直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式

Δ＝b 2－4ac

⎩⎪⎨⎪⎧

>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离

[知识拓展]

圆的切线方程常用结论

(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).

[

常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)

(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)

(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)

1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()

A．相切B．相交但直线不过圆心

C．相交过圆心D．相离

答案B

2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为() A．1 B．2 C．4 D．46

答案C

3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c

2＝0上，则m＋c的值等于________．答案3

4．(2014·重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

答案0或6

题型一直线与圆的位置关系

例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

思维点拨直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．

(1)若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，

b )( )

A ．在圆上

B ．在圆外

C ．在圆内

D ．以上都有可能

(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为______． 答案 (1)B (2)2555

题型二 圆的切线问题

例2 (1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________； (2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； ②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； ③过切点A (4，－1)．

(1)答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0

(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系

xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

题型三 圆与圆的位置关系

例3 (1)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．

(2)两圆x 2＋y 2－6x ＋6y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0公切线的条数是________．

(3)已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．

答案 (1)x －2y ＋4＝0 (2)2 (3)x ＝3

2

(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0的位置关系为()

A．外离B．外切

C．相交D．内切

(2)设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

(1)答案 D (2)故a的取值范围是[22－2,22＋2]，a的最大值为22＋2，最小值为22－2.

高考中与圆交汇问题的求解

一、与圆有关的最值问题

典例：(1)(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()

A.4

5π B.

3

4π

C．(6－25)π D.5

4π

(2)(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得