Einstein Relationship（爱因斯坦关系）
D
k 0T q
平衡条件下：
J p漂 J p扩 0