天津市南开中学高一数学下学期期中考试试卷
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |． A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 下列各式不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数).则△ABC 的形状是( ) A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，若c ⃗ 与d⃗ 反向，则实数λ的值为( )A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−125. 在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上且BE =2EC ，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 27. △ABC 所在平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos2θ=( )A. √23B. −√23C. 13D. −138. 已知点O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是边BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列选项正确的是( )A. BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AG ⃗⃗⃗⃗⃗ D. GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. 已知向量e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)，若向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ，则可使λ1λ2<0成立的a⃗ 可能是( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (−1,0) D. (0,−1)11. 已知△ABC ，一下各式可以确定P 点在线段BC 延长线上的是( )A. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x <0)C. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则λ+μ的不可能取到的值为( )A. 2+√37B. 3+√37C. 3+2√37D. 4+2√37三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两点A(2,−1)，B(5,3)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是______ ．14. 若P 是△ABC 内部一点，且满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为______ ．15. 如图，O 为直线A 0A 2019外一点，若A 0，A 1，……，A 2019中任意两相邻两点的距离相等，设OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其结果为______．16. 在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，且满足P 为线段EF 上的任一点，实数x ，y 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记Si S =λi (i =1,2,3)，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x ，y 的值分别为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ⃗ =(x +3,x 2−3x −4)，A(1,2)，B(3,2)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，求x 的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //a ⃗ ，求x 的值．18. △ABC 中，点A(2,1)、B(1,3)、C(5,5)．(1)若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点坐标． (2)若D 在线段BC 上，且S △ABD =2S △ACD ，求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．19. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，x ⃗ =a ⃗ +(t +1)b ⃗ ，y⃗ =−1k a ⃗ +1t b ⃗ ． (1)写出平面向量基本原理的内容，并由此说明a ⃗ ,b ⃗ 能否成为一组基底； (2)若对于任意非0实数t ，x ⃗ 与y ⃗ 均不共线，求实数k 的取值范围．20. 在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求实数λ的值，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a⃗ =(−1,2)，点A(8,0)，B(n,t)，C(ksinθ,t)，θ∈R ．(1)若k =t ，θ=30°，求|a ⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)若向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0，求f(θ)=tsinθ的值域．22.如图，在△ABC的边上各自做匀速运动的点D，E，F，当t=0时分别从点A，B，C出发，以各自的定速度向点B，C，A前进，当t=1时分别到达点B，C，A．(1)证明：在运动过程中(t∈[0,1])，△DEF的重心保持不变；(2)若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1])．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量既有大小也有方向，∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误； 长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误； 共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误； 与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是：±a⃗ |a ⃗ |，∴命题④正确． 故选：B ．根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．本题考查了向量的定义，单位向量的定义，相等向量和共线向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．直接利用向量的表示，求出结果即可． 本题考查向量的加减运算，基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数)， 如图所示；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k AB⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴(1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k +1|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k =k +1|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等腰三角形． 故选：D ．根据题意画出图形，利用共线定理求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，判断△ABC 是等腰三角形． 本题考查了平面向量的线性运算问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，c ⃗ 与d ⃗ 反向， ∴存在实数k 使c ⃗ =k d ⃗ (k <0)， 于是λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]. 整理得λa ⃗ +b ⃗ =k a ⃗ +(2λk −k)b ⃗ ． 由于向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，所以有{λ=k2λk −k =1， 整理得2λ2−λ−1=0， 解得λ=1或λ=−12． 又因为k <0，所以λ<0， 故λ=−12． 故选：B ．由题意存在实数k 使λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]，k <0，由向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，得2λ2−λ−1=0，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵D 为AB 边的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵BE =2EC ，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．由D 为AB 边的中点，得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由BE =2EC ，得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据平面向量的三角形运算法则求解即可．本题考查平面向量的基本定理，涉及向量的三角形法则．属基础题．6.【答案】D【解析】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向进行分解，则由题意可得OD =λ，CD =μ，∠COD =30°，∠OCD =90°，∠Rt △OCD 中，sin∠COD =sin30°=12=CDOD =μλ， ∴λμ=2， 故选：D ．将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．7.【答案】C【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θCB⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴sin 2θ=13，cos 2θ=23∴cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=23−13=13．故选：C ．根据平面向量的基本定理，求得sin 2θ和cos 2θ的值，根据二倍角公式求解即可． 本题考查平面向量的基本定理和二倍角公式，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的合理应用．8.【答案】B【解析】解：如图，设D 是BC 的中点，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴点P 的轨迹是射线AD ， ∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 故选：B ．设D 是BC 的中点，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点P 的轨迹是射线AD ，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.【答案】AB【解析】解：由三角形重心性质得BG =2GE ，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 正确； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 正确； 由重心性质得，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 错误； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，D 正确． 故选：AB ．由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了三角形的重心及向量的线性表示，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(−λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)， =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)， 若使λ1λ2<0成立，a⃗ =(1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， a⃗ =(−1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,−1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， 故选：AC ．向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)，结合选项进行分析即可求解． 本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础试题．11.【答案】BC【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则B ，C ，P 三点共线，当0<x <1时，P 在线段BC 上， 当x >1时，P 在CB 延长线上，当x <0时，P 在BC 延长线上，A 错误，B 正确；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在BC 延长线上，C 正确； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在CB 延长线上，D 错误． 故选：BC ．结合向量的共线定理分别检验各选项即可判断．本题主要考查了平面象限的线性运算及向量共线定理，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1−t)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理由C ，M ，B 三点共线，可得存在实数m 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1−m)OA⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{t =14(1−m)12(1−t)=m ，解得{m =37t =17，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =xλOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yμOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则{xλ=17yμ=37，即{7x =1λ7y =3μ， 则1λ+3μ=7，故λ+μ=17(λ+μ)(1λ+3μ)=17(1+3+μλ+3λμ)≥4+2√37． 故选：ABC ．由已知可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则1λ+3μ=7，再由基本不等式可得答案． 本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】(35,45)【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，∴与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,45)． 故答案为：(35,45)．可求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求出与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量的坐标． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AB 的中点为O ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 为△ABC 的重心，根据重心的性质可得C 到AB 的距离为P 到AB 的距离的3倍， 故S △ABPS△ABC=13．由已知结合向量的加法及减法运算进行化简，然后结合三角形的重心性质可求． 本题主要考查了向量的线性表示及三角形重心的性质的应用，属于基础题．15.【答案】1010(a ⃗ +b ⃗ )【解析】解：设A 0A 2019的中点为A ，则A 也是A 1A 2018，A 2A 2017，……，A 1009A 1010的中点，由向量的中点坐标公式可得，OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ ， 同理，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1010(a ⃗ +b ⃗ )． 故答案为：1010(a ⃗ +b ⃗ )．设A 0A 2019的中点为A ，可知OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，进而得解．本题考查平面向量的几何运算，主要考查向量的中点坐标公式，属于基础题．16.【答案】2，2【解析】解：因为E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，则EF//BC ，故点P 到BC 的距离等于三角形ABC 的BC 边上的高的15，则S 1=15S ，所以S 2+S 3=45S ，λ2+λ3=45， 由此可得λ2λ3≤(λ2+λ32)2=425，当且仅当λ2=λ3=25时取等号，此时P 为EF 的中点，延长AP 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以x =y =2，故当λ2λ3取得最大值时，x ，y 的值分别为2，2.， 故答案为：2，2．利用E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，得出EF//BC ，且则S 1=15S ，再根据基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．本题考查了平面向量在三角形中的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，所以有{x +3=2x 2−3x −4=0⇒x =−1，(2)x 2−3x −4=0即可，解得x =−1或4．【解析】(1)先表示AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后结合向量相等的条件可求x ； (2)由已知结合向量平行的坐标表示即可直接求解．本题主要考查了向量相等条件及平行的坐标表示，属于基础题．18.【答案】解：(1)设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −2,y −1)=(4,2) 解得D(6,3)；(2)解：因为S △ABD =2S △ACD ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)+23(4,2)=(53,103)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(53)2+(103)2=5√53．【解析】(1)先设D 的坐标，然后由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合向量的坐标运算即可求解； (2)由已知条件可转化为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合向量的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由模长公式即可求解．本题主要考查了向量的线性运算的坐标表示，属于基础题．19.【答案】解：(1)平面向量基本定理的内容：如果e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a ⃗ ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ． 因为向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，所以a ⃗ ,b ⃗ 不共线， 所以a ⃗ ,b ⃗ 可以成为一组基底； (2)假设x ⃗ //y ⃗ ， 则由对应系数成比例可得t+1k+1t=0，即t 2+t +k =0，向量x ，y 不共线，则对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)， 而函数−(t 2+t)=−(t +12)2+14，当t =−12时，−(t 2+t)的最大值为14， 所以k >14，即实数k 的取值范围为(14,+∞).【解析】(1)写出平面向量基本定理的内容，然后依次即可判断向量a ，b 是否可以成为一组基底；(2)先假设向量x ，y 共线，然后建立等式关系，若不共线，问题转化为对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)max ， 求出最大值即可．本题考查了平面向量基本定理，涉及到恒成立问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +b ⃗ ， (2)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ −λ(13a ⃗ +b ⃗ )=(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在t ∈R 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ =t(b ⃗ −a ⃗ )， 又∵a ⃗ ,b⃗ 不共线，∴{1−13λ=−t12−λ=t ，(此处也可由对应系数成比例直接得到)解得λ=98．【解析】(1)根据向量加法运算法则进行转化即可． (2)根据向量共线定理建立方程进行求解即可．本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量加法法则和向量共线定理是解决本题的关键，是中档题．21.【答案】解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k),a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k2,2−k)，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1+k2)2+(2−k)2=√54k 2−3k +5=√54(k −65)2+165，∴k =65时，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值为4√55； (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ksinθ−8,t)，∵向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0， ∴t =−2ksinθ+16，∴f(θ)=tsinθ=−2ksin 2θ+16sinθ=−2k(sinθ−4k )2+32k，①当0<4k <1即k >4时，当sinθ=4k 时，f(θ)=tsinθ取得最大值32k ；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k −16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]．②当4k ≥1即0<k ≤4时，当sinθ=1时，f(θ)=tsinθ取得最大值−2k +16；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k +16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]． 综上所述，当k >4时f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]；0<k ≤4时f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]．【解析】(1)根据k =t ，θ=30°即可得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k)，然后即可得出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√54k 2−3k +5，然后配方即可求出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ 共线即可得出t =−2ksinθ+16，从而可得出f(θ)=−2k(sinθ−4k )2+32k，然后可讨论k ：0<4k <1时，可求出f(θ)的最大值和最小值，从而得出此时的f(θ)的值域；同样，当4k ≥1时，可求出f(θ)的值域．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，由题意，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ， 则λ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ =CF⃗⃗⃗⃗⃗ FA⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1−t，由定比分点坐标公式可得，D(tx B +(1−t)x A ,ty B +(1−t)y A )， E(tx C +(1−t)x B ty C +(1−t)y B )， F(tx A +(1−t)x C ,ty A +(1−t)y C )，由三角形重心坐标公式有，x 0=13(x D +x E +x F ),y 0=13(y D +y E +y F )， 把D 、E 、F 的坐标代入x 0，y 0中，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即在运动过程中，△DEF 的重心保持不变； (2)解：∵ADAB =t,AFAC =1−t ，∴S △DFA ：S △ABC =(AD ⋅AF)：(AB ⋅AC)=t(1−t)，即S △DFA =t(1−t)S ， 同理，S △EFC =S △DEB =t(1−t)S ，∴S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S =[3(t −12)2+14]S,t ∈[0,1]，当t =12时，S △DEF 的面积取得最小值14S ．【解析】(1)设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即可．(2)ADAB =t,AFAC =1−t ，求出S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S 利用二次函数求解最值即可．本题考查向量在几何中点应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
天津市南开中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
（1）当 AM 1km 时，求此时防护网的总长度； （2）若 15 ，问此时人工湖用地 VOMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的多少 倍？ （3）为节省投入资金，人工湖VOMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 VOMN 的面积最小？最小面积是多少？
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6 锥 P ABC 的体积最大值为 108，则球 O 的表面积为________. 14．2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位： 米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示
试卷第 2 页，共 4 页
意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影 A, B,C 满足 ACB 45o,ABC 60o ，由点 C 测得点 B 的仰角为15o，BB 与 CC 的差为 100，由 点 B 测得点 A 的仰角为 45o ，则 A，C 两点到水平面 ABC 的高度差 AA CC 为________ 米.
上的动点，则
uuur MA
uuuur MC
的最小值为（
）
A． 25 4
B． 25 16
C． 25 16
D． 25 4
二、填空题
9．若 i
是虚数单位，复数
1 3i 2 i3
________.
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是侧棱 AA1 的中点，则平面 B1CE 截
π 3
，点
D
为边
BC
上靠近
B
的三等分点，则
uuur AD
uuur BC
的值为（ ）
A． 16 3
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2019-2020学年天津市新华中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）1．设复数z满足z=1+3i1+i，则|z|＝（）A．√5B．√52C．√102D．22．已知向量a→=（2，3）与向量b→=（x，6）共线，则实数x的值是（）A．2B．3C．4D．63．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300 人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况D．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15﹣75岁的人群进行随机抽样调查4．在△ABC中，若sinAa=cosBb=cosCc，则△ABC是（）A．正三角形B．有一内角为30°的等腰三角形C．等腰直角三角形D．有一内角为30°的直角三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2√2，B＝45°，则sin C＝（）A ．441B ．45C ．2√55D ．4√41416．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10：若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x 1，x 2表示，方差分别为s 12，s 22表示，则（ ） A ．x 1＞x 2，s 12＞s 22 B ．x 1＞x 2，s 12＜s 22 C ．x 1＜x 2，s12＜s 22D ．x 1＜x 2，s12＞s 227．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）A ．2949B ．649C ．2349D ．43498．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P （A ∪B ）＝（ ）A ．12B ．13C ．23D ．569．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m /s ）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36．则他的最大速度的第一四分位数是（ ） A ．29B ．29.5C ．30D ．3610．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（共9小题）11．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生．12．设i是虚数单位，复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a＝．13．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，|b→|＝4，若a→⊥b→，则|a→+b→|＝．14．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为．15．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是．16．已知点A（﹣1，1），B（1，3），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量AB→在CD→上的投影为．17．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为、众数约为、中位数约为（结果不能整除的精确到0.1）18．甲船在岛A处南偏西50°的B处，且AB的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为海里．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6），则角B的大小为；若a＝2，c＝3，则b的值为．参考答案一、选择题（本大题共10小题，共50分） 1．设复数z 满足z =1+3i1+i，则|z |＝（ ） A ．√5B ．√52C ．√102D ．2【分析】直接利用商的模等于模的商求解． 解：∵z =1+3i1+i， ∴|z |=|1+3i 1+i |=|1+3i||1+i|=√10√2=√5． 故选：A ．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2．已知向量a →=（2，3）与向量b →=（x ，6）共线，则实数x 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵向量a →=（2，3）与向量b →=（x ，6）共线，∴x2=63，解得x ＝4， 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（ ）A ．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B ．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C ．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300 人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况D ．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15﹣75岁的人群进行随机抽样调查【分析】量大，有群体差异的抽样，如A ，C ，D 应分层抽样；简单容量小的B 最适合用简单随机抽样方法抽样．解：A ，C ，D 针对不同人群，应分层抽样；B 量小，简单，最适合用简单随机抽样方法抽样． 故选：B ．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，解题时应根据抽样特点进行选择抽样方法，是基础题．4．在△ABC 中，若sinA a=cosB b=cosC c，则△ABC 是（ ）A ．正三角形B ．有一内角为30°的等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角为30°的直角三角形【分析】先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，进而分别求得B 和C ，则三角形的形状可判断． 解：∵sinA a=cosB b =cosC c，由正弦定理可知sinA sinA=cosB sinB=cosC sinC=1∴sin B＝cos B，sin C＝cos C∴B=π4，C=π4，∴A=π2∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2√2，B＝45°，则sin C＝（）A．441B．45C．2√55D．4√4141【分析】根据余弦定理求出b的值，再根据正弦定理求出sin C即可．解：因为a＝1，c＝2√2，B＝45°，所以根据余弦定理，可得：b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝1+8﹣2×1×2√2×√22=5，可得b=√5，所以根据正弦定理csinC=bsinB，可得sin C=c⋅sinBb=2√2×√22√5=2√55．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题型．6．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9乙：6，6，7，7，10：若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x 1，x 2表示，方差分别为s 12，s 22表示，则（ ） A ．x 1＞x 2，s 12＞s 22 B ．x 1＞x 2，s 12＜s 22 C ．x 1＜x 2，s12＜s 22D ．x 1＜x 2，s12＞s 22【分析】由平均数公式，方差公式直接代入求值． 解：∵x 1=7+8+8+8+95=8，x 2=6+6+7+7+105=7.2，∴x 1＞x 2． 则S 12=15[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，S 22=15[（6﹣7.2）2+（6﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+（10﹣7.2）2]＝2.16，∴S 12＜S 22． 故选：B ．【点评】本题考查平均数公式，方差公式，属于基础题．7．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）A ．2949B ．649C ．2349D ．4349【分析】由题意先求出这2户都没有获得扶贫基金的概率，再用1减去此概率，即为所求．解：某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这2户都没有获得扶贫基金的概率为（1−37）（1−27）=2049， 则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为1−2049=2949，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．8．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（）A．12B．13C．23D．56【分析】利用列举法能求出概率P（A∪B）．解：抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，基本事件总数n＝6，A∪B包含的基本事件个数1，2，3，4，6，则概率P（A∪B）=5 6．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m/s）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36．则他的最大速度的第一四分位数是（）A．29B．29.5C．30D．36【分析】把12个数从大到小排序后，直接找．解：∵最大速度的数据从小到大为：27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38∴他的最大速度的第一四分位数是29． 故选：A ．【点评】本题考查四分位数的概念，属于基础题．10．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点， ∴B （﹣1，0），C （1，0），E （0，0），A （0，√3）， ∴D （−12，√32），∴BC →=（2，0），DE →=（12，−√32），设F （x ，y ），∴EF →=（x ，y ）， ∵DE ＝2EF ，∴DE →=2EF →，∴（12，−√32）＝2（x ，y ），解得x =14，y =−√34，∴AF→=（14，−5√34），∴AF→⋅BC→=（14，−5√34）•（2，0）=12，故选：B．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键是构建坐标系，属于中档题．二、填空题（本大题共9小题，共50分）11．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取20名学生．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．解：某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取：100×1500−700−5001500=20．故答案为：20．【点评】本题考查在该学院C 专业学生中应抽取学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．12．设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a ＝ 2 ．【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a 的值即可．解：因为1+ai 2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+(2a+1)i 5，是纯虚数，所以a ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．13．已知向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝4，若a →⊥b →，则|a →+b →|＝ 5 ． 【分析】根据题意，由向量垂直的性质可得a →•b →=0，又由|a →+b →|2=a →2+2a →•b →+b →2，据此变形可得答案．解：根据题意，a →⊥b →，则a →•b →=0，则|a →+b →|2=a →2+2a →•b →+b →2＝9+16＝25， 则|a →+b →|＝5； 故答案为：5．【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量数量积的运算性质，属于基础题． 14．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为 （3）（4） ．【分析】根据互斥事件的定义进行判断．解：（1）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”与都是白球不是互斥事件；（2）当是“1个白球，1个红球”，两个事件都成立，故（2）不是互斥事件；（3）“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，则（3）是互斥事件；（4）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是互斥事件；故答案为：（3）（4）【点评】本题考查了互斥事件判断，根据互斥事件的定义是解决本题的关键． 15．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是 25 ．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 解：袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是：P =25×14+35×24=25． 故答案为：25． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知点A （﹣1，1），B （1，3），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则向量AB →在CD →上的投影为 2√2 ．【分析】本题先根据向量的定义得到AB →=（2，2），CD →=（5，5），然后根据向量AB →在CD →上的投影公式AB →⋅CD→|CD →|进行计算可得结果．解：由题意，可知AB →=（2，2），CD →=（5，5），故向量AB →在CD →上的投影为AB →⋅CD→|CD →|=√52+52=2√2．故答案为：2√2．【点评】本题主要考查向量的定义及投影公式的应用．考查了转化思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．17．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 72 、众数约为 75 、中位数约为 73.3 （结果不能整除的精确到0.1）【分析】①平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；②众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数；③中位数是所有数据中的中间值，在直方图中，中位数的左右两边频数相等，即频率相等．解：①平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．所以平均成绩为：45×（0.005×10）+55×（0.015×10）+65×（0.020×10）+75×（0.030×10）+85×（0.025×10）+95×（0.005×10）＝72；②由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为75；③由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中，体现的是中位数的左右两边频数应用相等，即频率相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求，∵前三个小矩形的面积和为（0.005+0.015+0.020）×10＝0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.4+0.3＝0.7＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.1，解得x≈3.3，故成绩的中位数为73.3．故答案为：72，75，73.3．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法，是基础题．18．甲船在岛A处南偏西50°的B处，且AB的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为 7 海里．【分析】直接利用方位角的应用求出三角形的内角大小，进一步利用余弦定理的应用求出结果．解：根据题意建立坐标系：如图所示：由题意知：AB ＝10，BC ＝2×8＝16，∠BAC ＝120°，利用余弦定理：BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AC •AB •cos120°＝196，所以BC ＝14．所以乙船的航速为142=7海里．故答案为：7【点评】本题考查的知识要点：方向角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6），则角B的大小为 π3 ；若a ＝2，c ＝3，则b 的值为 √7 ．【分析】由正弦定理得b sin A ＝a sin B ，与b sin A ＝a cos （B −π6）．由此能求出B ，进而根据余弦定理即可解得b 的值．解：∵在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =b sinB ，得b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sin B ， ∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．∵在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，∴由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√4+9−2×2×3×12=√7． 故答案为：π3，√7 【点评】本题考查三角形角和边的求法，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．。
天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
【分析】根据
r a
^
r c
的垂直关系，可求出
x
=
2
；根据
r b
/
r /c
的平行关系，可求出
y=
-
2
，
进而求出 x + y 的值．
【详解】因为
r a
^
r c
，所以
2x
-
4
=
0
因为
r b
/
r /c
，所以
-4
-
2
y
=
0
所以
ìx
í î
y
= =
2 -2
，所以 x + y = 0
故选：A．
8．A
【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积．
，则
z = 1- 2i ，选 B.
【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，
复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考 生必定得分的题目之一. 2．D
【分析】由平行四边形的性质可得
uuur DA
=
C． -1+ 2i
D． -1- 2i
2．在平行四边形
ABCD
中，
uuur DA
+
uuur DC
-
uuur CB
=
（
）
A．
uuur DB
B．
uuur BC
C．
uuur CD
D．
uuur DC
3．下列说法中，正确的是（ ）． A．三点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面
2019-2020学年天津市南开区南开中学高一期中数学试题(解析版)
天津市南开区南开中学高一期中数学试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]0,1B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(0,1)【答案】B【解析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}， B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥ C ．对任意的x ∈R ，020x ≤ D ．对任意的x ∈R ，020x >【答案】D【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．Q 特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2）， 即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3【答案】A【解析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件.当2a =时，2y x =为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5．设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A ．2211x x -+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x-+ 【答案】C【解析】试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ． 【考点】求函数解析式．6．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A ．413,⎛-⎫⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭U C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞U ，【答案】A【解析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭； 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．7．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9．设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A ．()(),22-∞-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()()2,02-+∞UD ．()()2,00,2-U【答案】B【解析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解. 【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二、多选题11．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A ．2a b+≥ B ．12a a+≥C ．||2a b b a+≥D ．()()2222a ba b +≥+【答案】CD【解析】当0a <，0b <时，2a b +0a <，时，12a a+…不成立；由||||||a b b ab a a b+=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-…，可判断．【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥Q； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥Q ，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12．下列判断中哪些是不正确的（ ）A ．()(1f x x =-是偶函数B ．()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x =是非奇非偶函数【答案】AD【解析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =，()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()33f x x x∴==+-，()=()f x f x --Q()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD. 【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．三、填空题13．函数y x =________. 【答案】12. 【解析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，Q 函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题． 14．已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得．【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f （1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x ），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15．已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3.【解析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+Q 是奇函数， ()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =Q ， ()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16．已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞U .【解析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4kx =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k (24)-…，解得k 即可．【详解】Q 函数()224f x x kx =--对称轴4kx =， 又Q 函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥， 16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞U . 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)-【解析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)- 【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 18．设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题19．已知全集U =R ，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A ⋂.（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-（2）52a ≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及U C B ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B ⊆求解，分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论．试题解析 ：（1）由题意得{|3A x x =≤-或6}x ≥，{|514}B x x =-≤<， ∴{|5U B x x =<-ð或14}≥，∴(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-． （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，①当C =∅时，则有21a a ≥+，解得1a ≥．②当C ≠∅时，则有2111425a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a -≤<．综上可得52a ≥-． 实数a 的取值范围为5[)2-+∞，． 20．已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围. 【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3.【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）幂函数()af x x =的图象经过点(，2a ∴=解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增， 则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a <?，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题． 21．已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>Q ；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x Q 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--.（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】（1）根据奇函数定义和当0x …时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论． 【详解】（1）Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--，又Q 当0x ≤时，()22f x x x =--，()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩.（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒ 减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈，二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-， 当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+ 综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-， 当0a ≤时，()min 12g x a =-， 当01a <<时，2()min 21g x a a =--+ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
【最新】天津市第一中学 高一数学下学期期中试题pdf
天津一中 2017‐2018‐2 高一年级数学模块质量调查试卷一．选择题1．设 , x y ÎR ，向量 (,1) a x = r ， (1,) b y = r ， (2,4) c =- r ，且a c ^ r r ，b r //c r ，则|| a b + r r＝（ ）A ． 5B ． 10C ．25D ．102．下列说法正确的是（ ）．（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平 面；（4）两条平行线确定一个平面A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）3．已知 m ， n 是两条不同的直线，a ，b ， g 是三个不 同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若 m a Ì ，n b Ì ，m n ∥ ，则a b ∥B ．若 m a Ì ， n a Ì ，m b ∥ ，n b ∥ ，则a b ∥C ．若a g ^ ，b g ^ ，则a b ∥D ．若m a ^ ，m b ^ ，则a b ∥4．已知P 为△ABC 所在平面内一点， =0 r，| |=| |=| |=2，则△ABC 的面积等于（）A ． 3B ．23C ．3 3D ．4 35．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ）．A ． 38cmB ． 312cmC ． 332 cm3D ． 340 cm36．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ^DC ，AD = DC = 2AB ，E 为AD 的中点，若CA = l CE +m DB ，则l +m的值为正视图侧视图俯视图2222A.6 5B.8 5C.2D.8 37．如果P 是等边 ABC △所在平面外一点，且 23PA PB PC === ， ABC △ 边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（ ）． A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ()A.2对B.3对C.4对D.5对9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直． 其中正确命题的个数是（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，在正三棱柱 111ABC A B C - 中， 1 AB = ．若二面角 1 C AB C -- 的大小为60°，则点C 到平面 1 ABC 的距离为（ ）．ABCC 1B 1 A1A ．3 4B ． 1C ． 3D ．3 2二．填空题11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的 表面积为 ．12．已知三棱锥D —ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝ 3，BC ＝2，则以BC 为 棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是13．已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中 点，则异面直线PA 与BE 所成角为 ．15．在 ABC △ 中， 90 BAC Ð=°， 2 AB AC = ，M 是BC 的中点，点N 在线段AB 上， 2 NB AN = uuu r uuu r ，CN 与 AM 交于点P ， 1 AC = ， AP BC ×= uuu r uuu r__________． 16．把边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有 __________． （1） AC BD ^ ；（2） ADC △ 是正三角形；（3）三棱锥C ABD - 的体积为 32 12a ； （4） AB 与平面BCD 成角60°．三．解答题17．如图，已知四边形 ABCD 是矩形，P A ⊥平面 ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN //平面 P AD .；(2)若 P A ＝AD ，求证：MN ⊥平面 PCD .18．如图，在矩形 中，点 是 边上的中点，点 在边 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设， AD AB EF m l + = 求 m l + 的值； （2）若 2 , 3 = = BC AB ，当 1 = ·BF AE 时，求DF 的长．19. 如图所示，在棱长均为 4的三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，D ，D 1 分别是 BC 和 B 1C 1 的中点．(1)求证：A 1D 1∥平面 AB 1D ；(2)若平面 ABC ⊥平面 BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥 B 1ABC 的体积．20. 如图，在四棱锥中，底面 的边长是2 的正方形，,, 且.（1）求证: ; （2）求证:平面平面;（3）求直线 与平面所成角的正弦值.一．选择题1． B2．C 3．D 4．B 5．C6．B.7．A8．D9．D 10．A 11． 3(3) 2p + 12．π 213． 14． 45° 15．【答案】 3 4-【解析】由题意， 2 AB = ， 1 AC = ．设 AM t AP = uuuu r uuu r．∵M 为BC 中点，则 11 22 AM AB AC t AP =+= uuuu r uuu r uuu r uuu r．又∵C 、P 、N 三点共线且 1 3 AN AB = uuu r uuu r．∴3AP AN AC AB AC l l m m =+=+ uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ， 1 l m += ．又∵ 11 22 AP AB AC t t=+ uuu r uuu r uuu r ．∴ 3 l m = ，得 3 4 l = ， 14m = ． ∴ 1 () 4AP AB AC =+ uuu r uuu r uuu r ．又∵BC AC AB =- uuu r uuu r uuu r ．∴22 13 () 44AP BC AC AB ×=-=- uuu r uuu r ． 16．【答案】（1）（2）（3） 【解析】∵BD OC ^ ，BD OA ^ ， ∴BD ^ 面 AOC ， ∴BD AC ^ ．①正确．1cos cos 45cos 45 2 ADC Ð=°×°= ，60 ADC Ð=°， AD DC = ， ADC △ 为正三角形．②正确．23 1122 32212C BDA V a a a - =×××= ．③正确．AB 与平面BCD 所成角 45 ABD Ð=°．④错误． DABCO三．解答题17．NH // AM PCDMN CDMN AE CD PAD CD PA CD ADCD PDMN PD AE PD E AD PA 平面 平面 中点 为 ^ \ ^ Þ ^ Þ ^ Þ þý ü ^ ^ ^ Þ ^ Þ þý ü= Q 18．612 13 1 3 1 2 1 3 12 1 1 =+ =- = - = + =+ = m l m l AB AD CD BC CF EC EF )( 解 3 323 2 1 21 2 = =\ + - = + + = + = = | | | | )( ) ( DC DF AD AB DFAD BA BF AD AB AE DCDF l l 设 19.（1）DD 1 // BB 1 // AA 1□ÞA 1D 1//AD（2）== =ABC D B B BCC D B BCB BCC ABC B BCC ABCD B BC D B BC BC B B BCC 面 面 面 面 面 且 中点且为菱形边为 ^ \ Ì = Ç ^ = ^ \ = Ð 11 1 1 1 1 1 1 1 1 01 11 32 60 4 Q Q 8 4 43 3 2 3 1 312 1 1 = ´ ´ ´ =´ ´ = D -ABC ABC B S D B v Q 20.【解析】试题分析： （1）由 .得可证得 ，即证。
天津高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z= 232,z z i +=-A ．1+2i B ．12iC ．D ．-12i -+12i --【答案】B【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.i z b a =+23i 32i z z a b +=+=-12i z =-【解析】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.2．在平行四边形中，（ ）ABCD DA DC CB +-=A ．B ．C ．D ．DBBC CD DC【答案】D【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案 DA CB =【详解】解：因为四边形为平行四边形，ABCD 所以,DA CB = 所以， DA DC CB DC +-= 故选：D3．下列说法中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个平面 B ．过一条直线的平面有无数多个 C ．两条直线确定一个平面 D ．三条两两相交的直线确定三个平面【答案】B【分析】A 选项，若三点共线，则此三点不能确定一个平面；B 选项，过一条直线的平面有无数多个；C 选项，两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面；D 选项，三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面. 【详解】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A 错误； 过一条直线的平面有无数多个，B 正确；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C 错误；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D 错误. 故选：B4．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ） ()1,3A ()4,1B -ABA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-【答案】A【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量. AB【详解】，设与同方向的单位向量为(3,4)AB =- AB(,)x y 则，解之得或 2213(4)0x y y x ⎧+=⎨--=⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当时，所求向量为，向量，符合题意； 3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A5．在中，已知，，则（ ） ABC A 2a =b =6A π=B =A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】D【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得，ABC A sin sina bA B=所以，所以或. sin sin b AB a===(0,)B π∈3B π=23B π=故选：D6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B7．设向量，且，则（ ）,x y R ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-,//a c b c ⊥ x y +=A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出a c ⊥2x =//b c =2y -的值．x y +【详解】因为，所以a c ⊥240x -=因为，所以 //b c420y --=所以 ，所以 22x y =⎧⎨=-⎩0x y +=故选：A ．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（ ） 23πA B C D ．【答案】A【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积．【详解】设底面半径为，由高为，所以，，，r 2h r =221122333V r h r r πππ==⨯=1r =2h =所以母线长为 l =所以侧面积为． 1S rl ππ==⨯=故选：A ．9．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 αA ．若则B ．若，，则//,//,m n αα//m n m α⊥n α⊂m n ⊥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．10．如图，正方体的棱长为2，E 是棱的中点，则点到平面EBD 的距离为1111ABCD A B C D -1CC 1C （ ）A B C D 【答案】D【分析】注意到，利用等体积法可得答案. 11D C BE C BDE V V --=【详解】，1113D C BE C BE V S DC -=⋅⋅A ，，则.111112122C BE S C E BC =⋅⋅=⨯⨯=A 2DC =123D C BE V -=在中，由题意及图形结合勾股定理可得BED A BE DE ==BD =则由余弦定理可得，222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅则.则si n BED ∠==12si n BDE S BE DE BED =⋅⋅∠=A 设到平面EBD 的距离为，则. 1C d 113C BDE BDEV S d -=⋅A又，则11D C BE C BDE V V --=112233C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒==A A 故选：D二、填空题11．是虚数单位，则___________. i 341ii-=+【答案】1722i --【分析】直接对复数化简即可【详解】解：， 2234(34)(1)334417171(1)(1)1222i i i i i i i i i i i i -----+--====--++--故答案为：1722i --12．已知向量的夹角为，，则_______.,a b 6π|||1a b == |3|a b +=【分析】根据计算可得结果.|3|a b +==【详解】 |3|a b +===.=13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 92π【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即， 3493322R R ππ=⇒=23R =3a =⇒=【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.14．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则_____ 430OA OB OC -+=AB CA= 【答案】/ 340.75【分析】由可得，即可得答案.430OA OB OC -+=33OA OB OB OC -=- 【详解】.430OA OB OC -+=⇒333OA OB OB OC BA CB -=-⇒=则三点共线，且在BA 的反向延长线上，如下图所示，则. ,,A B C C 34AB CA = 故答案为：3415．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则222a b c bc =+-2a =ABC A 的周长的最大值为_________. 【答案】6【分析】根据，利用余弦定理求得角A ，进而得到外接圆半径，再由的周长222a b c bc =+-ABC A 为求解.()22si n si n l a b c R B C =++=++24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】解：因为，222a b c bc =+-所以， 2221cos 22b c a A bc +-==因为， ()0,A π∈所以，则 3A π=2sin a R A =所以的周长为，ABC A ()22si n si n l a b c R B C =++=++，222si n si n 3R B B π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322si n cos 2R B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，即时， 的周长取得最大值为6，62B ππ+=3B π=ABC A 故答案为：6三、双空题16．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，ABCD //AB CD 2AB CD =M N DC AB AB a =，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为AD b =a bMN =MN BC ⊥ DAB ∠__________．【答案】14a b -【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.a bMN BC ⊥ 【详解】如图，由已知，MN AN AM =- ()12AB AD DM =-+ 1122AB AD DC =--.111222AB AD AB =--⨯14AB AD =- 14a b =- ∴.MN 14a b =- 设，即与的夹角为，DAB θ∠=a bθ，BC BA AD DC =++ 12AB AD AB =-++ 12AB AD =-+ 12a b =-+若，则，MN BC ⊥0MN BC ⋅= ∴，1142a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221384a a b b =-+⋅- 2213cos 84a a b b θ=-+- 0=又∵，，∴由基本不等式，0a >0b >∴. 228cos 6a b a bθ+= 866b a a b =+ ≥当且仅当，即.866b a a b = a =故答案为：. 14a b - 【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直DAB ∠关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.四、解答题17．已知的内角、、的对边分别为、、，且.ABC A A B C a b c sin sin sin A C Bc b c a+=--(1)求角的大小；A(2)若，且的周长. a =ABC S =A ABC A 【答案】(1)3A π=(2)6+【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的cos A A A 值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的bc b c +ABC A 周长.【详解】（1）解：由，sin sin sin A C Bc b c a+=--利用正弦定理可得，化为，()()()a c c a b c b +-=-222c b a bc +-=所以，，，.2221cos 22c b a A bc +-==()0,A π∈ 3A π∴=（2）解：，a = 1sin 23ABC bc S π==A 8bc =由余弦定理可得，()222222122cos33a b c bc b c bc b c bc π==+-=+-=+-所以，，解得， ()2312381236b c bc +=+=⨯+=6b c +=因此，周长为.ABC A 6a b c ++=+18．如图，在正方体中，点为棱的中点.1111ABCD A B C D -E 1DD（1）求证：平面；1//BD ACE （2）求异面直线与所成角的余弦值. AE 1BD【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，根据O ，E 为为中点，易得,再利用线面平行的1//OE BD 判定定理证明；（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得 ，得1//OE BD AEO ∠AE 1BD AC OE ⊥到是直角三角形求解.AOE △【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ， 因为O ，E 为为中点，所以,又平面，平面， 1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE 所以平面；1//BD ACE （2）由（1）知，则异面直线与所成的角， 1//OE BD AEO ∠AE 1BD 在正方体中，1111ABCD A B C D -因为，且， 1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = 所以平面，又因为平面， AC ⊥11B BDD OE ⊂11B BDD 所以 ，AC OE ⊥所以是直角三角形， AOE △设正方体的棱长为a ,则 ， ，AOOE =所以AE =所以，cos OE AEOAE ∠===【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．19．如图，已知平面ABC ，，，1AA ⊥11//BB AA 3AB AC ==BC =1AA =1BB =点和分别为和的中点.E F BC 1AC(1)求证：平面；⊥AE 1BCB (2)求直线与平面所成角的大小. 11A B 1BCB 【答案】(1)证明见解析 (2) π6【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根1AA ⊥ABC 1BB ⊥ABC 1BCB ⊥ABC 据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面AE BC ⊥⊥AE ；1BCB （2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直11//AA BB M 1BB 11//AM A B 11A B 1BCB 线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用AM 1BCB AME ∠AM 1BCB 勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角. EM AE 11A B 1BCB 【详解】（1）∵平面，， 1AA ⊥ABC 11//BB AA ∴平面， 1BB ⊥ABC ∵平面， 1BB ⊂1BCB ∴平面平面， 1BCB ⊥ABC ∵，点为中点， AB AC =E BC ∴，AE BC ⊥∵平面平面，平面， 1BCB ABC BC =AE ⊂ABC ∴平面.⊥AE 1BCB（2）取中点，连接，，1BB M AM EM∵，为中点，11//AA BB 1AA =1BB =M 1BB ∴四边为平行四边形，∴，11AMB A 11//AM A B ∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，11A B 1BCB AM 1BCB ∵平面，⊥AE 1BCB ∴为直线与平面所成角，AME ∠AM 1BCB∵点为中点，，E BC BC =∴，， BE =2AE ==EM ==∴，所以， tan AME ∠==π0,2AME ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π6AME ∠=所以直线与平面所成角为. 11A B 1BCB π620．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.ABCD P（1）如图1（i ）求的值；AP BC PC BC ⋅+⋅ （ii ）求的值；AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ （2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，,M N 2,2DM MA BN NC == P MN Q且满足，其中，求的最小值.()21PQ PA PB λλ=+- R λ∈QM QN ⋅ 【答案】(1) （i ） 4 （ii ） 8 （2） 3136-【分析】(1) （i ）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案. ()AP BC PC BC AP PC BC AC BC =⋅+⋅=⋅⋅+ （ii ）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量()()AP PC AB BP PD BC ⋅+++⋅ 的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.AC AB BD BC ⋅+⋅ （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条A AB x AD y 件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.Q 【详解】（1）（i ）正方形的边长为2，则,. ABCD 45CAB CAD DBC ∠=∠=∠=︒AC BD = ()2cos 454AP BC PC BC AP PC BC AC BC AC AD ⋅+⋅+⋅=⋅===⨯︒=⋅ （ii ）AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ ()()AP AB CP CD BP BC DP DA =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP AB PC AB BP BC PD BC =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP PC AB BP PD BC =⋅+++⋅2cos 452cos 458AC AB BD BC =⋅+=⨯︒+⨯⋅︒= （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.A AB x AD y 由，则 2,2DM MA BN NC == 12,33AM AD BN BC == 所以, ()()()()0,02,0,2,2,0,2A B C D ，240,,2,,33M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点是线段的中点，则P MN ()1,1P 设，，， (),Q x y ()1,1PQ x y =-- ()11PA =-- ，()11PB =- ，由，即 ()21PQ PA PB λλ=+- ()()()()22,22,1,112,1x y λλλλλ--=--+--=--所以 ，解得，即 2212221x y λ-=-⎧⎨-=-⎩3212x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩31,22Q λ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 31,26QM λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15,26QN λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3115315,,26262236QM QN λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222213136236λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，的最小值为 12λ=QM QN ⋅ 3136-【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出Q ，属于中档题. 222213136236QM QN λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⋅。
南开区高一下数学期中答案
南开中学2014-2015学年度高一年级期中检测数学·答案一、 选择题1.B 直接代数运算2.B cos C > 0, 即最大角为锐角3.A sin A=1, 即A=90°4.D S 10=5(a 3+a 8)=-155.C �b +c =2a 3a =5b, cos C =−12, C=120° 6.B 3,x,y,9, �x 2=3y x +9=2y7.A na n =2n-1 8.B S n 有最小值, ∴d>0, ∴a 7<0<a 8且a 7+a 8>0,∴S 13=13a 7<0, S 14=7(a 7+a 8)>0二、 填空题9.2√ sin C=2√23, S=12·AC·BC·sin C 10.2 2S 1+S 3=3S 2, ∴S 3- S 2=2(S 2- S 1), ∴a 3=2a 211.18 {a n } A.P.,∴ �S n n � A.P.,易得S 88=94 12.79�b =5cos B =a 2+c 2−b 22ac accaaB =2, 得�a =3c =2 13.5 a n =n 2-n-5, 列举即可三、解答题14. 由正弦定理有�CC ass∠CCC=CC ass∠CCC CC=BC ass∠BCC得�CC=2000√6 mBC=3000√2 m,又∵∠ADB=90°,故AB=1000√42 m15. (I) a2+b2-ab=c2, ∴cos C=a2+b2−c22ab=12,∴C=π3(II) 首先, 由三角形边长性质,有a+b>c=2;又∵4=c2= a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 即ab≤4(当且仅当a=b=2时取等), ∴(a+b)2= a2+b2+2ab=c2+ab+2ab= c2+3ab≤16, ∴a+b≤4∴a+b的取值范围为(2,4].(ps.本题亦可以利用正弦定理将a+b c转化为三角函数求解范围)16. (I) a n=2n+1, b n=3n-1(II) 错位相减求和, T n=(3n-4)·2n+2+1617. (I) s=1时, 有�a1+a2=2b1a22=b1b2, 解得a2=6, b2=9 (II) (1) 证明: {a n},{b n}各项为正. 当s≥2时, a n+12=b n b n+1, ∴a n2=b n−1b n. ∴a n+1=�b n b n+1, a n=�b n−1b n.又∵a n+a n+1=2b n, ∴�n−1b n+�b n b n+1=2b n,∴�n−1+�b n+1=2�b n, ∴��n�A.P.. (2) ∵��b n�A.P., 首项�b1=2, 公差�b2−�b1=1,∴�b n=s+1, ∴b n=(s+1)2=s2+2s+1. (3) s≥2时, a n=�b n−1b n=s(s+1); s=1时, a1=2. 综上, a n=s2+2s.(III) 当s≥2时, a n−1=s2+s−1>s2−1>0,∴1a n−1<1n2−1=1(n+1)(n−1)=12(1n−1−1n+1),∴1a1−1+1a2−1+⋯+1a n−1= 1+1a2−1+⋯+1a n−1 < 1+12(12−1−12+1)+⋯+12(1n−1−1n+1)= 1+12(12−1−12+1+⋯+1n−1−1n+1)= 1+12(1+12−1n−1n+1)= 1+12(32−1n−1n+1) = 1+34−12(1n−1n+1)< 74< 2. 证毕.。
2022-2023学年天津高一下册期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津高一下册期中数学试卷（含解析）一、单选题1．（3分）下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面2．（3分）已知复数，则（）A．z的虚部为1B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第二象限3．（3分）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'B'＝2，则原图形△ABO的面积是（）A．1B．C．D．4．（3分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知＝1，的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．6．（3分）设复数z的共轭复数为，若2z+＝+2i，则z＝（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．7．（3分）已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（）A．27cm2B．C．9cm2D．8．（3分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（）A．若a＝2，b＝4，A＝30°，则B只有一解B．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形C．若b cos C+c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形9．（3分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（）A．2B．4C．D．二.填空题10．（3分）已知平面向量＝（3，﹣2），＝（2，λ），若⊥（），则λ＝．11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，，BB1＝4，则长方体外接球的表面积为．12．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．13．（3分）若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是，若已知α与β相交，则a，b的位置关系是．14．（3分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣EFGH，点P为棱CG的中点，点Q、R 分别在棱BF、DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥G﹣AQPR的体积为．15．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝，设（λ∈R），且＝4，则λ的值为．三、解答题16．已知复数z＝m2﹣5m+6+（m2﹣m﹣2）i（i为虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z＞0，求实数m的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D 三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点．（1）求证：CN∥平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求sin C的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A＝0，c＝4，a＝2．（1）求A，b；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案与试题解析一、单选题1．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；∵空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面．∴D错误．故选：B．2．解：，则z的虚部为﹣1，，z2＝﹣2i为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限．故选：C．3．解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2，腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×2＝4，所以直角三角形△ABO的面积是2×4＝4．故选：D．4．解：因为，所以＝3（），即＝3，所以＝＝4，则＝．故选：B．5．解：∵，，∴，，∴在方向上的投影向量为．故选：A．6．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，因为2z+＝+2i，所以2（a+bi）+（a﹣bi）＝+2i，整理得3a+bi＝+2i，由复数相等，可得，解得a＝，b＝2；所以z＝+2i．故选：D．7．解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：＝cm，所以正三棱锥的斜高为：＝3cm，所以这个正三棱锥的侧面积为：3×＝27（cm2）．故选：A．8．解：对于A，根据正弦定理，可得sin B＝＝，结合b＞a可知B 有2解，故错误；对于B，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；对于C，若b cos C+c cos B＝b，sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故正确；对于D，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得2r sin A cos A＝2r sin B cos B，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；故选：C．9．解：设＝λ，则＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）＝+m，∴，解得m＝λ＝．S△ABC＝||•||sin∠BAC＝||•||＝2，∴||•||＝8，||2＝（+）2＝+2+•＝||+||2+||•||cos∠BAC≥2+||•||＝||•||＝4．当且仅当||＝||时，即当||＝||时，等号成立．∴||的最小值为2．故选：A．二.填空题10．解：∵，，∴，∴．故．11．解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝BD1＝＝8，∴R＝4，因此，该长方体的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π．故64π．12．解：可以设该侧面的正方形边长为A，＝A2则S侧面积全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故13．解：直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是平行或异面，若α与β相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故平行或异面；相交、平行或异面．14．解：∵V G﹣AQPR＝2V G﹣RQP＝2V R﹣PQG＝＝＝＝，∴四棱锥G﹣AQPR的体积为．故．15．解：因为＝2，所以点D为线段BC上靠近点C的三等分点，由三点共线定理可知＝+，上式左右同时平方得＝++，已知∠BAC＝60°，||＝2，||＝，所以＝++××2×cos60°，解得＝3；因为＝+，，所以＝（）•（）＝4，化简得﹣++（）＝4，因为||＝3，||＝2，∠BAC＝60°，所以﹣×32+×22+（﹣）×3×2×cos60°＝4，解得λ＝，故第一空：3；第二空：．三、解答题16．解：（1）若z是纯虚数，则，解得m＝3．（2）若z＞0，则，解得m＝﹣1．17．证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD＝O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．18．证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，∵N，Q分别是AB，AB1的中点，∴NQ，又M是CC1的中点，∴MC BB1，∴NQ MC，∴四边形NQMC是平行四边形，∴NC∥MQ，∵CN⊄平面AB1M，MQ⊂平面AB1M，∴CN∥平面AB1M．解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR，∵M，R分别是CC 1，BB1的中点，∴CM B1R，∴四边形CMBR是平行四边形，∴CR∥B1M，∴∠RCM为异面直线CN与B1M所成角，∵△ABC是边长为2正三角形，∴CN＝，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∴CR＝＝，NR＝＝，∴CN2+NR2＝CR2，∴∠RNC＝90°，∴cos＝，∴异面直线CN与B1M所成角的余弦值为．19．解：（1）向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行，∴a sin B＝b cos A，∴sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B≠0，∴sin A＝cos A，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得＝，∴sin B＝＝＝，∵a＞b，∴A＞B，∴cos B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×+×＝．20．解：（1）△ABC中，sin A+cos A＝0，所以sin A+cos A＝0，即sin（A+）＝0，因为A∈（0，π），所以A+∈，所以A+＝π，解得A＝，又因为a＝2，c＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即28＝b2+16﹣8b×（﹣），即b2+4c﹣12＝0，解得b＝﹣6（舍去）或b＝2，所以b＝2；（2）因为c2＝b2+a2﹣2ab cos C，所以16＝28+4﹣2×2×2×cos C，所以cos C＝，解得CD＝＝，所以CD＝BC，＝AB•AC•sin∠BAC＝×4×2×＝2，因为S△ABC＝S△ABC＝．所以△ABD的面积的面积为S△ABD。
天津一中高一下学期数学期中考试试卷(附答案)
(2) 若 P A = AD，求证：M N ⊥ 平面 P CD．
18. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 在边 CD 上．
(1) 若点
F
是
CD
上靠近
C
的三等分点，设
−−→ EF
=
−−→ λAB
+
µ−A−→D，求
λ+µ
的值；
(2) 若 AB = √3，BC = 2，当 −A→E · −B−→F = 1 时，求 DF 的长．
=
√2，且 DM
⊥
B C ，AM
⊥
B C ，即
∠DM A 就是所要求的二面角．由 AD = 2 可得此三角形为直角三角形，即此二面角为 π ．
√
2
13. 3
3 14. 45◦ 或
π
4
解析：如图，
由题意易知 ∠P AC = 60◦，
因为 EO ∥ P A，
所以 ∠BEO 为异面直线 P A 与 BE 所成角，
所以 AD ⊥ BC．
因为 平面 ABC ⊥ 平面 B1C1CB，交线为 BC，AD ⊂ 平面 ABC，
所以 AD ⊥ 平面 B1C1CB，即 AD 在 △ABC 中，AB = AC = BC =
4是得三A棱D锥=A2−√B3，1BC
的高，
在 △B1BC 中，B1B = 所以 △B1BC 的面积为
4B√C3．=
Байду номын сангаас
答案: 2019-10-29 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BCDDBCBAD A 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
天津市南开中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 2z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z=
A．1+2i
B．1 2i
C． 1 2i
故正四面体的体积为V 1 1 22 sin 60 2 6 2 2 ，故②正确；
32
33
设 BD 的中点为 E，连接 AE，CE，
因为三角形 ABD 与三角形 BCD 均为等边三角形，
由三线合一得： BD AE, BD CE ，
因为 AE I CE E ，
答案第 5 页，共 11 页
所以 BD 平面 AEC， 因为 AC 平面 AEC， 所以 BD AC ， 故③错误.
分别为 a ， b ，则 AH =（ ）
试卷第 1 页，共 3 页
A． 2 a 4 b 55
B． 2 a 4 b 55
C． 2 a 4 b 55
D． 2 a b 5
8． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3c b sinA 3cosA ，
6．如图，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，过 BC 的平面与平面 PAD 交于 EF，
E 在线段 PD 上且异于 P、D，则四边形 EFBC 是（ ）
A．空间四边形
B．矩形
C．梯形
D．平行四边形
7．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记 AB ，BC
试卷第 2 页，共 3 页
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9 , 则正方体的棱长 2
天津市高一下学期期中考试数学试题Word版
第二学期期中五校联考高一数学一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）1.已知 ，其中为虚数单位，则（ ） i z -=-3i 1）（i =zAB ．5C ．2D2.已知向量若则（ ） ),,1(),2,3(x b a =-=,//b a =x A ．B ．C ．D ．322332-23-3.已知是夹角为60°（ ） b a ,-A ．7B ．13CD 4.已知a 、b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） αβ、A ．若，，则 B ．若，，，则 //a b b α⊂//a αa α⊂b β⊂//a b //αβC ．若，，，则D ．若，，则//αβa α⊂b β⊂//a b //αβa α⊂//a β5.在△ABC 中，已知，那么△ABC 一定是（ ） C C A A cos )sin(2sin +=A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6.与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） a b 120a b -2aA ．3B ．C ．D ．a 3--a 37. 在中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若，则角的大小为ABC ∆6,34,4π===A b a B ()A. B.C.D.π3π3或2π32π3π68.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ）A ．B ．C D 2π2π9.如图，在中，上一点，且满足ABC ∆CD P AD BAC 为,3==∠π） AC m AP ,3+=A B C D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若复数z 满足，则z 的虚部是______.(34i)1z ++=11.已知圆锥的底面半径是2，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 .12.若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆21锥的高的比为___________.13. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若 ，，则∆ABC 6)(22+-=b c a 3π=A 的面积是.∆ABC 14. 一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32°方向上，经过10为.15. 如图，在平面四边形中，，ABCD ,,120AB BC AD CD BAD ∠⊥⊥=.若点为边上的动点，则的取值范围为 1AB AD ==E CD EA EB ⋅三、解答题（本大题共4小题，共60分）16. （本小题满分15分）已知．(4,3),(1,2)a b ==-(1)求与夹角的余弦值；a b(2)若，求实数λ的值．()(2)a b a b λ-⊥+(3)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m17. （本小题满分15分）在非等腰中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且，，. ABC A 3a =4c =2C A =(1)求的值； cos A (2)求的周长； ABC A (3)求的值.πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭18. （本小题满分15分）如图：在正方体中AB=2,为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD (1)求三棱锥N-ACD 的体积； (2)求证：平面；1BD A AMC (3)若为的中点，求证：平面平面. N 1CC AMC A 1BND19. （本小题满分15分）在中，角的对边分别为，已知.ABC A ,,A B C ,,a b c cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-(1)求角的大小；C (2)若为锐角三角形，求的取值范围. ABC A sin sin sin A B C ++2022～2023学年度第二学期期中重点校联考高一数学参考答案一、选择题 1-5 ADCDC 6-9 BBAB二、填空题10．41112．1314．2 15．38[2116,3)三、解答题 16．解（1）因为，(4,3),(1,2)a b ==-所以，，（3分）4(1)322a b ⋅=⨯-+⨯= ||5a == ||b ==设与的夹角为，a bθ所以（5分） cos ||||a b a b θ⋅=== （2）因为， （7分）(4,32),2(7,8)a b a b λλλ-=+-+= 又，()(2)a b a b λ-⊥+所以，解得 （10分） ()()748320λλ++-=529λ=（3）由已知，，（12分）)4,9(2=-=b a AB )23,4(m m b m a BC +-=+=因为A 、B 、C 三点共线,所以．（15分）21-,0)4(4)23(9==--+m m m 17．解（1）在中，由正弦定理，，，ABC ∆sin sin sin abcA B C ==3a =4c =可得，34sin sin A C=因为，所以，即， （3分） 2C A =34sin sin 2A A =34sin 2sin cos A A A=解得．（4分）2cos 3A =（2）在中，由余弦定理，ABC ∆222–2cos a b c bc A =+得，解得或． （7分）216–703b b +=3b =73b =由已知互不相等，所以 ． a bc ，，73b =所以的周长为（9分）ABC ∆328（3）因为，所以， （10分） 2cos 3A =sin A =所以，（12分）sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 19A A =-=-所以 πππ11cos 2cos 2cos sin 2sin 66692A A A ⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（15分）18．解（1）V M−ABC =13S ∆ABC MD =13×12×2×2×1=23（4分）（2）证明：设，接，AC BD O = OM 在正方体中，四边形1111ABCD A B C D -ABCD 是正方形，是中点，O ∴BD 是的中点，，（7分）M1DD 1OM BD ∴∥平面平面1BD ⊄ ,AMC OM ⊂,AMC 平面；（9分）1BD ∴A AMC （3）证明：为的中点，为的中点，N 1CC M 1DD ，11,CN D M CN D M ∴∴=∥四边形为平行四边形，， （11分） ∴1CND M 1D N CM ∴∥又平面平面平面，（13分）MC ⊂ 1,AMC D N ⊄ 1,AMC D N ∴A AMC 由（1）知平面平面平面，1BD A 1111,,AMC BD D N D BD ⋂=⊂ 11,BND D N ⊂1BND 平面平面．（15分）∴AMC A 1BND 19．解（1）因为，cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-所以，（3分） ()22212sin 12sin 12sin 12sin sin A B C A B -+---=-整理得，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，（5分）222a b c ab +-=由余弦定理得， 2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以． （7分）()0,πC ∈π3C =（2）2sin sin sin sin sin 3πA B C A A ⎛⎫++=+-⎪⎝⎭22sin sincos cos sin 3ππ3A A A =+-+3sin 2A A =（11分）6πA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在锐角中，因为，所以（12分）ABC ∆π3C ={0<A <π20<2π3−A <π2，π6<A <π2所以，所以, π3<A +π<2π332<sin (A +π6)≤1所以, 32+32<3sin (A +π6)+32≤332所以的取值范围为．（15分）sin sin sin A B C ++(3+32,332]。
2020-2021学年天津市南开中学高一下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年天津市南开中学高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．i是虚数单位，则＝（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣解：＝．故选：A．2．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝，则sin A＝（）A．B．C．D．解：因为AC＝3，BC＝2，cos C＝，由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2−2BC⋅AC cos C＝9+4−2×3×2×＝5，可得AB＝，所以sin C＝＝，因为由正弦定理，可得，所以sin A＝．故选：C．3．如图，已知＝2，则＝（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣解：由图可得＝，又因为＝2，所以＝＝（），则＝+（）＝，故选：B．4．设a，b是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD．若a∥α，b∥α，则b∥a解：a，b是两条不同的直线，α是平面，对于A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故B错误；对于C，若a∥b，a∥α，b⊄α，则由线面平行的判定定理得b∥α，故C正确；对于D，若a∥α，b∥α，则b与a相交、平行或异面，故D错误．故选：C．5．如图是某班50位学生期中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则分数在[80，90）的人数为（）A．9 B．15 C．12 D．6解：根据频率分布直方图可得，（0.006×3+0.01+0.054+x）×10＝1，解得x＝0.018，∵此次调查的样本容量为50，∴分数在[80，90）的人数为0.018×10×50＝9．故选：A．6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则EF与C1D所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：因为ABB1A1为正方所以E既是AB1的中点，又是A1B的中点，所以EF∥A1C1，所以EF与C1D所成的角为∠A1C1D，而△A1C1D为等边三角形，所以∠A1C1D＝60°，故EF与C1D所成的角为60°，故选：C．7．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a cos B+b＝c，则A＝（）A．B．C．D．解：∵，∴根据正弦定理得，，且sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴，∴，且sin B≠0，∴，且A∈（0，π），∴．故选：C．8．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，则下列命题正确的个数是（）①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面ABC；③平面PAC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面ABC；⑥平面PAC⊥平面ABC．A．3 B．4 C．5 D．6解：因为PA＝1，PC＝，AC＝，则PA2+AC2＝PC2，故PA⊥AC，又PA⊥BC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，则PA⊥平面ABC，又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，故平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面平面ABC，故选项⑥正确，选项②正确，因为AB⊂平面ABC，则PA⊥AB，又PA＝1，PB＝，则AB＝1，又AC＝，BC＝1，则AB2+BC2＝AC2，故BC⊥AB，又BC⊥PA，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PABC，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面平面PBC⊥平面PAB，故选项①正确．故正确的有3个．故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若＝+，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1解：由题意建立如图所示直角坐标系因为AB＝3，BC＝4，则B（0，0），A（0，3），C（4，0），所以，，设＝（a，3），因为BE⊥AC，所以，即4a﹣9＝0，解得a＝，．因为＝+，所以（0，3）＝λ（，3）+μ（4，﹣3），所以，解得，则λ+μ＝．故选：B．10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0，a＝2，B＞C，△ABC的面积为，则（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝1 C．b＝2，c＝2 D．b＝1，c＝2解：因为a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0，由正弦定理得，，因为B＝π﹣A﹣C，则﹣cos A sin C﹣sin C＝0，所以又sin C≠0，所以，则，即，又A∈（0，π），则，故，因为△ABC的面积为，所以，解得bc＝4①，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝8②，由①②可得，b＝c＝2．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽60 人．解：由题意可知，抽样比为＝．故北乡应抽8100×＝180，南乡应抽5400×＝120，所以180﹣120＝60，即北乡比南乡多抽60人，故答案为：6012．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（，y），＝（﹣2，4），且，，则||＝．解：设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（，y），＝（﹣2，4），，，∴，解得x＝2，y＝﹣3，∴＝（2，1）+（，﹣3）＝（，﹣2）．||＝＝．故答案为：．13．为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，天津市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是南开中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8；36.5，36.6，36.3，36.4（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为36.6 ．解：因为8×80%＝6.4≈7，将数据从小到大依次排列为35.7，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，所以该组数据的第80百分位数为36.6．故答案为：36.6．14．为迎接2022年北京冬奥会，某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为0.85 ．解：某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，∴抽到一等品或二等品的概率为0.97，抽到二等品的概率为：1﹣0.88＝0.12，则抽到一等品的概率为：P＝0.97﹣0.12＝0.85．故答案为：0.85．15．如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为．解：如图，球心为圆雉截面三角形的中心圆雉截面为正三角形，且边长为2，设球的半径为r，则．溢出溶液的体积等于球的体积为．故答案为：．16．在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛．如图，是篮球场地的部分示意图，在高为4的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2．点F是以CD为直径的半圆的中点，点M是半径为6的半圆O上的一个四等分点，点P为半圆O上任一点，且点P在点M左侧，已知＝21．设点E为线段AB上任一点，则•的最小值为7 ．解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，整理得：①，两边平方得：②，又，则sinθ＞cosθ，联立①②，解得，所以，，所以，当时，此时有最小值，．故答案为：7．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分．17．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，＝2．设＝，＝．（Ⅰ）用，分别表示及；（Ⅱ）求||；（Ⅲ）求与夹角θ的余弦值．解：（Ⅰ）根据题意，，∵，∴，∴＝；（Ⅱ）∵，∴＝＝；（Ⅲ）＝＝，∴＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2（）＝sin（B+C）+1．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若c sin C＝4（a+b）（sin A﹣sin B），△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（Ⅰ）由2sin2（）＝sin（B+C）+1，可得2cos2＝sin A+1，可得1+cos A＝sin A+1，即cos A＝sin A，可得tan A＝，由0＜A＜π，可得A＝．（Ⅱ）因为c sin C＝4（a+b）（sin A﹣sin B），由正弦定理有：c2＝4（a+b）（a﹣b），可得c2＝4（a2﹣b2），又由A＝及余弦定理有：a2＝b2+c2﹣bc，有a2﹣b2＝c2﹣bc，有c2＝4（c2﹣bc），可得：b＝，又因为△ABC的面积为＝bc sin A＝bc，可得bc＝3，所以解得b＝，c＝2，由余弦定理可得a2＝（）2+22﹣2××＝，可得a＝，可得△ABC的周长a+b+c＝．19．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑．我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目．如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线．点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN＝2NO1.已知圆柱OO1底面半径为2，AA1＝4．（Ⅰ）求证：AM∥平面BDN；（Ⅱ）线段AA1上是否存在一点E，使得OE⊥平面BDN？若存在，请求出AE的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角I2﹣A1I1﹣I4的余弦值；（Ⅳ）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即Q1O2＝4，且O2O3＝RS＝2，PS＝7．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值.【解答】（Ⅰ）证明：如图1，M'，N'分别是点M，N在线段AC上的投影，则M'为AO的中点，N'为OC的三等分点，所以tan∠MAM'＝，tan∠NON'＝，所以∠MAM'＝∠NON'，则AM∥ON，如图2，又因为AM⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，所以AM∥平面BDN；（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，﹣2，0），N，设E（2，0，t）（0≤t≤4），所以，若OE⊥平面BDN，则，即，则，所以时，OE⊥平面BDN；（Ⅲ）解：设内切圆半径为r，由题意可知，△I1OI4是等腰直角三角形，所以，解得，因为I1（r，0，0），I2（0，r，0），I4（0，﹣r，0），A1（2，0，4），所以，，设平面I2I1A1的法向量为，则，令x＝1，则，同理可得平面I4I1A1的法向量，所以＝＝，故二面角I2﹣A1I1﹣I4的余弦值为；（Ⅳ）解：将矩形PQRS作为参照物，不妨设A1顺时针选择α（α＞0），则A1（2cos（﹣α），2sin（﹣α），4），即A1（2cosα，﹣2sinα，4），P（10，0，8），所以，因为y轴⊥平面PQRS，则平面PQRS的一个法向量为，设A1P与平面PQRS所成的角为θ，则＝，若cosα＝±1，则sinθ＝0；若﹣1＜cosα＜1，令t＝3﹣cosα∈（2，4），则＝，当且仅当，即时，sinθ取得最大值．。
天津市天津一中高一数学下学期期中试题
天津一中2013—2014高一年级第二学期数学期中考试试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 是则若ABC cC b B a A ∆==,cos cos sin （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是300的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是300的等腰三角形2．ΔABC 中，∠A，∠B 的对边分别为,,60,a b A ∠=o ,4,6==b a 那么满足条件的ΔABCA ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定（ ）3. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=6π，C=4π，则△ABC 的面积为 （ ）A ．232+B ．31-C ．232-D ．31+4. 如图在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则用,a b rr 表示AF =u u u r （ ）． A ．1142a b +r rB ．2133a b +r rC ．1124a b +rrD ． 1233a b+rr5. 如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为（ ）A ．92B ．9C ．92- D ．9-6. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()[0,).||||AB ACOP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) P C BAA ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7. 等比数列{}n a 中，各项都是正数，且132122a a a ，，成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）．A．1B ．1 C ．3-D．3+8.已知在等差数列{}n a 和{}n b 中,前n 项和分别为n S 与n T ,若99:b a =5:3,则1717S T :的值为( ) A ． 5:3 B ． 3:5 C ． 2:1 D ．1:2 9. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）．A ．1B ．56C ．16D ．13010.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S (n N )*+=∈，则10a =（ ）． A ．834⨯ B ．8341+⨯ C ．94D ．941+二、填空题（每小题4分，共24分）11. 设向量()()1 22 3a b ==r r，，，，若向量a b λ+r r 与向量()4 7c =--r ，共线，则λ= ． 12.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ， 且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=rr ．13.已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．14.ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．若ABC △，则最小边的边长为___________.15. 若数列{}n a 的前n 项和()2 10 1 n S n n n N *=-+∈，则通项n a =___________.16. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++()n N *∈，则通项n a =_________. 三、解答题：（共4题，46分）17．在ABC △中，BC =，3AC =，sin 2sin C A =．（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量m u r ),cos ,(sin A A = n r )sin ,(cos B B =, m n u r rg sin 2C = 且A B C ，，分别为△ABC的三边a ，b ，c 所对的角.（Ⅰ）求角C 的大小；om www.ks5u.c KS5U 首发】高考资源网【（Ⅱ）若sin A , sin C , sin B 成等比数列, 且18CA CB =u u u r u u u rg, 求c 的值.19. 已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.20. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 5321a b +=，5313a b +=．om www.ks5u.c KS5U 首发】高考资源网【（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．参考答案：选择题：1-10 C C D B C B D A B A 填空题 11.213.6π15.812112n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩16.ln 2n +17.2222()3sin sin 2()cos sin(2)242cos 2)sin 510sin 22sin cos 45cos 212sin 35I a b a cA C c a b c a II A A bcA A A A A AA Aπ=====+-=-==-===⋅==-=18.()sin cos cos sin sin()sin sin 2sin 01cos 23I m n A B A BA B C C C C C π⋅=+=+==≠∴==u r vQ 解:om www.ks5u.c KS5U 首发】高考资源网【222()sin ,sin ,sin sin sin sin cos 1836366II A C B C A B c ab CA CB ab C ab c c ∴=∴=⋅==∴=∴=∴=Q u u u r u u u rQ 成等比数列19.om www.ks5u.c KS5U 首发】高考资源网【 123221311331313123123123312422484,23,372,43353735(),,372,0,||n n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a d a n a a d a n a n a n II a a a a a a a n a n n a a ++==-∴=-+=-=-=⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-⋅=-⎩⎩⎩=-===-==-=-=-+∴=-=-+∴=∴=-≤<Q Q 解:(I)或当时当时或成等比数列设{||}前项和为T 当时2123222(437)31122230(2)(372)523111023112223111032n n n n nn a n n T n nn a T a a a a n n n n n n n T n n n =--+-∴=-=-+≥>=--++--+=+-=+⎧-+≤⎪⎪∴=⎨-⎪+≥⎪⎩L 当时20.42111102121221221413(1)21,2211()(21)()2211111()35()(21)()2222111113()(23)()2222n n n n n n n n n n n n n n I a b q q d q d q d q a a n d n b b q a n II n b S n S n -----⎧++==⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩∴=+-=-==-==-=⋅+⋅+⋅++-=⋅+⋅++-⋅L L ()解:设{}的公差为d,{}的公比为,依题意>012112311(21)()21111112[()()](21)()2222211[1()]12212(21)()1212113()(21)()22116()(21)()22n n n n n nn nn n n n S n n n S n -----+-=+++--⋅-=+⋅--⋅-=---∴=---L。
天津市三校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(PDF版)
2022-2023学年度第二学期高一年级期中检测数学试卷满分：150分考试时间：100分钟本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷4至6页。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，向量AB a,AC b,CD c === ，则向量BD可以表示为（）A ．a b c+-r r rB ．b a c-+r r r C ．a b c -+r r r D ．b a c--r r r 2．已知复数z 在复平面上对应的点为(2,1)-，则（）A ．z 的虚部为i -B ．5z =C ．2iz =--D ．2z -是纯虚数3．如图，若D 点在ABC ∆的边BC 上，且3CD DB = ，AD xAB y AC =+，则2x y+的值为（）A ．54B ．34C ．0D ．14．已知4a = ，()1,0b =- 且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．1505．设a，b是两个非零向量，则下列命题中错误的是（）A ．若a b a b +=- ，则存在实数λ，使得a bλ= B ．若a b ⊥ ，则a b a b+=- C ．已知非零向量a ，b ，c 则a c b c ⋅=⋅ 是a b =的必要不充分条件D ．在边长为1的ABC ∆中，AB BC - 的值为326．在ABC ∆中，已知||||AB AC AB AC +=-，且sin 2sin cos A B C =，则ABC ∆是（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形7．已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --，则AB在BC上的投影向量为（）A ．13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10310,55⎛ ⎝⎭D ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．下列有五个命题：①若直线a //平面α，a //平面β，m αβ= 则a //m ；②若直线a //平面α，则a 与平面α内任何直线都平行；③若直线a //平面α，平面α//平面β，则a //平面β；④如果a //b ，a //平面α，那么b //平面α；⑤对于异面直线a 、b 存在唯一一对平面α、β使得a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α//β．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．39．点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -外接球球面上的任意一点，则四棱锥P ABCD -的体积的最大值为（）A ．43BC D ．8310．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了ABD △，测得5AB =，6BD =，AC =，3AD =，若点C 恰好在边BD 上，请计算sin ACD ∠的值（）A ．23B ．59C ．12D ．214911．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，P 是线段11A C （包括端点）上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（）A ．1DDB ．1BC C ．1D CD ．AC12．在ABC ∆中，6,8,90.AC BC C P ∠===为ABC ∆所在平面内的动点，且2PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[]20,12-B ．[]12,20-C ．[]16,24-D ．[]24,16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2020-2021天津市南开中学高中必修二数学下期中一模试题(附答案)
2020-2021天津市南开中学高中必修二数学下期中一模试题(附答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+4．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面5．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π6．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40πC ．80πD ．160π7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π8．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 10．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．31+ B ．31-C ．2 D ．51- 11．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2512．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π二、填空题13．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 14．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________16．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.24．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AACC ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -的体积为32，求1A AC ∠的正弦值. 25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程． 26．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.2．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.5．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积8．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
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南开中学高一数学期中考
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、在ABC ∆中，00
45,60,1B C c ===，则B = A 66．12
D 3 2、在ABC ∆中，07,2,60a b A =
==，则c 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
32,5,2,11,L ，则25
A ．第6项
B ．第7项
C ．第10项
D ．第11项
4、在等差数列{}n a ，若24681080a a a a a ++++=，则7812
a a -
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5、若等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则a 等于 A ．3 B ．1 C ．0 D ．-1
6、各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且成等差数列2311,
,2a a a ，则3445a a a a ++的值为
A 15-
B 15+
C 51-
D 15+51-7、已知2()156
n n a n N n +=∈+，则数列{}n a 的最大项 A ．12a B ．13a C ．12a 或13a D ．不存在
8、设是公差为的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题红正确命题的个数 ①若0d <，则数列{}n S 有最大项；
②若数列{}n S 有最大项，则0d <；
③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的n N +∈，均有0n S >；
④若对任意的n N +∈，均有0n S >，则数列{}n S 的递增数列.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9、在ABC ∆中，173sin tan 5
B ==，若AB
C ∆17 A 210172
D 32 10、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，首项123a =-
，且满足12(2)n n n S a n S ++=≥，则2015S A ．20132014- B ．20142015- C ．20152016- D ．20162017
-
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
11、在ABC ∆中，若120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin B C
值为 12、等差数列{}n a 中，若129104,36,n a a a a S +=+=是数列{}n a 的前n 项和，则10S =
13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则64
S S 的值为 14、在数列{}n a 中，111,22n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式
15、在数列{}n a 中，7(1)()8
n
n a n =+，则数列{}n a 中的最大项是第 项. 16、在数列{}n a 中，1112,(2)2()n n n n a a a n N λλλ+++==++-∈，则数列{}n a 的通项 n a =
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 3cos sin 0a C c A -=.
（1）求角C 的大小；
（2）若4,b ABC =∆的面积63c 的值.
18、（本小题满分12分）
解关于变量x 的不等式：2(31)30()ax a x a R -++<∈.
19、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，且151,5a a ==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n b S =-.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若(1,2,3,),n n n n c a b n T ==L 为数列{}n c 的前n 项和，求n T .
20、（本小题满分12分）
已知公差的等差数列{}n a 满足23a =，且137,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足11n n n n n a a b a a ++=
+，求数列{}n b 的前n 项和n S . （3）设12(
)n n n a c n
λ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.。