2018 年重庆市普通高校高等职业教育分类招生统一考试(理科数学试题参考答案)

理科数学试题参考答案 第1页（共4页）

2018年重庆市普通高校高等职业教育分类招生统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B

（7）C

（8）C

（9）B

（10）A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）{1,0,1}- （12）10 （13

（14

） （15）6

三、解答题（共5小题，每小题15分，共75分） （16）解：由题意知

1cos2()2sin 22

x

f x x -=⋅

+ sin2cos21x x =-+

214x π⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，

从而()f x 的最小正周期2π

==π2

T ．

当11,424x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，22,443x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．

因为sin

42π=

，2sin 3π=sin 12π=，

所以())14f x x π=-+在11,424ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

122

+=

1+．

理科数学试题参考答案 第2页（共4页）

（17）解:(Ⅰ) 年收入在1万元～3万元的频率为

82

0.8212826

=++．

（Ⅱ）年收入在 1万元以下和3万元以上的村民共12+6=18人，按分层抽样方法抽取6人，注意到年收入在1万元以下的村民有12人，所以年收入在1万元以下的代表应抽取

6

12418

⨯

=（人）

．

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，在抽出的6名代表中，年收入在1万元以下的有4人，3万元以上的有2人．从中任取2人，年收入在1万元以下和3万元以上的村民各一人的概率为

1142

2

6C C 8C 15

=．

（18）(Ⅰ)证明：连接AC ，在PAC △中，E , F 分别为P A ，PC 的中点，故EF P AC ．

又AC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，所以EF P 平面ABCD ．

(Ⅱ) 解：如图，以A 为坐标原点，分别以

,,AB AD AP u u u r u u u r u u u r

的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间

直角坐标系，不妨设(0)AD a a =>u u u r

，则

()0,0,0,(3,,0),(0,,0),(0,0,4)A C a D a P ,3,,222a F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

从而3,,222a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭

u u u r ，(0,,0)AD a =u u u

r ．

设平面AFD 的法向量为()1,,x y z =n ，由110,0AF AD ⋅=⋅=u u u r u u u r

n n ，得

3

20,

2

20,

a x y z ay ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 故可取1(4,0,3)=-n ．

理科数学试题参考答案 第3页（共4页）

又平面ABCD 为坐标面，故可取()20,0,1=n 为平面ABCD 的法向量． 从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为 1212123

cos ,5

⋅=

=⋅n n n n n n ．

故所求二面角F AD C --的余弦值为3

5

.

（19）解：（Ⅰ）对()f x 求导得()(2)e x f x ax a '=++．

由切线的斜率为3得(0)23f a '=+=．所以1a =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(2)e x f x x =+，()(3)e x f x x '=+. 令()0f x '=得3x =-.

当3x <-时，()0f x '<，故()f x 在(,3)-∞-上是减函数， 当3x >-时，()0f x '>，故()f x 在(3,)-+∞上是增函数. 因此，()f x 在3x =-处取得极小值3(3)e f --=-.

（20）解：（Ⅰ）由圆222:O x y b +=过焦点(,0)F c 得2

2

c b =．因此2222

2a b c b =+=．从而221

2

c a =．故离心

率2

2

c e a =

=

． （Ⅱ）由题设条件及b c =得(,1)b 在椭圆上，因此

22

21

1b a b +=．将222a b =代入得22b =，2224a b ==．从而椭圆C 的方程为22

142x y +

=，圆O 的方程为222x y +=．

易知(1,1)P 在圆O 上，直线OP 的斜率为1，所以切线l 的斜率为1-，方程为

2y x =-+．

代入椭圆C 的方程得22

(2)142

x x -++

=，化简得23840x x -+=． 方程的两根1x ，2x 满足128

3

x x +=．

设(,)M M M x y ，则12423M x x x +==，2

23

M M y x =-+=．

综上，M的坐标为

42

,

33

⎛⎫ ⎪⎝⎭

．

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