如何推广锐角的三角函数定义

如何推广锐角的三角函数定义

锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．锐角的三角函数定义可以通过单位圆法进行推广。

用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．

（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即

角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，

角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，

可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cos a，y= sin a是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．

“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰；“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．

（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：

P (x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；

|OP|2=1sin2a+cos2a=1；

对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sin a，cos(π+a)=－cos a；

对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sin a，cos(－a)=cos a；

对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sin a，cos(π－a)=－cos a；

对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cos a，cos(－a)=sin a；

sin a在[－，]内的单调性

a ：－0πx：－1010－1sin a在[－，

]上单调递增，在[，]上单调递减；

因此，锐角的三角函数定义可以通过单位圆法进行推广。