新版四年级奥数数学【组合问题课件】
小学四年级奥数知识点 第五讲 排列组合
例1 由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
分析 注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.
第一类：一位偶数只有0、2，共2个；
第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；
或解为：
P28＋P27＋P24
＝8×7＋7×6＋4×3
＝56＋42＋12
＝110（场）.
例3 在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个
Байду номын сангаас①三角形？
②四边形？
分析 ①我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的每三个点均不共线（由于A、B既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算，可把它们归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半圆弧上取（不含A、B两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另一个顶点在线段上取（含A、B）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在线段上取.
C412-C45-C35·C17＝495－5-70＝420
个不同的四边形.
例4 如下图，问
①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？
②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？
分析 ①由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此只要看上左图中水平方向的所有平行线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，可以选出几组两条平行线？
注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是组合问题.
四年级数学同步奥数 第二讲 认识多位数 (排列组合(一))
第二讲认识多位数(排列组合(一))[知识概述]生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理的知识去解决。
同样的，日常生活中常常会遇到这样一些问题:就是做一件事情时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用到乘法原理的知识去解决。
把两种方法灵活地运用，考虑顺序关系，称为排列问题，只考虑选出来，不需要按一一定的排列顺序去思考,称为组合,今天我们就来研究相关知识。
例题精学例1、从1到99 的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?[思路分析] 从1~99的所有自然数可分为两类: 即一位数、两位教，一位数中，不含4的有8个，它们是1,2,3,5,6,7,8,9;两位数中，不含4的可以这样考虑:十位上，不含4的有1，2，3，5，6，7，8，9这8种情况;个位上，不含4的有0,1,2,3,5,6,7,8,9这9种情况。
要确定一个两位数，可以先取十位教，再取个位教，应用乘法原理便可求出来。
同步精练1. 1~100的自自然数中，一共有多少个数字0?2.从1到99的所有自然数中，含有数字5的自然数有多少个?3.从1到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?例2、由数字0,1,2,3组成三位数，问:可组成多少个没有重复数字的三位数。
[思路分析]在确定由0,1,2,3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
所以可分成三个步骤来完成。
要求组成的三位数中没有重复数字，百位上不能取0，有3种取法;十位上，由于百位已在1,2,3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法;个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，结合乘法原理，可求出有多少种不同的取法。
同步精练1.用0,3,4,6可组成多少个没有重复数字的三位数?2.用1,3,5,2可组成多少个没有重复数字的三位数?3.用1，2，3，4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数?例3用1,2,3,4,5 可组成多少个没有重复数字的三位数?[思路分析] 这是一个从5个元素中取3个元素的排列问题，根据排到计算公式可进行计算，在这里介绍一下计算方法:如:A23=3X2,A24=4X3,A25=5X4A33=3X2X1,A34=4X3X2,A35=5X4X3也就是说A n m=mX(m-1)......X(m-n+1)，其中m≥n，从最多元素开始，从大到小，依次连续n个因数相乘。
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。
《8组合问题》数学广角PPT课件
组合问题
一、复习旧知，回顾方法
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：一共能组成几个？你是怎么想的？
二、探究新知，提升认识
（一）审读题意，交流理解 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：你都知道了什么？ 追问：“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
得数有几种可能？
问题：解决这个问题，大家可以怎样想呢？我们一起来回顾 刚才同学们的好办法。
二、探究新知，提升认识
（五）对比分析，提升认识
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？ 6个
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
3种
问题1：观察我们研究过的两道题，你有什么发现？
不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。 人之所以痛苦，在于追求错误的东西。 有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 要想成为强者，决不能绕过挡道的荆棘，也不能回避风雨的冲刷。 别人都在假装正经的时候，我只好假装不正经。 宁可自己去原谅别人，莫等别人来原谅自己。 自知之明是最难得的知识。——西班牙 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 当你的朋友向你倾吐胸襟的时候，你不要怕说出心中的“否”，也不要瞒住心中的“可”。 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思
三、运用方法，解决问题
（二）变化思考，迁移应用
买1个拼音本，可以怎样付钱？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：“可以怎样付钱”是什么意思？ 问题3：你打算怎样付钱？ 问题4：看看大家想出的付钱方法，以后再遇到这样的问题我们
小学四年级奥数竞赛班讲义 第48讲：排列组合综合应用(二)
【例5】(★★★) ⑴方程x ＋y ＋z ＝13有多少组正整数解？ ⑵方程x ＋y ＋z ＝13有多少组非负整数解？
⑶方程x ＋y ＋z ＝13有多少组x ，y ，z 均不小于2的正整数解？
【例6】(★★★)
14个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有______种。
【例7】(★★★★)
在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？
一、必会方法
1．优先排序法——特殊位置或特殊元素 2．捆绑法——必须在一起，先捆再排 3．插空法——不能在一起，先排再插 4．排除法——正难则反
5．隔板法——相同物品放在不同位置 (或分给不同的人) …… 二、重要思想
1．有序分类 2．对应思想
三、经典例题
排列组合综合应用(一)：例3、例5、例6 排列组合综合应用(二)：例2、例4、例7
2。
小学数学四年级 人教版 奥数 排列与组合
第三讲：排列与组合一、知识要点和基本方法：1、加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。
把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。
2、加法原理：如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
3、乘法原理：如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
4、加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
二、例题精讲：例1 从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？分析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。
要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。
而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。
解：4 + 3 + 2 = 9（种）答：共有9种不同的走法。
例2 用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。
选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法。
选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法。
选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法。
《简单的组合》数学广角—搭配教学课件
《简单的组合》数学广角—搭配教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自人教版《数学》四年级下册《数学广角—搭配》单元。
具体章节为第117页至118页，内容包括：理解简单的组合问题，学会用枚举法解决简单的组合问题，以及培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学目标1. 让学生理解简单的组合问题，学会用枚举法解决简单的组合问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
3. 通过对生活情境的观察和分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：理解简单的组合问题，学会用枚举法解决简单的组合问题。
难点：如何引导学生从生活情境中发现组合问题，并用数学方法解决。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、黑板、粉笔学具：课本、练习本、铅笔、橡皮五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师通过展示一组图片，让学生观察并说出图片中的物品是如何搭配的。
例如，展示一张衣服搭配的图片，让学生说出哪些衣服可以搭配在一起，哪些不能。
2. 概念讲解（10分钟）教师在黑板上用粉笔写出“组合”两个字，并解释组合的定义。
然后，通过PPT课件展示一些简单的组合例子，如：红蓝两色珠子，如何搭配才能得到不同的组合。
3. 例题讲解（10分钟）教师选取一道典型的组合题目，如“有红、蓝、绿三色的珠子，每种颜色有一个，如果要从中选出2个珠子，有多少种不同的组合方式？”让学生观察并思考。
然后，教师用枚举法展示解题过程，并讲解如何找出所有可能的组合。
4. 随堂练习（10分钟）教师给出几道类似的组合题目，让学生独立完成。
题目如下：1. 有红、黄、蓝三色的气球，每种颜色有一个，如果要从中选出2个气球，有多少种不同的组合方式？2. 一个水果盘里有苹果、香蕉、橘子三种水果，如果每次只能拿一个水果，有多少种不同的拿法？六、板书设计板书内容如下：组合：1. 红 + 蓝 = 红蓝组合2. 红 + 绿 = 红绿组合3. 蓝 + 绿 = 蓝绿组合七、作业设计题目：一个书架上有童话书、科普书、漫画书三种类型的书，如果每次拿一本书，有多少种不同的拿法？答案：童话书、科普书；童话书、漫画书；科普书、漫画书。
奥数四年级-第九章 数论与组合
9-1 数的整除（一）
常见数的整除特征：
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个数各位数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
结论： 桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～n根。规定谁取走最后一根火柴谁获 胜。 如果双方都采用最佳方法， 甲先取， 那么谁有必胜策略？
⑴ 若m÷ (1＋ n)＝ p；则乙有必胜策略。甲取几根，乙就取(n＋ 1)减几根。 ⑵ 若m÷ (1＋ n)＝ p……r；则甲有必胜策略。甲先取 r 根，然后乙取几根，甲就取 (n＋
1)减几根。
9-11 游戏与对策（二）
相似案例：甲、乙两人在1×100（100个格子）的长纸条上，从左向右移动一枚棋子 （这枚棋子在第一格上）。移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移动 最后一格者为输。甲有无获胜的策略？
解：甲先移两格，以后设乙移a格（1≤a≤3），甲便移4－a格，甲可获胜。
例6、一个售货员要在一排货架上摆放六本不同的杂志：M、O、P、S、T、V。货架上的六个位置从左到 右依次编号为1至6，已知杂志的摆放服从下列条件：
1号位置上摆放P或T； 6号位置上摆放S或T； M和O必须放在相邻的位置上；V和T必须放在相邻的位置。 回答下列问题(均为单项选择)： ⑴如果P放在3号位置，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．S放在5号位置 D．T放在6号位置 E．V放在2号位置 ⑵如果O和T放在了相邻的位置上，那么T可以放在几号位置？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．6 ⑶下列哪个选项所描述的情形是可以出现的？ A．M放在4号位置且P放在5号位置 B．P放在4号位置且V放在5号位置 C．S放在2号位置且P放在3号位 置 D．P放在2号位置 E．S放在5号位置 3 ⑷如果V放在4号位置，那么T所在位置的号码一定比哪本杂志所在位置的号码小 1？ A．M B．O C．P D．S E．V ⑸如果S和V放在了相邻的位置上，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．P放在1号位置 D．S放在6号位置 E．T放在6号位置
四年级奥数精编数学组合问题课件
例题三（★★★）
美国篮球职业联赛(NBA)总决赛在洛杉矶湖人队和波士顿凯尔特人队之间进行， 比赛采用 7 场 4 胜制， 即先获得 4 场胜利的球队将得到总冠军。 比赛分为主场和客场，由于洛杉矶湖人队常规赛战绩较好， 所以第 1，第 2，第6，第 7 场均在洛杉矶进行，第 3—5 场在波士顿进行。 最后湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛过程中的胜负结果共有 种可能。
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⑵8 名学生和 6 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 4 名学生和 3 名老师，一共有多少种分队的方法？
考虑一支队伍，相当于从8个学生里 选择4个，从6名老师里选择3个 一共C48×C36=1400（种）
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例题四（★★★）
⑴大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，并且决定给佳佳 8 张， 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的分法？
给佳佳8张，有C810种，剩下余2张给阳阳有C22种 所以有C810×C22=45（种）
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组合+分类
例题四（★★★）
⑵8 名学生和 6 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 4 名学生和 3 名老师，一共有多少种分队的方法？
考虑一支队伍，相当于从8个学生里 选择4个，从6名老师里选择3个 一共C48×C36=1400（种）
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一字之差，截然不同
例题五（★★★★）
在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐。而 且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排 队方法？
（3）C36=20（种）
例题三（★★★）
美国篮球职业联赛(NBA)总决赛在洛杉矶湖人队和波士顿凯尔特人队之间进行， 比赛采用 7 场 4 胜制， 即先获得 4 场胜利的球队将得到总冠军。 比赛分为主场和客场，由于洛杉矶湖人队常规赛战绩较好， 所以第 1，第 2，第6，第 7 场均在洛杉矶进行，第 3—5 场在波士顿进行。 最后湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛过程中的胜负结果共有 种可能。
（2）C39 -C34=80（个）
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注意几何图形的限制
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前言
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=99000
例题二（★★★）
⑴9 支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比赛一场)，那么一共要 举行 场比赛；若进行双循环制(有主客场之分)，则一共要举行 场比赛。
单循环赛,则两队之间赛一场就可以了，共进行C29=36场 比赛 双循环赛，则两队之间有主客场之分，即有顺序之分， 共进行A29=72场比赛。
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区分排列组合 考虑顺序——排列 与顺序无关——组合
例题二（★★★）
⑵体育课上，老师从 10 名男生中挑出 4 人去抬体育器材，一共有多少种不同 的方法？
C410=10×9×8×7÷（4×3×2×1） =210（种）
例题二（★★★）
⑶学校开设 6 门任意选修课，要求每个学生从中选学 3 门，共有多少种不同的 选法？
三角形； 个四边形。
⑵如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这 些点为顶点可画出多少个三角形？
（1）线段有C210=45条 三角形有C310=120个 四边形有C410=210个
例题六（★★★★）
⑴在一个圆周上有 10 个点，那么以这些点为顶点或端点，可以画出
条线段； 个
三角形； 个四边形。
⑵如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？
组合问题
四年级 第22课
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例题一（★★★）
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重要结论：①C0n=Cnn=1 ②Cmn=Cn-mn
例题一（★★★）
（2）C2100-2C99100=100×99÷（2×1）-（2×1）-2×100 =4750
例题一（★★★）
（3）C2100C46+C98100C98100=C2100C26+C2100C15
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第一列有：C28=28种选法；还余下6个学生； 第二列有：C26=15种选法，还余下4个学生； 第三列有：C24=6种选法，还余下2个学生； 第四列有：有1种选法。 所以一共有：C28×C26×C24=2520种。
例题六（★★★★）
⑴在一个圆周上有 10 个点，那么以这些点为顶点或端点，可以画出
条线段； 个
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