f分布t分布与卡方分布
6个常见分布的分布律或密度函数
1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。
2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。
3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。
4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。
5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。
6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。
卡方分布t分布和F分布的概念与应用
卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是概率统计中常见的三种概率分布。
它们在统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们进行假设检验、构建置信区间等分析工作。
本文将分别介绍卡方分布、t分布和F分布的概念，以及它们在实际问题中的具体应用。
一、卡方分布卡方分布是以统计学家Karl Pearson命名的一类概率分布。
卡方分布常用于计算一组独立同分布的随机变量的平方和的分布。
它的概率密度函数取决于自由度参数，自由度越大，卡方分布的形状越接近正态分布。
卡方分布的应用非常广泛。
例如，在假设检验中，我们可以使用卡方分布来判断一个样本是否符合某种理论分布。
同时，卡方分布还可以用于计算观察值与理论值之间的差异，从而评估模型的拟合程度。
此外，卡方分布还可以用于计算置信区间和预测区间。
二、t分布t分布是根据正态分布和卡方分布引出的一种概率分布。
t分布的曲线形状与自由度有关，当自由度较小时，曲线较为平缓，自由度增加时，曲线逐渐接近于标准正态分布。
t分布的一个重要应用是在小样本情况下的假设检验。
当总体标准差未知，并且样本容量较小（通常小于30）时，我们需要使用t分布来估计总体均值的置信区间。
此外，t分布还可以用于对两个样本均值的差异进行比较，判断是否存在显著差异。
三、F分布F分布是以统计学家Ronald Fisher命名的一种概率分布。
F分布常用于方差分析和回归分析等统计方法中。
它是两个独立卡方分布的比值的分布。
F分布的形状取决于两个自由度参数。
F分布在方差分析中起着重要作用。
方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异，而F分布可以用于计算F统计量，以确定差异是否显著。
此外，F分布还常用于线性回归分析中，用于比较回归模型的拟合优度。
总结卡方分布、t分布和F分布是统计学中常见的三种概率分布。
它们在假设检验、置信区间估计、拟合优度分析等统计任务中有着广泛的应用。
熟练掌握这些概率分布的概念和特性，对于进行统计分析和研究是非常重要的。
t分布f分布和卡方分布和中心极限定理的区分
t分布、f分布和卡方分布是统计学中常见的概率分布，它们各自具有特定的性质和应用。
中心极限定理是统计学中的重要定理，它与这些分布有着密切的关系。
本文将从理论和应用两个方面来分析并区分t 分布、f分布和卡方分布，以及它们与中心极限定理的关系。
一、理论分析（一）t分布1. 概念：t分布是统计学中常用的一种概率分布，用于从小样本中得出总体参数的估计。
t分布的形状类似于标准正态分布，但是尾部更厚，且随着自由度的增加而逐渐接近正态分布。
2. 特点：t分布的参数由自由度决定，自由度越大，t分布越接近于正态分布。
在小样本情况下，使用t分布进行统计推断比使用正态分布更为准确。
3. 应用：t分布常用于小样本的假设检验和置信区间估计，例如学生 t 检验用于比较两组样本均值的差异。
（二）f分布1. 概念：f分布是一种连续概率分布，常用于分析两组方差的比较。
f分布的形状呈右偏态，且具有两个自由度参数。
2. 特点：f分布的参数由两个自由度参数确定，其中一个自由度用于分别计算分子和分母的自由度。
f分布的数学表达式较为复杂，常使用统计软件进行计算。
3. 应用：f分布常用于方差分析和回归分析中，用于判断多个总体方差是否相等。
（三）卡方分布1. 概念：卡方分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，其定义来源于标准正态分布。
2. 特点：卡方分布的参数由自由度确定，自由度越大，卡方分布越接近于正态分布。
卡方分布常用于样本方差的推断和拟合优度检验。
3. 应用：卡方分布广泛应用于拟合优度检验、独立性检验、方差分析等统计推断中，是统计学中不可或缺的重要工具。
（四）中心极限定理1. 概念：中心极限定理是统计学中的重要定理，指出在一定条件下，大量独立随机变量的均值的分布近似服从正态分布。
2. 特点：中心极限定理适用于样本容量较大且独立同分布的情况。
它为统计推断提供了理论基础，使得在实际应用中可以更加准确地进行推断和估计。
3. 应用：中心极限定理在实际应用中被广泛地运用，例如样本均值的抽样分布、置信区间估计、假设检验等方面。
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
t分布f分布和卡方分布的关系
t分布f分布和卡方分布的关系
t分布、F分布和卡方分布是统计学中常用的概率分布，它们之间有着紧密的关系和相互作用。
我们来看看t分布和F分布。
t分布是一种用于小样本推断的概率分布，适用于总体标准差未知的情况。
而F分布是一种用于比较两个样本方差是否显著不同的概率分布。
如果我们将两个相互独立的t分布的平方和进行标准化，就可以得到F分布。
因此，可以说t 分布是F分布的特殊情况。
接下来，我们再来看看卡方分布。
卡方分布是一种用于推断总体方差的概率分布，适用于总体标准差已知的情况。
卡方分布的形状取决于自由度，自由度越大，卡方分布越接近正态分布。
当自由度为1时，卡方分布就是指数分布的特殊情况。
总结一下，t分布、F分布和卡方分布之间的关系是：t分布是F分布的特殊情况，而F分布是卡方分布的特殊情况。
它们在统计学中有着广泛的应用，可以帮助我们进行推断和比较，从而更好地理解数据和总体的特征。
虽然这些概率分布在统计学中有着严格的定义和推导过程，但我们可以简单地理解它们的关系，以便更好地应用于实际问题中。
通过掌握它们的特点和应用场景，我们可以更准确地进行统计推断和数据分析，为决策提供科学依据。
无论是在科学研究、医学诊断还是
经济分析中，这些概率分布都扮演着重要的角色，对于推动人类社会的进步和发展起着不可替代的作用。
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
卡方分布也叫卡方检验分布，是常见的概率分布，由英国数学家卡方发现，故称之为卡方分布。
数学家卡方的主要工作是统计学分布的概率期望，他在19世纪20年代发现卡方分布，他还拓展了卡方分布，发现和推导出它的非等距变量的统计分布。
卡方分布的定义：它是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
二、t分布
t分布也叫t牛顿分布，是一种概率分布，由卡普牛顿在19世纪20年代发现，故称之为t分布。
它是统计学中又一种重要的概率分布。
t分布的全称是Student t分布，因为它主要在学生t检验中使用，故又称之为Student t分布。
t分布的定义：Student t分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布。
该分布与卡方分布非常相似，但是它不是一个单位正态分布的统计分布，因此其期望值不是0。
实际上，当自由度很大时，t分布可以趋近于正态分布。
三、F分布
F分布也叫F检验分布，是一种不可能概率分布，由比利时统计学家卡默特在20世纪初发现，故称之为F分布。
F分布的定义：它是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布，m为数据的自由度。
两个样本之间的方差比服从F分布。
总结：
卡方分布是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
t 分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布，而F分布是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布。
三大分布
0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
抽样分布公式t分布卡方分布F分布
抽样分布公式t分布卡方分布F分布抽样分布公式：t分布、卡方分布、F分布抽样分布是统计学中的重要概念，用于推断总体参数以及进行假设检验。
本文将重点介绍三种常见的抽样分布公式：t分布、卡方分布和F分布。
一、t分布公式t分布是用于小样本情况下进行参数估计和假设检验的重要分布。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，总体的均值和标准差未知。
如果从该总体中随机抽取一个样本，计算样本均值与总体均值的差异，用t 值来衡量。
那么，t值的概率分布就是t分布。
t分布的公式如下：t = (x - μ) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。
t分布的自由度为n-1。
在实际应用中，可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度下的t值对应的概率。
二、卡方分布公式卡方分布是应用于统计推断的重要分布，主要用于分析分类资料或定类变量的相关性。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，比较观察值与理论值之间的差异。
我们将差异的平方进行求和，并除以理论值，得到统计量，称为卡方统计量。
卡方分布的公式如下：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)其中，O为观察值，E为理论值。
卡方分布的自由度取决于总体参数的个数减去估计的参数个数。
在实际应用中，同样可以利用卡方分布表或统计软件来查找不同自由度下的卡方值对应的概率。
三、F分布公式F分布是应用于统计推断的另一重要分布，主要用于比较两个或多个总体方差是否相等。
它的定义如下：假设有两个总体A、B，分别进行抽样，计算两个样本方差的比值，得到F统计量。
F分布的公式如下：F = (s1^2 / σ1^2) / (s2^2 / σ2^2)其中，s1^2和s2^2分别为样本A和样本B的方差，σ1^2和σ2^2分别为总体A和总体B的方差。
F分布的自由度取决于样本容量和总体个数。
在实际应用中，同样可以利用F分布表或统计软件来查找不同自由度下的F值对应的概率。
5.3卡方分布、t分布及F分布
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
概率论与数理统计：常用统计分布
0,
x 0, 其它.
F-分布的性质 由F分布定义可得：
F
~
F(n1, n2 )
1 F
~
F(n2, n1)
五、F-分布与t分布的关系
定理3 若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。
证明：X～t(n)，X的分布密度p(x)= n 1 2 nπ n 2
1
x2 n
n 1 2
Y=X2的分布函数F(y) =P{Y<y}=P{X<y}。当y≤0时，FY(y)=0，
② X 与 S2相互独立。
二、χ2-分布(卡方分布)
定义 设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体 N(0,1)的样本,称统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为n的 χ2-分布 ,记为 2 ~ 2( n ).
2 (n)-分布的概率密度为
f
(
y
)
2n /
1
2 (
n
/
2
)
y
n 1
2e
服从正态分布，且
i 1
i 1
一、正态分布
定理2 若（ X1, X 2 ,, X n ）是来自总体X ~ N(,2) 的一个
样本，X 为样本均值，则 (1) X ~ N (, 2 ) ，(由上述结论可知：X 的期望与 X 的期望相同，而 X
n
的方差却比 X 的方差小的多，即 X 的取值将更向 集中.)
p(y)=0；当y>0时，FY(y) =P{-
，
y
y
n
n 2 1 n
Y=X的分布密度p(y)= 2，•
1 n
2 2
<X<
卡方分布、t分布、f分布的定义
卡方分布、t分布、f分布的定义t分布用于检验均值是否不同。
F分布用于检验方差是否不同。
卡方分布主要用于检验样本是否偏离了期望，例如偏离了期望的分布(拟合优度检验)，期望的比例(列联表)等。
t检验和F检验只能使用连续数据(定量数据)。
卡方检验既可以使用连续数据，也可以使用离散数据(频数)，也可以用于对数似然值。
但计算公式不同。
t分布在概率论和统计学中，学生t-分布（Student’s t-distribution）可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
假设 X是呈正态分布的独立的随机变量（随机变量的期望值是 ? ，方差是σ2但未知）。
令：为样本均值。
为样本方差。
卡方分布卡方分布（chi-square distribution, χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。
若k个随机变量 Z1、……、 Zk是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和f分布F分布定义：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，F-分布是这两个卡方分布变量X、Y除以各自的自由度后的比率的分布：t分布是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t检验的基础，在母体标准差未知的情况下，不论样本数量大或小皆可应用学生t检验。
卡方分布是k个独立的标准正态分布变量的平方和服从的分布，自由度为k，可用于计算假设检验和置信区间，由其延伸的皮尔森卡方检验很常用。
F分布是基于卡方分布的。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
简述卡方分布、t分布、f分布的定义
简述卡方分布、t分布、f分布的定义
卡方分布（χ2分布）是一种统计分布，它可以用来检验实际发生的概率是否与预期概率一致。
这种分布的几何特征是一条“S”形曲线。
它以X2来衡量概率偏差，与自由度有关。
卡方分布也可以用来衡量两个分布相似性，它可以帮助科学家和统计学家评估相关性、拟合模型和分类的正确性。
此外，它还可以用于研究设计，帮助设计者发现数据中的可能偏差。
t分布是一种用于描述离散值的分布，主要用于统计学中的假设检验。
它是基于卡方分布的，形状上表示为一个“U”形曲线。
t分布的自由度受到样本容量的限制，即自由度越高，t值越大。
它有助于精确确定数据集中离散值的平均偏差，从而可以精确地分析数据。
f分布是一种描述比例之比的分布，也称为F比或F系数。
它的几何特征是一条双“S”形曲线，可以帮助研究者比较两组数据之间的标准偏差差异。
此外，它还可以用于分析多调和因子分析中发现的差异。
F分布的自由度由样本的数量决定，自由度越高，F值越大。
总之，卡方分布是一种检验发生概率与预期概率是否一致的统计分布；T分布是一种用于描述离散值的分布，主要用于假设检验；F 分布是一种比例之比的分布，可以用来比较两组数据之间的标准偏差差异。
这三种分布都是统计学中非常重要的东西，有助于科学家和统计学家更好地分析数据。
- 1 -。
f分布t分布与卡方分布
§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =nY X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=mY n X的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙。
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P(z)= 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30 时，t§ 1.4 常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，ZH X ：的i分布称为自由度等于 n 的2分布，记作Z 〜2(n),它的分旳=石。
•/ 2分布是非对称分布'具有可加性'即当Y 与Z 相互独立，且 Y 〜 2(n), Z 〜 2(m)，贝U Y+Z 〜 2(n+m)。
证明：先令X i 、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y =X 2+X 2+…+X 2, z=x n 1 +X n 2+…+X n m ，即可得到 Y+Z 〜2(n+m) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X 〜N(0,1) , Y 〜2 (n)，贝U Z = X 丫的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z 〜t (n)，它的分布密度布密度式中的.=0称为Gamma®数，且 ■ 1 =1, Y+Z= X+X■+1 2 n P ( z 0 其他, n .n -(n )分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。
3. F 分布若X 与Y 相互独立，且X 〜2(n)，丫〜2(m), 则Z= X 丫的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于n mm 的F 分布，记作 Z 〜F (n, m),它的分布密度n-iz2 -,z 0 n m 2 20, 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 Z 〜F (n, m)时，—〜F (m ,n) Z4. t 分布与F 分布的关系12；Y=X 2 的分布函数 F Y (y ) =P{YV y }=P{X 2<y } 当尸 0 时，F Y (y)=0, p Y (y )=0 ;当 y >0 时，F y (y ) =P{- y <X< y }=_； p(x)dx =2 0 p(x)dx , p(z)= (m n z) 2 其他。
若 X 〜t( n )，则 Y=X 〜F(1, n ) o证：X 〜t( n ) , X 的分布密度 P(x )= < 2丿 2与第一自由度等于 1、第二自由度等于 n 的 F 分布的分布密 度相同，因此Y=X 2〜F （1, n ）。
为应用方便起见， 以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。
但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。
有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的 需要，有三种不同的称呼，即 a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：当随机变量X 的分布函数为 F （X ），实数a 满足0 <a <1 时， a 分位数是使 P{X< x a }=F （x a ）=a 的数 x a ，上侧a 分位数是使P{X >入}=1 - F （入）=a 的数入,双侧a 分位数是使 P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入仆使 P{X> 入 2}=1 - F （入 2）=0.5 a 的数入 2。
因为1- F （入）=a , F （入）=1- a ,所以上侧a 分位数入就是 1- a 分位数 X 1- a ；F （入1）=0.5 a , 1- F （入2）=0.5 a ，所以双侧a 分位数入1就 是0.5 a 分位数X 0.5 a ,双侧a 分位数入2就是1- 0.5 a 分位 数 X 1-0.5a 。
2）标准正态分布的 a 分位数记作 u a ， 0.5a 分位数记作 u 0.5a ， 1- 0.5a 分位数记作 u 1- 0.5a 。
P (x) P (x)Y=X 2的分布密度nn21-1 y2 1 n p Y (y)=F ・ 2 2 (n y) 2J £ O x当 X 〜N(0,1)时，P{XV U a }=F o,i (U a )= a, P{X<U 0.5 a }= F 0,1 (U 0.5 a )=0・5 a ,P{X<U i- 0.5 a }= F 0,1 (U 1-0.5a )=1 - 0・5a 。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0・5 时，U a =0 ；当 a <0.5 时，u a <0。
u a =- u 1- a 。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出u 仁a ,然后得到u a =- U 仁a 。
论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< u a }= F 0,1(u a )= a , P{X< u 1- a }= F 0,1 (u 1- a )=1- a ,P{X> u 1- a }=1- F 0,1 (u 1- a )= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u a =- u 1- a o 例如， u 0.10=- u 0.90=-1.282,u =- ■ u =- 1.645,u 0.01 = - ■ u 0.99 = - 2.326,u 0.025 :-u =-1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。
又因为P{|X|V U i-o.5a }=1- a，所以标准正态分布的双侧a分位数分别是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。
标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10 , u 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645;a =0.01 , u 0.99=2.326 ;a =0.025 , u 0.975=1.960 ;a =0.005 , u 0.995=2.576。
3)卡平方分布的a分位数记作2a (n)。
2a (n)>0 ,当X 〜2(n)时，P{X< 2a (n)}= a。
例如，20.005 (4)=0.21 , 20.025 (4)=0.48 ,20.05 ⑷=0.71 , 20.95 (4)=9.49 ,20.975(4)=11.1 , 20.995 (4)=14.9。
4) t分布的a分位数记作t a(n)。
当X〜t (n)时，P{XVt a (n)}= a，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n)=- t 1- a (n)，论述同U a =- u 1- a o 例如，t o.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4)=2.776 , t 0.995 (4)=4・604, t 0.005 (4)= -4・604, t0.025 (4) =- 2.776, t 0.05 (4)=- 2.132。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t a(n)，可用u a作为t a(n)的近似值。
o X O XX o x5) F分布的a分位数记作F a(n , m)。
F a (n , m)>0,当X〜F (n , m)时，P{X<F a (n , m)}= a。
另外，当a较小时，在表中查不出 F a(n, m),须先查1 、”、「一F i- a (m, n)，再求F a (n, m)= 。
论述如下：Fi_«(m , n )当X 〜F(m, n)时，P{Xv F 1- a(m, n)}=1 - a,11 11卩{丄＞}=1- a ,卩{丄＜}= a , X F 1 -a (m,n) X F1 -:又根据F分布的定义，—〜F(n, m), P{ —＜F a(n, m) }= a , XX1因此F a (n, m)= ——F^(m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=9.98 ,F 0.99(3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975 (4,3)=15・4 , F 0.99 (4,3)=28・7,1 1 1F 0.01 (3,4)= —, F 0.025 (3,4)= —, F 0.05 (3,4)=—-28.7 15.1 9.12【课内练习】1. 求分位数①20.05(8),②20.95(12)。
2. 求分位数①t 0.05(8),②t 0.95(12)3. 求分位数①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。
4. 由u 0.975=1・960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X 〜2(4), P{XV0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。
7. 若X 〜F(5,3) , P{X<9.01}=0.95 , Y 〜F(3,5), {Y<5.41}= 0.95,试写出有关的分位数。
8. 设X i、X 2、…、X io相互独立且都服从N(0,0.09)分布, 试求P{\ 2>1.44}。
X ii习题答案：1.①2.73,②21.0。
2.①-1.860,② 1.782。
3.①丄，②3.37。
4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.9604.88为双侧0.05分位数。
5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数。
6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。
7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，丄与5.41为双侧0.1分位数，丄与9.01 5.419.01为双侧0.1分位数。
8. 0.1。