概率论知识点总结

概率论知识点总结

第一章 随机事件及其概率

第一节 基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）

包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。 相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。

事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。

事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。

互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。

对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：

Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA

（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂

第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1

（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时

++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P

概率的性质： （1）P(Φ)＝0

（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃

当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=

（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)

（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)

第三节 古典概率模型

1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为n

k A P =

)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)

()

()(Ω=

μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节 条件概率

条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).

)

()

()|(B P AB P B A P =

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)

全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则

∑==

)|()()

|()()

()

()|(j

j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P

第五节 事件的独立性

两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.

三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立

三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立

独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立

总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布

第二节 分布函数

分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X 落在区间

],(x -∞内的概率

分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F

第三节 离散型随机变量

离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称

k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.

当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。 分布律的性质：（1）10≤≤k p ；（2）

1=∑k

p

离散型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；

∑≤=

≤=x

x k

k x

P x X P x F )(}{)(

（2）已知随机变量X 的分布律, 求任意随机事件的概率； （3）已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律

)0()(}{--==k k k x F x F x X P

三种常用离散型随机变量的分布：

1.（0－1）分布：参数为p 的分布律为p X P p X P -====1}0{,}1{

2.二项分布：参数为n ，p 的分布律为k

n k k n p p C k X P --==)1(}{，n k ,,2,1,0 =。例如

n 重独立重复实验中，事件A 发生的概率为p ，记X 为这n 次实验中事件A 发生的次数，则X ～B （n ，p ）

3.泊松分布：参数为λ的分布率为λλ-=

=e k k X P k

!

}{， ,2,1,0=k 。例如记X 为某段事