人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法

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人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法

课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ，由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )，所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋，当且仅当a ＝2时，等号成立．所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋，即f (a )＋f (c )＞45.。

高二数学人教A版选修4-5课件：2.3反证法与放缩法

答 1.相矛盾的结论假设不正确反证法案 2.证明的目的放缩法
探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
1.反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．
1.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称为________．
2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到 ________ ，我们把这种方法称为 ________.
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法

证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��) > 12.
�� 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ��+1
+
��+1 2+…+21��<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
��+1
+
��+1 2+…+21��的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的范围.
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.

人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲三反证法与放缩法

1 1 1 3．求证：＋ ≤1＋ . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
1＋|b|＋1＋|a| 1 1 证明：∵ ＋＝ 1＋|a| 1＋|b| （1＋|a|）（1＋|b|） 1＋|a|＋|b|＋1 1＋|a|＋|b|＋1 ＝ ≤ 1＋|a|＋|b|＋|ab| 1＋|a|＋|b| 1 1 ＝1＋ ≤1＋ . 1＋|a|＋|b| 1＋|a＋b|
2n－1 1 3 5 3．求证：＋＋＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2n－1 1 3 5 证明：设 S＝＋＋＋…＋ n ， 2 4 8 2 1 将等式两边乘以得 2 2n－1 1 1 3 5 S＝＋＋＋…＋ n＋1 . 2 4 8 16 2
将两式相减得 2n＋3 1 2n－1 1 1 1 1 1 1 S＝＋24＋8＋16＋…＋2n－ n＋1 ＝＋1－ n＋1 . 2 2 2 2 2 2n＋3 2n＋3 ∴S＝3－ n ，又 n >0， 2 2 2n－1 1 3 5 ∴S<3，即＋＋＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2 2 n ＋ 1 （ n ＋ 1 ） 1 3 5 < ＋＋＋… ＋＝ 2 2 2 2 2
n ∴
n＋1 （n＋1）2 <Sn< . 2 2
反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
1 1 1 2．求证：1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2 (n∈N+)． 2 3 n
立．
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证：与中至少有 x y 一个小于 2.

人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法学案

三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a ， b ， c 不成等差数列．证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾．故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列．知识点二放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________．解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ，两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。

数学·高二选修4-5(人教a版)练习：第二讲2.3反证法与放缩法word版含解析

第二讲证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是()A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b，且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.答案：D2．实数a，b，c不全为0的等价命题为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a ＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.答案：B二、填空题6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜12，那么它的假设应该是________．答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥127．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜18．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要三、解答题9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋yx≥2，则⎩⎨⎧1＋x ≥2y ，①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.10．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．B 级能力提升1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2＋2 2 B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2＋2 2 解析：1＋a ＋b ≤ab ≤（a ＋b ）24，所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，解得a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋22，故选A. 答案：A2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋zt 的最小值为________．解析：因为x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z100，所以x y ＋z t ≥1z ＋z100≥21z ·z 100＝15，当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时，等号成立．答案：153．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，所以原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，所以原不等式成立． ③当n ≥3时，因为n 2>(n －1)·(n ＋1)，所以1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74. 所以当n ≥3时，所以原不等式成立．综上所述，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

人教版数学高二A版选修4-5自主训练2.3反证法与放缩法

自主广场1.设M=1212211************-++++++ ,则（） A.M=1 B.M<1C.M>1D.M 与1大小关系不定思路解析:分母全换成210.答案:B2.设a,b,c ∈R +,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的 …（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的；当PQR>0时,若P,Q,R 不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:C3.已知a,b ∈R +,下列各式中成立的是（）A.cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb<lg(a+b)B.cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb>lg(a+b)C.θθ22sin cos b an =a+b D.θθ22sin cos b a n •>a+b思路解析:cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb<cos 2θ·lg(a +b)+sin 2θ.lg(a+b)=lg(a+b).答案:A 4.A=1+n 13121+++ 与n (n ∈N +)的大小关系是____________.思路解析:A=n n n n n n n n ==+++≥++++项1111312111. 答案:A≥n5.lg9·lg11与1的大小关系是___________.思路解析:因为lg9>0,lg11>0. 所以2100lg 299lg 211lg 9lg 11lg 9lg <=+<•=1. 所以lg9·lg11<1.答案:lg9·lg11<16.设x>0,y>0,A=y x y x +++1,B=yy x x +++11,则A,B 的大小关系是_________. 思路解析:A=yy x x y x y y x x +++<+++++1111=B.答案:A<B 7.求证:11+n (1+31+…+121-n )>n 1(21+41+…+n 21)(n≥2). 证明:∵21=21,31>41,6151>,…,nn 21121>-, 又21>nn 214121+++ ,将上述各式的两边分别相加,得 1+31+51+…+121-n >(21+41+…+n 21)·nn 1+. ∴11+n (1+31+…+121-n )>n 1(21+41+…+n 21). 8.已知a,b,c,d ∈R ,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d 都是非负数.因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立,即a,b,c,d 中至少有一个为负数.9.已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2, 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 我综合我发展10.已知函数f(x)满足下列条件: (1)f(21)=1;(2)f(xy)=f(x)+f(y);(3)值域为［-1,1］.试证:41不在f(x)的定义域内. 思路解析:假设41在f(x)的定义域内,则f(41)有意义,且f(41)∈［-1,1］. 又由题设,得f(41)=f(21·21)=f(21)+f(21)=2［-1,1］,此与f(41)∈［-1,1］矛盾,故假设不成立.所以41不在f(x)的定义域内. 11.已知a,b,c ∈R +,且a+b>c,求证:c c b b a a +>+++111. 证明:构造函数f(x)=xx +1(x ∈R +), 任取x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=)1)(1(1121212211x x x x x x x x ++-=+-+<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a+b>c,∴f(a+b)>f(c). 即c c b a b a +>+++11. 又b a ba b a b b a a b b a a +++=+++++>+++11111, ∴c c b b a a +>+++111. 12.设a,b ∈R ,0≤x,y≤1,求证:对于任意实数a,b 必存在满足条件的x,y 使|xy-ax-by|≥31成立. 证明:假设对一切0≤x,y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<31. 令x=0,y=1,得|b|<31;令x=1,y=0,得|a|<31;令x=y=1,得|1-a-b|<31; 又|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1-31-31=31矛盾. 故假设不成立,原命题结论正确.13.设S n =n n 2sin 23sin 22sin 21sin 32++++ (n ∈N +),求证:对于正整数m,n 且m>n,都有|S m -S n |<n21. 证明:|S m -S n |=|mn n m n n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++++ | ≤|12)1sin(++n n |+|22)2sin(++n n |+…+|m m 2sin |. ∵|sin(n+1)|≤1,|sin(n+2)|≤1,…,|sinm|≤1,∴上式≤|121+n |+|221+n |+…+|m 21| =121+n +221+n +…+m 21 =n n m n 21211])21(1[211=---+［1-(21)m-n ］<n 21. ∴原不等式成立.14.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.证明:已知:在△ABC 中,∠CAB>90°,D 是BC 的中点,求证:AD<21BC(如下图所示).假设AD≥21BC. (1)若AD=21BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么,这条边所对的角为直角，”知∠A=90°,与题设矛盾.所以AD≠21BC. (2)若AD>21BC,因为BD=DC=21BC,所以在△ABD 中,AD>BD,从而∠B>∠BAD,同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠A.因为∠B+∠C=180°-∠A,所以180°-∠A>∠A,则∠A<90°,这与题设矛盾.由(1)(2)知AD>21BC. 15.已知f(x)=1+x x (x≠-1). (1)求f(x)的单调区间;(2)若a>b>0,c=bb a )(12-. 求证:f(a)+f(c)>54. (1)解:f(x)=x x +1=11+x , 所以f(x)在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)上分别为增函数.(2)证明:首先证明对于任意的x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y). f(x)+f(y)=1111+++++>++++++=+++y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x =f(xy+x+y). 而xy+x+y>x+y,由(1),知f(xy+x+y)>f(x+y).所以f(x)+f(y)>f(x+y).因为c=a a b b a b b a 442)2(12)(1222==+-≥->0, 所以a+c≥a+aa a 424•≥=4. 所以f(a)+f(c)>f(a+c)≥f(4)=54144=+. 即f(a)+f(c)>54.。

人教版数学高二A版选修4-5练习 2.3反证法与放缩法

2.3 反证法与放缩法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3bC.3a ＝3b 且3a ＜3bD.3a ＝3b 或3a ＜3b3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( )A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M >ND.M <N5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，求c 的最大值．10．已知n ∈N ＋，求证：(1)2n n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.参考答案1．【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C2.【解析】应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a ＜3b . 【答案】 D3.【解析】对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】 C4.【解析】依题意易知1－a,1－b,1－c ∈R ＋≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1)a -≥(1－b )(1－c )，即M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故选A.【答案】 A5.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 6. 【解析】略【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7.【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜18.【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】 M ＜19.【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”，由2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c ，得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c ＝2a＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.10.【证明】 k <(1)k k +<(1)2k k ++＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )．若记S n ＝1×2＋2×3＋… S n >1＋2＋…＋n ＝(1)2n n ++，S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<2(1)2n +.。

人教版高中数学选修4-5习题：第二讲2.3反证法与放缩法

第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法A 级基础稳固一、选择题331．用反证法证明命题“假如a＞ b，那么a＞b”时，假定的内容是()3333A. a＝bB. a＜b33333333C.a＝b，且a＜bD. a ＝ba＜b或333333分析：应假定a≤b，即a＝ba＜ b.或答案： D2．实数a， b， c 不全为0 的等价命题为()A． a， b， c 均不为 0B． a， b， c 中至多有一个为0C． a， b， c 中起码有一个为0D． a， b， c 中起码有一个不为0答案： D3．对“a， b， c 是不全相等的正数”，给出以下判断：①(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≠ 0；②a＞b 与 a＜ b 及 a≠c 中起码有一个建立；③ a≠c， b≠ c， a≠ b 不可以同时建立．此中判断正确的命题个数是()A． 0B． 1C． 2D． 3分析：关于①，若(a－ b)2＋ (b－c) 2＋ (c－ a)2＝ 0，则 a＝ b＝ c，与已知矛盾，故①对；关于②，当 a＞ b 与 a＜ b 及 a≠c 都不建即刻，有 a＝ b＝ c，不切合题意，故②对；关于③，明显不正确．答案： C1114．设 x， y， z 都是正实数，a＝ x＋y， b＝ y＋z， c＝ z＋x，则 a， b， c 三个数 ()A．起码有一个不大于 2 B．都小于2C．起码有一个不小于 2 D．都大于2分析：因 a＋ b＋ c＝ x＋1＋ y＋1＋ z＋1≥ 2＋ 2＋ 2＝ 6，当且当x＝ y＝ z＝ 1 等号建立，xy z因此 a， b， c 三者中起码有一个不小于 2.答案： C5．若 a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1， M ＝8， N ＝ (a＋c) ·(a＋ b)， ()27－ 27aA．M≥N B．M≤NC．M＞N D．M＜N分析：依， 1－ a， 1－ b，1－ c 均大于 0，又 a＋b＋ c＝ 1，因此3（ 1－ a）（ 1－ b）（ 1－ c）≤1[(1－ a)＋ (1－ b)＋ (1－ c)]＝2，33因此8 (1－a)(1 － b)(1－ c) ≤，27进而8≥ (1－ b)(1 － c)＝ (a＋ c)( a＋ b)，27－ 27a因此 M ≥N，当且当a＝ b＝ c＝1，等号建立．3答案： A二、填空6．某同学准用反法明以下一个，函数f(x)在 [0， 1]上存心，且f(0)＝ f(1)，1假如于不一样的x1， x2∈ [0， 1]，都有 |f(x1)－ f (x2)|＜|x1－ x2|，求： |f (x1)－ f(x2)|＜2，那么它的假是________．1答案：假 |f(x1)－ f (x2)| ≥27． lg 9· lg 11 与 1 的大小关系是 ________．分析：因lg 9· lg 11＜lg 9＋lg 11＝lg 99＜lg 100＝1，222因此 lg 9· lg 11＜ 1.答案： lg 9· lg 11＜ 111118． M＝210＋210＋ 1＋210＋2＋⋯＋211－1，M与1的大小关系________．分析：因210＋ 1＞ 210， 210＋ 2＞ 210，⋯， 211－ 1＞ 210，因此111111110M ＝210＋210＋1＋210＋2＋⋯＋211－1＜210＋210＋⋯＋210,2个＝1.答案： M ＜1三、解答题1＋ x 1＋ y9．已知 x ， y ＞ 0，且 x ＋ y ＞ 2.求证： y， x 中起码有一个小于 2.证明： (反证法 )设 1＋ x ≥ 2， 1＋ y≥ 2，y x1＋ x ≥2y ， ①则1＋ y ≥2x. ②由①②式可得 2＋ x ＋ y ≥2(x ＋ y)，即 x ＋ y ≤2，与题设矛盾．因此1＋ x，1＋ y中起码有一个小于2.yx10．设 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1＋ 1.证明：a b (1)a ＋ b ≥2；(2)a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋b ＜ 2 不行能同时建立．11a ＋ b证明：由 a ＋ b ＝＋＝， a ＞ 0， b ＞ 0，得 ab ＝ 1.(1)由基本不等式及 ab ＝ 1，有 a ＋ b ≥2 ab ＝ 2，即 a ＋ b ≥ 2. (2)假定 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 同时建立，则由 a 2＋ a ＜ 2 及 a ＞ 0 得 0＜ a ＜1；同理， 0＜ b ＜ 1，进而 ab ＜ 1，这与 ab ＝ 1 矛盾．故 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 不行能同时建立．B 级能力提高1．若 a ＞ 0， b ＞ 0，知足 ab ≥1＋ a ＋ b ，那么 ()A ． a ＋ b 有最小值 2＋ 2 2B ． a ＋ b 有最大值 ( 2＋ 1) 2C ． ab 有最大值2＋ 1D ． ab 有最小值 2＋ 2 2（ a ＋ b ） 2分析： 1＋ a ＋ b ≤ab ≤，4因此 (a ＋b)2－ 4(a ＋ b)－4≥0，解得 a ＋ b ≤2－2 2或 a ＋ b ≥2＋ 2 2，由于 a ＞ 0， b ＞ 0，因此 a ＋ b ≥2＋ 2 2.答案： A2．设 x ， y ， z ， t 知足 1≤x ≤y ≤z ≤t ≤ 100，则 x ＋ z的最小值为 ________．y t分析：由于xy ≥1y ≥1z ，且 z t ≥ 100z ，因此x＋z≥1＋z≥ 21· z ＝1，y t z 100z 1005当且仅当 x＝ 1，y＝ z＝ 10， t＝ 100时，等号建立．答案：153．已知函数 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1|.(1)若 f( x) ≥|m－ 1|恒建立，务实数m 的最大值 M ；(2)在 (1)建立的条件下，正实数a， b 知足 a2＋ b2＝ M ，证明： a＋ b≥2ab.解： (1) 由于 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1| ≥|x－ (x－ 1)|＝ 1，当且仅当0≤x≤1时取等号，因此 f(x)＝ |x|＋|x－ 1|的最小值为 1.要使 f(x) ≥|m－ 1|恒建立，只要 |m－ 1| ≤1，因此 0≤m≤2，则 m 的最大值M ＝ 2.(2)证明：由 (1)知， a2＋ b2＝ 2，由 a2＋ b2≥ 2ab，知 ab≤1①.又 a＋b≥2ab，则 (a＋ b) ab≥ 2ab.由①知，ab≤ 1.故 a＋b≥2ab.。

高中数学人教A版选修4-5学案第2讲 3 反证法与放缩法 Word版含解析

三反证法与放缩法．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性命题的条件的结论，以说明质、明显成立的事实等)矛盾假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )．两个都是偶数．一个是奇数，一个是偶数．至少一个是偶数．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】教材整理放缩法阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．放大证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值缩小或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若－＜，－＜，则下列不等式一定成立的是( )【导学号：】．－＜．－＞．－＜－＞【解析】－＝(－)－(－)≤－＋－＜.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()＋()－()＝；()()，()，()中至少有一个不小于.【精彩点拨】()把()，()，()代入函数()求值推算可得结论．()假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】()由于()＝＋＋，∴()＋()－()＝(＋＋)＋(＋＋)－(＋＋)＝.()假设()，()，()都小于，则有()＋()＋()＜.(*)。

人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法作业

三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a ,b ,c 满足a+b+c=13,则a ,b ,c 中( )A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小于19D.至少有两个不小于19a ,b ,c 都小于19,即a<19,b<19,c<19,则a+b+c<19+19+19=13,这与a+b+c=13矛盾,因此假设错误,即a ,b ,c 中至少有一个不小于19.2.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,设M=a 1+a +b 1+b ,N=c 1+c ,Q=a+b 1+a+b,则M ,N 与Q 的大小关系是( )A.M<N<QB.M<Q<NC.Q<N<MD.N<Q<Ma+b>c>0,则1a+b <1c . ∴1a+b +1<1c +1,即a+b+1a+b <c+1c . ∴c 1+c <a+b 1+a+b , 故N<Q.M-Q=a 1+a +b 1+b −a+b 1+a+b >a 1+a+b +b 1+a+b −a+b 1+a+b =0,∴M>Q ,故M>Q>N.3.导学号26394038设M=1210+1210+1+1210+2+…+1211-1,则( ) A.M=1B.M<1C.M>1D.M 与1大小关系不确定210,共有210个单项.4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f (x )在[0,1]上有意义,且f (0)=f (1),如果对于不同的x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|,求证|f (x 1)-f (x 2)|<12.那么它的假设应该是 .(x 1)-f (x 2)|≥125.设a ,b ,c 均为正数,P=a+b-c ,Q=b+c-a ,R=c+a-b ,则“PQR>0”是“P ,Q ,R 同时大于零”的条件.;当PQR>0时,若P ,Q ,R 不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.6.设a ,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a 2+b 2>2;⑤ab>1.其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a ,b 中至少有一个大于1,正确;④a 2+b 2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.7.设f (x )=x 2-x+13,a ,b ∈[0,1],求证|f (a )-f (b )|≤|a-b|.(a )-f (b )|=|a 2-a-b 2+b| =|(a-b )(a+b-1)|=|a-b||a+b-1|,因为0≤a ≤1,0≤b ≤1,所以0≤a+b ≤2.所以-1≤a+b-1≤1,所以|a+b-1|≤1.故|f (a )-f (b )|≤|a-b|.8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:1+x y ,1+y x中至少有一个小于2. 证明假设1+x y ,1+y x都不小于2,即 1+x y ≥2,且1+y x≥2. 因为x>0,y>0,所以1+x ≥2y ,且1+y ≥2x. 把这两个不等式相加,得2+x+y ≥2(x+y ),从而x+y ≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,1+x y ,1+y x都不小于2是不可能的,即原命题成立. 9.导学号26394039已知S n =sin12+sin222+sin323+…+sinn 2n ,求证:对于正整数m ,n ,当m>n 时,|S m -S n |<12n .a k =sink 2k (k ∈N +),则|a k |≤12k . 于是,当m>n 时,|S m -S n |=|a n +1+a n +2+…+a m |≤|a n +1|+|a n +2|+...+|a m | ≤12n+1+12n+2+ (12)=12n+1[1−(12)m -n]1−12=12n [1−(12)m -n ]<12n .10.导学号26394040若数列{x n }的通项公式为x n =n n+1,求证x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−xn 1+x n .√1−x n 1+x n =√1−n n+11+n n+1=√12n+1, 又2n -12n √2n -12n+1=√2n -1·√2n+12n =√4n 2-12n<√4n 22n =1, 所以2n -12n <√2n -12n+1, 所以x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1=12×34×…×2n -12n<√13×35×…×2n -12n+1=√12n+1,故x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−x n 1+x n .。

人教新课标版数学高二A版选修4-5素材 2.3反证法与放缩法

高中数学-打印版三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前，总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免一死.一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死”字让他去抽，心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人.国王宣布抽签开始后，那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片，看也不看便放进嘴里，就吞下肚子，使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗？导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活”，此时，国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证，可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用，下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答：在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2.生活中的归谬证法是什么意思呢？答：归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来.对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果，而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导.这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显，这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中，自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好.对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬，往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨，于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.精心校对。

数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.3反证法与放缩法

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解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪
些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③
公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
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温馨提示 (1)一定不要把“假设”写成“设”；(2) 必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推理的条件，否则就不是反证法．
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2．放缩法
把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．
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1．反证法
[知识提炼·梳理]
(1)反证法的定义．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
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则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知的 ac＋bd＞1 矛盾，所以假设不成立，所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．

人教版数学高二A版选修4-5教材习题点拨2.3反证法与放缩法

教材习题点拨习题2.31．证明：方法一：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则 ∵0＜a ，b ，c ＜1，∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. ∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32，∴矛盾，假设错误，原命题成立．方法二：设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则三式相乘(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164.① 又∵0＜a ，b ，c ＜1，∴0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14.②同理(1－b )b ≤14，③ (1－c )c ≤14.④ ②③④三式左右两边分别相乘(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾， ∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同，结合0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法． 2．证明：∵1k －1k ＋1＝1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k，k ＝2,3,4，…， ∴12－13＜122＜1－12， 13－14＜132＜12－13， ……1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n. 将以上n －1个不等式左右两边分别相加，可得12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ＝n －1n. 点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，这是一种常见的放缩．3．证明：∵k －k －1＝1k ＋k －1＞1k ＋k ＝12k ， ∴1k＜2(k －k －1)，k ＝1,2,3，…，n . 当k ＝1,2,3，…，n 时，1＜2(1－0)，12＜2(2－1)， (1)＜2(n －n －1)．将以上n 个同向不等式相加，得1＋12＋13＋…＋1n ＜2n . 点拨：先构造其中一个式子1k＜2(k －k －1)，再相加得到要证的不等式． 4．证明：假设⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9不成立，则⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＜9.于是1－⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1x 2y 2＜9，∴1－(x 2＋y 2)＜8x 2y 2.∵x ＋y ＝1，∴1＝(x ＋y )2.∴2xy ≤8x 2y 2.∴xy (1－4xy )＜0.① ∵xy ≤x ＋y 2＝12，∴xy ≤14.∴1－4xy ≥0. ∴xy (1－4xy )≥0.②由①②可知矛盾，所以假设不成立，从而⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9成立． 5．解：∵V ＝πr 2h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋πrh ＋πrh ≥332πr 2·πrh ·πrh ＝332π3r 4h 2＝332π(πr 2h )2＝332πV 2.∴表面积最小为S ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝πrh ＝πrh ，即V ＝πr 2·2r ＝2πr 3.∴r ＝3V 2π，h ＝23V 2π. 点拨：主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有R 2＝r 2＋h 2＝12r 2＋12r 2＋h 2≥3312r 2·12r 2·h 2＝3314(r 2h )2. ∵14(r 2h )2≤R 627，∴(r 2h )2≤4R 627. ∴r 2h ≤23R 39. ∵V ＝13πr 2h ，∴V ≤13π23R 39＝23πR 327. ∴容积最大为23πR 327.此时12r 2＝h 2，∴h ＝22r . ∵r 2＋h 2＝R 2，∴r ＝63R .∴2πr ＝(360°－θ)πR 180°. ∴θ＝(360－1206)°.。

人教版高中数学高二选修4-5课时作业2-3反证法与放缩法

课时作业8一、选择题1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，则a，b，c三数()A．全为正数B．至多有两个为正数C．至多有一个为正数D．全为负数假设a＜0，∵abc＞0，∴bc＜0.又∵a＋b＋c＞0，∴b＋c＞－a＞0，∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与条件ab＋bc＋ca＞0相矛盾，即说明假设a＜0不成立，从而a＞0.同理可证b＞0，c＞0.故a＞0，b＞0，c＞0.故应选A.A2．若a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，设M＝827－27a，N＝(a＋c)·(a＋b)，则()A．M≥N B．M≤NC．M＞N D．M＜N易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知3(1－a )(1－b )(1－c )≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1－a )≥(1－b )(1－c )，即M ≥N .故应选A. A3．设a ，b ，c ，d 都是正数，则①a ＋b ＜c ＋d ，②(a ＋b )(c ＋d )＜ab ＋cd ，③(a ＋b )cd ＜ab (c ＋d )三式( )A ．全正确B ．至少有一个不正确C ．全不正确D ．至多有一个不正确假设①，②，③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以①×②得：(a ＋b )2＜ab ＋cd ，④由③得(a ＋b )cd ＜ab (c ＋d )≤(a ＋b2)2(c ＋d )，⑤∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b )(c ＋d )，由②和⑤得：4cd ＜ab ＋cd ，即cd ＜13ab .再由④式得：(a ＋b )2＜ab ＋cd ＜ab ＋13ab ＝43ab ，即a 2＋b 2＜－23ab 矛盾．∴不等式①，②，③中至少有一个不正确．故应选B. B4．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(1a 2－1)(1b 2－1)的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9方法1：∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤14.∴(1a 2－1)(1b 2－1)＝1－a 2a 2·1－b 2b 2 ＝1－(a 2＋b 2)＋a 2b 2a 2b 2＝1－(a ＋b )2＋2ab ＋a 2b 2a 2b 2＝2ab a 2b 2＋1 ＝2ab ＋1≥8＋1 ＝9. 故应选D.方法2：令a ＝cos 2θ，b ＝sin 2θ，θ∈(0，π2)，则(1a 2－1)(1b 2－1)＝(1cos 4θ－1)(1sin 4θ－1) ＝1－cos 4θcos 4θ·1－sin 4θsin 4θ＝1＋cos 2θcos 2θ·1＋sin 2θsin 2θ＝2＋sin 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＝1＋2sin 2θcos 2θ＝1＋8sin 22θ≥1＋8＝9. 故应选D. D5．若0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，则(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 三数( )A ．不能同时小于1B ．全小于1C ．不能同时大于1D ．全大于1假设⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )b ＞1，(2－b )c ＞1，(2－c )a ＞1，那么(2－a )＋b 2≥(2－a )b ＞1.同理(2－b )＋c 2＞1，(2－c )＋a 2＞1.三式相加得3＞3，矛盾．故应选C. C6．若x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值34，而无最大值B ．最小值1，而无最大值C ．最小值12和最大值1D ．最大值1和最小值34令x ＝sin θ，y ＝cos θ，(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2＝1－sin 2θcos 2θ＝1－(sin θcos θ)2＝1－14sin 22θ.∵sin2θ∈[－1,1]，∴sin 22θ∈[0,1]． ∴(1－xy )(1＋xy )最大值为1，最小值为34.故应选D. D7．若n ＞1，且n ∈N ＋，S ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则有( )A.12＜S ＜1 B ．1＜S ＜2 C ．2＜S ＜3 D ．3＜S ＜41n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1n ＋1n ＋…＋1n ＝1，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞12n ＋…＋12n ＝12.故应选A. A8．已知△ABC 中，∠C ＝π2，则a ＋b c 的取值范围是( )A ．0＜a ＋bc ＜2 B ．0＜a ＋bc ≤ 2 C ．1＜a ＋bc ≤ 2 D ．1≤a ＋bc ≤ 2∵a ＋bc ＞1，由c 2＝a 2＋b 2. ∴a ＋b c ＝a ＋b a 2＋b 2≤a ＋b (a ＋b )22＝ 2.C 二、填空题9．比较log 23与log 34的大小关系为__________．log 23－log 34＝lg3lg2－lg4lg3＝lg 23－lg2lg4lg2lg3＞lg 23－[12(lg2＋lg4)]2lg2lg3＝lg 23－(12lg8)2lg2lg3＞lg 23－(12lg9)2lg2lg3＝0，∴log 23－log 34＞0，∴log 23＞log 34. log 23＞log 3410．设a ≥b ≥c ＞0，且a ＋b ＋c ≤1，则a 2＋3b 2与1－5c 2的大小为__________．∵a ≥b ≥c ＞0，∴b 2≤ab ，c 2≤bc ，c 2≤ca ，∴a 2＋3b 2＋5c 2≤a 2＋b 2＋c 2＋2b 2＋2c 2＋2a 2≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2≤1，故a 2＋3b 2≤1－5c 2.a 2＋3b 2≤1－5c 211．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋zt 的最小值为__________．∵x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z 100，∴x y ＋z t ≥1z ＋z100≥21z ·z 100＝15，当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时取等号．1512．已知p ＞0，q ＞0 ，且p 3＋q 3＝2，则p ＋q 与2的大小关系是__________．假设p ＋q ＞2，则(p ＋q )3＞8，即p 3＋q 3＋3p 2q ＋3pq 2＞8. ∵p 3＋q 3＝2，∴p 2q ＋pq 2＞2＝p 3＋q 3，即(p ＋q )pq ＞(p ＋q )(p 2－pq ＋q 2)， ∵p ＞0，q ＞0，∴pq ＞p 2－pq ＋q 2. ∴(p －q )2＜0与(p －q )2≥0矛盾， ∴假设不成立，∴p ＋q ≤2. p ＋q ≤2 三、解答题13．设a 、b ∈R,0≤x 、y ≤1，求证：对于任意实数a 、b 必存在满足条件的x 、y ，使|xy －ax －by |≥13成立．假设对一切0≤x 、y ≤1，结论不成立，则有|xy －ax －by |＜13，令x ＝0，y ＝1，有|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，有|a |＜13；令x ＝y ＝1 ，得|1－a －b |＜13，又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13矛盾，∴假设不成立，原命题结论正确．14．已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)| ＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2. 两式相互矛盾． ∴假设不成立，∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.15．若a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋ab ＋b 2＋a 2＋ac ＋c 2≥a ＋b ＋c .a2＋ab＋b2＋a2＋ac＋c2＝(a2＋b)2＋3a24＋(a2＋c)2＋3a24≥(a2＋b)2＋(a2＋c)2＝|a2＋b|＋|a2＋c|≥a2＋b＋a2＋c＝a＋b＋c.∴a2＋ab＋b2＋a2＋ac＋c2≥a＋b＋c. 16．已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，a x2－x1＞1，且ax1＞0，∴a x2－a x1＝a x1 (a x2－x1－1)＞0.又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x2)－f(x1)＝a x2－a x1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＞0.∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜a x 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与假设x 0＜0矛盾，所以方程f (x )＝0没有负根．。

数学人教A版选修4-5学案：知识导学2.3反证法与放缩法含解析

三反证法与放缩法知识梳理1.反证法先____________,以此为出发点,结合已知条件，应用公理，定义,定理，性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件（或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等）_________的结论,以说明_________不正确，从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法。

2。

放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的。

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法。

(3）推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的。

(4)在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件.2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小，如欲证A≥B,需通过B≤B1，B1≤B2≤…≤B i≤A（或A≥A1,A1≥A2≥…≥A i≥B），再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1。

反证法中的数学语言反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时，常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中，更是如此.2。

放缩法的尺度把握等问题(1）放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子）的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项，利用分式的性质,利用不等式的性质，利用已知不等式，利用函数的性质进行放缩等.比如：舍去或加上一些项:（a+21)2+43>(a+21)2；将分子或分母放大（缩小）：,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k k k k k k k k 121++>k k k （k∈R ，k 〉1）等.典题精讲【例1】（经典回放)若a 3+b 3=2，求证:a+b≤2。

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自我小测
1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( )
A ．x ＋y ≥2(2＋1)
B ．xy ≤2＋1
C ．x ＋y ≤(2＋1)2
D ．xy ≥2(2＋1)
2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y
，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B
3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( )
A ．3a ＝3b
B ．3a ＜3b
C ．3a ＝3b 且3a ＜3b
D ．3a ＝3b 或3a ＜3b
4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；
②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立；
③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，
如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12
.那么它的假设应该是__________．
7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．
8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1
，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n
(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13
log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
参考答案
1．解析：由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛
⎭⎫x ＋y 22，
∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，
∵x ，y 都是正实数，∴x ＞0，y ＞0.
∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．
答案：A
2．解析：∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y 1＋y
＝B . 答案：D
3．D
4．解析：∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z
≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，
∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．解析：对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确．
对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确．
对于③，显然不正确．
答案：C
6．|f (x 1)－f (x 2)|≥12
7．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．
答案：充要
8．解析：A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 1010101010101112<122
22
+++==共2个. 答案：A ＜1
9．答案：解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
b 1
＝1，10b 1＋
10(10－1)2d ＝145，∴b 1＝1，d ＝3.
∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2.
(2)∵b n ＝3n －2，
∴a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n ＝log a 3n －13n －2
. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫21×54×…×3n －13n －2. 又13
log a b n ＋1＝log a 33n ＋1. ∴比较S n 与13
log a b n ＋1的大小，即比较21×54×…×3n －13n －2与33n ＋1的大小．记A n ＝21×54×…×3n －13n －2
， B n ＝33n ＋1.
∵3n －13n －2＞1， ∴对任意n ∈N ＋，都有3n －13n －2＞3n 3n －1
＞3n ＋13n ＞0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13n －23＞3n －13n －2×3n 3n －1
×3n ＋13n ＝3n ＋13n －2，从而A 3n ＝⎝⎛⎭⎫213×⎝⎛⎭⎫543×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －43n －53×⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13n －23＞41×74
×…×3n －23n －5×3n ＋13n －2＝3n ＋1＝B 3n
. ∴A n ＞B n (n ∈N ＋)．
由对数的单调性，可得
当a ＞1时，S n ＞13
log a b n ＋1(n ∈N ＋)；当0＜a ＜1时，S n ＜13
log a b n ＋1(n ∈N ＋)．。