量子力学_门福殿_近似方法习题解

第五章 近似方法

1．一维无限深势阱宽度为a ，其势能函数为

(0,)

()0

(0/4,3/4)(/43/4)

x x a U x x a a x a K a x a ∞<>⎧⎪

=≤≤≤≤⎨⎪≤≤⎩

K 是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其

能量和波函数的一级近似。 解

：无微扰时的本征函数为(0)

()(1,2,)n n x x n a

πψ=

= 对应的能量本征值为：222

(0)

2

2n

n E a

πμ= 能量的一级修正为：

3/43/4(1)

'(0)*(0)220/4/422ˆ'd sin d sin a

a a n

nn

n

n a a n x K n x E H H x K x dx

a a a a

ππψψ====⎰⎰⎰

3/43/4/4/421c o s 223c o s [s i n s i n ]

22222

2

a a a a n x K K K n x K K n n a dx dx a a a n πππππ-==-=--⎰⎰ 12/2((1)(2n K n K K

n n π

-⎧⎪=⎨+

-⎪⎩为偶数时）为奇数时)

波函数的一级修正：'(1)

(0)

(0)(0)

mn n

m m n n m

H E E ψ

ψ≠=-∑ 现在来求：'

mn H

3/43/4'(0)*(0)0/4/422ˆ'd sin sin d sin sin a

a a mn

m

n a a m x n x K m x n x H H x K x dx a a a a a a ππππψψ===⎰⎰⎰

3/43/4/4/421()()()()[cos cos ][cos cos ]2a a a a K m n x m n x K m n x m n x dx dx a a a a a a

ππππ-+-+=-=-⎰⎰3/4

/4()()[sin sin ]|()()a a K a m n x a m n x a m n a m n a

ππππ-+=

--+ 3()()3()(){sin sin }{sin sin }()44()44K m n m n K m n m n m n m n ππππ

ππ--++=

----+

2()()2()()cos sin cos sin

()24()24

K m n m n K m n m n m n m n ππππ

ππ--++=

--+ 将此式代入上式可得波函数的一级修正

2．一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：

⎪⎩

⎪⎨

⎧<<-<<=)

0()

1(2)

20(2)(/

a x a x

a

x a x

x H λλ 的作用，求基态能量的一级修正。

解：本题是一维非简并问题，无微扰时的能量本征函数

(0)n n x

a

πψ=

（1） 能量本征值 222

(0)

2

2n

n E

a πμ=

（2） 对基态1n =，计算能量的一级修正量时，因微扰/

H 是分段连续的，因而要求两个积分式的和

/

*

/

*

/2222

000

022

2202

2222sin ()sin (2)222{(1cos )(1cos )()}

(3)

a a a

a a a a a a x x x x H H dx H dx dx dx

a a a a a a x x

xdx a x dx a a a πλπλψψψψλλππ=+=+-=-+--⎰

⎰⎰⎰⎰⎰利用定积分公式：

px p px p x px x x

cos 1

sin cos 2+=

⎰ （4） 代入（3）；得 )2

2

1(2

/

11)

1(11π

λ+

==H E

附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K 个激发态的一级修正：

(1)2

202

2222{(1cos )(1cos )()}11{[1(1)]()}

2a a a kk

k k x k x E

xdx a x dx a a a k λππλπ

=-+--=+--⎰⎰

3．一个粒子在二维无限深势阱 ⎩

⎨

⎧∞<<=其它地方）与()

0(0),(a y x y x V

中运动，设加上微扰xy H λ=' ),0(a y x ≤≤求基态及第一激发态的能量修正。 [解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y 方向运动是独立的，

能量的零级本征

函数是两个一维无限深势阱波函数乘积：

y k x k C y x k k 21)

0(s i n s i n ),(2

1=ψ 式中21,k k 是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是： ),3,2,1,(21 ==

=

n m a

n k a

m k ππ

因而零级本征函数可用m,n 表示： )

2(sin sin

),()

0(a

C a

y

n a x m C y x mn ==ππψ （1）

粒子总能量)

0(mn E 则可设

2222)

0(2a m E

m

μπ =

，2

222)

0(2a n E n μπ =， )

0()0()0(n m m n E E E +=

或 )(22

22

22)

0()

0(n m a

E

E

mn

+==μπ （2） 可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.B Wilson;Introduction to Quantum Mechanics 1951.P98~P100）, 本题不讨论其简并度的公式。

但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。 (基态能量一级修正量)；

这时 xydxdy a

x

a

x

a H x y λππ⋅=

⎰⎰2

22

'

11sin sin 4

ydy a y

xdx a x a y x )2cos 1()2cos 1(00

2⎰⎰∞=∞

=-⨯-=ππλ

（3）

利用定积分公式：

px p

px p x pxdx x x

cos 1

sin cos 2⎰+=

（4）

或者： px p

px p x x pxdx x x 2cos 81

2sin 44sin 222

--=⎰ （5）

代

入（

3

）

a

a

a y

a a y ay y a x a a x ax x x a H 02220222

2

'

112cos 42sin 222cos 42sin 2ππ

ππππππλ--⋅--=

4

2

a λ=

（第一激发态一级能量修正量）：