数列递推关系与单调性

数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性）

求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化

一．线性的

1.已知21n n S a =+求n a

2.已知21n n S a =+求n a

3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化

二．非线性的

1.已知0n a >，2

22n n n S a a =+-；求n a

2.已知0n a >，242n n

n S a a =+，求n a 3.已知0n a >，12n n n

S a a =+，求n a 总结：（1）11,1,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别

递推关系：

（1）1()n n a a f n +=+

Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a

2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a

3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a

4.已知11a =，11(1)

n n a a n n +=++，求n a （2）1()n n a a f n +=

Exe1.已知11a =，11

n n

n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a

（3）1n n a Aa B +=+（1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=--- Way2.111n n n n n a a B A

A A +++=+ 已知11a =，121n n a a +=+，求n a

2.已知11a =，131n n a a +=+，求n a

3.已知11a =，152n n a a +=+，求n a

（4）1()n n a Aa f n +=+(1)A ≠

分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q =

1.1n n a Aa pn q +=++

Way1.⇒（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A

++++=+ Way2.⇒（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=-- Exe1.已知111,2n n a a a n +==+，求n a

2.已知111,321n n a a a n +==++，求n a

2.

Exe1.已知111,23n n n a a a +==+，求n a

2.已知111,32n n n a a a +==+，求n a

3.已知111,22n n n a a a +==+，求n a

4.已知111,232n n n a a a +==++，求n a

5.已知111,231n n n a a a n +==+++，求n a

（5）1()()n n a f n a p n +=+ Way:::(1)()()

h n f n h n += Exe1.已知11111,n n n a a a n n

++==+，求n a

2.已知111,1

n n n a a a n n +==++，求n a （6）21n n n a Aa Ba ++=+；

Way1.：：：化三项为两项处理

Way2.:::公式法处理;这个递推关系的二阶特征根方程为2x Ax B =+

（1）当方程有两个不同根12,x x ，

设2212n a x tx λ=+，其中t 与λ是由首项确定的

（2）当方程有两个相同实数根时12x x =,

设1()n n a n t x λ=+，其中t 与λ是由首项确定的

（3）当方和无解时，它将和周期有关系(sin cos )n n a r A n B n θθ=+

Way3.可以构建方程；1111.......(1) (2)

n n n n n n a a t a a αββλα----⎧-=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩ Exe1.已知121a a ==，21712n n n a a a ++=-，求n a

2.已知121a a ==，2156n n n a a a ++=-，求n a

3.已知121a a ==，2144n n n a a a ++=-，求n a

4.已知121a a ==，12n n n a a a ++=+，求n a

（7） (ad bc ≠) Way1:找1()n n a f a +=对应的背景函数()y f x =利用函数的不动点()f x x =

Way2:利用特征根方程：ax b x cx d

+=+ （1）若有两个不相等的根12,x x ，则12

{}n n a x a x --为等比数列； （2）若方和有两个相等的实数解：则11{

}n a x -为等差数列； （3）若方程没有实数解，则数列{}n a 为周期数列； Exe1.已知11a =，164

n n n a a a +-=-，求n a 1n n n aa b a ca d ++=+

2.已知11a =，143

n n n a a a +-=-，求n a 3.已知11a =，111n n a a +=-

+，求n a 4.已知11a =，1383

n n n a a a +-=-，求n a 这里要注意，分式结构的变化很多，它可以： 110n n n n a a Aa Ba C ++⋅+++=就是分式结构的转换， 可以是：110n n n n a a Aa Ba ++⋅++=考查没有常数项，同除以1n n a a +⋅这样就比上面的模型快 （8）()1f n n n a Aa +=

Way:::主要是降幂，取对数；

Exe1.已知11a =，212n n

n a a a +=+，求n a 2.已知11a =，1(1)12n n n n a a

++=，求n a

(9)其它形式 （1）已知11a =，2121n n

a a +=-，求n a （2）已知1()f x x =，((()))()n n f

f f f x f x =L L 1442443

个，1()(())n n f x f f x +=，求()n f x （3）已知11a =，12n n a a n ++=，求n a

（4）11a =，22a =，22(1)13sin 1(1)22n n n n n n a a a π+-+=+++-，求n a 数列的单调性⇔函数的单调性

（1）{}n a 为单调递增110n n n n a a a a ++⇔>⇔->

（2）{}n a 为单调递减110n n n n a a a a ++⇔<⇔-<

（3）{}n a 为常数列110n n n n a a a a ++⇔=⇔-=

（4）{}n a 为摆动数列

策略：（1）作差与作商，（2）构建函数

Exe1.数列{}n a 满足2n a n n λ=+，且为递增的，求λ的取值范围；

2.数列{}n a 满足32n n n a λ=-⋅，且为递增的，求λ的取值范围；