微积分4.6边际弹性

R(50) 0 R(70) 8
经济意义：
销售量(需求量)为20个单位时，多销售一个单位产品，总 收入约增加12个单位；销售量为50个单位时，多销售一个 单位产品，总收入基本不会改变；销售量为70个单位时， 多销售一个单位产品，反而使总收入约减少8个单位．
二、弹性 弹性: 一个经济量对另一个经济量变化的反应程度 (灵敏度) 以需求函数为例：设需求价格函数为Q＝Q ( p)
(3) C (Q ) 5 30 1 5 15 2 Q Q 15 C (100) 5 6.5 (元/件) 100
C (225) 5
15 225
6 ( 元/ 件)
生产100件和225件产品时的边际成本分别为6.5元/ 件和6元/件．经济含义：产量为100件时，再多生 产1件产品，总成本将增加6.5元左右；产量为225 件时，再多生产１件产品，总成本将增加6元左右.
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4.7 导数概念在经济学中的应用 一、边际 边际: 经济变量的变化率。以成本函数为例说明。 边际成本: 经济学中定义为产量增加一个单位时 所增加的成本。 设成本C＝C(x) (产量x >0) 产量：x到x+△x ，
C C ( x x ) C ( x ) ——在△x范围内，产量 x x 平均每增加一个单位时增加的成本。可看成是： “平均意义下的边际成本”
商业决策：高弹性商品(或商品处于高弹性价 格范围),对涨价应持谨慎态度,有时可适当采用 “薄利多销多收益”的降价策略;而对低弹性商 品,“薄利”也难带来“多销”,相反,这类商品若 涨价则因需求量不会大幅度减少可使总收入增加 例3．商品需求函数Q＝Q ( p)＝75－p 2 ： (1) 求p＝6时的需求价格弹性，并给以经济解释； (2) 在p＝4时，若价格上涨１％，总收入是增加还 是减少？变化百分之几？ 2 p p 2p 解 p Q( p) ( 2 p) 2 2 Q 75 p p 75
Ey x f ( x ) Ex f ( x )
称为y＝f (x)在(a, b)内 的(点)弹性函数.
2. 需求(价格)弹性分析 需求量Q＝Q( p)可导，需求对价格的弹性
EQ p dQ 记 p Ep Q( p) dp
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作业：
P143： 2 3 4 (1) (注意:需求量x >0)
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3. 需求收入弹性分析 x——消费者人均收入，y——某商品人均需求量，
y＝f (x)——恩格尔函数。
y＝f (x)为增函数，故需求收入弹性
Ey 1 时，高弹性，需求增加的百分比大于收 当 Ex 增加的百分比；
当 时，低弹性，需求增加的百分比小于 收入增加的百分比；
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Ey Ex
y f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) x0 ;称 x x0 x x0 x f ( x0 )
为函数y＝f (x)在点x0与x0＋△x之间的弧弹性． Ey y f ( x 0 ) 注：(1) x 很小时，弧弹性 点弹性 x x0 Ex x x0
类似地： R( x ) ——边际收入，近似等于销量为x时，再 多销售一个单位产品时所增加的收入。 L( x ) ——边际利润，近似等于销量为x时，再 多销售一个单位产品时所增加的利润。
L( x ) R( x ) C ( x )
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例1．某产品总成本C (单位:元)，产量Q(单位:件). C 1000 5Q 30 Q 求:(1)生产100件产品时的总成本和平均单位成本; (2)产量从100件增加到225件时总成本的平均变化 率; (3)生产100件和225件产品时的边际成本． 解:(1) C(100) 1000 5 100 30 100 1800(元)
Q＝Q ( p)是减函数，故
p <0，
比较弹性大小时比较其绝对值大小． p 1 即 p 1 时， 需求量变化百分比大于价格 变化百分比，称高弹性； p 1 即1 p 0 时， 需求量变化百分比小于价 格变化百分比, 称低弹性; p 1 即 p 1 时， 需求量变化百分比等于价格 变化百分比，称单位弹性. 推测: 高弹性时，提价总收入减少，降价总收入增加； 低弹性时，提价总收入增加，降价总收入减少； 单位弹性时，提价或降价对总收入基本无影响
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如何从△x范围内的平均过渡到点x处的瞬时？
C lim C ( x ) 取极限—— x 0 x
——以导数值近似代替边际成本，表示“产量为 x时，再生产一个单位产品大约需增加的成本” 也可由“微分近似公式”理解：
△C＝C(x＋1)－C(x)≈ C ( x ) x C ( x )
Q Q ——价格在p时，价格变化百分之一， lim p 0 p p 需求量(大约)变化百分之几．
——定义为p点的需求的价格弹性. 将此概念推广到一般函数：
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1. 弹性定义 设y＝f (x)在点x0(x0≠0)某邻域有定义， f (x0)≠0．若极限 y f ( x0 ) [ f ( x0 x ) f ( x0 )] f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x 0 x 0 存在, 称此极限值为y＝f (x)在点x0处的点弹性, 记
72 (1) p＝6时, p 36 75 1.85
13
p p 2p 解 p Q( p) ( 2 p) 2 2 Q 75 p p 75
72 1.85 (1) p＝6时, p 36 75
2
表示价格p＝6时,提价1%,需求量约减少1.85%. (高弹性,提价将使总收入减少.提价1％,总收入约减 少0.85%.) 32 0.54 (2) p＝4时, p 16 75 低弹性，提价将使总收入增加． ER ER 由 1 P 得 p 4 0.46 Ep Ep 即p＝4时，价格上涨1% ，总收入约增加0.46%.
y Ey y0 Ex
x x x0 x0
(1)
9
(2)弹性计算公式：
Ey Ex
x0 dy y y0 x0 y lim lim x x0 y0 x 0 x f ( x0 ) dx x 0 x x0
x x0
设y＝f (x)在(a, b)可导且f (x)≠0，
解 由式(1) 、(2) p R ER p Q p P (1 p )
例4. 已知某企业某种产品的需求弹性在1.3～2.1之间, 如 果该企业准备明年将价格降低10%, 问这种商品的销售量 预期会增加多少? 总收入预期会如何变化? 变化多少?
降价10%时，销售量预期约增加13%~21%，总收 入预期约增加3%~11%．
某地电扇的恩格尔函数： 城y=0.0002x1.431(台/人), 乡y=1.58×106x2.1789(台/人) 需求收入弹性分别为 1.431和2.1789． 说明电扇在大城市发展势头已减，在乡镇中发展 势头还较快，这对厂家安排销售市场提供了参考 信息． a y kx (k、a为常数)的弹性 (P143: 3(1)) x Ey x a 1 kax a y a Ex y kx 此外, 经济学中还有: 供给弹性, 生产量关于资本、 劳力的弹性……后面将介绍多元函数的偏弹性。
ER p 1时, 1 p 0， 价格上涨1%, 需求量约 Ep 减少 ( p )% ，总收入约减少 (1 p )% ER p 1时, 1 p 0， 价格上涨1%, 需求量约 Ep 减少 ( p )% ，总收入约增加 (1 p )%
证: 设Q＝Q ( p)，R＝p Q ( p).
p p ER 则 R ( p ) [Q( p) pQ( p)] Ep R p Q( p ) p 1 Q( p) 1 p (2) Q( p )
由此可作出深刻的定量分析：
：
p p Q ( p ) Q( p)
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例2．产品需求函数x＝100－5 p，p为价格，x为需 求量．求边际收入函数及x＝20、50和70时的边际 收入，并解释结果的经济意义． 1 解: 由 x＝100－5 p 有 p (100 x )
边际收入函数
R(20) 12
5 1 1 故 R( x ) px (100 x ) x (100 x x 2 ) 5 5
Q ——在△p的变化范围内,价格平均每变化一个 Q p 单位,需求量变化几个单位
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
p 0
p
Q( p)L
变量变化了百分之几—— “相对改变量”
Q Q ——在△p的变化范围内，价格平均每 p p 变化百分之一，需求量变化百分之几．
如何从△p范围内的平均过渡到点p处的瞬时？
C (100) 1800 C (100) 18 (元/件) 100 100
C C (225) C (100) 2575 1800 (2) 6.2(元/件) Q 225 100 125
即产量从100件增加到225件时，平均每增加１ 件产品，总成本增加6.2元． 4
Q( p)表示: 价格为p时，价格增加１个单位，需 求量大约变化 Q( p)个单位． 无法在不同产品(计量单位不同)、不同市场(货币 单位不同)之间比较． 怎样更深刻地刻划需求对价格变化反应的灵敏度? ——在某一价格水平下，价格变化百分之一， 需求量变化百分之几。(——定义式?)