3第一讲__数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε,有ε<-a x n .注1 ε的双重性．一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度．注 2 若n n x ∞→lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε，有00ε≥-a x n .2． 子列的定义在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注１ 对每一个k ,有k n k ≥．注２ 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥.反之，若k h n n ≤，则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x k n ．注４ ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>∃M ,使得对N n >∀，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>∀G ，N n N >∀N ∈∃,,有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞→n n x lim ．注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时,数列{}n x 是发散的,即nn x ∞→lim 不存在.注２ 若∞=∞→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真.注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量,则{}n n y x +为无穷大量． 注4 设{}n x 为无穷大量,{}n y 有界,则{}n n y x ±为无穷大量．注５ 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ,若0>∃δ,,N ∈∃N 使得对N n >∀,有δ≥n y ,则{}n n y x 为无穷大量.特别的，若0≠→a y n ,则{}n n y x 为无穷大量． ５．无穷小量若0lim =∞→n n x ，则称{}n x 为无穷小量.注1 若0lim =∞→n n x ,{}n y 有界,则0lim =∞→n n n y x ．注２ 若∞=∞→n n x lim ，则01lim=∞→nn x ；若0lim =∞→n n x ，且,N ∈∃N 使得对N n >∀,0≠n x ,则∞=∞→nn x 1lim.６.收敛数列的性质（１)若{}n x 收敛,则{}n x 必有界，反之不真. (2)若{}n x 收敛，则极限必唯一．(３)若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ,且b a >，则N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >．注 这条性质称为“保号性”,在理论分析论证中应用极普遍.（４）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且N ∈∃N ,使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.(５）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +,{}n n y x -,{}n n y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x （0lim ≠∞→nn y )也收敛,且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ,=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ,=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．7. 迫敛性(夹逼定理)若N ∈∃N ,使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤,且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ,则a x n n =∞→lim .8． 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． ９． Ca ｕch ｙ收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是:N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε，有ε<-m n x x ．注 Ｃａu ｃhy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． １0.B ｏｌzano Weierstr ａs ｓ定理 有界数列必有收敛子列.11. 7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12．几个重要不等式(１) ,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤ (2） 算术-几何-调和平均不等式：对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H （调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. (3) B ｅrnoul ｌi 不等式: （在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（4）Ca ｕchy －Ｓc ｈwa ｒｚ 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12(5)N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ １3. O ． Stol ｚ公式二、典型例题 1.用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．(必须掌握） 例1 用定义证明下列各式：(１）163153lim22=+-++∞→n n n n n ; （２）设0>n x ,a x n n =∞→lim ，则a x n n =∞→lim；（９7，北大,１0分） (３）0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明：（1)0>∀ε，欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++n nn n n n n n n n n n n 6636635616315322222 成立,只须ε6>n ，于是，0>∀ε,取1]6[+=εN ,当N n >时，有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n ． (2)由a x n n =∞→lim ,0>n x ,知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εa a x n <-,则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n于是，N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有<-a x n ε<-aa x n ,即 a x n n =∞→lim．（3）已知n n ln >，因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅， 所以,0>∀ε,欲使不等式=-0ln αn n≤αnn ln εαα<24n 成立,只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n ．于是，0>∀ε,取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε,当N n >时,有=-0ln αn n≤αnn ln εαα<24n ，即 0ln lim =∞→αn nn .评注1 本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N .将a x n -放大时要注意两点:①)(n g 应满足当∞→n 时,0)(→n g .这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解.评注２ 用定义证明a x n →)(∞→n ,对0>∀ε,只要找到一个自然数)(εN ，使得当)(εN n >时,有ε<-a x n 即可.关键证明N ∈)(εN 的存在性.评注３ 在第二小题中,用到了数列极限定义的等价命题,即: (１）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. (２)N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有k n a x ε<-)(N k ∈.例２ 用定义证明下列各式: (1)1lim=∞→n n n ；（92，南开,10分)（2)0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明:（１）(方法一)由于1>n n (1>n )，可令λ+=1n n （0>λ），则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时,21n n >-,有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ 即 nn n210<-<．0>∀ε,欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立,只须24ε>n .于是，0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ,当N n >时,有 1-nn ε<<n 2，即 1lim =∞→nn n ．(方法二）因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤- 个， 所以1-nn n2<,0>∀ε,欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立,只须24ε>n ．于是,0>∀ε,取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,当N n >时，有1-nn ε<<n2，即 1lim=∞→nn n ．（2)当1=k 时,由于1>a ，可记λ+=1a (0>λ)，则>++-++=+=n n n n n n a λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n (2>n ） 当2>n 时，21nn >-，于是有<<n a n 02242)1(λλn n n n <-. 0>∀ε,欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立,只须24ελ>n ． 对0>∀ε,取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ，当N n >时,有0-n a n <<n anελ<24n ． 当1>k 时,11>k a (1>a ），而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1．则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有ε<<nka n )(01，即kn k a n ε<<0,故 0lim =∞→n kn an ．评注１ 在本例中,0>∀ε，要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难.根据n x 的特征,利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中,一个λ是变量，一个λ是定值． 评注2 从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处． 评注3 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例 用定义证明：0!lim =∞→n a nn (0>a )(山东大学） 证明:当10≤<a 时，结论显然成立.当1>a 时，欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210! 成立, 只须>n [][]ε!1a a a +.于是0>∀ε,取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ，当N n >时,有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn . 例 设1<α,用“N -ε”语言，证明:0])1[(lim =-+∞→ααn n n .证明：当0≤α时,结论恒成立． 当10<<α时，0>∀ε,欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111．于是0>∀ε,取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε，当N n >时，有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．2.迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做,通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．n n n z x y ≤≤,b y n →，c z n →}{n x ⇒有界，但不能说明n x 有极限．使用夹逼定理时,要求n n z y ,趋于同一个数．例 求证:0!lim =∞→n a nn (a 为常数）．分析:na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数,必存在正整数m ，使1+<≤m a m ，因此,自1+m a 开始,11<+m a ,12<+m a ，1,<n a，且∞→n 时，0→na． 证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n an1321!0nam am⋅!，由于∞→n lim0!=⋅na m am,由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ，即 0!lim =∞→n a nn ． 评注 当极限不易直接求出时,可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同,直接由夹逼定理得出结果． 例 若}{n a 是正数数列,且02lim21=+++∞→nna a a nn ，则0lim 1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n .证明:由()()()n n na a a ⋅⋅⋅ 2121nna a a n+++≤212,知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅ 21!nna a a n+++≤212即nn a a a ⋅⋅⋅ 21n n n n na a a !1221⋅+++≤．于是，n n a a a n ⋅⋅⋅<210nnn nna a a !1221⋅+++≤，而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn 及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．评注１ 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为０. 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用.例如： (1）0lim =∞→nn q (1<q ) （2)01lim=∞→an n （0>a )(３）1lim=∞→nn a （0>a ) （4）1lim =∞→n n n（5)0!lim =∞→n a n n （0>a ） (6）∞→n lim 0!1=n n 例 证明:若a x n n =∞→lim （a 有限或∞±),则a nx x x nn =+++∞→ 21lim（a 有限或∞±).证明：(1)设a 为有限,因为a x n n =∞→lim ，则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε,有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x n21()()()na x a x a x n -++-+- 21+-++-+-≤nax a x a x N 121 nax a x n N -++-+ 1121εε+<-+<n A n N n n A ． 其中a x a x a x A N -++-+-=121 为非负数.因为0lim=∞→nAn ,故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε,有2ε<n A .取},m ax {21N N N =当N n >时,有εεε=+<-+++2221a n x x x n即 a nx x x nn =+++∞→ 21lim．(2)设+∞=a ，因为+∞=∞→n n x lim ,则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀，有G x n 2>，且0121>+++N x x x ．于是=+++nx x x n21 ++++n x x x N 121 n x x n N +++ 11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+取12N N =，当N n >时，G G nN <12,于是 G G G nx x x n=->+++221 ．即 +∞=+++∞→nx x x nn 21lim(３）-∞=a 时证法与（２）类似.评注1 这一结论也称Cauchy 第一定理,是一个有用的结果,应用它可计算一些极限，例如:（1)01211lim=+++∞→nn n (已知01lim =∞→n n ）；(２）1321lim3=++++∞→nnn n （已知1lim =∞→n n n ）. 评注2 此结论是充分的，而非必要的,但若条件加强为“}{n x 为单调数列”，则由a nx x x nn =+++∞→ 21lim可推出a x n n =∞→lim ．评注３ 证明一个变量能够任意小,将它放大后,分成有限项,然后证明它的每一项都能任意小,这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若10<<λ,a a n n =∞→lim (a 为有限数），证明：λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n ． 分析：令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=-- ，则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλ .只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλ (∞→n ）由于a a n n =∞→lim ，故N n N >∀N ∈∃,，有ε<--1n n a a ．于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλ 再利用0lim =∞→n n λ（10<<λ)即得．例 求下列各式的极限： （1）)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→ （２）n n n1211lim +++∞→ (３)nn nn 2642)12(531lim⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→解：(１)≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212+++++n n n∵∞→n lim nn n n +++++221 ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n , ∞→n lim 1212+++++n n n ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n , 由夹逼定理, ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n (２）n n n n n=+++≤+++≤11112111 ∵1lim=∞→nn n ，由夹逼定理，∴11211lim =+++∞→n n n. （3）∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ， ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n n．∵∞→n lim121=⋅nnn,由夹逼定理，∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ．评注nn 212-的极限是1，用此法体现了“１”的好处,可以放前,也可放后．若极限不是１,则不能用此法,例如:)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ,求n n x ∞→lim ．解：∵0>n x ,{}n x 单调递减，{}n x 单调递减有下界，故其极限存在． 令a x n n =∞→lim ，∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n ， a a 21=, ∴0=a ,即 0lim =∞→n n x ．)2112111(lim nn +++++++∞→ （中科院） 评注 拆项:分母是两项的积，111)1(1+-=+n n n n插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项.1111111+-=+-+=+n n n n n ３单调有界必有极限 常用方法:①n n x x -+1;②nn x x 1+；③归纳法;④导数法. )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题．命题:)(1n n x f x =+,若)(x f 单调递增,且12x x >(12x x <）,则{}n x 单调递增（单调递减）． 例 求下列数列极限： （１)设0>A ，01>x ，)(211nn n x Ax x +=+；(98,华中科大,１0分) (2）设01>x ,nnn x x x ++=+3331;（0４,武大)（3)设a x =0，b x =1，221--+=n n n x x x （ ,3,2=n ).（2000,浙大) 解:(1）首先注意A x A x x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211,所以{}n x 为有下界数列． 另一方面,因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x .(或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n ）故{}n x 为单调递减数列.因而n n x ∞→lim 存在,且记为a .由极限的四则运算,在)(211n n n x A x x +=+两端同时取极限∞→n ，得)(21aA a a +=.并注意到0>≥A x n ，解得A a =.(2)注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ，于是{}n x 为有界数列.另一方面，由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x ． 即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号，因此{}n x 为单调数列,所以n n x ∞→lim 存在(记为a )．由极限的四则运算,在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ，得aaa ++=333．并注意到30<<n x ，解得3=a ．(3)由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+ , 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→. 评注1 求递归数列的极限,主要利用单调有界必有极限的原理,用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论:设)(1n n x f x =+（ ,2,1=n )I x n ∈,若)(x f 在区间I 上单调递增，且12x x >(或12x x <）,则数列{}n x 单调递增(或单调递减)．评注 2 第三小题的方法较为典型，根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系,得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项n x 写成级数的表达式.例 设11,b a 为任意正数,且11b a ≤,设11112----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （ ,3,2=n ）,则{}n a ,{}n b 收敛，且极限相同.证明:由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b .则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．又10b b a n n ≤≤<,且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a ， 所以{}n a 亦为单调有界数列.由单调有界必有极限定理，n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在,且分别记为a 与b ．在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ,得ba ab a +=2与ab b =.考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<． 即得0≠=b a .例 (1)设21=x ,nn x x 121+=+,求n n x ∞→lim ；（2）设01=x ,22=x ,且02311=---+n n n x x x （ ,3,2=n ）,求n n x ∞→lim .解:(1)假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ，得aa 12+=,即21±=a ． 又2>n x ,故21+=a ．下面只须验证数列{}a x n -趋于零（∞→n ）．由于<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141， 而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n，由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a . (２)由02311=---+n n n x x x ，知=++n n x x 231=+-123n n x x =+--2123n n x x 62312=+=x x ， 则 2321+-=+n n x x ． 假设n n x ∞→lim 存在且等于a ,由极限的四则运算，得56=a ． 下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零(∞→n ).由于 =-+-=--56232561n n x x =⎪⎭⎫⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n x ． 显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ，由夹逼定理得56lim =∞→n n x ．评注1 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法,当我们不能直接用单调有界必有极限定理时,可以先假设a x n n =∞→lim ，由递归方程求出a ,然后设法证明数列{}a x n -趋于零.评注 2 对数列{}n x ,若满足a x k a x n n -≤--1（ ,3,2=n ）,其中10<<k ,则必有a x n n =∞→lim ．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用.评注３ 本例的第二小题还可用C ａuc ｈy 收敛原理验证它们极限的存在性．设1a >０,1+n a ＝n a +n a 1,证明n 1（０4，上海交大）证 (1)要证n 1 ,只要证2lim 12nn a n →∞=,即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a +n a 1,故110n n n a a a +-=>,1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim 0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞(3)由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界,则{}n a 必有极限a ,由1+n a =n a +n a 1知，a ＝a +1a ,因此10a=，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. (证完)4 利用序列的Ｃａu ｃhy 收敛准则例 （１）设21xx =(10≤≤x ),2221--=n n x x x ,求n n x ∞→lim ；（2）设111==y x ,n n n y x x 21+=+，n n n y x y +=+1，求nnn y x ∞→lim ; 解：(1）由21x x =(10≤≤x ），得211≤x ．假设21≤k x ，则412≤k x ．有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x . 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x 111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x021211111→≤-≤≤-+-n p n x x （∞→n ）． 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a ,由极限的四则运算，在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ,得022=-+x a a .注意到21≤n x ,故x a x n n ++-==∞→11lim . （2)设nnn y x a =,显然1>n a ． 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<-- 141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211 n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++121112124141a a n p n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++<--- 12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ).由Ｃａｕc ｈy 收敛准则知:n n x ∞→lim 存在并记为a .由极限的四则运算，在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ,得22=a . 注意到1>n a ，故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a ． 评注1 Ｃau ｃhy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性． 本例两小题都运用了Cau ｃhy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法，只是在第一小题中数列{}n x 有界,因此有11111≤+≤-++x x x x p p .保证了定义中的Ｎ仅与ε有关.评注2 “对N p ∈∀有()0lim =-+∞→n p n n x x ”这种说法与C ａuch ｙ收敛准则并不一致.这里要求对每个固定的p ,可找到既与ε又与p 的关的N,当N n >,有ε<-+n p n x x ．而C ａuchy 收敛准则要求所找到的N 只能与任意的ε有关.5 利用St ｏl ｚ定理计算数列极限例 求下列极限（１)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim 3333n n n n（２)假设1222...lim ,lim 2n n n n a a na aa a n →∞→∞+++==证明：(００，大连理工,10)(０4,上海交大) 证明:S ｔol ｚ公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+(3)nn n ln 1211lim +++∞→ (4）nn n n 1232lim++++∞→ （５)n n an 2lim ∞→(1>a ）6 关于否定命题的证明 (书上一些典型例题需背）a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例 证明:nx n 131211++++= 发散.例 设0≠n a （ ,2,1=n ），且0lim =∞→n n a ，若存在极限l a a nn n =+∞→1lim，则1≤l .(北大，２0)3第一讲__数列的极限典型例题7 杂例(1))1(1321211lim+++⋅+⋅∞→nnn(2)(04,武大）2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1nnnnnnaa a an aaa a aa→∞→∞+++>-=-=---(3) )1()1)(1(lim22nnxxx+++∞→(1<x）;(4)设31=a,nnnaaa+=+21（,2,1=n）,求:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=∞→nn aaal111111lim21.。