离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
考试必备离散数学定理总结

2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、(消解的完全性)一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.(推理正确不能保证结论一定正确)4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、(前束范式存在定理)一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。
(推论:空集是唯一的)6.2、(包含排斥原理)设集合S上定义了n条性质,其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为:6.3、德摩根律:A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算,el和er分别为S中关于运算的左和右单位元,则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算,θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元,则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算,e和θ分别为◦运算的单位元和零元,如果S至少有两个元素,则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群,∀a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. (G中适合消去律)10.3、G为群,a∈G且|a| = r. 设k是整数,则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、(子群判定定理一)设G为群,H是G的非空子集,则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、(子群判定定理二)设G为群,H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、(子群判定定理三)设G为群,H是G的非空有穷子集,则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群,则He=H,∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群,则∀a,b∈G有:a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群,在G上定义二元关系R:∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系,且[a]R = Ha.推论:设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G,Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、(Lagrange)设G是有限群,H是G的子群,则:|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数,称为H在G 中的指数.推论1:设G是n阶群,则∀a∈G,|a|是n的因子.推论2:对阶为素数的群G,必存在a∈G使得G = <a>.10.11、(循环群的生成元)设G=<a>是循环群. :(1) 若G是无限循环群,则G只有两个生成元,即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群,则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、(循环群的子群)设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群,则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群,则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群,则对n的每个正因子d,G恰好含有一个d 阶子群.14.1、(握手定理)在任何无向图中,所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、(握手定理)在任何有向图中,所有顶点的度数之和等于边数的2倍;所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和,都等于边数.推论:任何图(无向或有向) 中,奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中,若从顶点vi 到vj(vi≠vj)存在通路,则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论:在n 阶图G中,若从顶点vi 到vj(vi≠vj)存在通路,则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路(路径).14.7、对任意无向图G中,有:κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图,对于任意V1⊂V且V1∅≠,均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图,对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图,若对于任意不相邻的顶点vi,vj,均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论:设G为n(n≥3) 阶无向简单图,若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj,均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路,从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树,则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 :G为n阶m条边的无向连通图,则m≥n-1.推论2 :余树的边数为m-n+1.推论3 :余树为G的生成树T的余树,C为G中任意一个圈,则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的,并且n(n≥3)阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n(n≥3)阶极大平面图,则G的每个面的次数均为3.17.6、(欧拉公式)设G为n阶m条边r个面的连通平面图,则n-m+r=217.7、(欧拉公式的推广)设G是具有k(k≥2)个连通分支的平面图,则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图,且deg(Ri)≥l, l≥3,则m≤ l(n-2)/( l-2)推论:K5,K3,3不是平面图17.10、设G为n(n≥3)阶m条边的简单平面图,则m≤3n-6.17.11、设G为n(n≥3)阶m条边的极大平面图,则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图,则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配,对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边,组成边集N,则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖;若W1中存在相邻的边就移去其中的一条,设移去的边集为N1,则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论:设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配,W是G中的边覆盖,则|M| ≤ |W|,等号成立时,M为G中完美匹配,W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、(Hall定理)设二部图G=<V1,V2,E>中,|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中,V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边,而V2中每个顶点至多关联t 条边,则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G,均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图,则χ(G)=3,若G为偶阶轮图,则χ(G)=4.若G的边集非空,则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、(Brooks定理)若连通无向图G不是Kn,(n≥3),也不是奇数阶的圈,则χ(G) ≤∆(G) 18.10、(四色定理)任何平面图都是4-可着色的。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)

第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词:┐否定∨析取∧合取→:条件∆:双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ,否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
考试必备离散数学概念总结

考试必备离散数学概念总结1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A?B是重言式,则称A与B等值,记作A?B,并称A?B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<=""></k3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值,A1∧A2∧…∧Ak为假,或当A1∧A2∧…∧Ak为真时,B也为真,则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项:如, F(a):a是人谓词变项:如, F(x):x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号:非逻辑符号(个体常项符号、函数符号、谓词符号)和逻辑符号(个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号)4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词,t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项,则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式?xA 和?xA 中,称x为指导变元,A为相应量词的辖域. 在?x和?x的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项,则称A为封闭的公式,简称闭式.6.1、A?B??x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B?A?B∧B?A6.3、A?B?A?B∧A≠BA?B??x ( x∈A ∧x?B )6.4、幂集:P(A)={ x | x ?A } (一定包含空集)6.5、并A?B = {x | x∈A∨x∈B}交A?B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x?B}对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并?A = { x | ?z ( z∈A∧x∈z )}广义交?A= { x | ?z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合,A与B的笛卡儿积记作A?B,且A?B = {| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.(计数:|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学定义(必须背)

命题逻辑▪(论域)定义:论域是一个数学系统,记为D。
它由三部分组成:•(1)一个非空对象集合S,每个对象也称为个体;•(2) 一个关于D的函数集合F;•(3)一个关于D的关系集合R。
▪(逻辑连接词)定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数,真值函数也称为联结词。
•若n =0,则称为0元函数。
▪(命题合式公式)定义:•(1).常元0和1是合式公式;•(2).命题变元是合式公式;•(3).若Q,R是合式公式,则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式;•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪(生成公式)定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下:•⑴若c是S中的0元联结词,则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1,F是S中的n元联结词,A1,…,A n是由S生成的公式,则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪(复杂度)公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0,如果P是命题变元,则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B,则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2,或A=B1∨ B2,或A=B1→B2,或A=B1↔ B2,或A=B1⊕ B2,或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域:研究对象的集合。
•解释:用论域的对象对应变元。
•结构:论域和解释称为结构。
•语义:符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪(合式公式语义)设S是联结词的集合是{⌝,∧,∨,⊕,→,↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下:•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p,则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1,则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2,则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2,则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2,则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2,则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2,则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪(真值赋值)由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下:•⑴若Q是S中的0元联结词c,则v(Q)=c。
离散数学知识点总结及应用

离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算:并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词:与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型:自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构:邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法:深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法:Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算:与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用:逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结,希望对你的研究有所帮助。
离散数学基本公式

离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支,它主要研究的是非连续的、分离的对象,如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中,一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式:1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一,它表示对于任何逻辑运算,如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起,我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为:P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中,互补律表示对于任何集合A和它的补集A',我们有:A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式,它表示对于一个连通无向图G,其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系:euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数,v是图G的顶点数,e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理,它表示对于任何正整数n,如果它是质数p的幂次方,那么我们可以找到一个整数x,使得x的n 次方等于1(模p)。
用数学语言表示为:x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数,p是质数,x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P,P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中,如果假设的相反命题成立会导致矛盾,那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分,但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中,我们还需要掌握更多的公式和定理,以及它们的应用方法。
离散数学的基础知识点总结

离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础,涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论(Set theory):集合论是离散数学的基础,涉及了集合的概念、运算和恒等关系,以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑(Logic):逻辑是离散数学的重要组成部分,涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则,包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数(Functions):函数是离散数学中的核心概念之一,涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数(如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等)以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系(Relations):关系是离散数学中的另一个核心概念,涉及了关系的定义、关系的特性(如自反性、对称性、传递性和等价关系等)、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论(Graph theory):图论是离散数学的重要分支,涉及了图的基本概念(如顶点、边、路径和圈等)、图的表示方法(如邻接矩阵和邻接表等)、图的遍历算法(如深度优先和广度优先等)、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构(Algebraic structures):代数结构是离散数学的一个重要方向,涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类,以及同态映射和同构等概念。
8. 数论(Number theory):数论是离散数学的一个重要分支,涉及了自然数的性质和结构,包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择(Sorting and selection):排序和选择是离散数学中的一类重要问题,涉及了各种排序算法(如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等)和选择算法(如选择排序和堆排序等),以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学的概念总结

图论基本概念重要定义:有向图:每条边都是有向边的图。
无向图:每条边都是无向边的图。
混合图:既有有向边又有无向边的图。
自回路:一条边的两端重合。
重数:两顶点间若有几条边,称这些边为平行边,两顶点a,b间平行边的条数成为(a,b)的重数。
多重图:含有平行边的图。
简单图:不含平行边和自回路的图。
注意!一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替,因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图:如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图:如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉,得无向图G称为的D底图。
逆图:把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图:每条边都赋上了值。
出度:与顶点相连的边数称为该定点的度数,以该定点为始边的边数为出度。
入度:以该定点为终边的边数为入度。
特殊!度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图:在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图:在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图:阶图中如果其底图是无向完全图,则程此有向完全图是竟塞图。
注意!n阶有向完全图的边数为n的平方;无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作:①删边:删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点:删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图:删去一条边或一点剩下的图。
生成子图:只删边不删点。
主子图:图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图:设为阶间单无向图,在中添加一些边后,可使成为阶完全图;由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理:定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图,其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图,其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中,度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学笔记总结

离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题:能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题,“1 > 2”是假命题。
- 命题变元:用字母表示命题,如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬:¬ p表示对命题p的否定,若p为真,则¬ p为假,反之亦然。
- 合取wedge:pwedge q表示p并且q,只有当p和q都为真时,pwedge q才为真。
- 析取vee:pvee q表示p或者q,当p和q至少有一个为真时,pvee q为真。
- 蕴含to:pto q表示若p则q,只有当p为真且q为假时,pto q为假。
- 等价↔:p↔ q表示p当且仅当q,当p和q同真同假时,p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义:由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值:给命题变元赋予真假值,从而确定命题公式的真值。
- 分类:重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价:若A↔ B是重言式,则称A与B逻辑等价,记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q(德摩根律)。
- 范式:- 析取范式:由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式:由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式:每个简单合取式都是极小项(包含所有命题变元的合取式,每个变元只出现一次)的析取范式。
- 主合取范式:每个简单析取式都是极大项(包含所有命题变元的析取式,每个变元只出现一次)的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体:可以独立存在的事物,如人、数等。
- 谓词:用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P,R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词:- 全称量词∀:∀ xP(x)表示对于所有的x,P(x)成立。
- 存在量词∃:∃ xP(x)表示存在某个x,使得P(x)成立。
《离散数学》总复习上课讲义

第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算(重点) 3.3 集合中元素的计数(容斥原理是重点)
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系:属于xA,不属于xA 集合A与集合B的关系:习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1:命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假,即 当p为假时,pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时,pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1};哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1:前束范式(重点)
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx,kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成(置换规则) 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学知识点(可编辑修改word版)

1.内容及范围主要来自 ppt,标签对应书本2.可能有错,仅供参考离散数学知识点说明:定义:红色表示。
定理性质:橙色表示。
公式:蓝色表示。
算法: 绿色表示页码:灰色表示数理逻辑:1.命题公式:命题,联结词(⌝,∧,∨,→,↔),合式公式,子公式2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式3.范式:析取范式,极小项,主析取范式,合取范式,极大项,主合取范式4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否定,与非,或非,联结词完备集5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P 规则,T 规则, CP 规则,推理6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,∀-规则(US),∀+规则(UG),∃-规则(ES),∃+规则(EG), 推理集合论:1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构:1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元,零元,逆元2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。
离散数学基本知识

失散数学基本知识体积和表面积三角形的面积,底×高?2。
公式S=a×h?2正方形的面积,边长×边长公式S=a2长方形的面积,长×宽公式S=a×b平行四边形的面积,底×高公式S=a×h梯形的面积,(上底+下底)×高?2公式S=(a+b)h?2 内角和:三角形的内角和,180度。
长方体的表面积,(长×宽,长×高,宽×高)×2公式:S=(a×b+a×c+b×c)×2正方体的表面积,棱长×棱长×6公式:S=6a2长方体的体积,长×宽×高公式:V=abh长方体(或正方体)的体积,底面积×高公式:V=abh正方体的体积,棱长×棱长×棱长公式:V=a3圆的周长,直径×π公式:L,πd,2πr1圆的面积,半径×半径×π公式:S,πr2圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。
公式:S=ch=πdh,2πrh圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两端的圆的面积。
公式:S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。
公式:V=Sh 圆锥的体积,1/3底面×积高。
公式:V=1/3Sh算术1、加法互换律:两数相加互换加数的地点,和不变。
2、加法联合律:a+b=b+a3 、乘法互换律:a×b=b×a4、乘法联合律:a×b×c=a×(b×c)5、乘法分派律:a×b+a×c=a×b+c6、除法的性质:a?b?c=a?(b ×c)7、7、除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或减小)同样的倍数,商不变。
O除以任何不是O的数都得O。
高三离散数学知识点总结

高三离散数学知识点总结离散数学是高中数学中的一门重要学科,它研究的是离散的数值和对象,而非连续的数学领域。
在高三阶段,离散数学作为一门选修课程,为学生提供了解决实际问题和培养逻辑思维能力的机会。
本文将对高三离散数学的主要知识点进行总结,以帮助同学们更好地理解和应用这门学科。
一、集合论集合论是离散数学的基础知识点之一,它研究元素的集合。
在集合论中,常见的概念包括空集、全集、子集、交集、并集、差集等。
在高三离散数学中,集合论主要应用于概率论和组合数学等领域。
二、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间逻辑关系的数学分支。
命题是陈述性句子,或者说是可以判断真假的陈述。
在高三离散数学中,命题逻辑主要包括命题的连接词与、或、非的运算规则,以及命题的等价、充要条件等知识点。
通过学习命题逻辑,可以提高学生的逻辑思维和表达能力。
三、图论图论是离散数学中的重要分支,研究的是由结点和边构成的图的性质和应用。
图论在计算机科学、通信网络等领域有着广泛的应用。
在高三离散数学中,图论的主要知识点包括图的表示方法、连通性、路径和回路、树等。
通过学习图论,可以培养学生的抽象思维和问题解决能力。
四、模块算术模块算术是研究整数的除法与取余运算,以及同余关系的数学分支。
在高三离散数学中,模块算术主要应用于密码学和编码理论等领域。
模块算术的主要知识点包括同余运算的性质与应用、模反元素、欧拉定理等。
通过学习模块算术,可以提高学生的问题解决能力和抽象思维能力。
五、概率论概率论是离散数学中的重要分支,研究的是随机现象的概率和统计规律。
在高三离散数学中,概率论的主要知识点包括事件的概率、条件概率、独立性、期望等。
通过学习概率论,可以培养学生的推理能力和实际问题解决能力。
六、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支,研究的是离散对象的组合方式和性质。
在高三离散数学中,组合数学的主要知识点包括排列组合、二项式系数、鸽巢原理等。
组合数学在算法设计、图论等领域有着广泛的应用,通过学习组合数学,可以提高学生的问题解决能力和创新思维。
离散数学知识点整理

离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题:是一个可以判断真假的陈述句。
联接词:A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q",即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举,那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理,3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定:「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系,^说的是集合与集合的关系。
离散数学知识点整理

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支,它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来,用花括号括起来。
描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B,那么 A 是 B 的子集;如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B,那么 A 是 B 的真子集;如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同,那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合;交集是两个集合中共同的元素组成的新集合;差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合;补集是在给定的全集 U 中,去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念,它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵,用于表示两个有限集合之间的关系;关系图则是用顶点和边来表示关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系;反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系;对称性是如果 a 与 b 有关系,那么 b 与 a 也有关系;反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系,那么 a 等于 b;传递性是如果 a 与 b 有关系,b 与 c 有关系,那么 a 与 c 有关系。
等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系,它可以将集合划分为等价类。
偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系,它可以引出偏序集的概念。
三、函数函数是一种特殊的关系,它对于定义域中的每个元素,在值域中都有唯一的元素与之对应。
离散数学知识点整理

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支,它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
下面就为大家整理一下离散数学的一些重要知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如,一个班级里所有学生就可以构成一个集合。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来,如{1, 2, 3, 4, 5};描述法是用元素所满足的条件来描述集合,如{x | x 是小于 10 的正整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B,那么 A 就是 B 的子集;如果 A 是 B 的子集,且 B中存在元素不属于 A,那么 A 就是 B 的真子集;如果 A 和 B 包含的元素完全相同,那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合;交集是两个集合中共同的元素组成的集合;差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合;补集是在某个给定的全集 U 中,集合 A 的补集是由不属于 A 的元素组成的集合。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如,在一个班级中,同学之间的“朋友关系”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示中,若元素之间存在关系则对应位置为 1,否则为 0;图表示中,用节点表示元素,有关系的元素之间用边连接。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系;对称性是指如果 a 与 b 有关系,那么 b 与 a 也有关系;反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系,那么 a =b;传递性是指如果 a 与 b 有关系,b 与 c 有关系,那么 a 与 c 有关系。
三、函数函数是一种特殊的关系,它对于定义域中的每个元素,都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)

命题:称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。
真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。
命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。
(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。
主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A↔B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。
约束变元和自由变元:在合式公式∀x A和∃x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。
一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A↔B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。
前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。
集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。
二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。
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命题:称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。
真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。
命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。
(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。
主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A↔B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。
约束变元和自由变元:在合式公式∀x A和∃x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。
一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A↔B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。
前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。
集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。
二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。
特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={<x, y> | x∈A ∧y∈A }= A×A(3)恒等关系:IA={<x, x> | x∈A}(4)小于等于关系:LA={<x, y>| x, y∈A∧x≤y∈A },A ⊆ R(5)整除关系:R⊆ ={<x, y>| x,y∈ψ∧x ⊆ y} ,ψ是集合族二元关系的运算:设R是二元关系,(1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域dom R = { x |∃y(<x , y>∈R)} (2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = {y |∃x(<x , y>∈R)} (3)R的定义域和值域的并集称为R的域fld R= dom R∪ran R二元关系的性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。
等价关系:如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。
设R是A上的等价关系,x , y是A的任意元素,记作x~y。
等价类:设R是A上的等价关系,对任意的∀x∈A,令[x]R={ y| y∈A∧x R y },称[x]R 为x关于R的等价类。
偏序关系:设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称R 为A上的偏序,记作≤;称序偶< A ,R >为偏序集合。
函数的性质:设f: A→B,(1)若ran f = B,则称f 是满射(到上)的。
(2)若∀y∈ ran f 都存在唯一的x∈A 使得f(x)=y,则称f 是单射(——)的。
(3)若f既是满射又是单射的,则称f是双射(——到上)的。
无向图:是一个有序的二元组<V, E>,记作G,其中:(1) V≠Ф称为顶点集,其元素称为顶点或结点。
(2) E为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边。
有向图:是一个有序的二元组<V,E>,记作D,其中(1) V同无向图。
(2) E为边集,它是笛卡尔积V⨯V的多重子集,其元素称为有向边。
设G=<V,E>是一个无向图或有向图。
有限图:若V, E是有限集,则称G为有限图。
n阶图:若| V |=n,称G为n阶图。
零图:若| E |=0,称G为零图,当| V |=1时,称G为平凡图。
基图:将有向图变为无向图得到的新图,称为有向图的基图。
图的同构:在用图形表示图时,由于顶点的位置不同,边的形状不同,同一个事物之间的关系可以用不同的图表示,这样的图称为图同构。
带权图:在处理有关图的实际问题时,往往有值的存在,一般这个值成为权值,带权值的图称为带权图或赋权图。
连通图:若无向图是平凡图,或图中任意两个顶点都是连通的,则称G是连通图。
否则称为非连通图。
设D是一个有向图,如果D的基图是连通图,则称D是弱连通图,若D中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图。
若D中任意两个顶点是相互可达的,则称D是强连通图。
欧拉图:通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路(回路),称为欧拉通路(回路)。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
哈密顿图:经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路),称为哈密顿通路(回路),存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。
平面图:一个图G如果能以这样的方式画在平面上:出定点处外没有变交叉出现,则称G 为平面图。
画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。
二部图:若无向图G=〈V, E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V 2(V1∩V2 =φ),使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2,则称G为二部图(偶图)。
二部图可记为G = < V1, V 2 , E >, V1和V 2称为互补顶点子集。
树的定义:连通无回路的无向图称为无向树,简称树,常用T表示树。
平凡图称为平凡树。
若无向图G至少有两个连通分支,每个连通都是树,则称G为森林。
在无向图中,悬挂顶点称为树叶,度数大于或等于2的顶点称为分支点。
树的性质:性质1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:(1)G是树(2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径(3)G中无回路且m=n-1. (4)G是连通的且m=n-1. (5)G是连通的且G中任何边均为桥。
(6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。
性质2、设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶。
证:设T有x片树叶,由握手定理及性质1可知,2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2. 最小生成树:设T是无向图G的子图并且为树,则称T为G的树。
若T是G的树且为生成子图,则称T是G的生成树。
设T是G的生成树。
e∈E(G),若e∈E(T),则称e为T的树枝,否则称e为T的弦。
并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树,记作T。
最优二元树:设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt,权分别为w1,w2,…,wt,称W(t)=wil(vi)为T的权,其中l(vi)是vi的层数。
在所有有t片树叶,带权w1,w2,…,wt的2叉树中,权最小的2叉树称为最优2叉树。
最佳前缀码:利用Huffman算法求最优2叉树,由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码,用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。
蕴含式推理集合恒等式:P61幂等律:A∪A=A ;A∩A=A结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)交换律:A∪B=B∪A ;A∩B=B∩A分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)同一律:A∪φ =A ;A∩E=A零律:A∪E =A ;A∩φ= φ排中律:A∪~A=E矛盾律:A∩~A =φ吸收律:A∩(A∪B)=A;A∪(A∩B)=A德摩根定律:A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)~(B∪C)= ~B∩~C;~(B∩C)= ~B∪~C;~φ=E;~E=φ双重否定律:~(~A)=A二元关系的运算:设F,G,H是任意的关系,(1)(F -¹) -¹= F (2)dom(F -¹)=ran F ;ran (F -¹)=dom F(3)(F ◦G ) ◦H = F ◦(G ◦H ) (4)(F ◦G ) - ¹ =G -¹◦ F -¹设R是A上的关系(幂运算)(1)Rº= {<x,x>| x∈A} (2)R ^n = R ^(n-1) ◦R,n≥1 (3)R ◦Rº= Rº◦R = R 图的矩阵表示:(1)无向图的关联矩阵:设无向图G=<V,E>, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m},令m ij为顶点v i与边的关联次数,则称(m ij )n⨯ m为G的关联矩阵。
记为M(G)。
(2)有向图的关联矩阵:设无向图D=<V,E>, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m},1, vi是ej的始点m ij=0, vi与ej不关联-1,vi是ej的终点则称(m ij )n⨯ m为D的关联矩阵。
记为M(D) 。