2018 年重庆市普通高校高等职业教育分类招生统一考试(理科数学试题参考答案)

理科数学试题参考答案 第1页（共4页）
2018年重庆市普通高校高等职业教育分类招生统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B
（7）C
（8）C
（9）B
（10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）{1,0,1}- （12）10 （13
（14
） （15）6
三、解答题（共5小题，每小题15分，共75分） （16）解：由题意知
1cos2()2sin 22
x
f x x -=⋅
+ sin2cos21x x =-+
214x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
从而()f x 的最小正周期2π
==π2
T ．
当11,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，22,443x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．
因为sin
42π=
，2sin 3π=sin 12π=，
所以())14f x x π=-+在11,424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
122
+=
1+．
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（17）解:(Ⅰ) 年收入在1万元～3万元的频率为
82
0.8212826
=++．
（Ⅱ）年收入在 1万元以下和3万元以上的村民共12+6=18人，按分层抽样方法抽取6人，注意到年收入在1万元以下的村民有12人，所以年收入在1万元以下的代表应抽取
6
12418
⨯
=（人）
．
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，在抽出的6名代表中，年收入在1万元以下的有4人，3万元以上的有2人．从中任取2人，年收入在1万元以下和3万元以上的村民各一人的概率为
1142
2
6C C 8C 15
=．
（18）(Ⅰ)证明：连接AC ，在PAC △中，E , F 分别为P A ，PC 的中点，故EF P AC ．
又AC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，所以EF P 平面ABCD ．
(Ⅱ) 解：如图，以A 为坐标原点，分别以
,,AB AD AP u u u r u u u r u u u r
的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间
直角坐标系，不妨设(0)AD a a =>u u u r
，则
()0,0,0,(3,,0),(0,,0),(0,0,4)A C a D a P ,3,,222a F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
从而3,,222a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r ，(0,,0)AD a =u u u
r ．
设平面AFD 的法向量为()1,,x y z =n ，由110,0AF AD ⋅=⋅=u u u r u u u r
n n ，得
3
20,
2
20,
a x y z ay ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 故可取1(4,0,3)=-n ．
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又平面ABCD 为坐标面，故可取()20,0,1=n 为平面ABCD 的法向量． 从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为 1212123
cos ,5
⋅=
=⋅n n n n n n ．
故所求二面角F AD C --的余弦值为3
5
.
（19）解：（Ⅰ）对()f x 求导得()(2)e x f x ax a '=++．
由切线的斜率为3得(0)23f a '=+=．所以1a =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(2)e x f x x =+，()(3)e x f x x '=+. 令()0f x '=得3x =-.
当3x <-时，()0f x '<，故()f x 在(,3)-∞-上是减函数， 当3x >-时，()0f x '>，故()f x 在(3,)-+∞上是增函数. 因此，()f x 在3x =-处取得极小值3(3)e f --=-.
（20）解：（Ⅰ）由圆222:O x y b +=过焦点(,0)F c 得2
2
c b =．因此2222
2a b c b =+=．从而221
2
c a =．故离心
率2
2
c e a =
=
． （Ⅱ）由题设条件及b c =得(,1)b 在椭圆上，因此
22
21
1b a b +=．将222a b =代入得22b =，2224a b ==．从而椭圆C 的方程为22
142x y +
=，圆O 的方程为222x y +=．
易知(1,1)P 在圆O 上，直线OP 的斜率为1，所以切线l 的斜率为1-，方程为
2y x =-+．
代入椭圆C 的方程得22
(2)142
x x -++
=，化简得23840x x -+=． 方程的两根1x ，2x 满足128
3
x x +=．
设(,)M M M x y ，则12423M x x x +==，2
23
M M y x =-+=．
综上，M的坐标为
42
,
33
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
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