压杆稳定
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材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
压杆稳定
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
4
2. 稳定平衡
5
3. 稳定平衡和不稳定平衡
6
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。 P
xL
P P
xM
y
① 弯矩： M(x,y)Py
② 挠曲线近似微分方程：
yMP y EI EI
31
当压杆在各个弯曲平面内 的约束情况都相同时，应 尽量使其截面对任一形心 主轴的惯性矩都相等，这 样可使压杆在各个弯曲平 面内都具有相同的稳定性( 称为等稳定性设计)。
保国寺大殿的拼 柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面 为八角形。经历了1305年的八级地震。32
[例7 ] 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3
b
Pcry
2E L22
I
y
=0.7，
bh3 I z 12 ,
Pcrz(0.27EL1I)z 2
③压杆的临界力 P crmP icn r,y(P cr)z
17
[例4] 求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m , E=200GPa。
解：图(a)
P
P
Im in51 1 02 30 1 1 0 24.1 1 70 9m 4
令:k 2 P
x
Px
EI
M0
yk2yk2 M
yccoksx dsPiknx M
P
ydco k x scsiknx
M0 P
M0 边界条件为:
P
x 0 ,y y 0 ;x L ,y y 0
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
材料力学 第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
材料力学 第十二章 压杆稳定
P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
压杆稳定
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
第十五章 压杆稳定
课题一 压杆稳定的概念
如上图，在自由端沿杆轴线方向施较小压力时，压杆处于直线平 衡状态（图a），此时若施加一微小横向干扰力，使杆处于微弯状 态（图b），然后将干扰力去除，杆经过几次左右摆动后，仍能回 复到原来的直线平衡状态（图c），这说明压杆的直线平衡状态是 稳定的。
但当压力F增大到某一数值时，压杆在微小干扰力作用下，杆即变 弯。当去除干扰力，杆不再回复到原来的直线平衡状态，而是处 于微弯平衡状态，称此时压杆的直线平衡状态不稳定。
（1）计算螺杆的柔度： i
I A
d
4 0
/
64
d0
40 mm 10mm
d
2 0
/
4
4
4
l 2 375 75
i 10
（2）计算临界应力
cr s a2 275 0.00853 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
（3）校核螺杆的稳定性。
稳定许用应力为：
[
w
]
cr nw
227 4
MPa
56.8MPa
螺杆的工作应力为： F 70 103 MPa 55.7MPa
A 40 2 / 4
[ w ]
，所以螺杆是稳定的。
二、提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。
第十五章 压杆稳定 课题三 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
对于钢材 cr s a2 对于铸铁 cr b a2
式中是与材料有关的常数，单位为MPa，其值可从表中10-2查得。
第十五章 压杆稳定
课题二 临界力和临界应力
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象（下图）称为临界 应力总图。
第十五章 压杆稳定
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
工程力学2第九章压杆稳定的概念及三种平衡状态
02
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
单击此处添加大标题内容
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。为了能让您有更直观的字数感受，并进一步方便使用，我们设置了文本的最大限度，当您输入的文字到这里时，已濒临页面容纳内容的上限，若还有更多内容，请酌情缩小字号，但我们不建议您的文本字号小于14磅，请您务必注意。
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
单击此处添加大标题内容
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压杆稳定
EI
2
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I
应是截面最小的形心主惯性矩。
l 1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
p cr s
p cr
cr s
1
cr a b
a s b
（直线公式）
a b s
a s 令 2 b
材料的第二特征柔度
1 2
中粗杆
1 2
这类杆又称中柔度杆。
cr a b
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
Fcr
2 EI
( 2. 0 l ) 2
2
Fcr
2 EI
( 1. 0 l ) 2
1
0.7
一端固定、一端铰支 两端固定
Fcr
Fcr
2 EI
( 0. 7 l ) 2
2 EI
( 0. 5 l )
2
i
i
I A
l
截面的惯性半径 工作柔度
又称为压杆的长细比。它全面反映了压杆长度、约束条件、 截面尺寸和形状对临界力的影响。
E cr 2
2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
O
σs σ σp
O
σs
细长杆
1
材料力学第11章 压杆稳定
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800
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表 细长压杆临界力与杆端支承的关系
两端铰支
Fcr
L l 相当（折算）长度
（与支承有关的）长度系数
Fcr
π 2 EI
L 2
l
EI
L 1l
O
一端固定一端自由
Fcr
一端固定一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
L 0.7l
l
EI
l
EI L 0.5l
O
O
EI l
L 2l
O
图示材料相同，直径相同的四根细长圆杆， （ ）杆能承受的压力最大。
Fcr=?
●其它构件的稳定性问题
深梁失稳
薄壁圆管失稳
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2 细长压杆的临界力
2.1 两端铰支细长压杆的临界力——欧拉公式
临界状态： 微弯状态的平衡 杆的任一横截面上的弯矩：
x Fcr
Fcr wM x
Fcr
M x Fcrw
EI
l
cr F
A
cr
1 安全系数法
cr
nst
cr
nst：稳定安全系数
[cr]：稳定许用应力
稳定条件：
F A
cr
例5： 图示结构中，支承柱CD的直径d=20mm，
材料为A3钢，A、C、D三铰均为球铰。已知： P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55mm，E=106 GPa，规定 的稳定安全系数nst=2.0，试校核CD杆是否安全。
压杆稳定
1 压杆稳定性的概念 2 细长压杆的临界力 3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 4 压杆的稳定计算 5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
1 压杆稳定的概念 2 铰支细长压杆的临界力 3 其它支承情况下细长压杆的临界力 4 临界应力 欧拉公式的适用范围 5 压杆稳定的实用计算 稳定条件 6 提高压杆稳定性的措施
cr
a bL
L
p
cr
s
s L L cr s
p
E
p
s
E
s
s p
强度
cr
稳定性
s D
p
C
O s p
临界应力总图
cr
f L
g
L
L L
cr cr
p p
cr
235 D
p
O
cr a b 2
cr
2E 2
C
B
p
5 压杆稳定的实用计算 稳定条件
临界应力 实际应力 危险状态
l
Iy Iz
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2)2 a4.32cm
求临界力：
l 0.7 6
i
Iz
2 A1
0.7 6
106.5
396.6 108
2 12.74 104
p
2E P
2 200109
200106
99.3
大柔度杆，由欧拉公式求临界力
Fcr
2EI (l)2
2 200 396.6 10
(0.7 6)2
443.8kN
3 临界应力 欧拉公式的适用范围
一、压杆应力
计算临界力的欧拉公式：
Fcr
2EI
l 2
临界应力:
cr
Fcr A
2EI
l2 A
A：杆的横截面面积
cr
Fcr A
2EI
l2 A
I i2 A
I i A
i:惯性半径
w
x
O
y
Fcr
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
M x Fcrw x
另一方面：
Fcr
w M x
EI
w Fcr w EI
EI
l
w
令： Fcr k 2 EI
w k 2w 0
x
O
y
——微弯弹性曲线的微分方程
FR
（常系数齐次线性微分方程）
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
材料、直径不变
Fcr l/2 EI
Fcr l/4 EI
Fcr
π 2 EI
2l 2
……
例3 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，
已知E=200GPa， p=200MPa ，下端固定，上端为球
铰支座，试问 a=？时最合理，此时立柱的临界压力 值为多少？
F
L
a
I
Iz
y
Iy
z
a
解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。
Iz
1 ba3 12
出平面： 2 2
Iy
1 12
ab3
l 4m
a=0.12m
b 0.2m
y
z
解： 在平面
z
1l
iz
0.5 4 0.5 4 2
Iz
0.12
3
57.8
A
出平面
F l 4m
y
2l
iy
24 Iy
242 3 0.2
138
a=0.12m
A
b 0.2m
y
Fcr
2E 2
A
2 1010 138 2
F
A1 12.74cm2 z0 1.52cm
I z1 198 .3cm4
I y1 25.6cm4
a
两根槽钢图示组合之后，
C1 z1(z) I z 2I z12198 .3396 .6cm4
z0
y
y1
I y 2[I y1 A1(z0 a / 2)2 ]
2[25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
EI O
k 0.7
l
Fcr A
B
0k
0.7 2
Fcr
EI l
O
k 0 2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.3 关于欧拉公式的几点讨论 (1) 在哪一个平面内失稳？ (2) 在哪一个杆段失稳？ (3) 弹性支承处理?
(4) 欧拉公式的适用范围？
Fcr l EI
y O(A) FR
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
临界力:
n2π2 Fcr l 2 EI
（n=0，1，2，…）
位移函数: w Asin nπ x
x
l
A为压杆中点的挠度，可以是任意的微小值 Fcr
Timoshenko, S. Theory of Elastic Stability, p.70-74,
x
Fcr
FCr
Fcr
π 2 EI (2l ) 2
l
O
y
图1
两端固支
l
Fcr ?
图2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
x Fcr
x
Fcr
Fcr
l
EI
A
C
l EI
O y 2l
l
l/2
O
y
Ll
L 2l
Fcr
π 2 EI l 2 Fcr
π 2 EI
L 2
Fcr
π 2 EI
d 2w dx2
M x
EI
1
x
1
d 2w
dw
dx2
dx2
3
2
Fcr
EI
l
w
x
1
x
M x
EI
E
O
w
欧拉公式成立的条件：
Fcr
当压杆所受的压力达到临界力时，材料仍应服
从胡克定律。
cr p
2E 2
p
E p
E
p
p
p
E
p
欧拉公式的适用范围的数学表达式:
p 大柔度杆
例4：图示细长压杆(p=123)，
§1
强度 稳定性 ●稳定的概念 纵弯曲
压杆稳定性的概念
关系 ?
P=30N
FN
A
1000
P1=6kN
30
压杆丧失稳定性，即失稳
所谓压杆的稳定，是指受压杆件保持其原有平衡状 态的能力。
工
程
连杆失稳
实
例
1907年8月29日，正在施工中的加拿大魁北克市 圣劳伦斯河大铁桥突然全桥坍塌，桥上的74人全部 遇难。事故调查分析结果表明，它是桥下弦压杆稳 定性不够造成的。
y
y z
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.3 关于欧拉公式的几点讨论 (1) 在哪一个平面内失稳？ ①球铰
② 柱铰
y
z
对称
x
xOy面内： 两端铰支 xOz面内： 两端固支
y z
x
Fcr
π 2 EI
l 2
min
Iy
2 y
,
Iz
z2
思考：图示为由两个型号相同的不等边角钢组成的
问题2：篮球比赛中的推人
是要判犯规的，但如果对方
处于腾空状态，则可能被判
违体（违反体育道德）犯规，
为什么？
Fcr
π 2 EI l2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.2 临界力与杆端支承的关系
例1 一端固定另一端自由（图1 ）的等截面受压
杆，杆长为l，杆在xOy平面内的弯曲刚度为EIz， 试推导此杆的临界力计算公式。