第十七讲 德拜驰豫理论的偏离和修正概要

B）复介电常数与频率的经验关系
实验上确定分布函数 f ( ) 的形式与确定 和 频率的关系完全是一回事，当 f ( ) 已知，可计算 和 与频率的关系，若 和 与频率的关系已知，可利用傅立叶积 分求出 f ( ) 的形式。通常用 和 与频率的的经验关系来概括实验结果。
0 0 " r
r'' '' rm
0.5
0.10
0.30 0.50
0
1.00
2 1
lg '' '' 不同下 r / rm与 / m关系 m
0
1
2
r" 根据极值条件： th( ( 0 )) sec h( ( 0 )) 0
有：
m
1
0
因此富奥斯-寇克伍德经验关系也可表示为： " " r" m sec h( ln ) rm ( s )
m
2
Cole—Cole 经验关系与 Fouss—Kirkwood 经验关系存在 一定关系，两个经验公式中弛豫时间分布参数 h 和 间有近似 关系：
复极化率为：
r ( )
i
rei Ai 1 i i
假设不同弛豫时间的一系列弛豫极化具有相同的宏观极化率 re ， 则：
P( ) 0 ( re
i
Ai ) E 0 r ( ) E 1 i i
r re
利用上式进行定量计算，首先须确定弛豫时间分布函数 f ( ) ， f ( ) 取决于电介质中的微 观弛豫机构，对每一种电介质应该从理论上或实验方法逐个予以确定，实际上往往采用大量 实验所积累的一些通用分布函数和经验关系来计算。
4）弛豫时间的分布函数和经验关系
A）弛豫时间分布函数根据经验总结主要有以下几种： （i） 正态分布函数
tg
tg
tg
3 2
ω1
ω2
5 4 2 1
1
3
图1 记及漏导的损耗角正切 与温度关系曲线
T
图2 电导不同时，损耗角正切 与频率关系
ω
图1 记及漏导的损耗角正切 与温度关系曲线
Tm
T
漏导损耗对 Cole—Cole 图的影响： 自由电荷引起的电导率 对复介电常数的贡献 i / 0 ，通 常把有电导介质材料看作是由一种理想的介质与一个电阻并联 而成，故具有电导的存在弛豫机构的介质材料的复介电常数为：
" r 2 0 ' r 2 0


3 Schweidler方程、弛豫时间分布函数及其经验公式
1）多弛豫时间和Schweidler方程
Debye方程偏离实验结果是由于它只表示了弛豫时间相同的单一极 化弛豫机制，而实际电介质往往存在着弛豫时间不同的一系列极化弛豫 机制，这是因为电介质中有不同类型，不同组分的偶极子同时存在，每 一种都具有特征的弛豫时间，或者，对于同类偶极分子，其固有偶极矩 与分子长轴不平行，这种情况也会出现特征的弛豫时间。
第十七讲 德拜驰豫理论的偏离和 修正
1 概述
Dedye理论与某些电介质(如水)的介电常数频率，温度 特征接近，但与大多数电介质复介电常数的频率特征曲线 相偏离，其原因有两点： ①. Dedye方程中没有计及电介质漏导的损耗； ②. Dedye方程只有单一的弛豫时间。
2 计及漏导电流的介电损耗 在交变电场作用下，实际电介质的损耗包括弛豫极化损耗和漏导电流损 耗，它们都是有功电流，同样以热形式散发来。 故介质损耗角正切可表示为：
上面的式子也可写为： r ( )
( s )
1 h 1 （ 0） [cos( 1 h)

i sin(1 h) ] 2 2

分离其实部虚部并消去 则可得：
0
( r'
s
2
) 2 ( r"
s
2
s
tg

2
tg tgG tg P
由德拜方程的极化损耗正切为： tg P
( s ) s 2 2
由损耗正切是有功电流密度和无功电流密度之比可得漏导损耗正切为： 1 tg G 0 r' 0 s 2 2 1 则记及漏导的损耗角正切为：
f (t )
i 1 N
Ai
i
e t
N i
其中 Ai 为权重系数，小于 1，且归一化， A
i 1
1 ，表示时间常
数 出现的几率。 Pri 1 Pri t i
i
Pri (t ) 0 rei Eet i
Pri 1 0 rei E e t i t i
若 E 为正弦变电场，则上述微分方程的解为： Pri ( ) 0 rei E 1 i i 弛豫极化强度为：
Pr ( ) Pri ( ) Ai
i i
0 rei Ai E 1 i i
总极化强度为：
P( ) 0 (
i
rei Ai ) E 0 r ( ) E 1 i i
极化强度 Pr (t ) 是由弛豫时间相差不大的一系列弛豫运动提供的，弥 散区域 i i 被展宽， Pr (t ) 为弛豫时间 不等的各个极化分量 Pri (t ) 的加 权和， Pr (t ) Pri (t )Ai 。
i
i
设在一定温度下，电介质材料有 N 种按不同比例分布的 弛豫时间常数 i （i= 1,2,…….N） ，则弛豫函数为各弛豫函数 的迭加：
s
h) 2 (
s
2
sec

2
h) 2
这是圆的方程，圆心（ 时间分布越广。
r"

h 。因此 h 越大，圆心越低，圆弧越扁平，弛豫 取决于 h ，半径与横轴夹角为 2
2
，—
s tg h ） sec h ，圆心在横轴以下， ，半径 2 2 2 2
i
在极限情况下， i 可在 0 ~ ∞范围内连续取值，设 f ( ) 为弛豫时间 的几率分布函数，
f ( )d 表弛豫时间在 到 d 范围的几率，通常 f ( ) 也是归一化的，即

f ( )d 1。
0
上述各式求和由积分替换，则：
Pr ( ) Pr f ( )d 0 re (
记及漏导的损耗角正切与频率关系
tg 与温度的关系： B T 电导率： Ae 当温度很低，由于 值小，电导引起的损耗比较小，介质损耗主要决定于弛豫过程； 当温度很高， 很高，漏导损耗呈指数式上升，主要考虑电导的影响。
温度升高，出现 tg 极大值所对应的频率向高频方向移动。如下图 1 所示。 增加时，电导损耗的比例相应增加。当 很小， tg ~ ln 表现明显的极化弛豫损耗 特征（曲线 1） ，随 增加，弛豫损耗极大值完全被淹没， tg 随频率增加很快下降，表明电 导损耗特征（1—5） 。如下图 2 所示。 tg ~ T 的关系服从 ~ T 的指数变化关系。随着电导率升高，极化弛豫损耗逐渐变得 不明显，直至完全被淹没（1—3） 。如下图 3 所示。
消去 ， ~ 关系不在是一个半圆方程，电导率 愈大， 图形对 Cole—Cole 图半圆的偏离愈大，损耗能量密度可表示
" r ' r
1
0

记及漏导的柯尔-柯尔图
s
r'
为： w 2 0 E 2 0 E tg 高频强电场下工作的电介质，若 tg 大，可能严重发热，损 耗能量密度转化为热，介质温度升高，必须设法使 tg 降低或采 取有效散热措施。
0 0
f ( )d ) E 0 r ( ) E 0 1 i f ( ) d r ( ) re 0 1 i f ( ) d r ( ) ( s ) 0 1 i P( ) 0 ( re (

f ( )d )E 1 i
实部： r' ( ) ( s )
f ( )d 0 1 2 2 f ( ) d 虚部： r" ( ) ( s ) 0 1 2 2

Schweidler 方程
( s ) tg [ s 2 2 0
1
s 2 2 1
]
tg 与频率的关系： （1）.对于静电场 0 ，则 tg ，在静电场， tg 无意义， tg 只在 0 的交变电场中才有意 义。 （2）.频率很低， tg P 0 ，弛豫极化引起的损耗趋
s

2 h
r'
柯尔-柯尔经验关系
Fouss—Kirkwood 经验关系:
" 2 m ( ) ( ) sec h( ln( 0 )) 1 ( 0 ) 2 " r " m
其中 为最可几的弛豫时间， 为常数，表示弛豫时间的分布。 在 1 ，即单弛豫时间情况下： " 2 m 1 2 " " r m sec h( ln( )) sec hx x 2 2 ， chx e e x 1 可见在多弛豫时间情况下，采用最可几的弛豫时间 代替单弛豫时间 ，并引 入一个表示弛豫时间分布的参数 （ 0 1 ） ， 值愈小，弛豫时间分布愈广， ~ 曲线愈平坦。如图所示： 1.0 0.00
i
Ai 1 i i
则复介电常数刻表示为：
r ( ) ( s )