中考数学分类解析 专题 二次函数的应用(几何问题)

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题22：二次函数的应用（几何问题）

一、选择题

1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2

＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】

A ．k ＜－3

B ．k ＞－3

C ．k ＜3

D ．k ＞3 【答案】 D 。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】根据题意得：y ＝|ax 2

＋bx ＋c|的图象如右图，

∵|ax 2

＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。

二、填空题 三、解答题

1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2

+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求

A

B C

y y y -的值；

（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求

A

B C

y y y -的最小值．

【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2

+4x+10。

①∵y=x 2

+4x+10=（x+2）2

+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。

②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2

+4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴

A B C y 15

==5y y 107

--。

（Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b

x 12a

<=-

-。 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。

连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。

过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点

F （x 2，0）。

则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴

11AA FA BD CD

=

，即221x yA

1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴

AG EG

BD CD

=

，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2

+bx+c

上，

∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12

+bx 1+c ，

∴

()()()

211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 1

2＋x 1－2=0，

解得x 1=－2（x 1=1舍去）。

∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴

yA

yB yC

-的最小值为3。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。

①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。

②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、

y B 、y C 的值，然后计算

A

B C

y y

y -的值即可。

（Ⅱ）根据0＜2a ＜b ，求出0b

x 12a

<=-

-，作出图中辅助线：点A 作AA1⊥x 轴于点A1，则AA 1=y A ，OA 1=1．连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ，则BD=y B －y C ，CD=1．过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点F （x 2，0）。证出Rt△AFA 1∽Rt△BCD，得到

221x yA

1x yB yC 1-==--，，再根据△AEG∽△BCD 得到A E 1B C

y y 1x y y -=--，然后求出y A 、

y B 、y C 、y E 的表达式，然后y 0≥0恒成立，得到x 2≤x 1＜－1，从而利用不等式求出A

B C

y y y - 的

最小值。

2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2

+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

1

2

，EF⊥OD，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠O AC 时，求t 的值．

【答案】解：（1）二次函数y=ax 2

+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），

∴16a+24+c=0a 6+c=0⎧⎨-⎩，解得a=2

c=8-⎧⎨⎩

。

∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x 2

+6x+8。

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。

∴∠DEF=∠ODA。

∴△EDF∽△DAO。∴

EF ED

=

DO DA

。