数学分析选讲
数学分析选讲
分析数学教案主讲人姜广浩淮北师范大学数学科学学院2010年3月1日第一章 一元函数的极限§ 利用定义及迫敛性定理求极限设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-⋃=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞→.证明*21limR a na a a nn ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式).证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞→lim ,0>∀ε,01>∃N ,当1N n >时, 2ε<-a a n .因此a n a a a n-+++ 21n a a a a a a n )()()(21-++-+-=naa a a a a N -++-+-≤121 naa a a n N -++-++ 1121ε⋅-+≤n N n n A 2ε+<n A , 其中a a a a a a A N -++-+-=121 .又存在02>N ,当2N n >时,2ε<n A .因此当},m ax {21N N n >时,a na a a n -+++ 21εεε=+<22.(2) 设+∞=+∞→n n a lim ,则0>∀M ,01>∃N ,当1N n >时,M a n 3>.因此na a a n+++ 21n a a a N 121+++= na a a nN N ++++++ 2111 M nN n n A 31⋅-+>, 其中121N a a a A +++= .由于0→nA,11→-n N n )(+∞→n ,所以存在02>N ,当2N n >时, 2M n A <,211>-n N n .因此n a a a n +++ 21M M M =-⋅>21321.(3) 当-∞=+∞→n n a lim 时,证明是类似的.(或令n n a b -=转化为(2)).注 例1的逆命题是不成立的.反例为()n n a 1-=),2,1( =n ,容易看出0lim21=++++∞→na a a nn ,但是极限n n a +∞→lim 不存在.例2 设}{n a 为单调递增数列, n a a a nn +++= 21σ.证明若a n n =+∞→σlim ,则a a n n =+∞→lim ．证明 由}{n a 为单调递增数列,当n m >时有n m a a ≥.固定n ,则有m a a a n m +++=21σm a a a m n n ++++++ 21n a mnm m A -+≥,其中n a a a A +++= 21.令+∞→m ,则n m m a a ≥=+∞→σlim .又由于n a a a n n +++= 21σn na nna =≤,所以a a n n ≤≤σ.令+∞→n ,由迫敛性定理得a a n n =+∞→lim ． 注 当}{n a 为单调递减数列时,上述结论也成立.例 3 设数列}{n a 收敛,且0>n a ),2,1( =n ,证明nn n a a a 21lim +∞→n n a +∞→=lim .(几何平均值收敛公式).证明 设a a n n =+∞→lim ,则由极限的不等式性质得0≥a .(1)若0>a ,则a a n n ln ln lim =+∞→,由例1, a a a a n n n ln )ln ln (ln 1lim21=++++∞→ . 因此nn n a a a 21lim +∞→()n a a a nn eln ln ln 121lim ++++∞→= a e a ==ln(2)若0=a ,则-∞=+∞→n n a ln lim .因此-∞=++++∞→)ln ln (ln 1lim 21n n a a a n , nn n a a a 21lim+∞→()n a a a nn eln ln ln 121lim ++++∞→= 0=.注 可以证明当±∞=a 时结论也成立.例 4 设0>n a ),2,1( =n ,证明:若nn n a a 1lim++∞→存在,则n n n a +∞→lim 也存在且nn n a +∞→limnn n a a 1lim++∞→=.证明 令11a b =,122a a b =,…,1-=n n n a a b ,….由例3得, n n n b b b 21lim +∞→n n b +∞→=lim .所以nn n a +∞→lim1lim-+∞→=n n n a a nn n a a1lim ++∞→=.例5 证明e n n nn =+∞→!lim.证明1 设!n n a n n =,则()()e n n n n n a a nn n nn →⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++=++11!!1111(+∞→n ).由例4得nn n n !lim+∞→e a nn n ==+∞→lim证明2 利用司特林(Stirling)公式ne n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛π2~!得nn n n !lim +∞→()e n enn ==+∞→212limπ例6 设a a n →,b b n →(+∞→n ).令()11211b a b a b a nc n n n n +++=- . 证明 ab c n n =+∞→lim .证明 ab c n -()nab b a b a b a n n n n -+++=-11211()]()()[11121ab b a ab b a ab b a n n n n -++-+-=- ()]()()[112212111ab b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a b a n n n n n n -+-++-+-+-+-=- ()]()()[11121b b a b b a b b a n n n n -++-+-=- ()]()()[21a a a a a a n bn -++-+-+ . 由于数列}{n a 收敛,故是有界的.设Ma n <),2,1( =n ,则ab c n -nbb b b b b Mn n -++-+-=-11 naa a a bn -++-+ 1.利用例1得ab c n n =+∞→lim .例7 设a a n n =+∞→lim .证明22lim221an na a a nn =++++∞→ . 证明 由a a n n =+∞→lim ,0>∀ε,01>∃N ,当1N n >时, 2ε<-a a n .所以22221a n na a a n-+++ n a na a n a a a a n 2)()(2)(221+-++-+-≤2121)()(2)(1na a N a a a a N -++-+-≤()na na a n a a N n N 2)()(12111+-++-+++()n a n n n n A 2221122+⋅+⋅+≤εna n A 222++<ε, 其中a a N a a a a A N -++-+-=11212 .又存在02>N ,当2N n >时,222ε<+n a nA .故当},m ax {21N N n >时, 22221a n na a a n-+++ εεε=+<22.例8 证明1lim=+∞→nn n .证明 令1-=n n n α,则()n n n α+=1() +-++=21211n n n n n αα()2121nn n α->.所以 120-=<n n α.)2(≥n 由迫敛性定理得, 0→n α(+∞→n ).所以1lim=+∞→nn n .例9 求极限nnn n n +++++∞→ 3321lim .解 以下不等式是显然的: nn n n nn ≤++++< 33211由例8与迫敛性定理得所求极限为1.例10 设10,a a 是两个定数,且当2≥n 时221--+=n n n a a a .证明32lim 10a a a n n +=+∞→.证明 由21012a a a a -=-, 210212322a a a a a a --=-=-,310342aa a a -=-,………()1101121-----=-n n n n a a a a ,相加得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--=--22101211212112n nn a a a a . 所以321112)(lim 10101a a a a a a n n -=+⋅-=-+∞→.这推出32lim 10a a a n n +=+∞→.例11 设,01>x ()nn n x x x ++=+3131),2,1( =n ,求极限n n x +∞→lim .分析 若}{n x 极限存在且为a ,则()aa a ++=313.由此解得3±=a .再由0>n x 知0≥a .故3=a . 解 由32-x()331311-++=x x111333333x x x +--+=()113333)33(x x +---=()333311-+-=x x得32-x 333311-+-=x x 33331--≤x . 同理有33-x 333322-+-=x x 333312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤x . 一般情况有3-n x 333311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-x n .所以3lim =+∞→n n x .例12 设,01>a nn a a +=+111),2,1( =n ,求极限n n a +∞→lim .分析 若}{n a 极限存在且为a ,则aa +=11.由此解得251±-=a .再由0>n a 知0≥a .故251+-=a . 解 令251+-=a ,我们有 a a n -aa n +-+=-11111()()a a aa n n ++-=--1111a a an -+≤-111a a a n -=-1.由上述递推关系可得a a n -a a a n -≤-11),3,2( =n ,由于1<a ,故得n n a +∞→lim 251+-=.例13 设K 是正数,,00>x 对任意自然数n ,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--1121n n n x K x x .证明K x n n =+∞→lim .证明 K x -1K x K x -⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=0021 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=00221x K K x ()20021K x x -=,同理K x +1()20021K x x +=.两式相除得20011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-K x K x K x K x . 由归纳法得n K x K x K x Kx n n 200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-.由于100<+-K x Kx ,得到0lim 200=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→nK x K x n .所以0lim=+-+∞→Kx K x n n n ,这证明了K x n n =+∞→lim .§ stolz 定理及其应用定理1 设}{n a 是趋于零的数列, }{n b 严格递减趋于零,则当nn nn n b b a a --+++∞→11lim存在或为∞-、∞+时，有n n n b a +∞→limnn nn n b b a a --=+++∞→11lim . 证明 设l b b a a nn nn n =--+++∞→11lim.(1) 若l 是有限实数,则0>∀ε,0>∃N ,当N n >时,有εε+<--<-++l b b a a l nn nn 11.由于01<-+n n b b ,所以())(1n n b b l -++εn n a a -<+1())(1n n b b l --<+ε, ())(12++-+n n b b l ε12++-<n n a a ())(12++--<n n b b l ε,………())(1-++-+p n p n b b l ε1-++-<p n p n a a ())(1-++--<p n p n b b l ε,上述各式相加得())(n p n b b l -++εn p n a a -<+())(n p n b b l --<+ε.在上式中固定n 并令+∞→p ,由于0→+p n a ,0→+p n b ,得()n b l ε-n a ≤()n b l ε+≤.注意到0>n b ,由上式便得ε≤-l b a n n.所以l b a nn n =+∞→lim .(2)若+∞=l ,则0>∀K ,0>∃N ,当N n >时,有K b b a a nn nn >--++11.仿照(1)中的证法可得,对任意自然数p ,有K b b a a np n n p n >--++,固定n 并令+∞→p ,得K b a n n ≥.所以+∞=+∞→nn n b alim .(3)若-∞=l ,可用n a -代替n a 转化为(2)的情形.定理 2 设}{n a 是任意数列, }{n b 严格递增趋于∞+,则当nn nn n b b a a --+++∞→11lim存在或为∞-、∞+时，有n n n b a +∞→limnn nn n b b a a --=+++∞→11lim . 证明 设l b b a a nn nn n =--+++∞→11lim.(1) 若l 是有限实数,则0>∀ε,0>∃N ,当N n ≥时,有2211εε+<--<-++l b b a a l n n n n .由于01>-+n n b b ,所以)(21n n b b l -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+εn n a a -<+1)(21n n b b l -⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+ε,)(212++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n b b l ε12++-<n n a a )(212++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n b b l ε,………)(21-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n p n b b l ε1-++-<p n p n a a )(21-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<p n p n b b l ε,上述各式相加得)(2n p n b b l -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+εn p n a a -<+)(2n p n b b l -⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+ε.由此便得22εε+<--<-++l b b a a l np n n p n .所以2ε<---++l b b a a np n n p n .由恒等式l b a n n -nN N b lb a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n Nb b 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛---l b b a a N n N n 得≤-l b a nnn N N b lb a -l b b a a N n N n ---+由于+∞→n b (+∞→n ),01>∃N ,当1N n ≥时,有2ε<-n N N b lb a .因此当},m ax {1N N n >时, l b a n n -εεε=+<22.这证明了l b a nn n =+∞→lim .(2)若+∞=l ,则当n 充分大时,有n n n n b b a a ->-++11.由+∞→n b (+∞→n ),可知+∞→n a (+∞→n ),且数列}{n a 严格递增.注意到0lim11=--+++∞→nn nn n a a b b ,由(1)的结论得0lim=+∞→n n n a b .从而+∞=+∞→n n n b alim .(3)若-∞=l ,可用n a -代替n a 转化为(2)的情形. 定理1与定理2统一称为Stolz 定理.例1 利用Stolz 定理.证明(§1例7)：设a a n n =+∞→lim .证明22lim221an na a a nn =++++∞→ . 证明 令n n na a a A +++= 212, 2n B n =,则}{n B 严格递增趋于∞+,由定理2,n n n B A +∞→limn n n n n B B A A --=+++∞→11lim ()2211)1(lim nn a n n n -++=++∞→112)1(lim ++∞→++=n n a n n 2lim 21aa n n ==+∞→．例2 求极限121lim ++∞→+++k kk k n nn ,其中k 为自然数. 解 令k k k n n a +++= 21, 1+=k n n b ,由定理2,n n n b a +∞→lim n n n n n b b a a --=+++∞→11lim ()111)1(lim +++∞→-++=k k k n n n n ()111)1(lim +=+++=+∞→k n k n k k n .其中倒数第二式中…表示关于n 的次数为1-k 的一个多项式.例3 求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++∞→1121lim 1k n n n k kk k n ,其中k 为自然数.解 令()1)21(1+-++++=k k k k n n n k a , ()k n n k b 1+=,由定理2,n n n b a +∞→limn n nn n b b a a --=+++∞→11lim ()()()()]1[11)1(1lim 11k k k k k n n n k n n n k -+++-+++=+++∞→ ()()()+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=--+∞→111211lim k k n kn k n k k k k 21=.其中倒数第二式分子与分母中的…均表示关于n 的次数为2-k 的多项式.注 例3中当k 不是自然数时,只要0>k (该条件保证()+∞=++∞→k n n k 1lim ),利用定理2,并令nx 1=,我们有 n n n b a +∞→limnn nn n b b a a --=+++∞→11lim ()()()()]1[11)1(1lim 11k k k k k n n n k n n n k -+++-+++=+++∞→ ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→11111111lim k kkn n k n n n n k ()()()()[]1111111lim-+++-++=→kk kx x k x x x x k()()()()[]xx x k x x kx k kkx -+++-++=→11111lim 0. 再利用求函数极限的罗必塔法则,可以求出最后一式的极限为21.例4 设0)(lim 1=--+∞→n n n A A n .试证:极限nA A A nn ++++∞→ 21lim存在时,n n A +∞→lim nA A A nn +++=+∞→ 21lim.证明 因n A A A A A n n n +++-= 21n A A A n ++++ 21,而极限nA A A nn ++++∞→ 21lim 存在,故只需证明第一项趋于零.令11A a =,122A A a -=,…,1--=n n n A A a ,则由条件0)(lim 1=--+∞→n n n A A n 知0lim =+∞→n n na ,且+-=-)(1n n n A A A +---)(21n n A A 112)(A A A +-+ 11a a a n n +++=- .于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+∞→n A A A A n n n 21lim ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++-+++=+∞→n a a a a a a a a a n n n 2121121lim ()na n a a nn 12lim32-+++=+∞→ (应用定理2)()1)1(lim---=+∞→n n a n nn n n a n nn ⋅⋅-=+∞→1lim0=.例5 设101<<x ,()n n n x x x -=+11),2,1( =n .证明1lim =+∞→n n nx .证明 由条件n nn x x x -=+11.用数学归纳法容易证明对所有自然数n 有10<<n x ,即110<-<n x .所以数列}{n x 是严格单调递减有下界的.由单调有界定理,极限n n x +∞→lim 存在,设极限值为a .在()n n n x x x -=+11中令+∞→n 得()a a a -=1,由此得0=a . 由于}1{nx 严格单调递增趋于∞+,根据定理2, n n nx +∞→lim nn x n 1lim +∞→=()nn n x x nn 111lim1--+=++∞→11lim+++∞→-=n n n n n x x x x 21lim nx xx n n n ++∞→=)1(lim n n x -=+∞→1=.§ 利用压缩影像原理和单调有界定理求极限压缩影像原理 设)(x f 可导且()1'<≤r x f ,r 是常数.给定0x ,令)(1-=n n x f x ),2,1( =n .证明序列}{n x 收敛.证明 由拉格朗日中值定理，得n n x x -+1)()(1--=n n x f x f ())('1--=n n x x f ξ1--≤n n x x r212---≤n n x x r ≤01x x r n -≤.其中ξ介于1,-n n x x 之间.故对任意自然数p ,n p n x x -+ 1-++-≤p n p n x x 21-+-+-+p n p n x x nn x x -+++1 011x x r p n -≤-+012x x r p n -+-+01x x r n-++ ()1011-+++-=p nr r x x r rr x x r pn --⋅-=11010101→-⋅-≤rr x x n（+∞→n ,10<<r ).由柯西收敛准则}{n x 收敛.注 (1)利用压缩影像原理必须保证}{n x 是否保持在()1'<≤r x f 成立的范围之内. (2) )(x f 称为压缩映射(因为10<<r )． 例1 (§1例11)：．设,01>x ()nn n x x x ++=+3131),2,1( =n ,求极限n n x +∞→lim .解 令()()x x x f ++=313(0>x ),则)(1n n x f x =+),2,1( =n .又()32)3(6'2<+=x x f (0>x ),故)(x f 称为压缩映射.由压缩影像原理, }{n x 收敛.再对递推公式()nn n x x x ++=+3131,两边取极限即可.例2 (§1例13)：设K 是正数,,00>x 对任意自然数n ,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--1121n n n x K x x .证明K x n n =+∞→lim .证明 令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x K x x f 21(K x ≥),则)(1-=n n x f x ),2,1( =n .又()⎪⎭⎫⎝⎛-=2121'x K x f (K x ≥),从而有()21'0<≤x f .故)(x f 称为压缩映射.由压缩影像原理, }{n x 收敛.再对递推公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--1121n n n x K x x ,两边取极限即可.例3 设,0>a ,1a x =,2a a x +=…, a a a x n +++= .求n n x +∞→lim .解 容易证明}{n x 单调递增.现证对任意自然数n ,1+≤a x n .当1=n 时显然成立.归纳假设1+≤a x n .则≤+=+n n x a x 11++a a 12++≤a a 1+=a .由单调有界定理,}{n x 有极限.设x x n n =+∞→lim .对n n x a x +=+1两边取极限得x a x +=.解得2411ax +±=.由于0>x ,故得n n x +∞→lim 2411a+±=.例4 设41=x ,当2≥n 时, 2111--+=n n n x x x .求n n x +∞→lim .解 显然0≥n x .由于nnn n n n n x x x x x x x 222222221-=-+=-+ 与2111--+=n n n x x x 221211=⋅≥--n n x x ,所以01<-+n n x x ,即}{n x 单调递减且有下界.故}{n x 极限存在,令x x n n =+∞→lim .由递推关系式得21xx x +=.解得2=x ,即2lim =+∞→n n x .例5 设01>x ,且对任意自然数n ,()ax a x x x n nn n ++=+22133其中0>a .求n n x +∞→lim.解 由于ax ax x x n n n n ++=+22133, 11≥+nn x x a x a x n n +≥+⇔2233a x n ≤⇔2,与 a x n -+21()()2222222)3(33a x ax a a x x n nn n ++-+=()()[]()()[]222222)3(3333a x ax a a x x a x a a xx nn n n n n n++-++++=()()2233)3(a x axaxn nn+-+=()2232)3(a x axn n+-=故a x n -2与a x n -+21同号.因此当a x ≤21时有a x n ≤2),2,1( =n ,此时}{n x 递增有上界a ;当a x >21时有a x n >2),2,1( =n ,此时}{n x 递减有下界a .所以}{n x 收敛,设x x n n =+∞→lim .则()ax ax x x ++=2233.因为0≠x ,解得a x =,即a x n n =+∞→lim .例6 设n nx n ln 131211-++++= ,证明}{n x 收敛. 证明 由n x 的定义, n n n x x n n ln )1ln(111++-+=-+)11ln(11n n +-+=.由于⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 单调递减趋于e ,故e n n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111.取对数得()1)11ln(1>++n n ,11)11ln(+>+n n .所以这证明了}{n x 单调递减.又由于⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调递增趋于e ,可得不等式)11ln(1n n +>.因此n 131211++++()[]n n ln 1ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln -+++-+-> ()1ln +=n n ln >.所以0>n x ),2,1( =n ,由单调有界定理,}{n x 收敛.设C x n n =+∞→lim ,这里C 称为Euler 常数.可以证明10<<C )5775216.0( =C .例7 设11=x ,212=x , nn x x +=+111.求n n x +∞→lim .解 若极限存在,设为A ,则A A +=11,012=-+A A ,251±-=A ⎝⎛-= 618.1618.0.因0>n x ),2,1( =n , 618.0=A .若A x n <,则nn x x +=+111A A =+>11;若A x n >,则nn x x +=+111A A =+<11.即n x 在A 的左右来回跳动,而11=x 618.0>知: A x x x x n >+ ,,,,,12531,A x x x x n < ,,,,,2642 (1).若}{n x 收敛于A ,则}{2n x ,}{12+n x 也收敛于A .猜想:是否}{2n x 在A 左端单调递增到A ,}{12+n x 在A 右端单调递减到A .下面来考n n x x -+2察的符号.nn x x -+2n n x x -+=+111nnx x -++=1111nn n x x x +--=212nn n x x x +-+=2)618.0)(618.1( ⎝⎛=><=<>.618.0,0,618.0,0A x A x n n 若若 (2).式(1),(2)表明}{2n x 以A 为上界, }{12+n x 以A 为下界.因此二子列收敛.记α=+∞→n n x 2lim ,β=++∞→12lim n n x .在式n n x x 21211+=+及12211-+=n n x x 中令+∞→n ,有αβ+=11,βα+=11.所以618.0===A βα.既然n n x 2lim +∞→A x n n ==++∞→12lim ,故 618.0lim ==+∞→A x n n .例8 证明序列2, 212+, ,21212++收敛,并求其极限.解 以序列特征可以看出,相邻两项的关系是nn x x 121+=+ (1).因此,设}{n x 收敛,则极限A 满足方程AA 12+=.又0>n x ,所以21+=A .令n n A x α+=n α++=21 (2).(2)代入(1), ()nnn ααα++-=+212121 (3).则将满足(1)的序列A x n →}{的问题,转化为满足(3)的序列0}{→n α的问题.事实上, 2111-=-=A x α,211<α.由(3)利用数学归纳法,易证nn 21<α,即n n x +∞→lim )21(lim n n α++=+∞→21+=.§ 求函数极限的几种方法一、 利用函数的连续性求极限定理 (复合函数求极限定理) 设函数)(y f 在b y =连续,函数)(x g y =有性质b x g ax =→)(lim ,则)]([lim x g f ax →b x g f ax ==→)](lim [.推论 设0)(lim >=→A x u ax ,B x v ax =→)(lim ,则()B x v ax A x u =→)(lim .证明 由复合函数求极限定理,()x v ax x u )(lim → ()()()()B A B x u x v x u x v ax A e e e ax ====→→ln ln lim ln lim例1 求极限)0.(1lim 0>-→a xa x x解 令y a x =-1,则当0→x 时0→y .解得()ay x ln 1ln +=.故x a x x 1lim 0-→()y a y y +=→1ln ln lim 0()yy y a 11ln ln lim +=→a ln =.注 此例中取01→=nx ,得数列极限, ())0.(01lim >=-+∞→a a n n n例2 求极限,2lim nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→()0,0>>b a解 令n n nx ba +=+12,则012→-+=n nn ba x (+∞→n ). 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+∞→+∞→12lim lim n n n n n b a n x ()112lim -+-=+∞→n nn b a n()b a ln ln 21+=ab ln =, 所以nn n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2lim nn n x )1(lim +=+∞→()n nnx x n n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→11lim abe ln =ab =.例3 求极限ax a x a x -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim .()πk a ≠解 ax a x a x -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim ax a x a x -→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11sin sin 1lim aa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.由于a a x a x a x cos sin sin lim =--→,所以ax a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim aaesin cos =a e cot =.例4 求极限x x x cos lim 0→.解 注意到211cos lim0=-→x x x ,我们有x x x cos lim 0→()[]ax x 11cos 1lim -+=→()[]xx x x x 1cos 1cos 11cos 1lim --→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=e =.练习 求极限 (1) 2202cos cos lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→; (2) xx x x x x 103232lim 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→. 二、利用微分学方法(L ’Hospital 法则,Taylor 公式)求极限例5 求极限()xex xx -+→101lim.解 由导数公式()x v x u dx d )(()x v x u )(=()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x u x u x v x u x v 'ln ' 得x x dx d 1)1(+xx 1)1(+=()()()x x x x x +++-11ln 12由L ’Hospital 法则得()xex x x -+→11lim()()()x x x x x e x +++-=→11ln 1lim20()20321ln lim x x x e x ++-=→2e -=.例6 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim .解 利用L ’Hospital 法则与等价无穷小代换得⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim x x x x x x 222220sin cos sin lim -=→42220cos sin lim x x x x x -=→(等价无穷小代换) ⋅+=→x x x x x cos sin lim 03cos sin x x x x -(化简) 203sin cos cos lim 2x xx x x x +-=→(L ’Hospital 法则) x x x sin lim 320→=32=. 例7求极限xxxxx cb a 103lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→. 解 由指数函数的连续性与L ’Hospital 法则得xx x x x c b a 103lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=→x c b a x x x x 3ln lim exp 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=→x x x x x x x c b a c c b b a a ln ln ln lim exp 0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3ln ln ln ex p c b a 3abc =.其中y exp 表示指数函数y e . 例8求极限. 解 原极限可化简为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→e x x x x x x 1lim 1x xx x e x e x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→1111lim . (*)(*)式中分母的极限为2e ,因此只要求分子的极限.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→xx x e x 11lim xx e xx 111lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→()yy e y y 101lim +-=→(利用代换x y 1=)yy y 1)1(lim 0+=→()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+y y y y111ln 12 (L ’Hospital 法则)因此只要求0lim →y ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+y y y y111ln 12()()()y y y y y y +-++=→11ln 1lim 20()()201ln 1lim y y y y y -++=→ (利用()11lim 0=+→y y )()yy y 2111ln lim0-++=→21=.因此(*)式中分母的极限为2e ,最后得到()ee x x x x x x 21lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→. 例9 设)(xf 在()+∞,0上连续,且()a x f x =+∞→lim ,求数列极限()⎰+∞→1limdx nx f n ．解 将数列极限转化为函数极限,然后利用L ’Hospital 法则()⎰+∞→1limdx nx f n ()⎰+∞→=nn ndt t f 0lim(变量代换nx t =)()ydt t f yy ⎰+∞→=0lim (将n 换成连续变量y )()y f y +∞→=lim (L ’Hospital 法则) a =10求极限xxx x 3sin tan lim-→. 解 利用Taylor 公式 ()333tan x o x x x ++=,()x o x x +=sin我们有x x x x 30sin tan lim -→()()()33303lim x o x x x o x x x +-++=→()()3330131lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x o x x o x 31=. 三、利用定积分求极限定理2 (1)若)(x f 在[]b a ,上可积,则()⎰badx x f ∑=+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=ni n i n a b a f n a b 1lim ∑-=+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=10lim n i n i n a b a f n a b .(2) 若)(x f 在()1,0内单调,且积分()⎰10dx x f 存在(可以是非正常积分),则()⎰1dx x f ∑=+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i n n i f n 11lim (当0是瑕点时)∑-=+∞→⎪⎭⎫⎝⎛=101lim n i n n i f n (当1是瑕点时).(3) 若)(x f 在[)+∞,0内单调递减,且积分()⎰+∞0dx x f 存在,则()⎰+∞dx x f ()∑+∞=→+=0lim n h nh f h .证明 (1)由定积分定义直接得.(2)当)(x f 在[]1,0上可积时结论显然成立.设()⎰10dx x f 是非正常积分,不妨设0是瑕点并设)(x f 在()1,0内单调递减,显然有()⎰+n i ni dx x f 1⎪⎭⎫ ⎝⎛≤n i f n1()⎰-≤nini dxx f 1 ()1,,2,1-=n i . 对i 求和得()()1111f ndx x f n+⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤n i n i f n 11()⎰≤10dx x f .令+∞→n ,注意到()()dx x f dx x f n⎰⎰→111,得()⎰1dx x f ∑=+∞→⎪⎭⎫⎝⎛=ni n n i f n 11lim . (3) 由于)(x f 在[)+∞,0内单调递减,对任意正数h 有()()⎰+hn nhdx x f 1()nh hf ≤()()⎰-≤nhhn dx x f 1.()k n ,,2,1 =对n 求和得()()⎰+hk hdx x f 1()∑=≤kn nh f h 1()⎰≤khdx x f 0.令+∞→k 得()⎰+∞hdx x f ()∑+∞=≤1n nh f h ()⎰+∞≤0dx x f .再令0→h 得()⎰+∞0dx x f ()∑+∞=→+=0lim n h nh f h .例11 求极限121lim ++∞→+++k kk k n nn ,其中k 是大于-1的实数. 解 利用定理2得121lim ++∞→+++k k k k n n n kn i n n i n ∑=+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=11lim ⎰=10dx x k11+=k .例12 设()()()nn n n n x nn +++=21,求极限n n x +∞→lim .解 因为n x ln kn i n i n ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,所以n n x ln lim +∞→∑=+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i n n i n 11ln 1lim ()12ln 21ln 10-=+=⎰dx x ,故 n n x +∞→lim ee 412ln 2==-.例13求极限n n nn n !ln 1tan lim ⋅+∞→.解 由于+∞→n 时, nn 1~1tan .故原极限()ln !ln ln 1lim n n n n -⋅=+∞→()()()[]n n n n nn ln ln ln 2ln ln 1ln 1lim -++-+-=+∞→∑=+∞→=n i n n in 1ln 1lim 1ln 10-==⎰xdx .练习 (1) 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→22222221lim n n n n n n n n . (2) 求极限()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-+∞→22222221211lim n n n n n n .例14 求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+-+∞→2212121lim n n nn nn n .解 原极限可变为∑=+∞→-nk n kn kn 11lim∑=+∞→-=n k n k k n n 1211lim ∑=+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n k n k n k k n n 1211lim ∑=+∞→+n k n k n n 11lim . 由于∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--nk k n kk n n 1211∑=+-=nk kn k k n k n 12211101112→≤∑=n k k n (+∞→n ), 所以由定理2得原式∑=+∞→=n k n k n n 11lim ⎰=10x dx 2=.例15 证明21lim 012π=-∑+∞=→-n n t t t .分析 对于级数 +++++=∑+∞=1694012t t t t t n n ,没有现成的求和公式可用.但是我们知道,当1<t 时级数收敛,当1±=t 时级数发散.又当-→1t 时, +∞→∑+∞=02n n t .另一方面,注意到⎰∞+-=022πdx e x ,由定理2可得如下证明.证明2π⎰+∞-=02dxex ()∑+∞=-→+=02lim n nh h eh ∑+∞=→-=-012ln lim n nt t t (令2h e t -=)∑+∞=→-=-0121lim n n t t t tt t -⋅-→1ln lim 1∑+∞=→-=-0121lim n n t t t其中11ln lim 1=--→tt t 是容易证明的.例16 求极限()2!lim n n nn +∞→. 解 令()2!n n a nn =,则nn n a a1lim ++∞→()()[]()n n n n n n n 221!!11lim ⋅++=++∞→101111lim <=⎪⎭⎫⎝⎛++⋅=+∞→nn n n ,所以级数∑+∞=1n na收敛.从而由级数收敛的必要条件,0lim =+∞→n n a ,即()0!lim2=+∞→n n nn .练习 求极限 (1) ()nn n n n 2!5lim ⋅+∞→,(2)n n n n n !2lim ⋅+∞→,(3) !3lim n n n nn ⋅+∞→.例17 求极限()π1sinlim 2++∞→n n .解 ()π1sin lim 2++∞→n n ()πππn n nn +-+=+∞→1sin lim 2()()ππn n nn -+-=+∞→1sin 1lim 2()01sin1lim 22=++-=+∞→πππn n nn .练习 求极限()n n n ++∞→22sin lim π.例18 求极限()()n n n 2421231lim ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+∞→ . 解 令n n x n 2124321-⋅⋅⋅=,1225432+⋅⋅⋅=n n y n ,则n n y x <且1212+=⋅<n x y x n n n .于是01210→+<≤n x n (+∞→n ),即0lim =+∞→n n x .第二章 一元函数的连续性§ 连续函数的基本性质及其有关证明题要点 要证)(x f 在I 上连续, 只要证()00)(lim ,0x f x f I x xx =∈∀→.常用方法:(1) 利用定义: 0>∀ε,0>∃δ,当δ<-0x x 时, ()()ε<-0x f x f ; (2) 利用左右极限: ()()0)0(000-==+x f x f x f ; (3) 利用序列的语言: {}()00)(,x f x f x x n n →→∀有;(4) 利用邻域的语言: 0>∀ε,0>∃δ,使得()[]()()()εεδδ+-⊂+-0000,,x f x f x x f ; (5) 利用连续函数的四则运算性质.例1 设)(x f 是[]b a ,上的单调递增函数,其值域为()()[]b f a f ,.证明)(x f 在[]b a ,上连续. 证明 反证法. 假若结论不成立,即存在[]b a x ,0∈使得)(x f 在0x 不连续. 由于)(x f 是单调递增的,0x 是第一类间断点（P73，Ex 6）.因此()()000--x f x f 与()00)0(x f x f -+中至少有一个大于0（否则若()()000-≤x f x f ,()00)0(x f x f ≤+,则()()0)0(000-≤≤+x f x f x f ,而)(x f 是单调递增的,()0)0(00+≤-x f x f ,()()0)0(000-==+x f x f x f 矛盾!）不妨设()()0000>--x f x f ,即()()000->x f x f .从而()()000-x f x f 与之间的任何数都不在()()[]b f a f ,之内.再由)(x f 是单调递增的,矛盾!故)(x f 在[]b a ,上连续.例2 证明Riemann 函数⎝⎛>==为无理数当为既约分数当x q qp q p x q x R ,00,,,1)(,在无理点上连续,在有理点上间断. 证明 （1）先证)(x R 在有理点上间断.设0x 为有理点,qpx =0（为既约分数, 0>q ）.则01)(0>=qx R .由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列{}()时当∞→→n x x n 0,但()()01100>=-=-qq x R x R n （对任意正整数n ）,即)(n x R 不收敛到)(0x R .所以)(x R 在有理点处不连续.（2）再证)(x R 在[]1,0内无理点上连续.设为[]1,00∈x 无理点,则0)(0=x R .0>∀ε,由)(x R 的定义可知, ε≥)(x R 的点x 在[]1,0上最多只有有限多个(事实上,要ε≥)(x R 的x 必须为有理点.设q p x =,则ε≥=q q p R 1)(,p ≤0ε1≤<q .可见满足此不等式的有理数qp 最多只有有限个).分别记为n x x x ,,,21 .令{}0,,,,min 01010>--=-x x x x x x n n δ,则在),(00δδ+-x x 内不含有ε≥)(x R 的点,即有()()()ε<=-x R x R R 0x .所以)(x R 在[]1,0内无理点上连续.（3）)(x R 以1为周期.事实上, x 为无理数, ()10)(+==x R x R ;若qpx =,0>q ,q p ,为互质整数.则qqp x +=+1,而q 与q p +互质整数,所以x +1也为有理数,所以()11)(+==x R qx R .故)(x R 以1为周期. （4）)(x R 在一切无理点上连续. 注 1)0(=R ,因qp=0为既约分数且0>q ,只能有1,0==q p .例3 若)(x f 在()1,0内有定义,且)(x f e x 与()x f e -在()1,0内都是单调递增的,试证)(x f 在()1,0内连续.证明 (1)任取0x ()1,0∈,因()x f e -在()1,0内单调递增知,当0x x >时,有()x f e -()0x f e -≥,()≥0x f e ()x f e ,()()x f x f ≥0 (1),即)(x f 单调递减.故对任意0x ()1,0∈,()00-x f 与)0(0+x f 均存在.(2)由)(x f e x 单调递增知,当0x x >时,有)(x f e x )(00x f e x ≥.令+→0x x 时,有)0(00+x f e x )(00x f e x ≥,即()00)0(x f x f ≥+ (2).(3) 在(1)式中令+→0x x 得()0)(00+≥x f x f (3),由(2)(3)知()0)(00+=x f x f .类似可证()0)(00-=x f x f .所以)(x f 在0x 处连续.由0x 的任意性,)(x f 在()1,0内处处连续.例4 设)(x f 在()b a ,上只有第一类间断点,且()b a y x ,,∈∀有()()2)2(y f x f y x f +≤+. 证明 )(x f 在()b a ,上连续.证明 任取0x ()b a ,∈ ,当0x x a <<时,由条件()()2)2(00x f x f x x f +≤+.令-→0x x ,则-→+002x x x ,()()20)0(00x f x f x f +-≤-,即()00)0(x f x f ≤- (1).当b x x <<0时,由条件()()2)2(00x f x f x x f +≤+,令+→0x x ,则+→+002x x x ,()()20)0(00x f x f x f ++≤+,即()00)0(x f x f ≤+ (2).故再设b x x x a <<<<201且0212x x x =+,则有()()2)2(2121x f x f x x f +≤+.在此式中令-→01x x ,+→02x x , 则()()200)(000-++≤x f x f x f (3).由(1)(2)(3)三式得出()()0)0(000-==+x f x f x f .所以)(x f 在0x 处连续.由0x 的任意性,)(x f 在()b a ,内处处连续.例5 设)(x f 在(,)-∞+∞上有定义, 且(1) 具有介值性即(若()21)(x f x f <<μ,则存在ξ介于1x 与2x 之间,使得μξ=)(f ); (2) 对任意有理数r ,集合(){}r x f x =为闭集. 试证 )(x f 在(,)-∞+∞上连续. 证明（反证法）若)(x f 在某一点0x 处不连续,则存在00>ε,使得01>∀n,n x ∃,虽然nx x n 10<-,但()()00ε≥-x f x f n ,即{}()时当∞→→n x x n 0,但(){}n x f 在()()()0000,εε+-x f x f 之外.从而在()()()0000,εε+-x f x f 之外至少一侧(例如在右侧)含有(){}n x f 的无穷多项,满足()00)(ε+>x f x f k n .在()()()0000,εε+-x f x f 内任取一有理数r ,由介值性,对每一kn x ,存在k ξ介于0x 与kn x 之间,使得()() ,2,1==k r f k ξ.因0x x kn →,所以0x k →ξ()时当∞→k ,这表明0x 是(){}r x f x =的一个聚点.据已知条件(2)知,(){}r x f x x =∈0,即()r x f =0,这与()r x f <0矛盾!例6 证明 (1) 若函数)(x f ,)(x g 连续,则()()(){}x g x f x ,m in =ϕ,()()(){}x g x f x ,m ax =ψ也连续.(2) 设)(1x f ,)(2x f ,)(3x f 在[]b a ,上连续,令)(x f 的值等于三值)(1x f ,)(2x f ,)(3x f 中介于其他二值之间的那个值. 证明)(x f 在[]b a ,上连续.(3) 令()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=时当时当时当n x n n x n x n x x u n n, )(x f 为实函数,试证明 )(x f 连续当且仅当()[]x f u x g n n =)(对任意固定的n ,都是x 的连续函数.证明 (1) ()()()()()2x g x f x g x f x --+=ϕ,()()()()()2x g x f x g x f x -++=ψ ;(2) ()()x f x f x f x f 321)()(++=()()(){}x f x f x f 321,,m ax -()()(){}x f x f x f 321,,m in -; (3) ()[]x f u x g n n =)(n x f n ++-=)()((){}n x f n ,,m ax --(){}n x f n ,,m in --(由（2）))(x f =(){}n x f ,m ax -(){}x f n ,m in --)(x f =()()2nx f n x f --+-()()2nx f n x f +---()()2nx f x f n --+=.由连续函数的运算性质即知它们连续.例7 设)(x f 在[]b a ,上连续. 证明()t f x M xt a ≤≤=sup )(，()t f x m xt a ≤≤=inf )(在[]b a ,上连续.证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知)(x M ,)(x m 在[]b a ,上处处有定义.又因上确界随取值区间扩大而增大知, )(x M 单调递增,故每点的单侧极限存在. 任取0x []b a ,∈,只需证()()0)0(000-==+x M x M x M ()t f x M xt a ≤≤=≤sup )( (1).由)(x M 递增,有()00)0(x M x M ≤-.又[]0,x a x ∈∀有)(x f ()()()0sup 0-≤=≤≤≤x M x M t f xt a ,所以()()()0sup 000-≤=≤≤x M x f x M x x a .故(1)式左等式成立.下用反证法证明()00)0(x M x M =+.因)(x M 单调递增, ()()000+≤x M x M .假设()()000+<x M x M ,则取充分小的00>ε,使得()()0000+<+x M x M ε.于是对任意0x x >,有()()0000+<+x M x M ε()t f x M xt a ≤≤=≤sup )(.由上确界的定义,存在[]x a t ,∈使得()()0000εε+≤+x M x f ()t f < (2). 但在[]0,x a 上. ()()00sup )(x M t f x f x t a =≤≤≤.所以(2)式中的[]x x t ,0∈,即存在00>ε,0>∀δ,当δ<-0x t 时,有()()00ε≥-x f t f ,即)(x f 在0x 处不连续,矛盾!所以即,)(x M 在[]b a ,上连续, )(x m 在[]b a ,上连续可类似证明.例8 设)(x f 在(,)-∞+∞内对一切x 都有()2)(x f x f =,且)(x f 在0=x 与1=x 处连续. 证明)(x f 为一常数.证明 （1）0>∀x ,由条件, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x f x f x f x f 214121)(.又)(x f 在1=x 处连续且当∞→n 时，1221→=nnx x,故()1lim lim )(2121f x f x f x f n nn n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→.。
数学分析方法选讲
数学分析与其他数学分支的关系
数学分析与代数的关系
• 代数是数学分析的基础，数学分析 中的许多概念和定理都依赖于代数 • 数学分析中的许多方法也可以用于 解决代数问题
数学分析与几何的关系
数学分析在工程中的 应用
• 数学分析在工程中的应用 • 数学分析可以用于解决工程中的许多问题，如结构设计、系统 控制、信号处理等 • 数学分析在工程中的应用包括材料力学、结构力学、控制理论 等
数06学分析的发展趋势与展
望
数学分析的理论研究发展趋势
• 数学分析的理论研究发展趋势 • 数学分析的理论研究发展趋势包括非线性分析、概率论与数理 统计等 • 数学分析的理论研究发展趋势可以用于解决实际问题中的许多 问题，如复杂性科学、大数据分析等
• 微分方程的求解方法包括分离变量法、积分变换法等 • 微分方程的求解方法可以用于解决数学分析中的许多问 题，如运动学、动力学等
04
数学分析的经典定理
数列与级数的收敛性定理
数列的收敛性定理
• 数列的收敛性定理包括夹逼定理、单调有界定理等 • 数列的收敛性定理可以用于判断数列的收敛性、绝对收敛性和条件收敛性
极限方法的应用
• 极限方法可以用于求解函数的连续、可导和可积等性质 • 极限方法可以用于证明数学分析中的许多重要定理，如极限存在定理、夹逼定理等
微积分方法及其在数学分析中的应用
微分的定义和性质
• 微分是数学分析的基本概念，表示函数在某一点处的变化率 • 微分具有线性、局部性和可加性等性质
微积分方法的应用
• 连续函数的判定定理包括直接法、介值定理等 • 连续函数的判定定理可以用于判断函数的连续性
福建师范大学《数学分析选讲》考试大纲
《数学分析选讲》考试大纲一、单项选择题1．设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）.A ．)(x f 与x 是等价无穷小B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 答案：B 2. 设函数111()1xx e f x e -=+，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．第二类间断点C ．跳跃间断点D ．连续点 答案：C3. 22lim (1)n nn→∞+等于( ).A ． 221ln xdx ⎰B ．212ln xdx ⎰C ．212ln(1)x dx +⎰ D ．221ln (1)x dx +⎰答案：B4. (,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数连续是(,)f x y 在该点连续的（ ）条件.A ．充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案：A5. 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑均发散，则以下说法正确的是（ ）.A. 1()n n n u v ∞=±∑一定都收敛 B. 1()n n n u v ∞=±∑一定都发散C. 1()n n n u v ∞=-∑可能收敛，但1()n n n u v ∞=+∑一定发散D. 1()n n n u v ∞=±∑都可能收敛答案：D6. 设232)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小 C. )(x f 是比x 高阶的无穷小 D. )(x f 是比x 低阶的无穷小答案;B 7. 设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 答案：B8. 下列极限计算中，正确的是（ ）A ．01lim(1)x x e x +→+= B. 01lim(1)1x x x +→+= C. 1lim(1)x x e x →∞-=- D. 1lim(1)x x e x -→∞+=答案：B9. 设函数)(x f 在0x 处可导，且2)(0'=x f ，则=--→hx f h x f h )()(lim000（ ）A.21 B. 2 C. 21- D. -2 答案：D10. 下列反常积分中收敛的是 （ ） A. 211x dx x +∞+⎰B. 1+∞⎰12011sin dx x x ⎰ D. 10ln xdx ⎰答案：D11. 函数()y f x =，若0000()(2)3,|limx x h f x f x h dy h=→--==则（ ）A. 32dx B.32dx - C.3dx D.3dx -答案：A12. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则下述四个选项中正确的是 ( ). A ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 B. 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C. 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点D. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否是(,)f x y 的极值点 答案：A13. lim →∞n 等于( ) A. 1ln ⎰xdx B. 0ln +∞⎰xdx C. 1⎰xdx D. 0+∞⎰xdx .答案：A14.设)(x f 在],[b a 上连续，则0[()]xd f t dt dx -⎰等于( )A. ()f x -B. ()f x -C. ()f x --D. ()f x 答案：A15.下列结论正确的是（ ）.A. 若0()f x dx +∞⎰和0()f x dx -∞⎰均发散，则()f x dx +∞-∞⎰一定发散；B. 若0()f x dx +∞⎰发散，0()g x dx +∞⎰发散，则0[()()]f x g x dx +∞+⎰一定发散； C. 若0()f x dx +∞⎰发散，0()g x dx +∞⎰发散，则0()()f x g x dx +∞⎰一定发散； D. 若0()f x dx +∞⎰收敛，0()g x dx +∞⎰发散，则0()()f x g x dx +∞⎰一定发散.答案：A16.lim →∞n 等于( ) A. 1ln ⎰xdx B. 0ln +∞⎰xdx C. 1⎰xdx D. 0+∞⎰xdx .答案：A 17. 函数2ln(1)y x =+单调增加且图形为凹的区间是（ ）.A. (,1)-∞-B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,)+∞答案：C18. 设二元函数(,)f x y 存在偏导数，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（ ）.A. 0B. 00(,)x f x x y +∆C. 002(,)x f x yD. 003(,)x f x y 答案;D19. 若24()f x dx x C '=+⎰，则)(x f =（ ）A ．2x C + B. 33x C + C.5285x C + D. 4x C +答案：C20. 部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C.充分必要D.非充分非必要 答案：C21．当0→x 时，x x sin -与x 比较是（ ）.A.等价无穷小B.高阶无穷小C.低阶无穷小D.同阶无穷小 答案：B22. 设32()431f x x x x =+--，则方程()0f x =（ ）. A.在(0,1)内没有实根 B.在(1,0)-内没有实根C.在(,0)-∞内有两个不同的实根D.在(0,)+∞内有两个不同的实根 答案：C23. 设32,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（ ）.（A ）左右导数都存在（B ）左导数存在，右导数不存在 （C ）左右导数都不存在（D ） 左导数不存在，右导数存在 答案：B24. 0()0f x '=是()f x 在0x x =取得极值的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案：D25. 设()f x 和()g x 均为区间I 内的可导函数，则在I 内，下列结论正确的是（ ）.A ．若()()f x g x =, 则()()f x g x ''= B. 若()()f x g x ''=，则()()f x g x = C. 若()()f x g x >，则 ()()f x g x ''> D. 若()()f x g x ''>，则()()f x g x > 答案：A26．()f x 在[,]a b 有界是()f x 在[,]a b 可积的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既非充分又非必要条件 答案：B27. 设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)13lim x f f x x →--=，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )A. 3B. 3-C. 1D. 1-答案：A二、判断题：以下各题若正确请在（ ）内填“√”, 若错误填“×”. 1. 若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 必存在收敛子列. （ ） 答案：√2.)(x f 在],[b a 上连续是⎰ba dx x f )(存在的充要条件 . （ ）答案：×3. 若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则00lim ()()x x f x f x →= .（ ） 答案：√4. 若(1,2)n n u v n ≤=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛.（ ）答案：√5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则点(0,0)是(,)f x y 的极小值点. （ ） 答案：×6.若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 任一子列均不是无穷大量. （ ） 答案：×7. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积. （ ） 答案：×8. 当0x x →时，()f x 不以A 为极限，则存在00{},(1,2),()n n n x x x n x x n ≠=→→∞，使{()}n f x 不以A 为极限.（ ） 答案：√9. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛但和不一定是0 . （ ）答案：×10. 对),(y x f z =, 偏导数连续,则全微分存在. （ ） 答案：√11.若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 必存在有界子列. （ ） 答案：√12. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，而()g x 只在有限个点上与()f x 的取值不相同，则()g x 在[,]a b 上也可积，且有()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰.（ ）答案：√13.若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 既是右连续，又是左连续. （ ） 答案：×14. 函数21xx-展开成x 的幂级数为210,1n n x x ∞+=<∑. （ ）答案：√15.二元函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，在点(0,0)处连续，偏导数存在.（ ） 答案：√ 三、填空题1、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 的值为 .答案：0或12、设21(2021)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：20213、级数1nn ∞=的收敛区间是 .答案：（2，4）或[2,4）4.设21(10)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：105.(,)(0,0)limx y →= .答案：46.级数21nn ∞=的收敛区间是_____________.答案：（1，3）7.广义积分20110k dx x π+∞=+⎰，则1k= . 答案：58.1lim 1+xx x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 答案：e9.设21,0()0,0x x f x x x e ⎧--⎪≠=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 答案：1四、计算题1. 2+3200lim (sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰.解 原式=++320026lim lim 12(sin )1cos xx x x x x x x x→→⋅==--2.求sin cos cos 2x x y x e π+=+ 的导数.解：cos sin ()'=-x x xe e esin sin ln sin sin ()cos n ()l ()'='=+xx x x xex x x xx cos 02'π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin sin cos ln '()sin 所以+=-x x x xe xy x x x e . 3.求积分cot 1sin xdx x+⎰.解：cot 1sin xdx x+⎰=()sin sin 1sin d x x x +⎰=11sin sin 1sin d x x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰=ln sin ln 1sin x x c -++ 4.将函数1()12f x x=+展成1-x 的幂级数. 解：1001111()21232(1)31(1)312(1)2()(1)(1),333nn n n n n n f x x x x x x ∞∞+=====++-+--=-=--∑∑收敛域为15 (,)22 -.五、综合题.1.241lim cos1nnnn→∞-+！. （请说明理由）答：原式＝０（有界量乘以无穷小量）2. 叙述一元函数可导，可微，连续的关系.答：一元函数可导与可微是等价的，可导推出连续，连续不一定可导.（温馨提示：照抄答案，没有加入自己的答案，一律不给分。
数学分析选讲教案
数学分析选讲教案教案-数学分析选讲一、教学目标1.了解数学分析选讲的内容和意义；2.掌握数学分析选讲中具体的知识点和方法；3.培养学生对数学问题的分析和解决能力。
二、教学内容1.极限与连续2.导数与微分3.积分与不定积分4.一元函数的级数展开5.二重积分与曲线积分三、教学过程1.首先介绍数学分析选讲的意义和重要性，引导学生对该学科的兴趣和学习动力。
2.然后分别介绍每个知识点的基本概念和定义，并通过一些具体的例子进行说明。
比如，对于极限与连续，可以通过函数在其中一点处的极限和函数的连续性来说明。
3.接着，讲解每个知识点的具体计算方法和应用。
比如，对于导数与微分，可以讲解导数的定义和性质，并介绍如何求导和微分的计算方法。
同时，通过一些实际问题的应用，如求速度、加速度等问题，来说明导数与微分的应用。
4.在讲解知识点的同时，可以穿插一些习题的讲解和训练，以检测学生对知识点的掌握情况，并培养学生的解题能力。
5.最后，总结每个知识点的要点和注意事项，并给出一些练习题供学生进行巩固和深化。
四、教学方法1.以讲授和演示为主，结合习题训练和实例分析，培养学生的数学分析思维和解题能力。
2.采用逐步推导和详细解释的方法，使学生更好地理解和掌握每个知识点。
3.灵活运用多种教学手段和教学资源，如课堂讨论、实验演示等，提高学生的主动参与和探索能力。
五、教学评价1.基于每个知识点的习题和问题进行评价，考察学生对知识点的掌握情况和解决问题的能力。
2.引导学生对学习过程进行自我评价和反思，发现自己的不足和提高的方法。
3.结合考试、小测验和作业等方式，全面评价学生的数学分析水平和综合能力。
六、教学反思1.整个教案的设计要简洁明了，符合学生的认知特点，避免内容过于冗杂和抽象，能够引起学生的学习兴趣和主动参与。
2.在教学过程中，要注意与学生的互动和沟通，帮助他们理解和解决问题，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
3.针对每个知识点的讲解，要重点讲解基本概念和计算方法，并给出一些典型的例子和习题，帮助学生加深对知识点的理解和掌握。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。
数学分析方法选讲
数学分析方法选讲
数学分析是现代数学的一个重要分支，它涉及到无穷序列、极限理论、微积分等基本概念和方法。
下面是关于数学分析方法选讲的一些内容：
1.微积分：微积分是数学分析的基础，它涉及到导数、积分、微分方程等许多重要的概念和方法。
微积分的应用非常广泛，例如在物理、工程、经济学等各个领域都有应用。
2.点集拓扑：点集拓扑是现代分析中的一门重要学科，它研究的是空间和集合的性质及其变化规律。
点集拓扑主要研究空间的连续性、紧致性、度量空间等概念和其相关定理，以及连续映射和同胚等映射的性质。
3.函数分析：函数分析是数学分析中一个重要的分支，它主要研究无限维空间中的函数和算子。
函数分析不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机等学科中也有重要的应用。
4.常微分方程：常微分方程是微积分的一个重要分支，它主要研究描述物体运动、力学、电路等过程中变化率的方程。
常微分方程中的基本概念包括初值问题、线性化、自由振动等，常微分方程的应用非常广泛。
5.偏微分方程：偏微分方程是微积分的另一个重要分支，它主要研究描述变量连续变化的方程。
偏微分方程经常被用于描述和解决物理、工程、流体力学等复杂
问题。
以上是数学分析方法选讲的一些内容，需要对这些基础知识进行系统学习和掌握。
《数学分析方法选讲》讲义
《数学分析方法选讲》讲义第一章介绍了数学分析的基本概念和思想。
首先介绍了实数和实数集，包括实数的有序性、稠密性和连续性等性质。
接着介绍了数列和数列极限的概念，包括数列的单调性、有界性和收敛性等重要性质。
最后介绍了函数和函数极限的概念，包括函数的连续性、极限存在性和极限唯一性等重要性质。
第二章介绍了函数的导数和微分的概念。
首先介绍了导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算、导数的求法和导数的计算等。
接着介绍了微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的计算和微分的应用等。
最后介绍了高阶导数和高阶微分的概念，包括高阶导数和高阶微分的计算和应用等。
第三章介绍了函数的积分和不定积分的概念。
首先介绍了不定积分的定义和性质，包括不定积分的基本性质、不定积分的计算和不定积分的应用等。
接着介绍了定积分的定义和性质，包括定积分的几何意义、定积分的计算和定积分的应用等。
最后介绍了变限积分和变限积分的计算和应用等。
第四章介绍了无穷级数和幂级数的概念。
首先介绍了收敛级数和发散级数的概念，包括级数的收敛性和级数的发散性等性质。
接着介绍了正项级数和交错级数的概念，包括正项级数的比较判别法和交错级数的莱布尼茨判别法等。
最后介绍了幂级数的概念和性质，包括幂级数的收敛区间和收敛半径等重要性质。
第五章介绍了微分方程和常微分方程的概念和基本方法。
首先介绍了微分方程的基本概念和分类，包括微分方程的定义、微分方程的阶数和微分方程的解等。
接着介绍了常微分方程的基本解法，包括一阶线性微分方程的解法、二阶常系数线性齐次微分方程的解法和二阶常系数线性非齐次微分方程的解法等。
最后介绍了常微分方程的应用，包括生物学、物理学和工程学等领域中的应用。
《数学分析方法选讲》讲义全面而详尽地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法，对于学生理解和掌握数学分析的基本原理和基本技巧具有重要的指导作用。
读者通过学习这本讲义，将能够加深对数学分析的理解，提高解题能力，为进一步学习和研究数学奠定坚实的基础。
数学分析选讲___
数学分析选讲___本文旨在介绍数学分析选讲___的目的和重要性，以及本大纲的结构和组织方式。
数学分析选讲___是一门旨在深入探讨数学分析领域的课程，由___教授精心编写和讲授。
该课程旨在帮助学生深入理解数学分析的基本概念和原理，提高数学分析的解题能力和证明能力。
本大纲将按照以下结构和组织方式进行展开：第一部分：数学分析选讲___的目的和重要性介绍数学分析在数学学科中的重要地位和应用领域解释数学分析选讲___的目标和意义强调研究数学分析的好处和优势第二部分：数学分析选讲___的内容和主题概述数学分析的基本概念和理论探讨数学分析的常见问题和应用案例分析数学分析在实际问题中的应用第三部分：数学分析选讲___的教学方法和评估方式介绍___教授的教学方法和教学理念探讨数学分析选讲的教学评估方式和要求提供研究数学分析的研究资源和参考资料通过研究数学分析选讲___，学生将能够更好地理解和应用数学分析的基本原理和方法，提升数学分析的解题能力和证明能力，为进一步深入研究数学分析打下坚实的基础。
本课程为数学分析选讲___的概述，旨在介绍课程的内容和重点，以及涵盖的主题和技能。
课程内容包括但不限于以下主题：极限与连续性导数与微分积分与积分学基本定理级数与级数收敛通过研究该课程，学生将能够掌握以下技能：理解数学分析的基本概念和原理应用极限、导数、积分等概念解决实际问题分析级数的性质和收敛性提升数学推理和解决问题的能力该课程对于数学分析的初学者和对数学分析感兴趣的学生都是一个很好的选择，希望能够为学生提供扎实的数学基础和思维训练。
本课程将采用多种教学方法，以帮助学生更好地理解数学分析的核心概念和技巧。
以下是教师将采用的教学方法：讲授: 教师将通过讲解数学分析的重要理论和定理，以及解决相关问题的方法和技巧，向学生传授知识。
讨论: 学生将有机会参与课堂讨论，提出问题和分享自己的见解。
通过与教师和其他同学的讨论，学生可以深入理解数学分析的各个方面。
《数学分析方法选讲》讲义
[ 求极限 lim
π 2
n→∞
π sin π sin 2n sin π n + + ··· + . (北京大学, 1999) 1 1 n+1 n+ 2 n+ n
]
答案提示: = 思考 1.4
2 n 1 + ··· + 2 ; = 2 2 n→∞ (n + n + 1 n +n+2 n +) n+n 2 1 1 1 (2) 求极限 lim √ −√ − ··· − √ ; = −1 2 2 2 n→∞ n −1 n −2 n −n (1) 求极限 lim +
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数 学 分 析 方 法 选 讲 (李 松 华 )
湖南理工学院
第一章 极 限
第一章 极 限
§1.1 数列极限
一、内容提要
1. 与数列极限有关的定义（共8个）
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn − a| < ε成立. lim xn ̸= a ⇔ ∃ε0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 − a| ≥ ε0 成立. lim xn = ∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn | > K 成立. lim xn = +∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn > K 成立. lim xn = −∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn < −K 成立. lim xn ̸= ∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 | ≤ K0 成立. lim xn ̸= +∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≤ K0 成立. lim xn ̸= −∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≥ −K0 成立.
数学分析选讲教案精选全文完整版
是 的聚点，
聚点是对数集而言，极限是对数列而言。聚点不一定是极限点，极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。
， 不是 的聚点，但数列有极限。
有聚点但不是没有极限点
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讲稿部分
教学过程
时间分配
聚点的等价定义： 是 的聚点，以下三个定义等价：
I 含有 的无穷多个点
而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，，反之亦然。
若函数 在 上有定义恒取正值，
= 则 在[a, b]上必有正的下界。
重点与难点
重点：函数的性质和实数理论。
难点：实数理论
教学方法
手段（教具）
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
参考资料
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题
2006年高等数学考试测试题
课后作业与
思考题
作业1.2.3.4.5.6
思考题：六个实数完备性定理的相互证明。
教学后记
讲稿部分
教学过程
时间分配
20m
第4页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
并记 显然 再由
这与 为 的唯一最值点矛盾。
4．多种方法证明
设函数 在 上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明
在 上有界
1． ：（致密性定理）反证，若 在 上无界，存在 ，可找出 ， 有界，必有收敛的子列
时 在 上无界。
小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。
性质：保号性、传递性、三角不等式性质。
1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。
极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。
1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。
连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。
高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。
2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。
微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。
三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。
泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。
数学分析选讲
数学分析选讲
数学分析是一门重要的数学学科，在科学研究、工程设计、商业应用等各个领域都有着深远的影响。
数学分析的核心在于对实数、复数的认识，以及对函数的理解与分析。
在数学分析中，有很多有趣的知识，值得我们深入学习。
以下是关于数学分析选讲的介绍：
一、函数分析
函数分析是数学分析中最基础、最重要的知识，它涉及函数的概念、性质、解法，广泛应用于各种科学领域。
函数分析的具体内容包括：函数定义、函数增减性、函数的导数、极限、微分、积分、曲线的拐点及分类等。
二、线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵及其变换的数学学科，它是复杂问题分析的基础，具有重要的应用价值。
线性代数的内容包括：矩阵的运算、线性方程组的解法、向量空间及其子空间、矩阵特征值等。
三、微积分
微积分是探索连续变化与瞬时变化规律的数学理论，是数学分析的重要内容。
微积分的内容涉及微分、积分、微分方程以及各种解析和数值计算的方法。
四、概率论
概率论是研究不确定性随机事件、概率变量等概念及其运算的数学理论。
概率论的内容包括：随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、概率分布、条件概率等。
以上就是关于数学分析选讲的介绍。
通过数学分析，我们可以更好地掌握数学知识，运用数学原理解决复杂问题，从而为我们日常生活、科学研究、工程设计等提供有力的帮助。
数学分析选讲课程教学标准（合集5篇）
数学分析选讲课程教学标准（合集5篇）第一篇：数学分析选讲课程教学标准《数学分析选讲》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。
本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。
教学时间应安排在第五学期或第六学期。
这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，19992、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章一元函数的极限复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。
通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：§1.1数列极限和无穷大量§1.2函数极限§1.3数列的上、下极限第二章实数的基本定理及函数的连续性对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。
数学分析选讲实训报告范文
一、实训目的本次实训旨在通过学习数学分析选讲课程，提高我对数学分析理论知识的理解和运用能力，培养我在实际问题中运用数学分析方法解决问题的能力。
同时，通过实训，加深我对数学分析学科的认识，激发我对数学研究的兴趣。
二、实训内容本次实训主要内容包括以下几个方面：1. 数学分析的基本概念：极限、连续性、导数、微分、积分等。
2. 数学分析的基本方法：洛必达法则、泰勒公式、中值定理、最大值最小值定理等。
3. 数学分析在实际问题中的应用：物理、工程、经济、金融等领域。
4. 数学分析选讲课程中的典型问题及解题思路。
三、实训过程1. 理论学习：在实训过程中，我认真学习了数学分析选讲课程的理论知识，对极限、连续性、导数、微分、积分等基本概念有了更深入的理解。
2. 案例分析：通过分析典型问题，我学会了如何运用数学分析方法解决实际问题。
例如，在解决物理问题时，我运用洛必达法则求极限；在解决工程问题时，我运用中值定理求函数的最大值和最小值。
3. 实践操作：在实训过程中，我尝试运用所学知识解决实际问题。
例如，我利用泰勒公式求解一个函数在某一点的近似值，并验证其精度。
4. 小组讨论：在实训过程中，我与小组成员共同探讨数学分析选讲课程中的难点问题，通过集思广益，提高了自己的解题能力。
四、实训成果1. 理论知识方面：通过本次实训，我对数学分析的基本概念、基本方法有了更深入的理解，为今后进一步学习数学分析打下了坚实的基础。
2. 实践能力方面：在实训过程中，我学会了如何运用数学分析方法解决实际问题，提高了自己的实践能力。
3. 团队协作能力方面：在小组讨论中，我与小组成员共同探讨问题，学会了与他人合作，提高了自己的团队协作能力。
五、实训总结1. 数学分析是一门具有较强理论性和实践性的学科，通过本次实训，我深刻体会到了数学分析在实际问题中的应用价值。
2. 在学习数学分析的过程中，要注重理论知识的积累，同时要注重实践能力的培养，将所学知识运用到实际问题中。
数学分析选讲试题及答案
计算题1、 求求242lim(1)(1)(1)(1)(1)nn x x x x x ®¥++++< 解：12422(1)(1)(1)(1)(1)1nn x x x x x x+-++++=- ，且1x <所以，原极限所以，原极限==()1211lim 111n x x x x+®¥-=--。
2、 求250ln(1)lim 1cos x x x x ®++- 解: 2525200ln(1)1limlim 1cos 22x x x x x xx x®®+++==-（等价无穷小的代换）（等价无穷小的代换） 3 3、设、设21sin 000x x x y x ì¹ï=íï=î , , 求求y ¢解：当0x ¹时，2111sin 2sin cos y x x x x x ¢æö¢==-ç÷èø 当0x =时，使用导数定义计算：201sin 01(0)limlim sin00x x x x y x x x®®-¢===-。
故112sin cos ,00, 0x x y x x x ì-¹ï¢=íï=î 4、求cos x dx xò解：令t x =则2,2x t dx tdt ==则原积分则原积分==cos 22cos 2sin ttdt tdt t C t ==+òò=2sin x C + 5、求幂级数0(1)(1)(2)n nn xn n ¥=-++å的收敛域。
的收敛域。
解：解由0(1)(1)(2)n n n x n n ¥=-++å知(1)(1)(2)nn a n n -=++，则1(1)(2)lim lim 1(2)(3)n n n n n n a a n n r +®¥®¥++==-=++， 收敛半径11R r==，又1R =时级数0(1)(1)(2)nn n n ¥=-++å是交错级数，收敛。