高二数学测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末(空间向量与立体几何)测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
云南省昆明市第九中学2024-2025学年高二上学期期中模拟数学测试卷(含答案)
选择性必修第一册人教A 版2024-2025学年上学期期中高二数学模拟测试卷（命题范围：空间向量与立体几何、直线与圆方程、椭圆）一、单选题1的倾斜角量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知空间向量，，若，则（ ）A ．4B ．6C ．D ．3．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ）A．B ．B ．C ．D ．6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P (x,y )是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ）A ．B ．－140y -+=60︒120︒150︒30︒()6,2,1a = ()2,,3b x =-()2a b a -⊥ x =23421421:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥12,F F 1290F PF ∠=︒111ABC A B C -190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===111,A B CC AB D AC GD EF ⊥AD 141234132yx -32-C ．0D ．17．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：的离心率为，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）A ．1B ．CD二、多选题9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．点关于平面对称的点的坐标为C ．若，则D ．若，，则10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．关于直线对称B ．关于原点对称C ．点在内D ．所围成的图形的面积为11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且以下结论正确的是（ ）A ．异面直线与所成的角是B ．三棱锥的体积为C ．存在点，使得D ．点到平面距离的最小值为三、填空题221(0)1x y a a a+=>+132219x y +=2217x y +=2215x y +=2214x y +=xOy 1:2l y kx =+22:1C x y +=,A B AOB V 12O xyz -()1,2,2A -()0,1,1B ()1,1,3AB =--A xOy ()1,2,2-()2,1,1m = ⊥m AB(),2,6n a =- n BA∥2a =-xOy 2AB A B x y AB ΓΓ2y x =Γ12⎛ ⎝ΓΓπ1111ABCD A B C D -P 11AB D 1A P =1AB 1BC π21C P D B -43P 1AC D P ⊥P ABCD 2312．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为.13．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.则点到直线的距离为 .14．若圆上有四个点到直线a 的取值范围是 ．四、解答题15．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求：(1)顶点的坐标；(2)边的垂直平分线方程.16．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． (1)证明：；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点作圆的切线，求该切线方程.()3,1x y 111ABC A B C -190,2,BAC AB AC AA E ∠=︒===1C C 1A 1B E ()()22320x a y -+-=210x y -+=ABC V ()5,1,A AB CH 250x y --=AC BM 210x y --=B BC P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AC ⊥AB ,PC PD ,E F //CD EF 3AB PA ==6AC =23EF CD =BEF DFE C ()1,1A -()2,2B --l 10x y +-=C ()2,1-C18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.19．如图，三棱柱中，，，点为的中点，且.(1)求证：平面；(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.xOy ()()2,0,2,0A B -M AMBM34-M C C ()10F ,:4l x =x D AM l N 2MFD NFD ∠=∠111ABC A B C -2AB AC ==1AA =11A B A C =D AB 1AA CD ⊥1AA ⊥ABC ABC V 1B C 1A DC参考答案题号12345678910答案A C A D A A B D ACD ABD 题号11 答案BCD12．【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，故直线方程为，即；② 若，则直线方程为，代入可得，解得，故直线方程为.综上所述：所求直线方程为或.故答案为：或.13．【详解】由题知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，因为，所以所以点到直线的距离为14．【详解】圆的圆心为，半径为x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x y a a +=()3,1311a a+=4a =40x y +-=40x y +-=30x y -=40x y +-=30x y -=1,,AB AC AA ()()()110,0,2,2,0,2,0,2,1A B E ()()1112,0,0,2,2,1B A B E =-=--11111111142cos ,233B A B E B A B E B A B E ⋅===⨯⋅[]111,0,πB A B E ∈ 111sin ,B A B E == 1A 1B E 11111sin ,2B A B A B E ==()()22320x a y -+-=(,3)a因为圆上有四个点到直线，所以圆心到直线的距离所以．故答案为：．15．【详解】（1）所在的直线方程为，则直线斜率，由，得边所在直线方程为，整理得.，解得，所以点的坐标为.（2）设，为中点，则.，解得，，则中点为，，垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为，整理得.16．【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，且，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以，又，所以．()()22320x a y -+-=210x y -+=210x y -+=d <d 3722a -<<37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭CH 250x y --=12CH k =AB CH ⊥2AB k =-AB ∴()125y x -=--2110x y +-=2110210x y x y +-=⎧∴⎨--=⎩35x y =⎧⎨=⎩B ()3,5()00,C x y M AC 0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭00002505121022x y x y --=⎧⎪∴⎨++⨯--=⎪⎩00193173x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1917,33C ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭BC 51,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭87BC k ∴=BC 78k =-BC 175383y x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭2124430x y ++=ABCD //AB CD AB ⊄PCD CD ⊂PCD //AB CD //AB PCD //AB PCD ABEF ⋂PCD EF =AB ⊂ABEF //AB EF //AB CD CD EF ∥（2）建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知且，则，则A (0,0,0)，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则，得，设平面的一个法向量为，则，得，则所以平面与平面17．【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，所以 ，解得： ，所以圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意；当直线的斜率存在时，设，即，则点到直线的距离为圆的半径，A xyz -//CD EF 23EF CD =2PE EC = ()3,0,0B ()0,0,3P ()0,6,0C ()0,4,1E ()3,6,0D -()0,4,1AE =()3,0,0AB = ()0,2,1EC =- ()3,0,0DC =ABEF 110n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()10,1,4n =- DCEF ()2222,,n x y z = 2200n EC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()20,1,2n = 1cos ,n BEF DFE 222()()x a y b r -+-=(1,1)A -(2,2)B --:10l x y +-=222222(1)(1)(2)(2)10a b r a b r a b ⎧--+-=⎪--+--=⎨⎪+-=⎩325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩22(3)(2)25x y -++=l :2l x =-l :1(2)l y k x -=+210kx y k -++=(3,2)C -l C即，解得，此时.综上，直线l 的方程为或.18．【详解】（1）由题意可设，且，则，所以曲线的方程为.（2）当，不妨取，满足曲线的方程，则的方程为，可得，此时可得，又，故；当不垂直于时，设，则直线的方程为，联立，得，所以，则，故，又，故，即，所以，综上所述：.19．【详解】（1）取中点，连接，5d 815k =831:1515l y x =+2x =-8311515y x =+(),M x y 2x ≠±3224AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-C ()221243x y x +=≠±MF AB ⊥3(1,2M ()221243x y x +=≠±AM 1(2)2y x =+(4,3)N 45NFD ∠=︒90MFD ∠=°2MFD NFD ∠=∠MF AB ()4,N n AM ()26ny x =+()2226143n y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()222227441080n x n x n +++-=22427A M n x x n +=-+2254227M n x n -=+221081862727M n ny n n =⨯=++26tan ,tan 193M M y n nMFD NFD x n ∠==∠=--222tan 6tan2tan 1tan 9NFD nNFD MFD NFD n ∠∠===∠-∠-tan tan2MFD NFD ∠=∠2MFD NFD ∠=∠2MFD NFD ∠=∠BC O AO 1A O因为，是中点，，因为，是中点，-所以，又，平面，所以平面，又平面又，平面所以平面.（2）因为为正三角形，所以.过点作的延长线为轴，以为轴，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则11A B A C =O BC 1BC A O ∴⊥AB AC =O BC BC AO ⊥1A O AO O ⋂=1,AO A O ⊂1A AO ⊥BC 1A AO 1A A ⊂1A AO1BC AA ∴⊥1,AA CD BC CD C ⊥⋂=,BC CD ⊂ABC 1AA ⊥ABC ABC V DC AB ⊥D CD x DB y D 1AA z (0,0,0)D (0,1,0)A-1(0,A -(0,1,0)B 1B (C11(0,(DA DC CB =-==1A DC (,,)n x y z =令设与平面所成角为，.与平面.10000n DA y n DC ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩y =n = 1B C 1A DC θ11sin θn CB n CB ⋅===⋅ ∴1B C 1A DC。
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学(A)试卷(含答案)
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷附答案解析
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线40x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12(1,(,2,n x n x ==-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则x =（）A ．1B ．7C ．2-D ．24．已知直线1:20l x my ++=和直线2:(23)20l mx m y ++-=平行，则m 的值为（）A ．3B ．3或1-C ．1-D ．3-5．如图，在四面体ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为BE 的中点，设,,AB a AC b AD c === ，则AF =（）A ．111422a b c-++ B ．111244a b c ++C ．111242a b c+- D ．111442a b c++ 6．已知,A B 是抛物线22y x =上的两点，且线段AB 的中点为(1,1)，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．210x y -+=7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB =1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点Q 是圆22(3)(2)1x y -+-=上一点，则||||PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．5D ．58．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12,.F F A 是C 上的一点（在第一象限），直线2AF 与y 轴交于点B ，若11AF BF ⊥，且2232AF F B =，则C 的离心率为（）A ．305B ．32C ．6D ．355二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆22:(6)16C x y ++=，设点(,)P x y 为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A ．点P 到原点O 的距离的最小值为2B ．过点(3,0)A -的直线与圆C 截得的最短弦长为6C ．yx的最大值为1D ．过点(1,0)B -作圆的切线有2条10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（）A ．1BC 与AC 所成角为60oB ．三棱锥1A D PC -的体积不变C ．//DP 平面11ABD D ．1DP BC ^11．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，若点12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，P是椭圆C 上一动点，下列结论中正确的有（）A ．12PF PF ⋅的范围为[2,3]B ．若12F F P 为直角三角形，则12F F P 的面积为3C ．若点(1,1)B，则2PB PF +的最大值为4D ．直线12,PA PA 的斜率之积为34-三、填空题（本大题共3小题）12．若直线220mx y +-=经过两直线53170x y --=和50x y --=的交点，则m =.13．已知直线:0l x y --=，点P 为椭圆22:14y C x +=上的一个动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为.14．一动圆与圆221:10240C x y y +++=和222:10240C x y y +--=都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为20x =.(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程;(2)若斜率为2且纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求FMN 的面积.16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40，45].(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.17．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且ABC V 的外接圆半径R 满足sin cos (cos cos )R A A c B b C =+.(1)求角A ；(2)若a =ABC V 面积的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，求出BMBP的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ（λ为非零的正实数）代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称曲线12E E 、关于原点“伸缩”，变换(,)(,)x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.如果曲线221:243E x y +=经“伸缩变换”后得到曲线2E ，射线1(0)2y x x =>与12E E 、分别交于两点A ，B 且||2AB =.(1)求2E 的方程;(2)若M ，N 在2E 上，,,BM BN BD MN D ⊥⊥为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷1．【答案】A【详解】40x +=的斜率为3，故倾斜角为30︒，故选：A 2．【答案】B【详解】由题意得1c ==，则其焦距为2.故选：B.3．【答案】D【详解】由于αβ⊥，所以12n n ⊥ ，故12260n n x x ⋅=+-=，解得2x =，故选：D 4．【答案】A 【详解】由题意可得12232m m m =≠+-，则223m m +=，2230m m --=，即()()310m m -+=，解得3m =或1-，当3m =时，132392=≠-，显然成立，符合题意；当1m =-时，112112-==--，不符合题意.故选：A.5．【答案】B【详解】由F 是BE 的中点，则12BF BE = ，由E 为CD 的中点，则12DE DC = ，在ABD △中，BD AD AB =-，在ACD 中，DC AC AD =- ，()11112222AF AB BF AB BE AB BD DE AB AD AB DC ⎛⎫=+=+=++=+-+ ⎪⎝⎭()111111111224244244AB AD AC AD AB AD AC a b c =++-=++=++.故选：B.6．【答案】C【详解】设1,1,2,2,则2211222,2y x y x ==，故221212121212222y y y x x x x y y y --=-⇒=-+，由于AB 的中点为(1,1)，故122y y +=，因此12121221AB y y k x x y y -===-+,故直线方程为11y x =-+，即0x y -=，经检验，直线0x y -=与抛物线相交，满足条件.故选：C 7．【答案】A【详解】由题意设抛物线的方程为22(0)y px p =>，因为AB =，1MO =，所以点(1,B -在抛物线上，将B 的坐标代入到抛物线的方程中，可得82p =，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =，所以抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为2x =-，圆22(3)(2)1x y -+-=的圆心位()3,2H ,半径位1R =，可知圆在抛物线内部，如图：如图，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点H 作HN 与准线垂直，N 为垂足，则||||PF PP '=，所以3214PF PQ PP PQ P Q NH R +=+≥≥-='+-='，当且仅当P ，H ，P '三点共线时，所以||||PF PQ +的最小值为4．故选：A8．【答案】D【详解】设1BF m =，如下图所示：由题意可得2BF m =，2122,233AF m AF m a ==+；又22AF F AB B =+，由11AF BF ⊥可得22211AF BF AB +=，即22222233m a m m m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3m a =；所以2112,4,3AF a AF a BF a ===；因为111190,90AF O BF O BF O F BO ∠+∠=∠+∠=，所以11AF O F BO ∠=∠；即11cos cos AFO F BO ∠=∠，可得222112211212AF F F AF OB AF F F BF +-=，即22216442423a c a a c a+-=⨯⨯，解得c a =故选：D9．【答案】AD【详解】由题意可知：圆22:(6)16C x y ++=的圆心为()6,0-，半径4r =，对于选项A ：点P 到原点O 的距离的最小值为2PO r -=，故A 正确；对于选项B ：因为3CA r =<，可知点(3,0)A -在圆C 内，所以最短弦长为=B 错误；对于选项C ：因为yx表示直线OP 的斜率，当OP 与圆C 相切时，此时OP =，yx取到最大值255r OP ==，故C 错误；对于选项D ：因为5CB r =>，可知点B 在圆C 外，所以过点(1,0)B -作圆的切线有2条，故D 正确；故选：AD.10．【答案】ABC【详解】对于A 选项，连接AC 、11AC 、1A B ，则1111A B A C BC ==，所以，11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以，四边形11AAC C 为平形四边形，所以，11//AC AC ，所以，异面直线1BC 与AC 所成的角等于1160A C B ∠=，A 对；对于B 选项，因为11//AB C D ，11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以，1//BC 平面1ACD ，因为1P BC ∈，所以，点P 到平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离，为定值，又因为1ACD △的面积为定值，故三棱锥1P ACD -的体积为定值，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，所以，1//BC 平面11AB D ，同理可证//BD 平面11AB D ，因为1BC BD B = ，1BC 、BD ⊂平面1BC D ，所以，平面1//BC D 平面11AB D ，因为DP ⊂平面1BC D ，所以，//DP 平面11AB D ，C 对；对于D 选项，若1DP B C ⊥，且四边形11BB C C 为正方形，则11B C BC ⊥，因为1DP BC P = ，DP 、1BC ⊂平面1BC D ，则1B C ⊥平面1BC D ，又因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，则1B C AB ⊥，因为11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，AB 、1BC ⊂平面11ABC D ，所以，1B C ⊥平面11ABC D ，又因为过点P 有且只有一个平面与直线1B C 垂直，矛盾，假设不成立，D 错.故选：ABC.11．【答案】ACD【详解】对于A ，()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，故()()2222212000000000311,1,1(4)1244PF PF x y x y y x x x x ⋅=---⋅--=+-=-+-=+ ，由于2004x ≤≤，故[]2120122,34PF PF x ⋅=+∈ ，A 正确，对于B ，当212PF F F ⊥时，此时31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，故12F F P 的面积为12113322222P F F y =⨯⨯=，故B 错误，对于C ，由于1(1,0)F -，又(1,1)B ，所以1||BF =所以21114444PB PF PB PF PB PF BF +=+-=+-≤+=+当且仅当1,,P B F 三点共线时，且1F 在,P B 之间时取等号，故C 正确．对于D ，由椭圆22:143x y C +=，得()12(2,0),2,0A A -，设()00,P x y ，则1220002000224PA PA y y y k k x x x =⨯=+--，又2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，所以12220022003(4)34444PA PAx y k k x x -===---，故D 正确；故选：ACD12．【答案】10【详解】联立5317050x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，将点()1,4-代入到直线220mx y +-=，得820m --=，故10m =.故答案为：10.13．【答案】【详解】由点P 在椭圆22:14y C x +=上，设(cos ,2sin ),R P θθθ∈，则点P 到直线l的距离d =，其中锐角ϕ由1tan 2ϕ=确定，而1sin()1θϕ--≤≤，则当sin()1θϕ-=-时，min d =所以点P 到直线l的距离的最小值为故答案为：14．【答案】221(0)916y x y -=<【详解】圆221:(5)1C x y ++=的圆心1(0,5)C -，半径11r =，圆222:(5)49C x y +-=的圆心2(0,5)C ，半径27r =，设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，依题意，1217PC rPC r ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则2112||||610||PC PC C C -=<=，因此动圆的圆心P 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为6的双曲线下支，实半轴长3a =，半焦距5c =，虚半轴长4b ==，方程为221(0)916y x y -=<.故答案为：221(0)916y x y -=<15．【答案】(1)212y x =，22154x y -=；.【详解】（1）双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的渐近线方程为20x ay ±=，而双曲线E的渐近线方程为20x =，则a =，双曲线E 的方程为22154x y -=，双曲线E 的右焦点坐标为(3,0)，而抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p，于是32p=，解得6p =，所以抛物线C 的标准方程为212y x =.（2）直线l 的方程为21y x =+，由22112y x y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2660y y -+=，2646120∆=-⨯=>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,6y y y y +==，12||y y -==令直线l 与x 轴的交点为A ，1(,0)2A -，由（1）知(3,0)F ，所以FMN的面积12117||||2222FMN S AF y y =-=⨯⨯=.16．【答案】(1)0.07x =，175(2)33(3)1115【详解】（1）()0.020.060.040.0151x ++++⨯=，解得0.07x =，5000.075175⨯⨯=，估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为175.（2）设第61百分位数为y ，由()0.020.060.0750.750.61++⨯=>，()0.020.0650.40.61+⨯=<，则[)30,35y ∈，可得()()0.020.0650.07300.61y +⨯+⨯-=，解得33y =.（3）第1组、第2组和第4组的人数之比为0.02:0.06:0.041:3:2=，抽取的6人中第1组、第2组和第4组的人数分别为1,3,2，从这6名中抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率111111133212222666C C C C C C 11++C C C 15P ==.17．【答案】(1)π3A =；(2)334.【详解】（1）在ABC V 中，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===及sin cos (cos cos )R A A c B b C =+，得()()1sin cos cos cos 2cos sin cos sin cos 2a R A A c Bb C R C C B B C ==+=+()2cos sin 2cos sin cos R A B C R A A a A =+==，解得1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，a =由余弦定理得2222232cos a b c bc A b c bc bc ==+-=+-≥，当且仅当b c ==因此1333sin 244ABC S bc A ==≤ ，所以ABC V 面积的最大值为334.18．【答案】(1)证明见解析(2)13(3)存在，且13BM BP =【详解】（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以，AB PD ⊥，因为PD PA ⊥，PA AB A = ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以，PD ⊥平面PAB .（2）解：取AD 中点为O ，连接OC 、OP ，又因为PA PD =，则PO AD ⊥，则1AO PO ==，因为AC CD ==，则OC AD ⊥，则2CO =，在平面ABCD 内，因为OC AD ⊥，AB AD ⊥，则//OC AB ，因为AB ⊥平面PAD ，则OC ⊥平面PAD ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,0,1、()1,1,0B 、()0,1,0D -、()0,1,0A 、()2,0,0C ，则()0,1,1PA =- ，()0,1,1DP = ，()2,1,0DC = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则020n DP y z n DC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,2n =- ，设PA 与平面PCD 的夹角为θ，则sin cos ,3n PA n PA n PA θ⋅====⋅ ，则1cos 3θ==，所以，直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值为13.（3）解：设()()1,1,1,,BM BP λλλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()1,0,0,,1,,AM AB BM λλλλλλ=+=+-=+- ，因为//AM 平面PCD ，则122130AM n λλλλ⋅=+--=-= ，解得13λ=，因此，在棱PB 上存在点M ，使得//AM 平面PCD ，且13BM BP =.19．【答案】(1)22163x y +=(2)详见解析.【详解】（1）解：设伸缩比为λ，则曲线2E 的方程为2222243x y +=λλ.由221,(0)2243y x x x y ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2A ,由22221,(0)2243y x x x y λλ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,)2B λλ,因为||AB =224111(1)()225-+-=λλ，解之得12λ=，所以曲线2E 的方程为22163x y +=（2）证明：当直线MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN 方程为y kx m =+（k 为斜率），联立方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222(12)4260k x kmx m +++-=，直线MN 与椭圆交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，所以0∆>，即228(63)0k m -+>，由韦达定理可得，122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为(2,1)B 且BM BN ⊥，所以0BM BN ⋅= ，则1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，其中22121212()y y k x x km x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，所以221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=，于是可得22222264(1)()(2)()2501212m km k km k m m k k --++--+-+=++化简整理可得22483210k km m m ++--=，即(231)(21)0k m k m +++-=.所以2310k m ++=或210k m +-=，经检验两式均能使0∆>.当2310k m ++=时，直线MN 方程为3312y kx k =--，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由33121(2)1y kx ky x k =--⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得22338230x y x y +--+=，即22418()()339x y -+-=，此时存在定点41(,)33Q 使得|DQ |为定值3；当210k m +-=时，直线MN 方程为12y kx k =+-，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由121(2)1y kx ky x k =+-⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得224250x y x y +--+=，即22(2)(1)0x y -+-=，所以点(2,1)D 与点(2,1)B 重合，不符合题意，故舍去.当0k =时，可由2310k m ++=求得，13m =-，所以1(2,)3D -，可验证点1(2,)3D -在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值当直线MN 的斜率不存在时，不妨设直线MN 方程为x n =，由22260x nx y =⎧⎨+-=⎩可解得点(M n，(,N n ，由0BM BN ⋅= 可得：(2)(2)1)(1)0n n --+=，解之得23n =（2n =舍去），所以点2(,1)3D ，可验证点2(,1)3D 在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值3.综上所述，存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值.。
2024-2025学年高二上数学《等差数列》测试卷附答案解析
2025学年高二上数学《等差数列》测试卷（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）姓名：成绩:一．选择题（共8小题）1．已知数列2，5，22，11，⋯，则38是它的（）A．第9项B．第10项C．第13项D．第12项2．设数列{a n}的通项公式为a n＝n2﹣（k﹣5）n+1，若数列{a n}是单调递增数列，则实数k的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（8，+∞）D．（﹣∞，8）3．已知数列{a n}是等差数列，a2，a14是方程x2﹣14x+16＝0的两个实数根，则a8的值为（）A．7B．±7C．4D．±44．设等差数列{a n}满足a5+a8+a11＝﹣3a21，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项为（）A．S21B．S15C．S14D．S95．数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+2，若a k+a k+1+⋯+a k+9＝270，则k＝（）A．7B．8C．9D．106．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2﹣2a2＜0”是“nS n+1＞（n+1）S n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12＝（）A．144B．120C．108D．968．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＝3，设T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|，则T21＝（）A．245B．263C．281D．290二．多选题（共3小题）（多选）9．已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且=2r1r1，n∈N+，则下列结论正确的有（）A．数列{}是递增数列B．75=6120C．使为整数的正整数n的个数为0D．1⋅2⋅⋯⋅1⋅2⋅⋯⋅的最小值为32（多选）10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a15＞0，且a14+a17＜0，则（）第1页（共14页）。
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于A. 9B. 10C. 11D. 122、已知椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，∠F1AF2=45°；则椭圆的离心率e等于（）A.B.C.D.3、已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）A.B. 2C. 3D. 64、过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.5、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.B.C.D.6、已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•则•等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49、已知复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|=（）A. iB. 1C. -iD. -1评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、【题文】手表的表面在一平面上．整点1，2，，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作则＝____．11、【题文】一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为_________.12、【题文】已知的最小值为则正数____．13、设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为____14、在等差数列{a n}中，a1=45，a3=41，则前n项的和S n达到最大值时n的值是____．15、若z=(sinθ−35)+i(cosθ−45)是纯虚数，则tanθ的值为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)23、如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、综合题(共1题，共2分)24、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：由题可知，由等比数列通项公式知，若有成立，则有成立，即则有故考点：等比数列的通项公式【解析】【答案】C2、B【分析】由题意，F1（-c；0）；将x=c代入椭圆方程可得∴y=∵∠F1AF2=45°；∴∴∴e2+2e-1=0∵0＜e＜1∴e=故选B．【解析】【答案】将x=c代入椭圆方程可得可得y= 由∠F1AF2=45°，可得由此可求椭圆的离心率．3、C【分析】试题解析：不妨设则考点：本题考查椭圆的定义点评：解决本题的关键是应用椭圆第一定义【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】试题分析：结合已知作图则可知：|AF2|=a+c，|BF2|=∴k=tan∠BAF2=故可知化简得到故答案为C考点：本题主要考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】由得是线面垂直的判定定理，但时，平面的直线不可能都垂直于平面故本题选A．7、A【分析】解：“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立；可能为B或C=90°．因此“ ”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．【解析】【答案】 A8、C【分析】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b；c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：∴又BD=3；∴在△ABD中由余弦定理得：∴ m=∴．故选：C．可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到从而得到m= 这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c= 从而有m=然后进行数量积的计算便可求出的值．考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及向量夹角的概念．【解析】【答案】 C9、B【分析】解：z（1+i）=（1-i）；则∴|z|=1．故选：B．利用复数的运算法则；共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【答案】 B二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】【解析】试题分析：因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点与圆心组成等腰三角形底边平方为每对向量的夹角为30°，所以每对向量的数量积为所以=考点：平面向量的数量积运算；数列求和。
2024-2025学年上海华二附中高二上学期数学周测试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
江苏省南通市2024-2025学年高二上学期10月调研测试 数学含答案
2024-2025（上）十月份调研测试高二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过原点且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A.2y x =B.2y x =-C.12y x =D.12y x =-2.已知直线1:210l x ay +-=和直线2:(31)10l a x ay --+=，则“16a =”是“12l l ∥”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c -++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 4.已知空间向量()1,2,0,(0,1,1),(2,3,)a b c m ==-= ，若,,a b c共面，则实数m =（）A.1B.2C.3D.45.直线l 按向量(3,1)a =-平移后得直线l '，则直线l 与l '之间的距离的最大值为（）A.1B.3C.D.106.已知两点(1,3)A -，(2,1)B -，若沿y 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离是（）A.3B.5C.D.7.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，11π3A AB A AC ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.6B.6C.63D.38.已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ ，点(4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（）A.10B.10C.D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列结论正确的是（）A.点(1,2,3)A 关于原点O 的对称点的坐标为1,2)3(,---B.点(1,2,3)A 关于x 轴的对称点的坐标为(1,2,3)-C.点(1,2,3)A 关于xOz 平面对称的点的坐标为(1,2,3)-D.两点(1,2,3)A ，(3,2,1)B 间的距离为10.已知直线:20l x -=，则（）A.l 的倾斜角为π6B.l 与两坐标轴围成的三角形面积为233C.原点O 到l 的距离为1D.原点O 关于l 的对称点为(11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 满足1AP AC AD λμ=+，其中(0,1)λ∈，(0,1)μ∈，则（）A.1AP B D⊥B .平面11A BC ∥平面ACPC.当1λμ+=时，点P 的轨迹长度为1D.存在点P ，使得12DP =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线:20l y -+=与y 轴交于点A ，将l 绕点A 顺时针旋转15 得到直线m ，则直线m 的一般式方程为______.13.在空间直角坐标系中，()()()0000u x x v y y w z z -+-+-=表示经过点()000,,x y z ，且法向量为(),,u v w 的平面的方程，则点()1,1,3P 到平面()()()121220x y z --++-=的距离为______.14.已知点()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，直线()0y ax b a =+>将ABC V 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，已知点()1,1A -，()3,0C ，AB 边的中点在y 轴上，BC 边上的高所在直线方程为4370x y --=.（1）求线段AB 的中点坐标；（2）求ABC V 的面积.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =.（1）求点P 到平面1ABD 的距离；（2）求二面角1P AD B --的正弦值.17.在直角坐标平面xOy 中，已知直线:20l kx y k -++=交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，记AOB V 的面积为S .（1）求直线l 经过的定点P 的坐标；（2）证明：2S >；（3）是否存在直线l ，使得||||||OA OB AB ⋅=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1.（1）求证：1AC A C =；（2）求异面直线1AA 与BC 的距离；（3）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.19.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，12AA =，11C CB C CD ∠=∠，145C CA ︒∠=.（1）求证：四边形11BB D D 为矩形；（2）求平面ABCD 与平面1111D C B A 间的距离；（3）求二面角1B AA D --的正弦值.2024-2025（上）十月份调研测试高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】20x y -+=【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】()2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()0,1（2）5【16题答案】【答案】（1）2（2）34141【17题答案】【答案】（1）(1,2)-（2）证明见解析（3）存在，250x y -+=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1（3）1313【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2（3）3。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题一、单选题1．已知点((,A B ，若向量AB u u u r是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 2．方程2222x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞3．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=r r ，则b a -r r 的最小值为（ ）ABCD4．已知直线()1111111:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠与直线()2222222:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠，则直线12,l l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．1122BC B C = B ．1122A B A B -= C ．111222A B C A B C -=≠ D ．111222A B C A B C -== 5．在空间直角坐标系中，点()()()1,2,1,2,2,1,0,0,2A B C --，向量a r 是平面ABC 的法向量，则向量a r 的坐标可以是（ ）A ．()8,5,6B ．()8,6,5C ．()6,5,8D ．()5,8,6 6．已知平面上两点()()4,1,0,4,A B M 是直线310x y --=上一动点，则MA MB -的最大值为（ ）A ．52 BC．D ．57．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,3AB BC AA ===，点M 满足()11AM AB AC λλ=+-u u u u r u u u r u u u u r ，()λ∈R ，点N 满足()()11,AN AC AD μμμ=+-∈R u u u r u u u r u u u u r ，则向量MN u u u u r 模的最小值为（ ） ABCD8．平面内四个点()()()()12340,3,2,0,4,1,6,4M M M M 分布在直线:0l Ax By C ++=的两侧，且两侧的点到直线l 的距离之和相等，则直线l 过定点（ ）A ．()2,3B ．()3,2C ．()2,3--D ．()3,2--二、多选题9．记空间向量,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，向量,,a b c r r r 均为单位向量且两两夹角为60o .则下列命题中，正确的是（ ）A ．向量,,a b b c a c +++r r r r r r 不能作为空间向量的基底B ．向量a b c ++r r r 是平面ABC 的法向量C ．向量171362OD a b c =+-u u u r r r r ，则D 点在ABC V 内D ．向量c r 在向量a b +r r 10．已知直线:sin cos 1l x y αα-=，其中[)0,2πα∈.有以下命题正确的有（ ）A ．直线l 的倾斜角为αB ．若(),P x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥C．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与两坐标轴的截距之和的最小值为D ．集合{}PP l ∈∣，当α变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为π 11．在平面直角坐标系中，点A 关于直线y x =的对称点为A '，向量2||OA OA 'u u u r u u u r 对应的点叫做点A 的仿射点，在下列选项中，对点A 的仿射点的描述，正确的是（ ）A ．若点A 在圆221x y +=上，则点A 到仿射点的距离的最大值为2B ．点A 的仿射点的仿射点是AC ．若点A 的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆D ．若点A 的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线三、填空题12．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()()2,0,2,1,2,4A B ，则直线AB 与坐标平面Oxy 的交点坐标为.13．已知直线12:220,:220l x y l x y -+=--=，若直线1l 与2l 关于直线l 对称，则直线l 的方程为.14．已知棱长为2的正四面体ABCD ，动点P 是正四面体ABCD 内切球上一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于.四、解答题15．某保险公司在2023年度给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？(2)经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和 40,50 的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率. 16．已知ABC V 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=.(1)求顶点,B C 的坐标；(2)求过ABC V 三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径. 17．已知点()3,1M ，直线()1:2140l ax a y -++=，()a ∈R ，2:210l x y ++=，3:20l x y --=.(1)若这三条直线不能围成三角形，求实数a 的值；(2)点M 关于直线1l 的对称点为N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2ABC ABC BA AA ∠==o ，D 是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE AC ⊥.(1)证明：BD ∥平面1AEC ；(2)若点1C 到平面11ABB A①求直线BD 到平面1AEC 的距离；②求平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角.19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,CC AA 的中点，点P 是正方形ABCD 内一动点（包括正方形ABCD 边界）.(1)当1A PF ∠取得最大值时，求点P 在正方形ABCD 内轨迹的长度；(2)在（1）的条件下，求向量BP u u u r 在向量1BD u u u u r 上投影的取值范围；(3)当1A PE 取得最大值时，求线段AP 的长度.。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ） A.11 B.13 C.15 D.162.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ） A.1 B.3 C.4 D.53.若点P 到直线1x =−和它到点(1,0)的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A.2x y =B.2y x =C.24x y =D.24y x =4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,n n n n n a a a a a + = + 当为偶数当为奇数，则2024S =（ ） A.4720B.4722C.4723D.4725 5.已知函数()f x 是奇函数，函数)g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x ′>，()0g x ′>，则0x <时，以下说法正确的是（ ） A.()()0f x g x ′+>′ B.()()0f x g x ′−>′C.()()0f x g x ′′>D.()()0f x g x ′′> 6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ） A.43k ≥− B.1k ≤− C.1k ≤ D.43k ≤− 7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P ，Q ，R ，且23FFQ QFR RFP π∠∠∠===，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A.43B.43C.43D.43 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（ ） A.1y x=，21y x ′=− B.2x y =，2ln2x y ′= C.ln y x =，1y x ′= D.cos2y x =，sin2y x =−′10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ） A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为(3,1)，则AF AB+的最小值为3 B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =−相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅= D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关 11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ） A.1050a >B.20500a <C.10100a <D.20500a > 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知1n a +=11a =，则100a =__________.13.已知双曲线22221x y a b −=与直线1y x =−相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23−，则该双曲线的离心率为_____.14.已知函数()()()5ln 155x f x e a x a x =++−+−，若()0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()x f x xe =. （1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =−，122n n n S S S ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1n n n a −⋅的前n 项和n T . 17.已知双曲线22:13y C x −= （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P ，()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A ，B 两点，1PQ QA λ= ，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18.已知函数()()21ln f x mx x m R x =+−∈，()211x g x xe x x =−−−，其中()f x 在1x = （1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()()nx g x f x ≤−恒成立，求实数n 的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数()yf x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线()yf x =在点()()(),n n x f x n ∈N 处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =−的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x −的关系并证明()*n N ∈；（3()*11n i i x n N =<<+∈∑.。
高二上册数学试卷期末测试
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \)，则 \( f'(1) \) 的值为：A. 1B. 0C. -1D. -22. 在等差数列 \( \{a_n\} \) 中，若 \( a_1 = 3 \)，\( a_4 = 9 \)，则公差\( d \) 为：A. 2B. 3C. 4D. 63. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数 \( x \)，\( x^2 \geq 0 \)B. \( \sqrt{4} = \sqrt{-4} \)C. \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 \)D. \( \log_a a = 0 \)4. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x-2} \)，则 \( f(x) \) 的定义域为：A. \( x \neq 2 \)B. \( x > 2 \)C. \( x < 2 \)D. \( x \neq 0 \)5. 在直角坐标系中，点 \( P(2, 3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为：A. \( (2, 3) \)B. \( (3, 2) \)C. \( (4, 2) \)D. \( (2, 4) \)6. 若 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \cos \alpha > 0 \)，则 \( \tan \alpha \) 的值为：A. \( \frac{4}{3} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( -\frac{4}{3} \)D. \( -\frac{3}{4} \)7. 已知复数 \( z = a + bi \)（\( a, b \in \mathbb{R} \)），若 \( |z| = 1 \)，则 \( z \) 在复平面上的轨迹为：A. 圆B. 直线C. 点D. 双曲线8. 下列函数中，是偶函数的是：A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)D. \( f(x) = |x| \)9. 在三角形 \( ABC \) 中，若 \( \angle A = 90^\circ \)，\( \angle B =30^\circ \)，则 \( \sin C \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)10. 若 \( \log_2 x = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 若 \( a = 3 \)，\( b = 2 \)，则 \( a^2 - 2ab + b^2 \) 的值为 _______。
江西省上饶市新知学校2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题
江西省上饶市新知学校2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题一、单选题1．经过点()()1,1,1,A B m m --m 等于（）AB ．1C．52-D2．已知圆22:(1)4C x y -+=的圆心为点C ，直线:2l x my =+与圆C 交于M ，N 两点，点A 在圆C 上，且//CA MN ，若2AM AN ⋅=，则||MN = （）A ．1B ．2C．D．3．已知圆()2221x y -+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于,A B 两点，且1AB =，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC．13D．134．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PFQ △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）AB．1CD．1+5．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的中垂线经过2F .记椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2114e e +的取值范围是（）A ．()6,+∞B ．()7,+∞C ．()6,7D ．()5,+∞6．在三棱锥P ABC -中，G 为ABC V 的重心，()1,,,,0,12PD PA PE PB PF PC λμλμ===∈ ，若PG 交平面DEF 于点M ，且12PM PG =，则λμ+的最小值为（）A ．12B ．23C ．1D ．437．已知{},,a b c为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．2,2,a b a c b c---B ．2,,a c b c+ C ．2,,a b c a c b c+-+-D ．,,22a c b a b c--- 8．春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（）A ．240种B ．188种C ．144种D ．120种二、多选题9．已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）A ．若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B ．圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C ．直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点D ．点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为610．已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的,A B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A ．对于任意直线m ，均有AE PF⊥B ．不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC ．对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D ．存在直线m ，使2AF BF DF+=11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，111160,BAD A AB A AD A C ∠∠∠=== 与11B D 的交点为M ，设1,,AB a AD b AA c === ，则（）A ．1122AM a b c=++B ．1122AM a b c=+-C ．AM = D ．cos<,22AM AB >=三、填空题12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右作点分别为12,,F F O 为坐标原点，倾斜角为π6的直线l 过右焦点2F 且与双曲线的左支交于M 点，若()11220F M F F MF +⋅= ，则双曲线的离心率为．13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中：直线11A C 到平面1ACD 的距离为.14．若m的展开式中存在2x 项，则由满足条件的所有正整数m 从小到大排列构成的数列{}n a 的通项公式为．四、解答题15．已知直线1:260l x y -+=和2:10l x y -+=的交点为P ．(1)若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程：(2)若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的一般式方程．16．已知圆22:4x y Γ+=，点Q 在圆Γ上，过Q 作y 轴的垂线，垂足为Q '，动点P 满足23Q Q Q P ''=，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率存在且不过()0,2B 的直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，BM 与BN 的斜率之积为209.①证明：直线l 过定点；②求BMN 面积的最大值.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线右支（且不在坐标轴上），(1)若双曲线C 与椭圆2214x y +=有共同的焦点，且双曲线C 过点()2,1Q ，求该双曲线的标准方程；(2)若1b =，12π3F PF ∠=，求12F PF 的面积．18．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=⊥ 于点E ，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ；(2)求二面角1E A D B --的余弦值；(3)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BP ？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由.19．小张参加某项专业能力考试.该考试有A ，B ，C 三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答A ，B ，C 三类问题的概率分别为1p ，2p ，3p ，且每个问题的回答结果相互独立.(1)若小张按照A 在先，B 次之，C 最后的顺序回答问题，记X 为小张的累计答题数目，求X 的分布列；(2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；(3)设23101p p p <<<<，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.。
2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷附答案解析
2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.36.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b>> B.a b c>> C.a c b>> D.b c a >>7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BCB.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD所成角的大小．19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围天立教育2024-2025学年高二第一学期期中测试数学试卷（备选卷）本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.【答案】D 【解析】【详解】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确．2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断可得；【详解】解：将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度得到函数2sin(4y x π=+的图象，再将2sin(4y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，∴要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），故选：B ．3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若1a <-，且1b <-，根据不等式的加法和乘法法则可得2a b +<-，且1ab >，即必要性成立；当13,2=-=-a b ，满足2a b +<-，且1ab >，但是112b =->-，故充分性不成立，所以“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的必要不充分条件.故选：B4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定【答案】C 【解析】【分析】根据表格数据及频率直方图求1x 、2x ，若场外学生有a 人可得639.37ax a +=+且100a >，即可比较122x x x +的大小关系.【详解】由题设，110898910997x ++++++==，270.180.190.2100.69.3x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴129.152x x +=，若场外学生有a 人，则639.3 2.19.377a x a a +==-++，又100a >，∴9.15x >，即122x x x +>.故选：C5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】变换得到2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，确定函数为奇函数，得到130x x +=，20x =，计算得到答案.【详解】()2xf x x =-，()()=f x f x -，即22x x x x --=+，即2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，函数定义域为R ，()()222x x g x x g x -+==---，函数()g x 为奇函数，()00g =，不妨取123x x x <<，则130x x +=，20x =，()()12301f x x x f ++==.故选：B.6.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b >>B.a b c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】设扇形OBC 的面积为1S ，由三角函数线结合1OBC OBD S S S << 得到答案.【详解】画出π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的三角函数线，如下：则sin AC θ= ，tan BD θ=， BCθ=，设扇形OBC 的面积为1S ，则112S θ=，1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅= ，又1OBC OBD S S S << ，故111sin tan 222θθθ<<，所以sin tan <<θθθ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π0.60,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0.60.6tan 0.6<<.所以c a b >>.故选：A7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅ 【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CA CE AB DE ==.故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12【答案】C 【解析】【分析】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，则可得梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，设正方体的棱长为2，先求出1V ，从而可求出2V ，进而可求出12V V的值【详解】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，因为M 为棱1BB 的中点，所以MN ∥1B C ，112MN B C =，因为11A B ∥CD ,11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1B C ∥1A D ，11B C A D =，所以MN ∥1A D ，112MN A D =，所以梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为111111,222222BMN AA D S S =⨯⨯==⨯⨯= ，所以111(3BMN AA D S V S AB =++⋅ 117212323⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭,所以217178833V V =-=-=，所以12717V V =，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b <B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质，结合特值法对每个选项逐一分析即可.【详解】A ：不妨取1,1a b ==-，满足a b >，但1111a b =>=-，故错误；B ：因为()()22a b a b a b -=+-，由0a b <<，故可得220a b ->，即22a b >，故正确；C ：因为22ac bc >，不等式两边同除以不为零的常数2c ，即可得a b >，故正确；D ：不妨取1,4a b =-=-，满足4ab =，但54a b +=-<，故错误.综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件【答案】ACD【解析】【分析】运用互斥事件、对立事件的定义可判断B 项、D 项，运用概率的加法公式及相互独立事件的概率公式计算可判断A 项、C 项.【详解】对于A ，若取出的两件都是次品，其概率()()10.810.90.20.10.02P =-⨯-=⨯=，故A 项正确；对于B ，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B 项错误；对于C ，恰有一件正品，其概率()()0.810.910.80.90.080.180.26P =⨯-+-⨯=+=，故C 项正确；对于D ，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D 项正确；故选：ACD .11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BC B.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o【答案】ABC【解析】【分析】取1A D 的中点为M ，则可证明//CM 平面11A BC ，又可证明1AD ⊥平面1A DC ，从而可判断B 的正误，通过计算可判断CD 的正误.【详解】连接1AD ，取1AD 与1A D 的交点为M ，连接11,B C BC ，它们的交点为N ，连接1111,,A N A C A B .由正方体1111ABCD A B C D -可得1111//,=,A B CD A B CD 故四边形11A B CD 为平行四边形，故11//A D B C ，11=A D B C .由正方形11A D DC 为正方形可得M 为1A D 的中点，同理N 为1B C 的中点，故11//,=,A M NC A M NC 所以四边形1A NCM 为平行四边形，故1//A N CM ，因为CM ⊄平面11A C B ，1A N ⊂平面11A C B ，故//CM 平面11A C B ，故A 正确.由正方体1111ABCD A B C D -可得11A B ⊥平面11A ADD ，而1AD ⊂平面11A ADD ，故111A B AD ⊥，由正方形11A D DA 可得11A D AD ⊥，而1111A B A D A = ，故1AD ⊥平面11A B CD ，无论M 在1A D 何处，总有CM ⊂平面11A B CD ，故1AD CM ⊥，故B 成立.当M 变化时，B 到平面1MDC 的距离为定值，当M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积最大，此时113111141411323B C MD C BDC V V --=-⨯=-⨯⨯⨯⨯=，故C 正确.设正方体的棱长为1，因为11//AB C D ，故异面直线1C M 与AB 所成的角即为11MC D ∠或其补角，在直角三角形11D C M中，112D M ≤≤,，故11111tan ,12D M MC D D C ⎤∠=∈⎥⎣⎦，故不存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o.故选：ABC.【点睛】思路点睛：对于与立体几何中的动点的恒成立线线关系问题，一般可转化为线面关系的判定问题，而与动点相关的最值或范围问题，则通过极端位置对应的值来讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．【答案】14+【解析】【分析】根据题意分别计算圆锥和圆柱的表面积，然后计算比值即可.【详解】由图得：圆锥的表面积是由底面和侧面构成，则221(1S R R R πππ=+⨯⨯=+，圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成，则222224S R R R R πππ=+⨯=,所以圆锥的表面积和圆柱的表面积之比:(212211244R S S R ππ++==,故答案为：14+.【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】利用基本不等式的变形22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可直接求得224x y +的最小值；根据a b +≥可求得24x y +的最小值.【详解】22242122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时取等号），224x y ∴+的最小值为2；20x > ，40y >，224224x y x y ∴+=+≥（当且仅当222x y =，即2x y =时取等号），24x y ∴+的最小值为4.故答案为：2；4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可得答案；【详解】当0a >时，对称轴10x a=-<，原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≤⎧⎨=+≥⎩，得3a ≥；当0a <时，由于()0210f a =-+>，要使原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≥⎧⎨=+≤⎩得1a ≤-；当0a =时，()21f x x =+在[1，3]上没有零点.综上所述：a 的取值范围是][,(),13∞-⋃+∞-.故答案为：][,(),13∞-⋃+∞-.【点睛】本题考查根据二次函数零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.【答案】（1）54；（2）325．【解析】【分析】（1）利用对数换底公式及对数性质计算得解.（2）利用指数运算及指数与对数互化关系计算即得.【小问1详解】32248393223log 2log 3log 3(log 3log 3)(log 2log 2)()(log 2)log 4log 8log 9++=++322323log 2log 3log 3535()(log 2)log 3log 2232624=++=⋅⋅=.【小问2详解】31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）263.【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和EF ，CF 的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面EFC 的法向量和CG 的坐标，以及CG在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【小问1详解】建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如下所示：则()()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0,2,2,1E F C G ，()()1,1,1,1,1,0,EF CF =-=- ()()1111100EF CF ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ，则EF CF ⊥ ，故EF CF ⊥.【小问2详解】因为()0,2,1CE =- ，设平面CEF 的法向量为n (,,)x y z =，则有,,n CE n CF ⊥⊥ 故00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,2x z ==，即()1,1,2n = ，又()2,0,1CG = ，所以点G 到平面CEF的距离3CG n d n ⋅= .17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？【答案】（1）开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）不能.【解析】【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；（2）分段求解不等式()56f x ≥即可得解.【小问1详解】由题意可知，当010x <≤时，()()20.11360.9f x x =--+，所以当10x =时，的最大值为60，因为当1015x <≤时，()60f x =，当1525x <≤时，()()1560f x f <=，当2540x <≤时，()30f x =.所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟.【小问2详解】当010x <≤时，()20.1 2.64456f x x x =-++≥，解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求，当1525x <≤时，310556x -+≥，解得115163x <≤，故111661033-=分钟12<分钟，老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6π.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证出BD ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质定理得BD PO ⊥，在PBD △中再证明=PB PD ；（2）先证明,,AB AP AD 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，再求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，最后确定角.【详解】（1）连接,AC BD ，,AC BD 交于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ,故BD PO ⊥.又BO DO =,故=PB PD .（2）设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ //CD ，12EQ CD =,所以AFEQ 为平行四边形，EF //AQ ，因为⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==.由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A= 所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD由题意,,,AB AP AD 两两垂直，,以A 为坐标原点,向量,,AB AD AP的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0),(0,),(0,(0,0,22A B Q D P(0,,),22AQ PB == AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2PB AQ PB AQθ⋅==⋅ 所以直线PB 与平面PCD 所成角为6π.19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m =++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(,4-∞--【解析】【分析】（1）根据题意得到()2()ln 22g x x =-+，然后结合函数的单调性解不等式即可；（2）先令11t m m =++，再根据0m >，得到3t ≥，再将21(2)21a x a x m m-++=++有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数a 的取值范围.【小问1详解】根据题意，当2a =-时()222f x x =-+，所以()2()ln ()ln 22g x f x x ==-+.令2220x -+>，解得11x -<<，所以()2()ln 22g x x =-+的定义域为−1,1，因为()222f x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，函数ln y x =为增函数，根据复合函数的单调性可知()2()ln 22g x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，因为()(21)g x g x <-，所以0211x x ≤-<<，解得113x <<，所以不等式()(21)g x g x <-的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】令11t m m=++，因为0m >，所以1113t m m =++≥=，当且仅当1m =时等号成立.因为1(||)1f x m m =++，所以2(2)2a x a x t -++=，即2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根，令()2(2)2h x a x a x t =-++-，可知ℎ为偶函数，图象关于y 轴对称，所以2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，所以1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即()()224202020a a t a a t a⎧⎪+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，由2020a a t a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩可得2a <-，因为()()22420a a t +-->，即存在[)3,t ∞∈+，使不等式()24280at a a ++->成立，故()243280a a a ⨯++->，即2840a a ++>，解得4a <--4a >-+，故实数a的取值范围为(,4∞---。
北京市十四中2024-2025高二上期中数学试卷及答案
2CN NA=.记AB a=，AD b=，1cAA=,则NM等于A）223312a b c---（B）233122a b c++（C）223312a b c--+（D）212a b c+-6．已知圆221x y+=与圆()()22425x y b++-=相切，则b=（A）（B）-（C）±（D）±或07.“1a=-”是“直线20ax y+-=与直线30x ay++=平行”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8.在正四面体P ABC-中，棱长为1，D为棱AB的中点，则PC PD⋅的值为（A）14-（B）14（C）12-（D）129.圆22:4C x y+=，直线:l y kx m=+，当k变化时，直线l截圆C弦长的最小值为2，则m=（A）2±（B）（C）（D）3±10．材料一:已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为S=其中2a b cp++=，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；材料二:阿波罗尼奥斯()Apollonius在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:把平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:在ABC∆中，4BC=，8AB AC+=，则ABC∆面积的最大值为（A）（B）3（C）（D）6第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分．11.两条平行直线1:210l x y-+=与2:4270l x y-+=之间的距离为．12.过点()0,2A-的直线与圆22410x y x+--=相切，切点为B，则=AB．13.已知()1,2,2a=-，1b=，则2a b-的最大值为．14.如图，已知1111ABCD A B C D-是正方体，,E F分别是棱AB，1CC的中点，则直线EF与1BD所成角的余弦值为．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个结论中：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变; ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变; ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变; ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题15分）己知ABC ∆的顶点为(1,2)A 、(3,)B 4、(5,)C 0. （Ⅰ）求AB 边所在直线的方程；（Ⅱ）求AB 边上的高线所在直线的方程； （Ⅲ）求ABC ∆的面积．17.（本小题15分）如图所示，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1AB DE ==，2AD PA ==，点F 在棱PA 上．（Ⅰ）求证：BF ∥平面CDE ； （Ⅱ）求二面角C PE A --的余弦值； （Ⅲ）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长．18.（本小题15分）已知椭圆G,长轴端点分别为(6,0),(6,0)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）12,F F 为椭圆G 的焦点，P 为椭圆G 上一点，且122F PF π∠=.求P 点的坐标；（Ⅲ）Q 为椭圆G 上任意一点（不与A 、B 重合），设直线QA 的斜率为1k ，直线QB 的斜率为2k ，判断12k k ⋅是否为常数，并说明理由.19.（本小题14分）如图所示，在三棱锥S ABC -中，SA SC ⊥，2SA SC ==，AC BC ⊥，AC BC =，SB =（Ⅰ）求证：SAC ABC ⊥平面平面；（Ⅱ）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值．20.（本小题14分）已知圆22:120C x y Dx Ey +++-=关于直线20x y +-=对称，且圆心C 在x 轴上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若动点M 在直线10x =上，过点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值； ②求证：直线AB 恒过定点．21.（本小题12分）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy 平面上，我们把与定点()1,0F a -，()()2,00F a a >距离之积等于2a 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，1F ，2F 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线()()22222:9E x y x y +=-是一条伯努利双纽线.（Ⅰ）求曲线E 的焦点1F ，2F 的坐标；（Ⅱ）试判断曲线E 上是否存在两个不同的点A ，B （异于坐标原点O ），使得以AB 为直径的圆过坐标原点O .如果存在，求出A ，B 坐标；如果不存在，请说明理由.北京十四中2024—2025学年度第一学期 期中检测高二数学 测试卷参考答案 2024.11一、选择题共10小题，每小题4分．CBADB, DADCC 二、填空题共5小题，每小题5分．25；3；①③④ 三、解答题共6小题，共85分． 16.（本小题15分） （Ⅰ）42131AB k -==-，AB 边所在直线的方程为21y x -=-，即10x y -+=. ............... 5分 （Ⅱ）因为1ABk =，所以AB 边上的高线11ABk k =-=-，AB 边上的高线所在直线的方程为0(5)y x -=--，即50x y +-=. .................10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知：直线AB 的方程为10x y -+=.点(5,)C 0到直线AB的距离为d ==，AB ==所以ABC ∆的面积为11622s AB d =⋅⋅=⋅= ...................15分17.（本小题15分）（Ⅰ）利用平面BAP ∥平面CDE ，可得BF ∥平面CDE ............. 5分 （Ⅱ）建系，写出各点坐标，平面PEA 的一个法向量为()1,0,0m =求得平面PCE 的一个法向量为()2,1,2n = 设二面角C PE A --的大小为θ， 则22cos cos ,33m n m n m nθ⋅==== 由图可知二面角C PE A --为锐二面角，即二面角C PE A --的余弦值是23........10分（Ⅲ）设线段AF 的长为t ，则()0,0,F t ，且[]0,2t ∈又()1,2,CF t =--，平面PCE 的一个法向量为()2,1,2n =依题意24133CF nt n⋅-==，解得32t =或52t =（舍） 即线段AF 的长为32...................15分 18.（本小题15分）.（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x ya b a b +=>>，依题意：22236a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得223616a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即椭圆的标准方程为2213616x y += ................... 5分（Ⅱ）联立22222049144x y xy ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即：P ⎛ ⎝ ⎭ ...................10分 （Ⅲ）1249k k ⋅=-. 设()00,Q x y ，且220049144x y +=，则0106y k x =+，0206y k x =- 所以()2200122200114444936369x y k k x x -⋅===---...................15分 19.（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为SA SC ⊥，2SA SC==所以AC BC ==，那么在SBC ∆中，2,SC BC SB ===即222SC BC SB += 所以BC SC ⊥又BC AC ⊥，且SCAC C =， 所以BC ⊥平面SAC又BC ⊂平面ABC ，所以平面SAC ⊥平面ABC ...................6分（Ⅱ）取AC 中点E ，连接SE ，由于SA SC =，则SE AC ⊥.又平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC平面ABC AC =，SE ⊂平面SAC ,所以：SE ⊥平面ABC .以C 为原点，CA ，CB ，ES 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， E则(0,0,0)C，A，B，S ，因为15DS BS =，所以4455CD CB BD CB BS +=+==+-555⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭求得平面SAB 的一个法向量为(1,1,1)n =， 设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ，||22sin |cos ,|9||||62CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯， 所以直线CD 与平面SAB ...................14分 20.（本小题14分）（Ⅰ）依题意圆心坐标为()2,0，即：4,0D E =-=,所以圆的方程为：224120x y x +--= (4)分 （Ⅱ）①由（Ⅰ）知，圆心()2,0C ，半径4r =，如图所示，MA MB =1222ACMMACB S Sr MA ==⨯⨯⨯=四边形∴当MC 最小时，四边形的面积最小，∴当点M 在x 轴上时min 8MC =，此时S 的最小值为= ②设点()10M m ，，依题意可知点A 、B 在以CM 为直径的圆上，该圆的圆心为62m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以该圆方程为：22228(6)()24m m x y +-+-=，即2212200x x y my -+-+=，而AB 是圆C 与以MC 为直径的圆的公共弦，即直线AB 的方程为两圆公共弦方程， 两圆方程联立消去二次项，得到8320x my +-=，令0y =时，4x =，即无论m 取何值直线8320x my +-=恒过点()40，． ...................14分 21.（本小题12分） （Ⅰ）方法一：设焦点()1,0F a -，()()2,00F a a >，注意到()3,0P 在曲线()()22222:9E x y xy +=-上，那么根据定义得：2212339PF PF a a a a =+-=-=，解得：a =， 因此1F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎫⎪⎪⎝⎭方法二：设焦点()1,0F a -，()()2,00F a a >，由题意知()()22224x a y x a y a ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦， 即()()222222422x a y ax x a y ax a ⎡⎤⎡⎤+++++-=⎣⎦⎣⎦，进一步整理得()()2222222x y a x y +=-，于是229a=，a =. 因此，12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭...................6分 （Ⅱ）假设曲线E 上存在两点A ，B （异于坐标原点O ），使得以AB 为直径的圆过坐标原点O ，即OA OB ⊥， 由于曲线E 与坐标轴交于三点()3,0-，()3,0，()0,0，即直线OA ，OB 斜率均存在，不妨设直线OA 的方程为1y k x =，直线OB 的方程为2y k x =， 将直线OA 的方程与曲线E 联立，得()()2242211191kx x k +=-，即()()2122219101k x k -=>+.解得111k -<<，同理211k -<<， 因此121k k =-不可能成立，于是假设不成立，即曲线E 上不存在两点A ，B ，使得以AB 为直径的圆过坐标原点O. ...................12分。
南京市2024—2025学年度第一学期期中学情调研测试高二数学试卷
南京市2024—2025学年度第一学期期中学情调研测试高二数学 2024.11注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．下列四组数据中，方差最小的是A ．5，5，5，5，5，5，5，5B ．4，4，4，5，5，5，6，6C ．3，3，4，4，5，6，6，7D ．2，2，2，2，2，5，8，8 2．已知z ·i ＝1＋3i ，则z ＝A ． －3＋iB ．－3－iC ．3＋iD ．3－i 3. 直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为A ．22B ． 2C ． 3D ． 5 5．若方程x 27－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A ．(－∞，1) B ．(1，4) C ．(4，7) D ．(7，＋∞)6．底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π7．已知点O (0，0)，A (3，0)，若圆x 2＋y 2＋tx －3＝0上任意一点P 都满足|PA|＝2|PO|， 则实数t ＝A ．－3B ．－2C ．2D ．38．抛物线C ：x 2＝4y 的准线为l ，M 为C 上的动点，则点M 到l 与到直线2x －y －5＝0的距离之和的最小值为A ． 355B ． 455C ． 5D ． 655二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A ，“第二枚硬币反面朝上”为事件B ，则A ．P (A )＝12B ．P (AB )＝13C ．A 和B 是互斥事件D ．A 和B 是相互独立事件10．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．若→BE ＝14→BC ，→CF ＝－32→CD ，则 A ．AC ∥BFB ．AE ⊥BDC ．以CE 为直径的圆与直线BF 相切D ．直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上11．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线y ＝mx 与C 交于A ，B 两点，点P 为C 上异于A ，B 的动点，则A ．当 m ＝12时，|AB |＝15 B ．|→PA ＋→PB |≥2 3 C ．存在点P ，使得∠APB ＝π2D ．S △ABP ≤2 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．若直线l 1：x ＋2my ＋1＝0与l 2：(m －1)x ＋y －3＝0垂直，则实数m ＝▲________．13．已知cos(x ＋π4)＝35，x ∈(0，π2)，则sin x ＝▲________． 14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点F 2发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线经过左焦点F 1．已知图（2）中，双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，直线l 平分∠F 1PF 2，过点F 2作l 的垂线，垂足为H ，且|OH|＝2．则当反射光线n 经过点M (8，5)时，|F 2P |＋|PM |＝▲________．xy O F 1 F 2 P m n （1）x y O F 1 F 2 M P m n H （2） l （第14题图）四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C＋c cos A＝2b cos A．（1）求A；（2）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．16．已知点A(4，2)在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，直线l经过点A，且在y轴上的截距为－2．（1）求p的值和直线l的方程；（2）记l与C的另一个交点为B，求经过O，A，B三点的圆的方程．17．在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点．（1）证明：PB∥平面AMN；（2）若PC⊥平面ABC，PC＝2，AC＝3，四面体PABC的体积为2，且cos∠ACB＝55，求MN与平面PAC所成角的正弦值．PABC NM（第17题图）18．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆D ：(x －2)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)，过点P (0，1)作圆D 的切线，切线的长为2．(1)求圆D 的方程；(2)直线l 经过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝6，①求l 的方程和→CA ·→CB 的值；②若动圆E 与圆C 外切，且与圆D 内切，求动圆圆心E 到点P 距离的最小值．19．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，|AB |＝3，离心率为22． （1）求E 的方程；（2）直线l 平行于直线AB ，且与E 交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于 13|MN |2，求l 的方程； ②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．。
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高二数学检测卷
一、选择题
1. 在等差数列{a n }中，a 4=5，a 9=17，则a 14=（ ）.
A. 11
B. 22
C. 29
D. 12
2. 在数列{a n }中，a 1=1，a 2=23，且1a n−1 + 1a n+1= 2a 2（n ∈N ∗，n ≥2），则a 6等于（ ）. A. 17 B. 27 C. 72 D. 7
3.已知等差数列a 1，a 2，a 3，···，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，···，ca n （c 为常数，且c ≠0）是（ ）.
A. 公差为d 的等差数列
B. 公差为cd 的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
4. 在等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2+a 5=4，a n =33，则n=（ ）.
A. 48
B. 49
C. 50
D. 51
5.已知某等差数列的相邻四项分别为a+1，a+3，b ，a+b ，那么a ，b 的值依次为（ ）.
A. 2,7
B. 1,6
C. 0,5
D. 无法确定
6.已知{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9=（ ）.
A.24
B. 27
C.30
D. 33
7.《九章算术》是中国古代的数学著作，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需（ ）日相逢.
A.9
B. 8
C.16
D. 12
8. 在等差数列{a n }中，若a 7=4，a 19=2a 9，则数列{a n }的通项公式为（ ）.
A. a n = n+12
B. a n =n +1
C. a n = n 2+1
D. 无法确定
9.若等差数列{a n }满足递推关系a n+1=−a n +n ，则a 5=（ ）.
A. 92
B. 94
C. 114
D. 134
10. 等差数列{a n }中，已知a 1=−6，a n =0，公差d ∈N ∗，则n （n ≥3）的最大值为（ ）.
A.5
B. 6
C.7
D. 8
11. 已知数列{a n }是等差数列，若a 1−a 9+a 17=7，则a 3+a 15=（ ）.
A.7
B. 14
C.21
D. 7（n-1）
12.已知等差数列{a n }的首项a 1= 125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ）.
A.d ＞875
B. d ＜325
C. 875＜d ＜325
D. 875＜d ≤325
二、填空题
13. 在等差数列{a n }中，已知a m+n =A ，a m−n =B ，m ，n ∈N ∗，且m ＞n ，则a m = .
14. 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= .
15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n
a n +2（n ∈N ∗），则27是这个数列的第 项. 16.已知对于任意的正整数n ，a n =n 2+λn .若数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是 .
三、解答题
17. 在等差数列{a n }中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6＞0，a 7＜0.
（1）求公差d 的值；
（2）求通项a n .
18.若一个等差数列前三项和为34，后三项和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数.
19.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n 2+n +1，求数列{a n }的通项公式.
20. 已知数列{a n}中，a1=3
5，a n=2−1
a n−1
（n≥2，n∈N∗），数列{b n}满足b n=1
a n−1
（n∈
N∗）.
（1）求证：数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}中的最大项和最小项.
22.设f(x)=log2x−log x4（0＜x＜1），又知数列{a n}的通项满足f(2a n)=2n. （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）试判断数列{a n}的增减性.。