历年高考理科数学真题汇编+答案解析(4)：数列

历年高考理科数学真题汇编+答案解析

专题4数列

（2020年版）

考查频率：一般为2个小题或1个大题

考试分值：10分~12分

知识点分布：必修5

一、选择题和填空题（每题5分）

1．（2019全国I 卷理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则

A ．25n a n =-

B ． 310n a n =-

C ．228n S n n =-

D ．2122

n S n n =-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5

406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+

=-.【答案】A

【考点】必修5等差数列

2.（2019全国I 卷理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

14613a a a ==，，则S 5=____________．

【解析】由246a a =可得，26511a q a q =，11a q =，∴3q =.∴551(13)1213133

S -==-.【考点】必修5等比数列

3．（2019全国III 卷理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2

【解析】由题意可得，23142111

(1)1534a q q q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得2q =，11a =.∴2314a a q ==.【答案】C

【考点】必修5等比数列

4．（2019全国III 卷理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则

105S S =___________.【解析】∵12103a a a =≠，，∴2113a a d a =+=，即12d a =.∵1011111091010901002S a d a a a ⨯=+

=+=，51111545520252

S a d a a a ⨯=+=+=.∴

1054S S =.【答案】4

【考点】必修5等差数列5．（2018全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=

5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12

【解析】由4213S S S +=得，)64()2()33(3111d a d a d a +++=+，解得32

31-=-

=a d ，∴10122415-=-=+=d a a .

【答案】B

【考点】必修5等差数列6．（2018全国I 卷理14）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．

【解析】当n ＝1时，1121a a =+，解得11a =-；

当n ≥2时，有1121n n S a --=+，21n n S a =+，二式相减，得122n n n a a a -=-，化简得12n n a a -=.

所以{a n }是一个以－1为首项，以2为公比的等比数列.所以661(12)6312

S -⨯-==--.【答案】－63

【考点】必修5等比数列

7．（2017全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】由题意得4512724a a a d +=+=，6161548S a d =+=，解得4d =.

【答案】C

【考点】必修5等差数列

8．（2017全国I 卷理11）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的

兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知

数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

【解析】第1组有1个数：20，其和为21－1；

第2组有2个数：20、21，其和为22－1；

第3组有3个数：20、21、22，其和为23－1；

……

第k 组有k 个数：20、21、…、2k －

1，其和为2k －1；于是，前k 组共(1)122++++=

k k k 个数，其和为1212(12)2222(2)12

+-+++-=-=-+- k k k k k k ，即1(1)2(2)2++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

k k k S k ，设第k +1组有n 个数（n ≤k +1），其和为2n －1，则(1)2

+=+k k N n ，()12(2)(21)+=-++-k n S N k ，∵数列的前N 项和为2的整数幂，∴212-=+n k ，由(1)1002+>k k 得，14≥k ，∴n ＝5，k =29，则29(291)54402

⨯+=+=N .【答案】A

【考点】必修5等差数列、等比数列

9.（2017全国II 卷理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏

【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，