八年级数学下册期末几何题证明题专题

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八年级数学几何证明题技巧含答案

几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。

从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CD说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

北京市各区数学期末复习资料-初二下学期(几何综合+新定义问题)

每日一题—几何部分1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB =2，求AD 的长．2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ．点D 为线段BC 上一个动点（点D 不与点B ，C重合），连接AD ，点E 在射线AB 上，连接DE ，使得DE =DA ．作点E 关于直线BC 的对称点F ，连接BF ， DF . （1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD =∠BDF ；（3）用等式表示线段AB ，BD ，BF 之间的数量关系，并证明．3.如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明．（3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．FP C'BCA DE4.已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC .(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ； (2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明.图1 图25.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：BF= CE ；（2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．ABA6．如图，在等腰直角△ABC中，90CA CD），连接BD，ABC°，D是线段AC上一点（2过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α，求ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF 上，CG BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为．7．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD=ME．C8．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ．（1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图29.已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系. （2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.PPEECCBBOOAA图2D CBA图1A B CD10.在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．11,如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．12.已知：如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠B =45°，点D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点C 作CF ⊥AD 于点E ，与AB 交于点F ．（1）若∠CAD =α，求∠BCF 的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC =FC ；（3）用等式直接表示线段BF 与DC 的数量关系．D BAB CDFE13.如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.14.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF ．（1）求证：FB =FD ；（2）点H 在边BC 上，且BH =CE ，连接AH 交BF 于点N ．①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论；②连接CN ．若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值．H O DCBA15.已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ．（1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．16.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示，并证明.图1 D C B A备用图AB CD每日一题—新定义部分1．在平面直角坐标系xOy 中，如果等边三角形的一边与x 轴平行或在x 轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形.(1)已知A （1，0），B （-1，0），若△ABC 是水平正三角形，则点C 坐标的是（只填序号）； ①，②，③，④（2）已知点O ，E ，F ，以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点P 的坐标.2.在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．(1)已知点A 的坐标为(-3，1)，①在点E (0，3)，F (3，-3)，G (2，-5)中，为点A 的“等距点”的是________；②若点B 在直线y =x +6上，且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为________； (2)直线l ：y =kx -3(k >0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若T 1(-1,t 1)，T 2(4,t 2)，是直线l 上的两点，且T 1与T 2为“等距点”，求k 的值.()12,(0()01,-(0()00,(1()02,-3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若在图形G 上存在两个点A ，B ，使得以P ，A ，B 为顶点的三角形为等边三角形，则称P 为图形G 的“等边依附点”．已知M （-3，N （3，. ①在点C （-2,2），D （0,1），E （1,3）中，是线段MN 的“等边依附点”的是；②点P (m ，0)在x 轴上运动，若P 为线段MN 的“等边依附点”，求点P 的横坐标m 的取值范围。

八年级数学十二道全等几何证明题(难度适中型)

全等几何证明（１）如图，已知点D为等腰直角△ABC一点，∠CAD=∠CBD=15°．E 为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；全等几何证明（２）如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．全等几何证明（3）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：AD=DE．全等几何证明（4）如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．求证：CF=CG；全等几何证明（５）如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于C，PA=PB，求证AO+BO=2CO全等几何证明（6）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE ⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG；全等几何证明（7）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．全等几何证明（7）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．全等几何证明（8）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC 所在直线于点F．求证：AF+EF=DE全等几何证明（9）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值为多少？全等几何证明（10）已知：如图，P是正方形ABCD点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．ADP全等几何证明（11）如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与C BCD相交于F．求证：CE＝CF．全等几何证明（12）设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．D。

北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明期末复习题

北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明期末复习题一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASA C．SAS D．AAS2．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(A)A．35° B．40°C．45°D．50°3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为(A)A．6 B．5 C．4 D．34．在△ABC中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，∠C＝30°，则AD的长为(C)A. 3B. 2 C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为(B)A．12 B．9 C．8 D．66．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．若等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(B)A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为(C)A．5 B．4 C．3 D．2e10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是(A) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题3分，共21分)11．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点．若∠B ＝50°，则∠DAC 的度数是40°． 12．如果三角形三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，那么它最短边上的高为8cm. 13．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC 交AC 于点E.若DE ＝7，AE ＝5，则AC 的长为12．14．如图，在锐角△ABC 中，直线PL 为BC 的垂直平分线，射线BM 为∠ABC 的平分线，PL 与BM 相交于点P.若∠PBC ＝30°，∠ACP ＝20°，则∠A 的度数为70°．15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，直线m 经过点C ，分别过点A ，B 作直线m 的垂线，垂足分别为点E ，F.若AE ＝3，AC ＝5，则线段EF 的长为1或7．16．已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6 cm ，△ABC 的面积为18 cm 2，则EF 边上的高的长是6cm.17．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为三、解答题(共69分)18．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证： (1)BD ＝CE ；(2)∠M ＝∠N.【解答】证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ，即∠BAN ＝∠CAM. 由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN ， ∴△ACM ≌△ABN(ASA)．19．如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．求证： (1)AC 平分∠BAD ；(2)BE ＝DE.证明：(1)在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC ＝∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)得，∠BAE ＝∠DAE.在△BAE 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE(SAS)．∴BE ＝DE.20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连接AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB ＝FE.解：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠ABC. ∵∠C ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.∴∠BAD ＝90°－36°＝54°. (2)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC.∵EF ∥BC ， ∴∠FEB ＝∠CBE. ∴∠FBE ＝∠FEB. ∴FB ＝FE.21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)，并加以证明．解：AD ＝AF. 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵DE ⊥BC ，∴∠BEF ＝∠DEC ＝90°.∴∠BFE ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠C ＝90°. ∴∠BFE ＝∠D. ∵∠BFE ＝∠DFA ，∴AD＝AF.22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．23．按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，长方形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C，D 是直线MN上的两点，点C，A，B在同一直线上，且DA⊥CA，CD＝2AD.小王看中了①号楼A 单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由．解：过点A 作AG ⊥MN ，垂足为G. ∵CD ＝2AD ＝440，DA ⊥CA ， ∴AC ＝4402－2202＝220 3. ∵S △ACD ＝12AC ·AD ＝12CD ·AG ，∴AG ＝2203×220440＝1103≈191＜200.∴A 单元用户会受到影响，售楼人员的话不可信．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)若∠A ＝40°，求∠DBC 的度数；(3)若AE ＝6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ， ∴DB ＝DA.∴△ABD 是等腰三角形．(2)∵△ABD 是等腰三角形，∠A ＝40°， ∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∠ABC ＝∠C ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. (3)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，AE ＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.∵△CBD的周长为20，∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.25．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．解：(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBO＋∠OBC＝∠ECO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)不一定成立．理由：如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.如图4，可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．。

初中八年级数学下册几何证明题练习

八年级数学下册几何证明题练习1.已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N ，分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ； (1)证明：MN 垂直平分ED ； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论；2.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ；(1)如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及GCEC的值； (2)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长；3.已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的关系为-----------------------------------------------；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．4.如图正方形ABCD ，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ；(1)如图l ，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系：------------------------------；(不要求写证明过程)（2）如图2，若点G 是BC 的中点，求GFEF的比值；（3）如图3，若点O 是BD 的中点，连OE ，求EFOF的比值；5.在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）.（1）如图1，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四边形；（2）如图2，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND.求证：∠EMD=∠FND.6.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．7.菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=∠B；⑴如果∠B=60°，求证：AE=AF；⑵如果∠B=α（0°<α<90°），（1）中的结论：AE=AF是否依然成立，请说明理由；⑶如果AB长为5，菱形ABCD面积为20，BE=a，求AF的长；（用含a的式子表示）F EDC B A8.在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A ⇒B ⇒C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．（1）如图1，当点M 在AB 边上时，连接BN ： ①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC=60°，AM=4，求点M 到AD 的距离；（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．9. 如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动．（1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，且BE=2cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？10. 如图，矩形ABCD 中，AB=6 ，∠ABD=30°，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB 上运动，设点P 运动的时间是t 秒，以AP 为边作等边△APQ （使△APQ 和矩形ABCD 在射线AB 的同侧）.(1)当t 为何值时，Q 点在线段BD 上？当t 为何值时，Q 点在线段DC 上？当t 为何值时，C 点在线段PQ 上？(2)设AB 的中点为N ，PQ 与线段BD 相交于点M ，是否存在△BMN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ⑶（选做）设△APQ 与矩形ABCD 重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式.。

北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)

八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。

（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。

（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。

求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。

4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°，在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245；（3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。

初二数学几何证明题（5篇可选）

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。

2024年数学八年级几何证明专项练习题1(含答案)

2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。

A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。

A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。

A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。

A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 在等腰三角形中，底角相等。

（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。

（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。

2021年上海市八年级数学期末复习-第19章几何证明压轴题专练(学生版)

第19章几何证明压轴题专练1.如图，已知△ABC中，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：过BC上一点D，分别作________，交AB于点E，交AC于点F，因为___________________，所以∠A=______．同理∠B=______，∠C=______．因为_________________，所以_________________．因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（），所以_________________．2.判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．3.写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．4.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：BE∥DF．5.如图，AB∥CD，分别探讨下面4个图形中∠BPD、∠ABP、∠CDP的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=CD，AE=DF.（1）求证：BF=CE；（2）当点E、F相向运动，形成图2时，BF和CE还相等吗?证明你的结论．7.如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明．8.如图，三角形ABC中，AC = BC，∠ACB =90°，AD是BC边的中线，CE⊥AD ，BF⊥BC，CF与AB、BF分别相交于点E、F，联结DE，求证：∠1 =∠2．9.已知A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．10.如图，在△ABC中，108=+．，°，点D在AC上且BC AB CDAB AC BAC=∠=求证：BD平分ABC∠．11.如图，已知AB AC∠．求证：BC BD AD∠=°，BD平分ABC=+．A=，10012.已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB是等边三角形，点C在△ADB的内部，DE⊥AC交直线AC于点E．（1）求证：DE=CE；（2）若点C在△ADB外部，DE=CE的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如成立，请证明．13.如图，在直角△ABC 和直角△ADE 中，∠C=∠E =90°，BC=DE ，∠BAE=∠DAC ，BC 与DE 交于点F ，求证：BF=DF ．14.如图，已知在△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a ，在线段AC 上有动点M ，在射线CB 上有动点N ，且AM=BN ，连接MN 交AB 于点P ．（1）当点M 在边AC （与点A 、C 不重合）上，线段PM 与线段PN 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M 作边AB 的垂线，垂足为点Q ，随着M 、N 两点的移动，线段PQ 的长能确定吗?若能确定，请求出PQ 的长；若不能确定，请简要说明理由．F EDCBA15.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：23AMN ABCC C∆∆=．16.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF = 45°，（1）求证：AE+CF = EF；（2）若，BC=1，求BE的长．17.已知，如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．求证：12AM EF．18.已知：如图，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE+CF >EF．19.已知：如图，点M是△ABC的边BC的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF．（1）求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；（2）若∠A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明．20.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF//DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF．21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC 于H．求证：CE = BH．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）22.如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，求证：AF=FG=BG．23.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．24.如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC 交AC于点G，求证：AF=CG．25.如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD 交AB于点G，BE交AC于点H，求证：AF平分∠DFE．26.如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；（3）如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．27.如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．28.已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明．29.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，联结CF并延长交AB于点G．求证：（1）△GBF为等腰三角形；（2）GE∥BF．30.在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l 于点E，若BD>CE，试问：（1）AD与CE的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．31.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：AB⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．32.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥CD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：DE=EG．33.如图，已知在钝角∆ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点．（1）求证：∠FDG=90°；（2）连结FG，试问∆FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．34.如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF、CE，取AF、CE的中点M、N，连接MB、NB、NM．（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE和△FBC中，BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC= ，如图2所示，则△MBN是_____________三角形，且∠MBN=_______；（3）若（2）中的△ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．35.已知，如图，在△ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M．求证：MN是线段EF的中垂线．36.在△ABC中，已知∠A=60°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，点D是BC中点.（1）如果AB=AC，求证△DEF为等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．37.已知∠MAN，AC 平分∠MAN，（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．38.如图，AB两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．39.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的两点，且∠EAF=45°，求证：222BE CF EF．+=40.如图，∆ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．41.如图，P是凸四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长．42.已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：（1）c h a b+>+；（2）以a b+、c h+、h为三边可构成一个直角三角形．43.已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．44.已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C 的坐标．。

部编数学八年级下册专题13与中点有关的计算与证明(解析版)含答案

专题13 与中点有关的计算与证明（解析版）类型一构造直角三角形斜边的中线典例1如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE=．思路引领：取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF＝EF＝BF＝CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC＝45°，然后求出∠AEC+∠BCE＝135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE＝90°，然后求出∠AFB＝90°，从而判断出△ABF是AF，然后证明即可．证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF＝EF＝BF＝CF=12 CE，在△CDE中，∵∠CDE＝135°，∴∠ACE+∠BEC＝180°﹣135°＝45°，∴∠AEC+∠BCE＝（90°﹣∠ACE）+（90°﹣∠BEC）＝180°﹣45°＝135°，∴∠BFC+∠AFE＝（180°﹣2∠BCE）+（180°﹣2∠AEC）＝360°﹣2（∠AEC+∠BCE）＝360°﹣2×135°＝90°，∴∠AFB＝180°﹣（∠BCF+∠AFE）＝180°﹣90°＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF，∴CE＝2AF＝2，即CE．总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．典例2 （2020秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为．思路引领：连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND=12BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．解：如图，连接MB、MD，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴MB=12AC，MD=12AC，∵AC＝26，∴MB＝MD=12×26＝13，∵N是BD的中点，BD＝24，∴MN⊥BD，BN＝DN=12BD=12×24＝12，∴MN=5，故答案为：5．总结提升：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．思路引领：（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE=12 DB，∵∠DCB＝90°，∴CE=12 BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC．∴EF=3总结提升：本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类型二捕捉三角形的中位线典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF ∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（）A．2B．4C．3D．2.5思路引领：根据勾股定理求出AD，根据直角三角形的性质求出CE，再根据三角形中位线定理解答即可．解：∵AD为中线，BC＝12，∴CD=12BC=12×12＝6，在Rt△ACD中，AD==10，∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，∴CE=12AD＝5，∵DF∥CE，D为BC的中点，∴DF=12CE＝2.5，故选：D．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．针对训练1．（2021春•介休市期末）如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且G、E为AC的三等分点，若BE＝8，则BF的长为　．思路引领：根据三角形中位线定理得到DG=12BE＝4，DG∥BE，证明△DBF≌△ABF，根据全等三角形的性质得到AF＝FD，根据三角形中位线定理解答即可．解：∵CD＝DB，CG＝GE，∴DG是△CEB的中位线，∴DG=12BE＝4，DG∥BE，在△DBF和△ABF中，∠DBF=∠ABFBF=BF∠BFD=∠BFA，∴△DBF≌△ABF（SAS）∴AF＝FD，∵DG∥BE，AF＝FD，∴FE=12DG＝2，∴BF＝BE﹣EF＝6，故答案是：6．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型三构造三角形的中位线典例4 （2022春•吴中区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的取值范围．思路引领：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，∴NQ=12B1C1=32，∴5―32≤PQ≤5+32，即72≤PQ≤132，∴PQ的取值范围为72≤PQ≤132，故答案为：72≤PQ≤132．总结提升：本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．典例5（2021秋•北海月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE 沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝（）cm．A ．5B ．6C ．245D ．思路引领：连结AC ，MC ，可得MN 是△ACF 的中位线，则MN =12AC ，求出AC 即可求解．解：连结AC ，MC ，由折叠可知，M 是CF 的中点，∵N 是AD 的中点，∴MN 是△ACF 的中位线，∴MN =12AC ，∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，在Rt △ABC 中，AC 10，∴MN ＝5，故选：A ．总结提升：本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形的折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．针对训练1．（2021春•荔湾区期中）如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD =12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD （点F 位于点E 右侧），且EF ＝2CD ，连接DF ，若AB ＝6，则DF 的长为．思路引领：延长FE交AB于H，求出H为AB的中点，求出BH长，求出BD＝FH，根据平行四边形的判定得出四边形BHFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF＝BH即可．解：延长FE交AB于H，∵E为AC的中点，EF∥CD，∴H为AB的中点，即AH＝BH，EH=12 BC，∵AB＝6，∴BH＝3，∵CD=12BC，EF＝2CD，EH=12BC，∴FH＝BD，∵FH∥BD，∴四边形BHFD是平行四边形，∴DF＝BH＝3，故答案为：3．总结提升：本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．2．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A．1B C D．5 3思路引领：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE=12AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN=∴AM=∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE故选：B．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形的知识，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点．（1）求证：PM＝PN；（2）求∠MPN的度数．思路引领：（1）连接DC和AE，AE交CD于点Q，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．（1）证明：连接DC和AE，AE交CD于点Q，∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝60°+∠DBE，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，∵点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点，∴PN=12AE，PM=12DC，所以PM＝PN．（2）解：∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE，∴∠NPC＝∠EAC，同理可得∠MPA＝∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA，又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA，∵△ABE≌△DBC，∴∠QDB＝∠BAQ，∴∠DQA＝∠DBA＝60°，∴∠MPA+∠NPC＝60°，∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．总结提升：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．类型四中点四边形问题1．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分思路引领：由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．总结提升：此题主要考查了矩形的性质（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大．2．（2021春•青川县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（）A．AB=B．AB＝C．AB＝3EF D．AB=思路引领：连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．解：连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF=12AC，EF∥AC，EH=12BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB=，∴AB=，故选：D．总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．3．（2017春•新泰市期中）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=12(BC―AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．思路引领：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB＝CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF=12CD，FG=12AB，GH=12CD，HE=12AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN=12BC，GN=12AD，∴EG=12（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故答案为：①③⑤总结提升：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．4．（2021春•召陵区期末）如图，5个全等的阴影小正方形镶嵌于一个单位正方形内部，且互不相交，中间小正方形各边的中点恰为另外4a、b是正整数），则a+b的值为．思路引领：连接MN，FH，由勾股定理可求FH的长，由三角形中位线定理可求MN的长，由题意列出等式可求a，b的值，即可求解．解：如图，连接MN，FH，∵正方形EFGH∴FH∵M，N是EF，EH的中点，∴MN=∵AD＝1，∴2×+1，∴4a﹣2﹣2b﹣0，且a、b为正整数，∴a＝4，b＝7，∴a+b＝11，故答案为：11．总结提升：本题考查了中点四边形，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出MN的长是本题的关键．5．（2019•安徽一模）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，则EG2+FH2的值为．思路引领：连接HE、EF、FG、GH，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG 是菱形，根据菱形的性质、勾股定理计算即可．解：连接HE、EF、FG、GH，∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF=12AC＝4，EF∥AC，同理可得，HG=12AC＝4，HG∥AC，EH=12BD＝4，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形HEFG为平行四边形，∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，∴OE2+OH2＝EH2＝16∴EG2+FH2＝（2OE）2+（2OH）2＝4（OE2+OH2）＝64，故答案为：64．总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定和性质定理是解题的关键．6．（2021秋•雁塔区校级月考）在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，则EG2+FH2的值为（）A．64B．18C．36D．48思路引领：作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．解：连接EF、FG、GH、EH，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EF=12AC，FG=12BD，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝FG，∴平行四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，EG＝2OG，FH＝2OH，∴EG2+FH2＝（2OE）2+（2OH）2＝4（OE2+OH2）＝4EH2＝4×（12BD）2＝82＝64；故选：A．总结提升：本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．7．（2021•江川区模拟）如图，在菱形ABCD 中，边长为1，∠A ＝60，顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去，…，则四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积是．思路引领：利用已知数据求出菱形ABCD 的面积，得到四边形A 2B 2C 2D 2的面积等于矩形A 1B 1C 1D 1的面积的12，同理可得四边形A 3B 3C 3D 3的面积等于四边形A 2B 2C 2D 2的面积12，那么等于矩形A 1B 1C 1D 1的面积的（12）2，同理可得四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积．解：连接AC 、BD ．则AC ⊥BD ，∵菱形ABCD 中，边长为1，∠A ＝60°，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝1×1×sin60°∵顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，矩形A 1B 1C 1D 1的面积=12AC •12BD =14AC •BD =12S 菱形ABCD =菱形A 2B 2C 2D 2的面积=12×矩形A 1B 1C 1D 1的面积=14S 菱形ABCD ，则四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积=总结提升：本题考查的是菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解决本题的关．8．（2022春•开封期末）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为BO，CO的中点，连接ED，EM，MN，ND．（1）求证：四边形EMND是平行四边形．（2）当△ABC的边满足　时，四边形EDNM为矩形．思路引领：（1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题证明即可；（2）当AB＝AC时，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，证出DM＝EN，即可得出四边形EDNM 是矩形．（1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，∴ED∥BC且ED=12 BC，MN∥BC且MN=12 BC，∴ED∥MN且ED＝MN，∴四边形MNDE是平行四边形；（2）解：当AB＝AC时，四边形EDNM为矩形．理由如下：∵四边形MNDE是平行四边形，∴OE＝ON，OD＝OM，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠A=∠A，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，又∵OE＝ON，OD＝OM，OM＝BM，ON＝CN，∴DM＝EN，∴四边形EDNM是矩形．故答案为：AB＝AC．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．（2022春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，DA的中点，则中点四边形EFGH 形状是．（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是正方形．思路引领：（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．（2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG＝90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形；（2）四边形EFGH是正方形．理由：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，AP=PB∠APC=∠BPDPC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．总结提升：本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．。

八年级数学下：几何计算题、证明题

1八年级数学下：几何计算题、证明题一、以平行四边形搭建起来的图形例1.ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,求DF 的长？例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF. （1）、求证：△ACD ≌△CBF （2）、当D 运动至BC 边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°,并证明你的结论.练习：1.如图,在□ABCD 中，AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（）；2.□ABCD 的周长为60ｃｍ，对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周长比△BOC 的周长多10ｃｍ，则AD=（），DC=( )；3.□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（），∠BED=（），AE=（）.4. 已知□ABCD ，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM5. △ABC 是正三角形，AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA 、等边△DAC.⑴.判断四边形FADE 的形状？⑵.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 为矩形？ ⑶.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 不存在？7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm ，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD 的长？二、以矩形搭建起来的图形例1.D为□ABCD外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证:□ABCD为矩形例2. 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE⊥AC，PF⊥BD，⑴.求PE+PF的值？⑵.若点P是AD上的一动点（不与A D、重合），还是作PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF 的值是否会发生变化？为什么？练习：1. 矩形ABCD中，AF=DE.求证：BE=CF2. 矩形ABCD中，BE⊥AC，CF⊥BD.求证：BE=CF3. 矩形ABCD中，DF平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC与∠COF的度数？4、矩形ABCD中，CE∥BD，则△ACE为等腰三角形吗？为什么？AB CDPE FO23三、以菱形搭建起来的图形例1. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证：四边形AEFD 是菱形例2.如图所示，在菱形ABCD 中，,AB 4BAD 120=∠=，AEF 为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且E F 、不与B C D 、、重合． ⑴.证明不论E F 、在BC CD 、上如何滑动，总有BE CF =? ⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时，探讨四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.练习： 1. 已知ABCD ，添加下列一个条件：①.AC ⊥BD ；②.∠BAD=90°；③.AB=BC ；④.AC=BD.其中能使ABCD 是菱形的为（） A ．①③ B ．②③ C ．④ D.①②③2.菱形ABCD 中，E 为AB 上的一点，CE 交BD 于F.求证：⑴.△ABF ≌△CBF ；⑵.∠BEC=∠DAF.3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为1304cm ，求菱形的面积？4. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD AC BC 、、分别交于点E O F 、、求证：四边形AFCE 是菱形 .5. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，点E 、F 分别是AB 、AD 上的动点，且满足BE=AF ，接连EF 、EC 、CF ．求证：△EFC 是等边三角形6. 9、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，且AF=CE.求证：四边形ACEF 为菱形BAD C FE C A B H DEFB CAF E DB四、以正方形搭建起来的图形例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.⑴.求∠AED的度数？⑵.若OF=1，求AB的长？例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点；求PD+PE的最小值？练习:1.正方形ABCD中，∠DAF=25°，如图所示则∠BEC=( ).2.在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F.⑴.求证:△BOE≌△CDF⑵.当△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形？3. 如图，边长为3的正方形ABCD绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG交AD于点H,S四边形HFCD=（）.4. 正方形ABCD中，其面积为1，△PDC为正三角形，求△PBD的面积？5.E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且BE=BC,P为CE上的一动点，PQ⊥BC，PR⊥BE，求PQ+PR的值？6. 正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向外（逆时针）旋转一定角度，连结BE GD、（见图）.⑴.求证：BE GD=⑵.如果改成正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向内（顺时针）旋转一定角度，连结BE GD、.那么BE GD=意图，并说明理由.AB CDP E'E'P45五、以梯形搭建起来的图形例1.Rt △ABC 中，E D 、分别为斜边AB 和直角边AC 上的中点，DF ∥EC ，求证：四边形EBFD 为等腰梯形.2、如图在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD,折叠梯形ABCD,使点B与点D 重合，折痕为EF ，若EF ∥AC ，求证：DE ⊥BC练习：1. 梯形ABCD 中，若∠D=90°，AB ∥DC ，AB=BC=20cm ，DC=4cm,AE ⊥BC ， AE=（），S梯形ABCD=（）.2.梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC,BE=2EA,CF=2FD,求证：∠BEC=∠CFB3. ⑴.在等腰梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，PA=PD ，求证：PB=PC ⑵.在上面的题目中的“等腰梯形ABCD ”设为另一个四边形，其余条件不变，使PB=PC 仍然成立.应改成一个什么样的四边形，请画出图形，并写出已知、求证.4.梯形ABCD 中，AD BC ,B ∠与C ∠互余，AD 5BC 13B 60==∠=，，,则该梯形的面积是多少？5. 在等腰梯形ABCD 中，AD BC ,对角线AC BD ⊥,若AD 6BC 9==，,求等腰梯形ABCD 的高和面积.A BC DE F C B A D P。

专题04 平行四边形的性质与判定(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题04平行四边形的性质与判定【典型例题】1．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE▱AC，DF▱AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，由平行线的性质得出▱BAE＝▱DCF，证明▱ABE▱▱CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论；（2）由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，由勾股定理得出OB【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，▱四边形ABCD是平行四边形，▱OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，▱▱BAE＝▱DCF，▱BE▱AC，DF▱AC，▱▱AEB＝▱CFD＝90°，在▱ABE和▱CDF中，BAE DCFAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱ABE▱▱CDF（AAS），▱AE＝CF，▱OE＝OF，又▱OB＝OD，▱四边形BEDF为平行四边形；（2）解：由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，▱BE▱AC，▱▱BEO＝90°，▱OB▱BD＝2OB＝．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．【详解】解：▱AB▱DC，AD▱BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；▱AB＝DC，AD＝BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；▱OA＝OC，OB＝OD，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；▱AB▱DC，AD＝BC，▱四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．2．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE▱AB于E，F为AD的中点，若▱AEF＝56°，则▱B＝（）A．56°B．60°C．64°D．68°【答案】D【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG=BG=CG，则▱B=▱GEB，则EG=AB=CD，所以▱EFG=▱FEG，接着证明FG▱AB得到▱AEF=▱EFG=56°，然后计算出▱GEB，从而得到▱B的度数．【详解】解：取BC 的中点G ，连接EG 、FG ，▱四边形ABCD 为平行四边形，▱AB =CD ，AB ▱CD ，▱CE ▱AB ，▱▱CEB =90°，▱EG =BG =CG ，▱▱B =▱GEB ，▱BC =2AB ，▱EG =AB =CD ，▱▱EFG =▱FEG ，▱F 点为AD 的中点，G 为BC 的中点，▱FG ▱AB ，▱▱AEF =▱EFG =56°，▱▱FEG =56°，▱▱GEB =180°-56°-56°=68°，▱▱B =68°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．3．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AG ，BD 相交于点O ，10AC =，6BD =，AD BD ⊥．在边AB 上取一点E ，使AE AO =，则AEO △的面积为（）A B C D 【答案】D【分析】先过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，依据勾股定理求得AD 和AB 的长，再根据面积法即可得出DG 的长，进而得到OF 的长，再根据三角形面积公式即可得到AEO ∆的面积．【详解】解：如图所示，过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，平行四边形ABCD 中，10AC =，6BD =，5AO ∴=，3DO =，又AD BD ⊥，Rt AOD ∴△中，4AD =，Rt ABD ∴中，AB =1122AD BD AB DG ⨯=⨯，AD BD DG AB ⨯∴= //DG OF ，BO DO =，12OF DG ∴=又5AE AO ==，11522AOE S AE OF ∆∴=⨯=⨯，故选：D ．此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的运用，三角形的中位线的性质．依据平行四边形的性质得到O 是对角线的中点是解决问题的关键．4．如图，在▱ABCD 中，CD ＝10，▱ABC 的平分线交AD 于点E ，过点A 作AF ▱BE ，垂足为点F ，若AF ＝6，则BE 的长为（）A ．8B ．10C ．16D ．18【答案】C【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，结合▱ABC 的平分线交AD 于点E ，证明,AB AE = 再利用等腰三角形的性质可得：BE ＝2BF ，再由勾股定理求解,BF 即可得到答案．【详解】▱四边形ABCD 是平行四边形，▱AD ▱BC ，▱▱AEB ＝▱CBE ，▱▱ABC 的平分线交AD 于点E ，▱▱ABE ＝▱CBE ，▱▱ABE ＝▱AEB ，▱AB ＝AE ，▱AF ▱BE ，▱BE ＝2BF ，▱CD ＝10，▱AB ＝10，▱AF ＝6，▱BF =＝8，▱BE ＝2BF ＝16，【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在等边▱ABC中，BC＝8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．1或2B．2C．2或3D．2或4【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣3t，解得：t＝2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝3t﹣8，解得：t＝4；综上可得：当t ＝2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，故选：D ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键．二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，▱C ＝70°，AE ▱BD 于E ，则▱DAE ＝_____度．【答案】20【分析】由DB ＝DC ，▱C ＝70°可以得到▱DBC ＝▱C ＝70°，又由AD ▱BC 推出▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，而▱AED ＝90°，由此可以求出▱DAE ．【详解】解：▱DB ＝DC ，▱C ＝70°，▱▱DBC ＝▱C ＝70°，▱四边形ABCD 是平行四边形，AE ▱BD ，▱AD ▱BC ， ▱AED ＝90°，▱▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，▱▱DAE ＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．7．▱ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，▱OBC 的周长比▱OAB 的周长大3，则BC ＝_____．【答案】9【分析】如图：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD =，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又由OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，可得3BC AB -=，又因为ABCD 的周长是30，所以15AB BC +=；解方程组即可求得．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，()3BC OB OC AB OA OB ∴++-++=3BC AB ∴-=①，又ABCD 的周长是30，15AB BC ∴+=②，由①＋②得：218BC =9BC ∴=．故答案为：9．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．8．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6，则AC 的长为_____．【答案】【分析】利用勾股定理得出BD 的长，再由平行四边形的性质求出DO ，结合勾股定理即可得出答案．【详解】▱BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6．▱BD 8=．▱四边形ABCD 是平行四边形．▱DO ＝12BD ＝4． AC ＝2AO ． ▱▱ADO 是直角三角形．▱AO ==▱AC =故答案为：【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出DO 的长是解题关键． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分▱BCD 交AB 于点E 连接ED ，若EA =3，EB =5，ED =4，CE = ________ ．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得5AD BC EB ，根据勾股定理的逆定理可得90AED ∠=︒，再根据平行四边形的性质可得8CD AB ==，90EDC ∠=︒，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：CE 平分BCD ∠，BCE DCE ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，//AB CD ，BEC DCE ，BEC BCE ∴∠=∠，5BC BE ，5AD ∴=，3EA ，4ED =，在AED ∆中，222345+=，即222EA ED AD ， 90AED ∴∠=︒，358CD AB ，90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，22224845CEED DC ．故答案是：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．已知点A (3，0)、B (﹣1，0)、C (2，3)，以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，则第四个顶点D 的坐标是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先画出坐标系，再分别以AC 、AB 、BC 为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D 点坐标．【详解】解：如图，以BC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B 点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D 1；以AB 为对角线，将BC 向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B 点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D 2；以AC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C 点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D 3；▱第四个顶点D 的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．三、解答题11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 、E 、F 是AC 上的两点，且BF ▱DE ．（1）求证：▱BFO ▱▱DEO ；（2）求证：四边形BFDE 是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可得OB ＝OD ，根据BF ▱DE ，可得▱OFB ＝▱OED ，进而可以证明▱BFO ▱▱DEO ；（2）结合（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形，▱OB ＝OD ，▱BF ▱DE ，▱▱OFB ＝▱OED ，在▱BFO 和▱DEO 中，OFB OED FOB EOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ▱▱BFO ▱▱DEO （AAS ）；（2）证明：▱▱BFO ▱▱DEO ，又OB＝OD，▱四边形BFDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握利用合适的方法判定平行四边形是解题的关键．12．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出▱DAE的平分线；（2）在图2中，画出▱AEC的平分线．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是▱DAE的平分线；(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分▱AEC的平分线．【详解】（1）如图所示，连接AC，则AC平分▱DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分▱AEC．本题主要考察了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，作图-角的平分线等知识点，理解并记住它们是解题关键．13．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE▱BD，CF▱BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM▱AN，AM▱CN即可；（2）首先证明▱ADE▱▱CBF，推出DE＝BF＝8，在Rt▱BFN中，根据勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：▱AE▱BD，CF▱BD，▱AM▱CN，▱四边形ABCD是平行四边形，▱CM▱AN，▱四边形CMAN是平行四边形；（2）解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD＝BC，▱▱ADE＝▱CBF，▱AE▱BD，CF▱BD，▱▱AED＝▱CFB＝90°，在▱ADE与▱CBF中，ADE CBF AED CFB AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，▱▱ADE ▱▱CBF （AAS ）；▱DE ＝BF ＝8，▱FN ＝6，▱10BN ==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图1，在▱ABCD 中，▱D ＝45°，E 为BC 上一点，连接AC ，AE ．（1）若▱ABCD 中BC 边上的高为2，求AB 的长．（2）若AB ＝AE ＝4，求BE 的长．【答案】（1）（2）2．【分析】（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，再根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，最后根据勾股定理计算即可；（2）先根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，然后解Rt AHB ∆和Rt AHE ∆ 即可求出BE 的长．【详解】解：（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，在▱ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AH BC ⊥，ABCD 中BC 边上的高为2，90AHB ∴∠=︒，2AH =又45B ∠=︒2∴==BH AH ，AB ∴=（2）在ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AB =，AH BH ∴==4AE =，2EH ∴=，2BE BH EH ∴=-=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键． 15．如图，在▱ABC 中，过点C 作CD //AB ，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）若AB ＝6，▱BAC ＝60°，▱DCB ＝135°，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】(1)由E 是AC 的中点知AE =CE ，由AB //CD 知▱AFE =▱CDE ，据此根据“AAS ”即可证▱AEF ▱▱CED ，从而得AF =CD ，结合AB //CD 即可得证；(2) 过C 作CM ▱AB 于M ，先证明▱BCM 是等腰直角三角形，得到BM ＝CM ，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC ＝2AM ，BM ＝CM ，最后根据AM +BM ＝AB ，解题即可．【详解】（1）证明：▱E 是AC 的中点，▱AE ＝CE ，▱CD //AB ，▱▱AFE ＝▱CDE ，在▱AEF 和▱CED 中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱AEF ▱▱CED （AAS ），▱AF ＝CD ，又▱CD //AB ，即AF //CD ，▱四边形AFCD 是平行四边形；（2）解：过C 作CM ▱AB 于M ，如图所示：则▱CMB ＝▱CMA ＝90°，▱CD //AB ，▱▱B +▱DCB ＝180°，▱▱B ＝180°﹣135°＝45°，▱▱BCM 是等腰直角三角形，▱BM ＝CM ，▱▱BAC ＝60°，▱▱ACM ＝30°，▱AC ＝2AM ，BM ＝CM，▱AM +BM ＝AB ，▱AM+ ＝6，解得：AM ＝33，▱AC ＝2AM ＝66．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在ABC ∆中，D 为AB 中点，过点D 作//DF BC 交AC 于点E ，且DE EF =，连接AF ，CF ，CD ．（1）求证：四边形ADCF 为平行四边形；（2）若45ACD ∠=︒，30EDC ∠=︒，4BC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理和解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：D 为AB 中点，AD BD ∴=，//DF BC ，▱点E 为AC 的中点，AE CE ∴=，DE EF =，∴四边形ADCF 为平行四边形；（2）AD BD =，AE CE =，114222DE BC ∴==⨯=，过E 作EH CD ⊥于H ，90EHD EHC ∴∠=∠=︒，30EDC ∠=︒，112EH DE ∴==， 45ECD ∠=︒，CE ∴==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AO ＝OC ，过点O 作EF ▱BD ，交AD 于E ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）连接BE ，若▱BAD ＝100°，▱DBF ＝2▱ABE ，求▱ABE 的度数．【答案】（1）见解析（2）16°【分析】（1）根据已知条件证明▱ADO ▱▱CBO 即可求解；（2）先证明▱AEO ▱▱CFO ，得到EO =FO ，根据三线合一得到BD 平分▱EBC ，再根据平行线的性质及角度的关系即可求解．【详解】（1）▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOD=▱COB，▱▱ADO▱▱CBO▱AD=CB故四边形ABCD为平行四边形；（2）如图，▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOE=▱COF，▱▱AEO▱▱CFO▱OE=OF又EF▱BD，▱BD平分▱EBC，▱▱DBF＝▱DBE▱▱BAD＝100°，AD//BC，▱▱ABC＝80°▱▱DBF＝2▱ABE，▱▱DBF＝▱DBE=2▱ABE▱▱ABC＝▱DBF+▱DBE+▱ABE=5▱ABE=80°▱▱ABE=16°．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理及三线合一的性质应用．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x与x轴交于点B，与直线l1：y+b交于点C，C点到x轴的距离CD为l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y 轴上的两个动点E 、F （E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为CE 、AF ，当线段CE +EF +AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标以及CE +EF +AF 的最小值；（3）如图3，将ACB △绕点B 逆时针方向旋转60°，得到BGH ，使点A 与点H 对应，点C 与点G 对应，将BGH 沿着直线BC 平移，点M 为直线AC 上的动点，是否存在以C 、O 、M 、G 、为顶点的平行四边形，若存在，请求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y =+；（2）CE +EF +AF （3）存在，11,44M ⎛- ⎝⎭或21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭理由见解析【分析】（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y ＝﹣3x +3上，当y =x =-1，则点C (-1，，从而可得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点A (3, 0),过点A 作x 轴的垂线并取A E ''=EC 交y 于点E ，在E 下方取EF F 是所求点，即可求解；（3）先证明90,ACB ∠=︒ 再求解60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒ 过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q 可得(1,,G -- 设,KQ n = 则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，确定()1,,G n --- 设(,M x + 结合形平行四边形的对角线互相平分，中点坐标公式列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y x 上，当y =x =-1，则点C (-1，，C 在直线1l 的解析式为y b =+上，b =b ∴= ，故直线1l 的表达式为：y =+；（2）直线2l 的表达式为： y ＝﹣3x ，当y =0时，x =5，则点B (5, 0)，直线1l ：y +x 轴交于点A (-3, 0)，作点A 关y 轴的对称点A '(3, 0)，过点A '作x 轴的垂线并取A E ''=连接EC 交y 于点E ，而 EF由//,,A E AE A E AE ''''= ∴ 四边形A E EF ''是平行四边形，,AF A F E E ''∴==AF EF CE A E E E CE CE ''''∴++=++=,此时：AF EF CE ++最小，则点F 是所求点，()(3,0,,A E '(,C -CE '∴==CE +EF +AF 的最小值＝FE +CE（3）()()(3,0,5,0,,A B C --∴ AB =8，BC = AC =4，222AC BC AB ∴+=90,ACB ∴∠=︒如图，取AB 的中点,J 则()1,0,J 4,JA JC AC ===ACJ ∴为等边三角形，60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒60,CBG BC BG ∠=︒==30,ABG ∴∠=︒过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q6,651,GN BN ON ∴====-=(1,,G ∴--设,KQ n =则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，则()1,,G n --设(,M x +四边形MGOC 为平行四边形， ∴ 由平行四边形的对角线互相平分可得：2x n⎧=-⎪+= 解得：11,4x =-+=11,,44M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n --设(,M x +同理可得：214x =-+=21,,4M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n -- 设(,M x +同理可得：34x =+=3.4M ⎛∴ ⎝⎭综上：114M ⎛- ⎝⎭或 21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数解析式，线段和最短问题，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，分类讨论思想是难点．。

专题五几何证明-北师大版八年级数学下册习题课件

∵ ∠AFE 的平分线交 CA 延长线于点 G.
∴ AFG GFE 1 AFE 1 150 ＝ 75,
2
2
∴ ∠G＝180°－∠GAF－∠AFG
＝180°－60°－75°＝45°.
二、等边三角形的证明 4. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点 C 作 CD∥AB，若 ∠ACD＝60°，求证：△ABC 是等边三角形．解：∵ CD∥AB， ∴ ∠A＝∠ACD＝60°， ∵ ∠B＝60°，在 △ABC 中， ∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°， ∴ ∠A＝∠B＝∠ACB. ∴ △ABC 是等边三角形．
OC，OA 的中点．
求证：BE＝DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD，
∵ E，F 分别是 OC，OA 的中点，
∴ OE 1 OC,OF 1 OA,
2
2
∴ OE＝OF，
OB OD, 在 △OBE 和 △ODF 中，BOE DOF,
OE OF,
∴ △OBE ≌△ODF (SAS)，
5. 在等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC 外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．
证明如下：∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB＝AC.
AB AC,
在 △ABP 与 △ACQ 中，ABP ACQ,
解：(1)在平行四边形 ABCD 中， ∵ AB∥CD，∴ ∠AFD＝∠CDF， ∵ ∠ADC 的平分线 DF 交 AB 于点 F. ∴ ∠ADF＝∠CDF，∴ ∠ADF＝∠AFD， ∴ AF＝AD＝4， ∵ AB＝6，∴ BF＝2.

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．3．如图所示，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,,AB CD于点E F、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE △△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是△ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，△ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC△DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若△ECF＝60°，△B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM△△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若△ABC＝60°，△ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求△EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，过点C的直线MN△AB，D在AB边上一点．过点D作DE△BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作△ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC△△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE△BD，CF△BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE△△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分△AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若△A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：△BAC＝△DAC，△AFD＝△CFE；(2)若AB△CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使△EFD＝△BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，△四边形ABCD是平行四边形，△OA=OC，OB=OD，又△AE=CF，△OA-AE=OC-CF，即OE=OF，△四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：△点D，E分别是BC，AC的中点，△DE是△ABC的中位线，△DE△AB，DE=12 AB，△AF=12 AB，△DE=AF，DE△AF，△四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，△EF=AD，△AB=6，AC=8，BC=10，△AB2+AC2=BC2，△△ABC是直角三角形，△BAC=90°，△点D是BC的中点，△AD=12BC=5，△EF=AD=5．3．证明：△四边形ABCD 是平行四边形 △//AE FC ，AO CO =，△EAC FCA ∠=∠，△EF 是AC 的垂直平分线，△EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ASA AOE COF ≌△△， △EO FO =，△四边形AFCE 为平行四边形，又△EF AC ⊥，△四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：△四边形ABCD 是平行四边形， △AD △BC ，OA =OC ，△△EAO =△FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AEO △△CFO （ASA ），△OE =OF ．5．证明：△四边形ABCD 是平行四边形， △AB =CD ，AB △CD ．△△ABE =△CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△CDF （SAS ）△AE =CF ．6．（1）证明：△四边形ABCD 是矩形， △OB =OD ，△AE //CF ，△△E =△F ，△OBE =△ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BOE △△DOF （AAS ）；（2）当EF △AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：△△BOE △△DOF ，△OE =OF ，△四边形ABCD 是矩形，△OA =OC ，△四边形AECF 是平行四边形，△EF △AC ，△四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：△//BE AC ，//AE BD ， △四边形AEBO 为平行四边形，又△四边形ABCD 为菱形，△BD AC ⊥，△90AOB ∠=︒，△平行四边形AEBO 为矩形；（2）△四边形AEBO 为矩形，△AB ＝OE ＝10，又△四边形ABCD 为菱形，△AO ＝12AC ＝8，△90AOB ∠=︒，△6BO =，△BD ＝2BO ＝12，△菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，△BE 、CD 为中线△AD =BD ，AE =CE ，△DE △BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，△OF =FB ，OG =GC ，△FG △BC 且FG =12BC ．△DE △FG（2）由（1）知：DE △FG ，DE =FG ．△四边形DFGE 为平行四边形．△DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，△在平行四边形ABCD 中，AD △BC ，△△AEB＝△CBE，△AB＝AE，△△ABE＝△AEB，△△ABE＝△CBE，△BE平分△ABC，△CF是△ACB的角平分线，BE交CF于点P，△AP平分△BAC，△AB＝AC，△AH垂直平分BC，△PB＝PC；（2）△AH垂直平分BC，△AH△BC，BH＝CH＝12BC＝2，△△ABH＝45°，△AH＝BH＝2，△平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）△AC△DB，△△CAO=△DBO，△△AOC=△BOD，OA=OB，△△AOC△△BOD，△OC=OD；（2）△E是OC中点，F是OD中点，△OE=12OC，OF=12OD，△OC=OD，△OE=OF，又△OA=OB，△四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：△ABCD是菱形，△AB ＝AD ，BC ＝CD ，△B ＝△D ，△AE ＝AF ，△AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，△BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，△BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BCE△△DCF ，△CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：△ABCD 是菱形，△B ＝80°，△△A ＝100°，△AE ＝AF ， △180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒ 由（1）知CE ＝CF ，△ECF ＝60°，△△CEF 是等边三角形，△△CEF ＝60°，△△CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，△△B ＝△CEB ，△BC ＝CE ．12．（1）证明：△四边形ABCD 是矩形，△AB =DC ，△A =△D =90°，△M 为AD 中点，△AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABM △△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则△EMF =90°，△△ABM △△DCM ，△△AMB =△DMC =45°，△△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，△AM =DM =AB ，△AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）△四边形ABCD 是矩形，△//AD BC ，△△EAO ＝△FCO ，△AC 的中点是O ，△OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EOA FOC ASA ∴≌，△OE ＝OF ；（2）△OE ＝OF ，AO ＝CO ，△四边形AFCE 是平行四边形，△EF △AC ，△四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）△DE △BC ，DF △AB ，△四边形DEBF 是平行四边形，△DE △BC ，△△EDB ＝△DBF ，△BD平分△ABC，△ABC，△△ABD＝△DBF＝12△△ABD＝△EDB，△DE＝BE，又△四边形BEDF为平行四边形，△四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH△BC于H，△DF△AB，△△ABC＝△DFC＝60°，△DH△BC，△△FDH＝30°，DF，DH，△FH＝1△△C＝45°，DH△BC，△△C＝△HDC＝45°，△DC＝6，△DF＝，△菱形BEDF的边长为．15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，△D＝△B＝△BCD＝90°，△将△ADE沿AE对折至△AFE，△AD＝AF，DE＝EF，△D＝△AFE＝90°，△AB＝AF，△B＝△AFG＝90°，又△AG＝AG，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩， △△ABG△△AFG （HL ）；（2）△△ABG△△AFG ，△△BAG ＝△FAG ，△△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得：△EAF ＝△DAE ，△△EAF ＝12△DAF ，△△EAG ＝△EAF ＋△FAG ＝12（△DAF ＋△BAF ）＝12△DAB ＝12×90°＝45°；（3）△E 是CD 的中点，△DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，△GE 2＝CG 2＋CE 2△（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，△BG ＝2．16．（1）证明：△DE△BC ，△△DFB ＝90°，△△ACB ＝90°，△△ACB ＝△DFB ，△AC△DE ，△MN△AB ，即CE△AD ，△四边形ADEC 是平行四边形，△CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：△D 为AB 中点，△AD ＝BD ，△CE ＝AD ，△BD ＝CE ，△BD△CE ，△四边形BECD 是平行四边形，△△ACB ＝90°，D 为AB 中点，△CD ＝BD ，△四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）△四边形ABDE 是平行四边形（已知），△AB △DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；△△B ＝△EDC （两直线平行，同位角相等）；又△AB ＝AC （已知），△AC ＝DE （等量代换），△B ＝△ACB （等边对等角），△△EDC ＝△ACD （等量代换）；△在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△ECD （SAS ）；（2）△四边形ABDE 是平行四边形（已知），△BD △AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），△AE △CD ；又△BD ＝CD ，△AE ＝CD （等量代换），△四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，△AD △BC （等腰三角形的“三合一”性质），△△ADC ＝90°，△△ADCE 是矩形．18．证明：（1）△BF=DE ，△BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，△AE△BD ，CF△BD ，△△AEB=△CFD=90°，在Rt△ABE 与Rt△CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩, △Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，△Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，△ABE CDF ∠=∠，△//D AB C ，△=D AB C ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AO CO =．19．证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△BC△AD ，△△CBE=△AEB ，△EB 平分△AEC ，△△CBE=△BEC ，△CB=CE ，△△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，△四边形ABCD 是平行四边形，△A=90°， △四边形ABCD 是矩形，△△A=△D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，△△D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴==，在Rt AEB 中，△△A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴= 20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△ADC(SSS)，△△BAC=△DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABF△△ADF(SAS)，△△AFB=△AFD ，△△CFE=△AFB ，△△AFD=△CFE ，△△BAC=△DAC ，△AFD=△CFE ；(2)证明：△AB△CD ，△△BAC=△ACD ，△△BAC=△DAC ，△△DAC=△ACD，△AD=CD，△AB=AD，CB=CD，△AB=CB=CD=AD，△四边形ABCD是菱形；(3)BE△CD时，△BCD=△EFD；理由如下：△四边形ABCD是菱形，△BC=CD，△BCF=△DCF，△CF=CF，△△BCF△△DCF，△△CBF=△CDF，△BE△CD，△△BEC=△DEF=90°，△△BCD=△EFD.。

[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在△ABC中，若AB=AC，点D是BC的中点，则下列结论正确的是（）A. AD垂直于BCB. BD=DCC. ∠BAC=90°D. ∠ABC=∠ACB2. 下列关于平行线的性质，错误的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 两直线平行，则它们的任意一对对应角相等3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列关于全等三角形的判定，错误的是（）A. SASC. AASD. SSD5. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=70°，则边BC与边AC的长度关系是（）A. BC > ACB. BC = ACC. BC < ACD. 无法确定6. 下列关于相似三角形的性质，正确的是（）A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 对应角互补D. 对应边相等7. 若等腰三角形的底角为45°，则其顶角的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°8. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，AD=8cm，则对角线AC的长度可能是（）A. 4cmB. 10cmC. 12cm9. 下列关于圆的性质，错误的是（）A. 圆的半径都相等B. 圆的直径是半径的两倍C. 圆的周长与半径成正比D. 圆的面积与半径成正比10. 在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 平行线的同旁内角互补。

（）3. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。

（）4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

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1．（10分）如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP 的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；
（2）求证：AG+CG=DG．
2．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
3．（9分）如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．
（1）求证：四边形MENF是平行四边形；
（2）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？
4．如图，在四边形 ABCD 中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°．
（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；
（2）求四边形 ABCD 的面积．
5、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.
6、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长.
7、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE.
(2)若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长.
8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°。

点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN。

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形。

(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由。

9.（6 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，且DE∥AC，
AE∥B D．求证：四边形AODE 是矩形．
10（9 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，E 是AD 边上的中点，过A 点作BC
的平行线交CE 的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：四边形AFBD 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．
10．
（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE 与DE 相交于点E，连结CE．
（1）求证：BD =CD.
（2）求证：四边形ADCE 是矩形．
11.（9 分）如图，E、F 分别是矩形ABCD 的边BC、AD 上的点，且BE =DF.
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形.
（2）若四边形AECF 是菱形,且CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长.
12.（7 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于
点E，交AC 于点F，连结DE、DF.
（1）求证：∠ADE=∠DAF.
（2）求证：四边形AEDF 是菱形.
13．【感知】如图①，四边形ABCD、AEFG 都是正方形，可知BE =DG ．【探究】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图②的位置时，连结BE、DG．求证：BE =DG ．【应用】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图③的位置时，点F 在边AB 上，连结BE、D G．若DG =13 ，AF = 10 ，则AB 的长为．
14. （10 分）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△BCE、△ABF.（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形
（2）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
（3）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？
20．如图，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E ，使 CE=DC ，连接 AE ，交 BC 于点 F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；
（2）若∠AFC=2∠D ，连接 AC 、BE ，求证：四边形 ABEC 是矩形．
18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ，且DE ＝2
1
AC ，连接CE 、OE
(1) 求证：四边形OCED 是平行四边形； (2) 若AD ＝DC ＝3，求OE 的长.
21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝3，BC ＝5，连接BD ，∠BAD 的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，且AE ∥CD (1) 求AD 的长；
(2) 若∠C ＝30°，求CD 的长.
27．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）证明：BD=CD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
28．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．
18. (本题满分12分)
如图，DB∥AC，且DB＝1
2
AC，E是AC的中点。

(1)求证：BC＝DE；
(2)连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC
的边添加什么条件，为什么？
21. (本题满分14分)
如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，
连接CQ 、MQ ，且CQ ＝MQ 。

(1)求∠AMQ 的度数；
(2)当BM ＝2，CN ＝3时，求△AMN 的面积。

22.（10分）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，经过点C 的直线l 与AB 平行，点D 为
直线l 上的动点（不与点C 重合），作射线DA ，过点D 作射线DE ⊥DA ，交直线BC 于点E .
（1）如图1，点E 在BC 的延长线上时，线段DA 、DE
之间的数量关系是；（2）如图2，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）若AB =4，CD =3，请直接写出线段CE 的长.
22.（8分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OA ，OC 上（1）给出以下条件；①OB=OD ，②∠1=∠2，③OE=OF ，请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO ；
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
图1 图2
第22题图
23.（10分）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
第23题图。