数字信号处理例题
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1、对一个LSI 系统而言，系统的输出等于输入信号与系统单位采样响应的线性卷积。
2、若1
1()10.5X z z
-=-，收敛域z 5＞0.，则原序列初值x(0)等于1，原序列
的终值等于 0。
3、已知线性移不变系统的冲激响应为()()()2h n n n δδ=--，则H (z )=2z -,
()j H e
ω
=2j e
ω
-。
4、已知0()cos(2)a x t f t π=，式中，0100f H z =，以采样频率400s f H z =对()
a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a x
t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： (1) 写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；
(2) 写出ˆ()a x
t 和()x n 的表达式； (3) 分别求出ˆ()a x
t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。 解：(1)
0001()()cos()[]2
j t
j t
j t
j t
j t
a a X j x t e
dt t e
dt e
e
e
dt
∞∞∞Ω-Ω-Ω-Ω-Ω-∞
-∞
-∞
Ω=
=
Ω=
+⎰
⎰
⎰
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里
叶变换可以表示成：
00()[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω
(2)0ˆ()()()cos()()
a a n n x
t x t t nT nT t nT δδ∞
∞
=-∞
=-∞
=-=
Ω-∑
∑
0()cos()
x n nT n =Ω-∞<<∞
0012200, 2.5s
f rad s T m s
f ππΩ===
=
(3)
0012ˆ()()[()()]a
a s s s k k X j X j jk k k T
T
πδδ∞
∞
=-∞
=-∞
Ω=Ω-Ω=
Ω-Ω-Ω+Ω+Ω-Ω∑
∑
式中，
2800s s f rad s
ππΩ==
00000()()cos()1[][(2)(2)]
2j j n
j n
n n j n
j n
j n
n n X e
x n e nT e
e
e
e
k k ω
ωωωωωπ
δωωπδωωπ∞∞
--=-∞=-∞
∞
∞
--=-∞
=-∞
==
Ω=
+=--++-∑
∑
∑
∑
式中，000.5T rad
ωπ
=Ω=
5、已知离散LSI 系统的差分方程：
311()(1)(2)()(1)
4
8
3
y n y n y n x n x n -
-+
-=+
-
其中，()x n 为输入，()y n 为输出。
(1) 求系统函数，指出系统的零极点；
(2) 若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域； (3) 求该因果稳定系统的单位脉冲响应。
解：(1)对差分方程两边取Z 变换
1
2
1
311()()()()()
4
8
3
Y z z Y z z Y z X z Z
X z ----
+
=+
系统函数：
1
1
1
2
1
1
1111()3
3
()3111()
1(1)(1)
4
8
2
4
Z Z
Y z H z X z z
z
z z ------++
=
==-
+
-
-
零点：1
,03
z =-。极点：11,24
z =
(2)由于系统为因果稳定系统 故收敛域：12
z >
(3)用部分分式法
1
1
1
111()3
3
()1111(1)(1)
()()
2
4
24
Z
z z H z z z z z ---+
+
=
=-
--
-
12
1()3
1111()()
2
4
2
4
z A A H z z
z z z z +
==+
-
--
-
112
()11()
10R e [
,]()223
z H z H z A s z z z ===-=
214
()11()
7R e [
,]()443
z H z H z A s z z z
===-=-