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未定式极限的求解方法分析
未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。
标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。
但为了学好高等数学还是要打好这个基础。
在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。
后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。
本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。
1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。
所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。
所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。
毕业论文—未定型极限的求法
摘要 (3)Abstract (3)Key words (3)1前言 (4)2 未定型极限的计算方法 (5)2.1 两个重要的极限 (5)2.2等价无穷小替换法 (6)2.3 泰勒公式求未定型极限 (9)2.4 洛必达法则 (11)2.5用拉格朗日中值定理求未定型极限 (20)3结论 (21)参考文献............................................ 错误!未定义书签。
致谢.. (21)极限是整个微积分的理论基础，熟练把握一些解题技巧是十分必要的.本文对未定型极限的求法进行了归类，并给出基本解题方法.主要研究了用等价无穷小量求未定型极限，泰勒公式求未定型极限，洛必达法则求未定型极限，以及用拉格朗日中值定理求未定型极限等方法，并举例说明了每种求解方法的具体应用.未定型极限的求法关键字极限；未定型；洛比达法则；等价无穷小量；泰勒公式AbstractLimit is the theoretical basis of the calculus, grasp some skills to solve the limit problems is very necessary. This paper induces the indefinite form classified, and gives the basic problem solving method. Mainly used to study the infinite small amount for not equivalent to finalize the design the limit, Taylor formula for the indefinite form limit,the L’Hospital rule to solve the indefinite form limit, and the use the Lagrange's to solve the indefinite form limit and also give some examples to show each of the specific application of the problems.Key wordsthe limit ；the indefinite form ；the L’Hospital rule；Equivalent infinite small；Taylor's formula1前言极限是数学分析中的基本概念之一，本文主要讨论未定型极限，那什么是未定型极限呢？本文将形式如∞∞∞0,,00等定义为未定型极限.这些基本形式没有定型就给我们对它的求法带来了一些难题，因此关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一.极限的计算方法是多样灵活的，也很有技巧性，其中对于未定型的计算式个常常遇见的难题.一些文献只对未定型极限没有进行完全的方法归类.本文将未定型极限的求法以及大部分类型进行归类与总结.方法之一，两个重要的基本极限.方法之二，无穷小量替换法，等价无穷小量主要是用来替代.那么在什么情况下可以替代呢？还有对复合函数的内函数，以及求未定型个位置上的无穷小量等情况，求其极限时能否用无穷小量代换？除此之外，还有哪些问题可以进行等价无穷小替换呢？方法之三，是洛必达法则，则洛必达是主要用求导公式，然而在什么情况下可以用洛必达法则进行求导呢？其中含变限积分的未定型极限用洛必达法则是重要方法，若变限被积分函数除含积分变量外，还含有求导变量，则用变量代替法将其化为仅依赖积分变量的函数，然后用洛必达法则.以及一些不常见的未定型极限求法的总结.方法之四，合理的应用泰勒公式是求未定型极限的重要方法，本文通过对泰勒公式的推论及麦克劳林公式的几种基本类型来解决未定型极限.泰勒公式主要是用来将基本函数用多项式的形式进行替换，将函数化简使得求未定型的极限求法变得更加简单.方法之五，用拉格朗日中值定理求未定型极限是我们解决在计算过程中不易处理的未定型极限的重要方法，因为中值定理把函数在一个区间上的变量变成这个区间内某点倒数与自变量的乘积，这种由差向积的转化可以大大简化计算.本文拟对此些问题做进一步的探析，并试图对未定型极限的求法进行归类与总结.2 未定型极限的计算方法 2.1 两个重要的极限 1 证明1sin lim=→xxx 证明 x x x tan sin <<)20(π<<x .两边除以由此得到得到,cos 1sin 1sin xx x x <<1sin cos <<x x x 它对于一切满足不等式2||0π<<x 的x 都成立.由于1cos lim 0=→x x 及函数极限的收敛性，即得1sin lim=→xxx 例1 xxx -→ππsin lim 解 令x t -=π，则)sin(sin t x -=π，当.0,→→t x π所以有1sin lim sin lim0==-→→ttx x t x ππ2 证明e x xx =+→)1(lim 0证明 先利用数列极限e nn n =+∞→)11(lim 来证明原等式成立. 为此，作定义在),1[+∞上的两个阶梯函数如下...2,1,1,)111()(=+<≤++=n n x n n x f n...2,1,1,)11()(1=+<≤+=+n n x n nx g n易见f 是递增且有上界，g 是递减且有下界，故e n xf nn x =++=+∞→+∞→)111(lim )(lim e n x g n n x =+=++∞→+∞→1)11(lim )(lim 另一方面，当1+<≤n x n 时有nx n 1111111+≤+<++以及1)11()11()111(++<+<++n x n nx n 即有).,1[),()11()(+∞∈<+<x x g xx f x从而根据迫敛性得证. 为此作替换y x -=，则)111()11()11(-+=-=+-y y x y x ， 且当+∞→-∞→y x 时，从而有e xx x =+-∞→)11(lim 例2 求xx x 10)21(lim+→. 解22121010)21()21(lim )21(lim e x x x xx x x x =+⋅+=+→→ 2.2等价无穷小替换法设f 在某0()U x ︒内有定义，若0lim()0x x f x →= 则称f为当0x x →时的无穷小量. 若函数g 在某0()U x ︒内有界，则称g 为当0x x →时的有界量.类似地定义当0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞以及x →∞时的无穷小量和有界量.另外，设当0x x →时，f 于g 均为无穷小量，若0()lim0()x f x g x →=，则称f 为g 当0x x →时的高价无穷小量，或称g 为f 当0x x →时的低价无穷小量，记作0()(())()f x g x x x ο=→. 特别，f 为当0x x →时的无穷小量记作0()(1)()f x x x ο=→. 若存在正数K 和L ，使得在某0()U x ︒上有 ()||()f x K Lg x ≤≤， 则称则称f 与g 为当0x x →时的同价价无穷小量.特别当()lim()x x f x g x → 0c =≠ 时，f 与g 必为同价价无穷小量.设当0x x →时，f 于g 均为无穷小量，若0()lim 1()x x f x g x →= 则称f 于g 是当0x x →时的等价无穷小量.记作0()~()()f x g x x x →. 例如，由于0sin lim1x x x →=，故有sin x ～x （0x →）.又因为0sin lim 1x arc xx→=，故有sin arc x ～x （0x →）.高等数学中常见的等价无穷小量有：当0x →时，sin x ～tan x ～arcsin x ～arctan x ～x ，1cos x -～212x ，ln(1)x +～x ，1x e -～x ，1x a -～ln (0)x a a >，(1)1x α+-～x α（0α≠是常数）.利用等价无穷小量替换法，可以使复杂的函数变得简单.总所周知，利用等价无穷小量替换时，只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换，等于代数和形式的函数中各无穷小不能分别代换，可以根据上述的定理进行求解.例[1]3求20tan 2lim 1cos x xx→- 解 当0x →时，1cos x -～212x ，tan 2x ～2x .原式=2024lim 12x x x →=8.例[2]4 求3tan sin limx x xx→- 解 当0x →时，22sin ~,sin ~24x x x x原式=30sin (1cos )lim cos x x x x x →-=23012lim cos x x x x x →⋅ =12.例[3]5 求31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x→∞+-+ 解 当x →∞时，3sin ln(1)x +～3ln(1)x +～3x，则3lim sin ln(1)x x x →∞+=33x x ⋅=. 同理，1lim sin ln(1)x x x →∞+=11x x⋅=. 所以原函数的极限为2. 例[4]6 求0arctan limsin 4x xx→ 解 由于arctan x x →，sin 44x x → （0x →）. 故由定理得0arctan limsin 4x x x →=0lim 4x x x →=14例[5]7求 3tan sin limsin x x xx →-解 由于tan sin x x -=()sin 1cos cos xx x-，而 sin ~x x （0x →），21cos ~2x x -（0x →），33sin ~(0)x x x →，故有30tan sin lim sin x x x x →-=230.112lim .cos 2x x x x x →= 注 在利用等价无穷小量代替求极限时，应该注意：只有对所求的极限式中相乘或者相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或者相减部分则不能随意代替.如在例5中，若因有tan ~(0)x x x →，sin ~(0)x x x →.因而推出3tan sin limsin x x x x →-=30lim sin x x xx →-=0 2.3 泰勒公式求未定型极限我们在导数和微分概念时已经知道，如果函数f 在点0x 可导，则有'000()()()()()f x f x f x x x o x x =+-+-即在0x 附近，用一次多项式'00()()()f x x x o x x -+-逼近函数()f x 时，其误差为0()x x -的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式逼近，并求误差为0()n o x x -，其中n 为多项式次数，为此我们考虑任一n 次多项式2()'0000000()()()()()()()...()(())1!!n n nf x f x f x f x f x x x f x x f x x o x x n =+-+-++-+-我们称f 在点0x 处的泰勒多项式. 在极限中我们经常用到麦克劳林公式：（1） 21...()2!!nxn x x e x o x n =+++++（2） 352112sin ...(1)()3!5(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+-（3） 2422cos 1...(1)()2!4!(2)!x m m x x x x o x m =-+++-+ （4） 2(1)(1) (1)(1)1...()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++下面用具体的例子来说明泰勒公式的应用 例[11]8求极限224cos lim x x x ex -→- 解 本题可以用洛必达法则，在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取n =4，并利用麦克劳林公式）245cos 1()2!4!x x x o x =-++224521()28x x x eo x -=-++2452cos ()12x x x eo x --=-+ 因而求得224cos limx x x ex -→-=4540()112lim 12x x o x x →-+=-例[12]9求极限0x → 解0点处按麦克劳林式展开到2x 项221()28x xo x=+-+221()28x xo x--+故有x→222()14lim4xxo xx→-+=-例10求极限21sinlim(arcsin)xxe xx→--解由泰勒公式有：221()2!xxe x xο=+++2sin()x x xο=+故221sin()2!xxe x xο--=+所以原式=222()2!limxxxxο→+=12.2.4 洛必达法则在我们学习无穷小（大）量阶的比较时.已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限.由于这种极限可能存在.因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比称之为不定式极限，分别记为0,∞∞型的不定式极限，现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为罗必达法则.柯西中值定理是建立罗必达法则的理论依据.定理1 0型不定式极限若函数f和g满足：（1）0lim ()x x f x →=0lim ()x xg x →=0 （2）在点0x 的某空心邻域0()U x ︒ 内的两者都可导，且'()g x ≠0（3）0''()lim ()x x f x g x →=A （A 可为实数，也可以为±∞或∞）则0()lim ()x x f x g x →=0''()lim ()x x f x g x →=A 证明 补充定义0()f x =0()g x =0，使得f 与g 在点0x 处连续，任取x ∈0()U x ︒，在区间[0x ，x ](或[x ,0x ])上应用柯西中值定理，有00()()()()f x f x g x g x --=''()()f g ξξ，即''()()()()f x fg x g ξξ=（ξ介于0x 与x 之间） 当令0x x →时，也有ξ0x →，使得0()lim ()x x f x g x →=''()()f g ξξ=0''()lim ()x x f x g x →=A 注意 其中x 换成0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，x →∞，只要相应地修正条件（2）中的邻域，也可以得到相应的结论. 例[13]11 求1220(12)limln(1)xx e x x →-++解 利用22(0)ln(1)~x x x →+，则得11132222220000(12)(12)(12)(12)limlim limlim1ln(1)22xxxxx x x x e x e x e x e x x x x--→→→→=-+-+-+++===+例[14]12求0lim x +→ 解 这是00型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解.但若作适当的变换，在计算上可方便些.为此，令t =，当0x +→时有0t +→，于是有lim x +→00lim lim 11t x x te +→+→===--定理2 ∞∞型不定式极限 若函f 数和g 满足；（1）0lim ()x x f x →=0lim ()x xg x →=∞ （2）在0x 的某邻域0()U x ︒+内两者都可导，且'()g x ≠0（3）0''()lim ()x x f x g x →=A （A 可为实数，也可以为±∞或∞） 则0()lim ()x x f x g x +→=0''()lim ()x x f x g x +→=A证明 先设A 为实数，由（3）.对任给的正数ε，存在1x ∈0()U x ︒+，对满足不等式01x x x <<的每一个x 有''()||()2f x Ag x ε-< 由条件（2），f 和g 在区间[x ,1x ]上满足柯西中值定理条件，故必存在101(,)(,)x x x x ε∈⊂，使得1010()()()()f x f x g x g x --=''()()f g ξξ （a ）由(a)，就有1010()()||()()2f x f x Ag x g x ε--<- （b ）另一方面，11()()()||()()()f x f x f xg x g x g x ---=|11()()()()f x f x g x g x --||11()1()1()1()g x g x f x f x ---| 由（b ），上式右边的第一个因子是有界量；第二个因子对固定的1x ，由条件（1）当0x x +→时事无穷小量，因此存在正数σ，使得当001x x x x σ<<+<时 有11()()()||()()()f x f x f x g x g x g x ---2ε< 综合（a ）,(b)对一切满足不等式001x x x x σ<<+<的x ，有()||()f x Ag x ε-< 就证明了0()lim()x x f x g x +→=A 类似的可以证明当A=±∞或∞的情形，这里就不在赘述了.注意：其中x 换成0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，x →∞，等情形也有相同的、结论.如果'f .'g ，''f .''g 满足条件，我们可以再次应用上述定理. 例[15]13 ln limx xx→+∞解 ''ln (ln )1lim lim lim 0()x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞==== 例14 3lim x x e x →+∞ 解 由洛比达法则得32lim lim lim lim 366x x x xx x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞注1 若0''()lim ()x x f x g x →不存在，并不能说明0()lim ()x x f x g x →不存在. 注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解.首先必须注意它的是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件. 下面这个简单的极限sin lim1x x xx →∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛必达法则，则有：sin 1cos lim lim 1x x x x x x →∞→∞++= 就因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误理论.例15 0lim ln x x x +→解 这是一个0⋅∞型不定式极限.用恒等式变形ln 1ln xx x x=将它转化为∞∞型的不定式极限并用洛必达法则得到000ln 1lim ln limlim()0x x x xx x x x+++→→→==-=. 例16 求数列极限211lim(1)n n n n→∞++ 解 先求函数极限211lim (1)x x x x→+∞++，取对数后的极限为 222222221211ln(1)ln 21lim (1)lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞+-++-+++++====++-所以由归结原则可得到221111lim(1)lim (1)n x n x e n n x x→∞→+∞++=++= 注意 不能再数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量n N +∈是无法求导数的.例17求6301))lim ln(sin(1))x cox →- 解 它是∞∞型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计算原式= 0...1x →==很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简.注意到：当0x →时，有66662333611)~1)~((2))21sin((1cos ))~(1cos )~()28x x x x x x=--=所以 原式= 66360066ln ln lim lim 1(in((1cos )))1ln ln 8ln ln()188x x x x x s x x x x →→+==--+ 可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大甚至有时很难得出结果，通过对函数式的构造变换，再结合使用等价无穷小，就很容易求得答案了. 下面介绍洛比达法则求其他几种未定型极限的类型. 类型1 00型未定型极限设函数()0f x →，()0g x →，极限()lim ()g x f x 可以看做是00，那么极限()lim ()g x f x =ln ()lim ()g x f x e ，其中(,,,)x x a x a x a +-→∞→→→证明 因为()()g x f x =ln ()lim ()g x f x e .其中()ln ()g x f x ⋅为0⋅∞型可以转化成00或∞∞型，然后再用洛比达法则.例18 求极限 sin 0lim x x x → 解 这是00型未定式，根据上述可得sin 0lim x x x →=20000ln 1lim1sin limlimlim sin ln 0sin csc cot cos 1x x x x x x x x xx x xx x e eeee →→→→•=====类型2 0∞型未定型极限设函数(),()0f x g x →∞→，极限()lim ()g x f x 可以看做是0∞型，那么()lim ()g x f x =ln ()lim ()g x f x e ，其中(,,,)x x a x a x a +-→∞→→→证明 因为()()g x f x =ln ()lim ()g x f x e .其中()ln ()g x f x ⋅为0⋅∞型可以转化成00或∞∞型，然后再用洛比达法则. 例[6]19 求极限()22lim(tan )x x x ππ-→解 这是0∞型未定式，由定理得()22lim(tan )x x x ππ-→=22222222sec limln tan tan lim()1112lim ()ln tan lim lim 2sin cos ()0221x x x x x x xx x x x x xx x ee e ee πππππππππ→→→→→------=====类型3 1∞型未定型极限定理3设函数()1,()f x g x →→∞，极限()lim ()g x f x 可看做是1∞型，那么()lim(()1)()lim ()g x f x g x f x e -•= 其中(,,,)x x a x a x a +-→∞→→→ 证明 因为()lim ()g x f x =1()(()1)()()1[1(()1)][1(()1)]g x f x g x f x f x f x •--+-=+-所以根据重要极限有()lim(()1)()lim ()g x f x g x f x e -•=其中()ln ()g x f x ⋅为0⋅∞型可以转化成00或∞∞型，然后再用洛比达法则.例[7]20 求极限tan 2lim(sin )x x x π→解 这是1∞型，根据定理得2222sin 1limlim tan (sin 1)1lim cos sin 1tan 0tan 2lim(sin )1xx x x x x x x xx x x eeee ππππ→→→--•→=====例21 cot 0lim(1)x x →+ 解 由于 tan ~(0)x x x →所以 cotlim(1)x x →+=10lim(1)xx x →+=e 例[8]21 30lim(1tan )xx x →+ 解 原式= 330lim(1)xx x e →+=. 例[9]11 20lim(1sin )xx x →- 解 原式=222200lim(1)lim[(1)]x x x x x x e --→→-=-=. 类型4 等价无穷小量求解不定式 00 ∞∞型极限 例[10]22 求1220(12)limln(1)xx e x x →-++解 利用2ln(1)x +～2x (0)x → 则得1220(12)limln(1)xx e x x →-++=1220(12)lim xx e x x →-+=120(12)lim 2xx e x x -→-+=32(12)lim2xx e x -→++=212=.下面介绍用洛必达法则解含变限积分的未定型极限若变限积分被积分函数除含积分变量外，还含求导变量，则用变量代替法将其化为仅依赖积分变量的函数，然后使用洛必达法则.例23设函数()f x 可导，且10(),(0)0,()xn n n t f x t dt f F x --==⎰求20()[]lim n x F x x→ 分析：()F x 是一个积分上限为x 的函数，但在积分号下被函数中还含有求导变量x ，于是设法将被积函数中的x 移至积分上限，故作变量代换.解 ：令n n u x t =-，则1n du n t -=-，且n u x =，0时 故有0'1011()(),()()()nn x n x n f u du f u du f n n F x F x x x -=⋅=-=⎰⎰因而''212000()1()(0)1(0)2202()lim[]lim lim n n n n x x x F x f x f f nx n x nF x x -→→→-==-= 例[15]24 设()f x 在[,]a b 上有连续导数，证明：()cos 0lim ba x f x xdx λ→∞⋅=⎰证明 1()cos ()(sin )lim lim bba ax x f x xdx f x d x λλλ→∞→∞⋅=⎰⎰ '11[()sin |()sin ]bb a af x x f x xdx λλλλ=-⎰'11[()sin ()sin ]()sin baf b b f a a f x xdx λλλλλ=--⎰显然有1[()sin ()sin ]0lim x f b b f a a λλλ→∞-= 又因为'()f x 在[,]a b 上连续，故'|()|([,])f x M x a b ≤∈从而有'1|()sin |()baf x xdx M b a λλ≤-⎰故有()cos 0lim bax f x xdx λ→∞⋅=⎰2.5用拉格朗日中值定理求未定型极限在计算极限的过程中，不易处理的是未定型极限，其中有些未定型极限的0有时用差（同一函数在不同点的值之差）来表示，这时我们可以应用拉格朗日中值定理来解决.因为中值定理把函数在一个区间上的改变量变成这个区间内某点处倒数与自变量改变量的乘积，这种由差向积的转化可以大大简化计算.例25 求极限21[ln arctan(1)ln(arctan )]2lim x x x x →+∞+-. 解 对函数()ln(arctan )f x x =应用拉格朗日中值定理，有：ln[larctan(1)]ln(arctan )x x +-21[1()]arctan()x x x θθ=++⋅+ (01)θ<<2211[1()]2arctan()lim x x x x x θθπ→+∞⋅=+++=此类型题求极限比较复杂，我们先用中值定理估计出函数列的上界与下界，再用两边夹的定理确定它的极限.3结论本文主要讨论了等价无穷小量，洛必达法则，在求未定型极限中的应用.等价无穷小量代换是高等数学中计算未定型极限的一个重要方法.通过等价无穷小量代换可以简化解题步骤，提高解题效率.在进行等价无穷小代换时，通常利用等价无穷小量的性质、定理施行等价无穷小量替换，有时则与洛比达法则结合使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误.进行等价无穷小量代换的原则是整体代.而洛必达法则的哪些具体使用要求和使用的方法.这样一来，它就可以求解某些用其他方法难以解决的极限问题，从而使得等价无穷小量和洛必达法则使计算未定型极限的步骤与方法更加明了清晰了，也能使我们感觉到未定型极限也不是没有具体方法的..致谢本次论文设计在游淑军老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着游淑军老师的心血和汗水.在我的毕业设计期间，游淑军老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，游淑军老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助、关怀、熏陶，我不可能会这么顺利地完成毕业论文设计.在此向游淑军老师表示深深的感谢和崇高的敬意！同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和报刊，在这里一并向有关的作者表示谢意.2012年05月20日22。
§2.6未定式的极限
ln(a1x
a2 x
an x
)
-
ln
n
x0
x
0
0
lim
x0
a1x
ln
a1 a2x ln a2 an x a1x a2x an x
ln
an
ln a1 ln a2 ln an
n
1 n
ln(a1
a2
an
)
ln
n
a1
a2
an
.
∴ lim( a1x
x0
a2 x
an x
1
)x
n
eln n a1a2an
当极限过程为x x ，x x- ，x ，x ， x - 时，只要满足与定理 2 中相仿的条件，也有类似 的结论。
例 4.求下列极限
（1） lim ln cot x x0 ln x
解： lim
ln cot x
lim tanx(- csc2 x)
x0 ln x
x0
1
x
lim
x0
- tanx x sin2 x
a2 x
an x
1
)x
x0
n
(ai 0, i 1, 2, , n). （1 型）
1
1 ln( a1x a2 x an x )
解：原式 lim e x
n
x0
lim 1 ln( a1x a2x anx )
ex0 x
n
,
∵ lim 1 ln(a1x a2x an x )
x0 x
n
0
lim
x0
x
2
2.6.2 ? 型未定式
?
定理 2(洛必达法则Ⅱ) 已知函数 f (x) 和g(x)
极限的计算方法
利用两个重要极限计算极限
sin x
1. lim
1
x0 x
一般地：若 lim (x) 0,则，lim sin (x) 1
x x0
xx0 (x)
另，lim tgx ＝1 x0 x
特征：极限为“ 0 ”型未定式 0
注：若极限形式不是“ 0 ”型，则不能利用 0
上述公式计算。
利用两个重要极限计算
利用四则运算法则计算极限
（2)
lim
x
(2
x
1)4 (x (x 1)82
1)78
lim
x
x4 (2
1 x
)4
x78
(1
x82
(1
1 x
)82
)1 78
x
24 16
利用四则运算法则计算极限
（3)
lim
x 1
x2 x 2 x3 x2
lim
x1
(x 1)(x 2) x2 (x 1)
2x2
lim
x0
2 sin 2 2x2
x 2
lim
x0
sin 2
x 2
(
x 2
)
2
1 4
1 4
利用两个重要极限计算
(3)
lim
x0
tgx
sin x3
x
lim
x0
sin
x(
1 cos
x
x3
1)
sin x 1 cos x 1
lim lim
x x0
x0
x2
lim x0 cos x
lim
x0
2sin 2 x2
号相同且互为倒数
注：若极限形式不是“1 ”型，则不能利用上述
各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)
各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。
对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。
在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。
下面，我将介绍一些常见的处理方法。
1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。
设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。
如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。
这就是洛必达法则。
通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。
2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。
对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。
3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。
将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。
例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。
4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。
一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。
另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。
例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。
5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。
将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。
对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。
未定式的极限
f(x)
f (ξ )
lim lim
A.
x x0 g(x) ξ x0 g'(ξ )
注： 如果 f (x) 仍属 0 型，且 f (x),g'(x)满足
g'(x) 0 定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续使 用 洛 必 达 法 则 ， 即
lim f(x) lim f (x) lim f (x) A(或).
lim
x0
cos bx cos ax
1.
例 求 lim tan x .( ) x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3
x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x
3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6x x sin 2 x
(1)lim f ( x) x x0
lim g( x)
x x0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或) xx0 g(x)
型
则有 lim f (x) lim f (x) A(或） xx0 g ( x) xx0 g( x)
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第三章 微分中值定理及导数的应用
第二节 未定式的极限
一、0 型 未 定 式 的 极 限 0
二 、 型 未 定 式 的 极 限
三、其他类型未定式的极限
我们知道：两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限，随着无穷小量或无穷大 量的形式不同，极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 大量，为此，我们称这类极限为“不定型”, 记为:0 或 .
未定式极限的计算
注：
f ′( x) 0 如果 仍属 型，且 f ′( x), F ′( x) 满足 F ′( x) 0
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L. x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
定理的条件，可以继续使用L'Hospital法则，即
0 . ( ) 0
解
例4 解
1 − 2 x2 = 1. 原式 = lim 1 + x = lim x → +∞ 1 + x 2 x → +∞ 1 − 2 x ln sin ax ∞ . ( ) 求 lim x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx 原式 = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax cos bx = lim = 1. x → 0 cos ax
ln(1 + x ) 2 、 lim =___________. x →0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x → 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限： 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； π ( π − 2 x )2 x→
∞
原式 = lim e
x →1
=e
ln x x → 11− x lim
=e
1 lim x x →1 −1
=e .
例11 解
−1
求 lim+ (cot x )
x →0
1 ln x
.
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim cot x sin x x → 0 ln x 1 x → 0+ −x x = lim+ = −1, x → 0 cos x ⋅ sin x ∴ 原式 = e −1 .
关于未定式1∞的几种计算方法及应用
关于未定式1∞的几种计算方法及应
用
未定式1∞是一个无穷序列，即根据某一规律递推出的无穷多个数组成的序列。
在数学中，未定式1∞的计算方法主要有三种：一是矩阵相加法；二是变换法；三
是连分数展开法。
矩阵相加法是通过将序列单项式整理成矩阵，再通过矩阵的方式求出求和式，
从而轻松计算出未定式1∞的和。
变换法是将未定式1∞通过一定的转换和跳跃计算，从而得到未定式1∞的求和式。
而连分数展开法则是将未定式1∞中分母是连
分数形式的式子，通过连分数展开法求出其未定式1∞。
未定式1∞不仅仅应用于数学，也在互联网行业中有着广泛的应用，如数据的
统计与处理、投资分析、财务分析等方面都可以应用未定式1∞的计算方法进行数
据分析。
此外，未定式1∞在人工智能领域中也有着广泛的应用，运用未定式1∞可以
有效地改善机器学习，提升计算机的思维能力，从而让计算机具有更强的智能。
例如在做语音识别、视觉识别、图像处理等都可以应用到未定式1∞的计算方法当中。
综上所述，未定式1∞是一种无穷序列，它的计算方法包括矩阵相加法、变换
法和连分数展开法，并且它也具有更多的实用性，在互联网、人工智能等领域都可以被广泛应用，用以提高计算机思维、投资分析以及数据处理等方面表现。
3-2未定式极限
注意：不能对数列直接用罗必达法则！
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可见：罗必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
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注意事项：
0 注1 用罗必达法则时首先检验是否为 或 型, 0 其他条件可在计算过程中检验。
例5
x
lim
ln x , ( 0). x
( )
e 1 .
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例14 求极限 lim 解
x
x
x.
1
( 0 )
1 x ln x
x
lim
x
x lim x x lim e x x
ln x lim e x x
e x
n
lim
1/ x 1
1
1 求 lim (ln ) x ( 0 ) x0 x x 1 1 设y ln , 则 ln y x ln ln 解 x x 1 ln ln 又 1 lim ln y lim x ln ln lim x t 1 x 0 x0 1 x x 0 x 1 1 x ln ln t lim lim ln t t 0 t t t 1
xn x (n为正整数). x e lim 原式 lim
例6 解
( )
nx n1 n! lim x 0 x x e x e
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2
例7 解
x x , ( 0). x e n n1 lim
二、0 , ,00 ,1 , 0型未定式解法
注2 当分子，分母求导后，如有公因子，应及 早约去；如出现乘积因子的极限非零则要 用乘积的极限定理将其分离出来；用等价 无穷小代换及极限的其他性质可简化计算。 注3 一旦遇到不再是 或 型的时候，应及时终止
极限的计算方法
x0
sin
2 3
x
x x0 2 3
1 x2 1 (2) lim
x0 1 cos 2x
x
0时，1
x2
1～－
1 2
x2 ,1 cos 2x
~
1 2
(2x)2
2x2
原式＝lim
－
1 2
x2
1
x0
1 2
(2x)2
4
利用等价无穷小代换计算极限
(3) lim ln(1x) lim x
x0
x
x0 x
(4) lim
x2
1
x
1
x
x
1
x2
x 1 x2
(2)
lim
x0
x(e x
1) 2(ex x3
1)
lim
x0
ex
1 xex 3x2
2e x
lim
x0
xe x
ex 3x2
1
lim
x0
e x＋xe x 6x
ex
＝1 6
利用罗必塔法则计算极限
• 注：在使用罗必塔法则前，应先检查极限是 否为 • “00”或“”型未定式，并且在连续使用时，每步都需
lim sin
x(1 cos x)
lim
x
1 2
x2
1
x0 x3 cos x
x x0
3
2
但是, lim x0
tgx sin sin3 x
x
lim
x0
xx x3
0
注：等价无穷小代换是将分子或分母中的乘积形式的无穷 小因子整体代换，而对于分子或分母中的两个无穷小 之差，不能直接代换，应先化简再代换
极限的计算方法
注：利用等价无穷小代换， 可以将左边比较复杂的 无穷小用右边较简单的 无穷小等价代换， 使极限计算简单化
利用等价无穷小代换计算极限
例4：计算下列极限
2x tg2x (1) lim = lim 2 = 3 x→0 sin 2 x x→0 x 3 3
1 x2 1 (2)lim x→0 1 cos2x x →0时 1 x2 1 －1 x2 ,1 cos2x ~ 1 (2x)2 = 2x2 ， ～ 2 2 －1 x2 1 2 ∴原 ＝ 式 lim 1 = 2 x→0 (2x) 4 2
利用等价无穷小代换计算极限
ln(1+αx) αx (3) lim = lim =α x→0 x→0 x x
x 1 1+ xsin x 1 1+ x 1 (4) lim = lim = lim = 2 2 x→0 x→0 sin x x x 2
2 1 2 2 x→0 2
x 1 cos x 1 (5) lim = lim = x x→0 x( e ) x→0 x (x) 1 2
x x cos x x(1 cos x) (4) lim = lim x→0 x sin x x→0 x sin x 3 2 3 2 x 1 x2 x 2 2 2x = lim = lim = lim 1 2 = 3 x→0 x sin x x→0 1 cos x x→0 x 2
利用罗必塔法则计算极限
1 ln(1+ t) 1 式 ∴ 原 ＝lim = e lim ln(1+ t)t t →0 t →0 et = e1 ln e = e1
利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x→x0
lim α(x) = 0, lim β (x) = 0
极限的计算方法
利用两个重要极限计算
sin 3x (5) lim x→ tg5x π 令: x =π +t, x →π 时 →0 t
π sin( 3t +3 ) −sin 3t = lim 原 = lim 式 t→ tg(5 +5 ) 0 t→ 0 tg5 t π t sin3t t 3t 3 3t 3 = −lim tg5t = −lim = − t→ 0 t→ 5 0 t 5t 5 5t
利用等价无穷小代换计算极限
（ 1)sinx ~ x (2)sin kx ~ kx (3)sinn x →xn (4)tgx ~ x (5)tgkx ~ kx (6)1−cos x ~ 1 x2 2 (7) 1+ x −1~ 1 x 2 (8)ln(1+ x) ~ x (9)ex −1~ x (10)arcsin x ~ x
利用两个重要极限计算
1 ln 1+αx) ( (4) lim = lim ln(1+αx)x x→ 0 x→ 0 x
= ln lim(1+αx) [
x→ 0
α αx ⋅
1
] = ln e =α
α
x ln e ln x −1 ln x −ln e (5) lim = lim = lim x x→ x −e e x→ e x→ e( −1 e ） x −e e x 令 e −1 t, e ＝ +1 x →e时 t →0 ： ＝ x t , ，
• 注2：将罗必塔法则与等价无穷小代换结合 起来使用极限计算将更简单。
x +sin x 1+cos x (5) lim = lim 不 在 存 x→ x + cos x ∞ x→ 1−sin x ∞ 1+ 1 sin x 1+0 x 但原 ＝ , 式 lim 1 = lim =1 x→ 1+ cos x ∞ x→ 1+ 0 ∞ x
求未定式极限
1 x
.
如果先令 x t，x 0 时，t 0 ,因此
ln t 1 t
1 2 lim
x 0
2
x 0
lim
x ln x lim
x 0
2 lim
x 0
ln t
1 t
t 1 t
2
0.
例8 求 lim (
x 1
x x 1
1 ln x
).
. 解 为 型，先将所给函数变形
f ( x ), x a, F ( x) x a, 0, g ( x), x a, G ( x) x a. 0,
仿上述推证可得
xa
lim
f ( x) g ( x)
Байду номын сангаасim
F ( x)
x a G ( x)
lim
F ( x)
x a G ( x )
x 0
x sin x cos x
x
lim
x 0
lim
x 0
1
sin x
cos x
1 .
例6 求 lim
解 为
e
x
x
.
x
型，由洛必达法则有
e
x
x
lim
lim
e
x
x
x
.
1
三、可化为
xa ( x )
0 0
型或
型极限
xa
那么
x
lim
f ( x) g ( x)
lim
七种不定式极限类型及例题
七种不定式极限类型及例题
以下是七种不定式极限类型及例题：
1.0/0型：当分子和分母都趋近于0时，极限值需要通过特定的方法进行求
解。
例题：求lim(x→0) sin(x)/x 的值。
2.∞/∞型：当分子和分母都趋近于无穷大时，极限值也需要通过特定的方法
进行求解。
例题：求lim(x→∞) x^2/(1+x^2) 的值。
3.0×∞型：当分子为0，分母为无穷大时，极限值可以通过特定的方法进行
求解。
例题：求lim(x→∞) x^2/(x^2+1) 的值。
4.∞-∞型：当分子和分母都为无穷大，且分子的增长速度大于分母时，极限
值可以通过特定的方法进行求解。
例题：求lim(x→∞) (x^2+1)/(x^2-1) 的值。
5.1^∞型：当指数为常数，底数为1时，极限值可以通过特定的方法进行求
解。
例题：求lim(x→∞) (1+1/x)^x 的值。
6.0^0型：当底数为0，指数为常数时，极限值可以通过特定的方法进行求解。
例题：求lim(x→0) (1+x)^(1/x) 的值。
7.∞^0型：当底数为无穷大，指数为常数时，极限值可以通过特定的方法进
行求解。
例题：求lim(x→∞) x^0 的值。