3[1].2配方法(4)

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解一元二次方程配方法

1.2.解一元二次方程-配方法（1）第二课时教学内容配方法解一元二次方程（1）教材P10-12页教材分析对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础：同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。

一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。

教学目标知识能力1.会用直接开平方法解形如（X+m）2=n(n≧0)2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

过程与方法1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。

2. 了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

情感、态度与价值观1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣。

2．能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性。

教学重难点及突破重点用配方法解一元二次方程难点理解配方法的基本过程突破老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，利用他们有强烈的好奇心和求知欲。

当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索配方法解方程的问题。

课前预习方案：复习直接开平法解一元二次方程，完全平方公式，预习本课内容，完成P13页练习1、2题。

教学设想：利用多媒体辅助教学，直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。

本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。

湘教版九年级数学上册第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

新课探究
由于方程25x2+50x - 11 =0 的二次项系数不为1
，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两
边同除以25，将二次项系数化为1，得
配方，得因此
x2 2x 11 0. 25
x2 2x 12 12 11 0， 25
x 1 2 36 . 25
由此得解得
x 1 6 或x 1 6，
配方，得
x2 + 2 x-1 0
3
x2
+
2 3
x
1 3
2
1 3
2
-1
0
因此
x+
1 3
2
10 9
由此得
x+ 1 10 或x+ 1 10
33
33
解得
x1
10 3
-1
，x2
10 1 3
(3) 4x2-x -9=0;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2- 1 x- 9 0
44
x2
=0.4 x2 2x 2.5 0.4 x2 2x 12 12 2.5
0.4 x 12 1.4
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
(1) 2x2=3x - 1;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2 3 x+ 1 0

因式分解配方法

因式分解配方法因式分解是代数中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、化简、求根等问题中起着至关重要的作用。

因式分解配方法是一种常用的因式分解方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式进行简化，从而更容易进行后续的计算和分析。

本文将介绍因式分解配方法的基本原理和具体步骤，希望能够帮助读者更好地掌握这一方法。

一、基本原理。

因式分解配方法的基本原理是利用代数式的加法性质和乘法性质，通过巧妙的配方法，将一个复杂的多项式分解成若干个简单的因式相乘的形式。

在进行因式分解配方法时，通常需要根据多项式的特点选择合适的配方法，以便达到最简化的效果。

二、具体步骤。

1. 提取公因式。

在进行因式分解配方法时，首先需要对多项式进行分解，看是否可以提取出公因式。

如果多项式中存在公因式，就可以先将公因式提取出来，然后再进行后续的配方法。

2. 利用配方法。

如果多项式中不存在明显的公因式，就需要利用配方法进行因式分解。

配方法的选择通常取决于多项式的形式和特点，常见的配方法包括，分组配方法、换元配方法、加减逆配方法等。

在选择配方法时，需要根据多项式的具体情况进行灵活应用，以达到最佳的分解效果。

3. 整理因式。

在完成配方法后，通常需要对得到的因式进行整理，以便得到最简化的形式。

整理因式的方法包括合并同类项、提取公因式、化简分式等，通过这些方法可以使因式的形式更加简洁明了。

三、举例说明。

下面通过一个具体的例子来说明因式分解配方法的应用：例如，对多项式x^2+5x+6进行因式分解，首先可以尝试提取公因式，发现无法提取出公因式，因此需要利用配方法进行分解。

通过观察多项式的形式，可以发现它可以通过分解成两个一次因式相乘的形式，即(x+2)(x+3)。

这就是利用配方法成功进行因式分解的一个例子。

四、总结。

因式分解配方法是解决多项式因式分解问题的重要方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式分解成简单的因式相乘的形式，从而更容易进行后续的计算和分析。

《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)

知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1

x

=
.

4
16

3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )

配方法的题及其答案（精选3篇）

配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。

配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。

3 配方法第2课时配方法

21.2 解一元二次方程第2课时配方法置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？[说明与建议] 说明：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，激起学生的学习兴趣，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：教学中让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用．(1)能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？(2)什么是完全平方公式？将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？(3)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？[说明与建议] 说明：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，继而延伸到利用配方转化，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合，教师适当引导，激发学生的学习兴趣和求知欲，为本节课的学习做好铺垫．——第7页例1解下列方程：(1) x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)3x 2－6x ＋4＝0.【模型建立】根据配方法的依据可知，要把一个二次三项式配成完全平方式，要先确保二次项的系数是1，在此基础上加上一次项系数一半的平方．当然，为了保证多项式的结果不变，还要在后面减去前面所加的数．【变式变形】1．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －a)2＝b 的形式，则b 等于( D )A ．－4B ．4C ．－14D ．142．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为(t －74)2＝8116D ．3y 2－4y －2＝0化为(y －23)2＝1093．解方程：(1)x 2＋8x ＝9；(2)6x 2＋7x －3＝0；(3)x 2－6x ＋1＝－3.4．[答案：(1)x 1＝1，x 2＝－9 (2)x 1＝13，x 2＝－32(3)x 1＝3＋5，x 2＝3－5][命题角度1] 配方根据完全平方式的结构特点，当二次项系数为1时，只需加上一次项系数一半的平方，就能将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．注意：为保证二次三项式的值不变或等式成立，需要再减去一次项系数一半的平方或在方程两边同时作变换．例1 临沂中考一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为( B ) A ．(y ＋12)2＝1 B ．(y －12)2＝1 C ．(y ＋12)2＝34 D ．(y －12)2＝34例2 安顺中考若x 2＋2(m －3)x ＋16是关于x 的完全平方式，则m ＝__－1或7__．例3 吉林中考若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝__3__．[命题角度2] 用配方法解一元二次方程如果一元二次方程的二次项系数为1，将常数项移到方程的右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．需要注意的是为确保等式的成立，需要在方程两边同时作变换．例如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度3] 用配方法求字母或代数式的值根据完全平方式非负的特点，利用配方，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式，再由每一个非负数或式分别为0的性质构造方程(组)求解．例1 已知3x 2＋4y 2－12x －8y ＋16＝0.求y x 的值．解：原式可变形为(3x 2－12x ＋12)＋(4y 2－8y ＋4)＝0，配方得3(x －2)2＋4(y －1)2＝0，则x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，故y x ＝12＝1.例2 已知a 2＋2ab ＋b 2－4(a ＋b －1)＝0，求a ＋b －3的值．解：原式可变形为(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4＝0，配方得(a ＋b －2)2＝0，则a ＋b －2＝0，解得a ＋b ＝2，故a ＋b －3＝2－3＝－1.[命题角度4] 用配方法进行说理此类题目一般的考查方式是求最大(小)值或证明一个代数式的值总为非负(或非正)数．解决这类问题的思考点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”．例1 不论x ，y 为何值，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( A )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数例2 (1)用配方法求2x 2－7x ＋2的最小值；(2)用配方法求－3x 2＋5x ＋1的最大值．解：(1)2x 2－7x ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x －742－338，∴2x 2－7x ＋2的最小值为－338. (2)－3x 2＋5x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －562＋3712，∴－3x 2＋5x ＋1的最大值为3712. P 9练习1．填空：(1)x 2＋10x ＋______＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋______＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋______＝(x ＋____)2；(4)x 2－23x ＋______＝(x －____)2. [答案](1)25 5 (2)36 6(3)254 52 (4)19 132．解下列方程：(1)x 2＋10x ＋9＝0；(2)x 2－x －74＝0； (3)3x 2＋6x －4＝0；(4)4x 2－6x －3＝0；(5)x 2＋4x －9＝2x －11；(6)x(x ＋4)＝8x ＋12.解：(1)移项，得x 2＋10x ＝－9.配方，得x 2＋10x ＋25＝16，(x ＋5)2＝16.∴x ＋5＝±4，x 1＝－1，x 2＝－9.(2)移项，得x 2－x ＝74. 配方，得x 2－x ＋14＝74＋14，即⎝⎛⎭⎫x －122＝2. ∴x －12＝±2，x 1＝12＋2，x 2＝12－ 2. (3)移项，得3x 2＋6x ＝4.系数化为1，得x 2＋2x ＝43. 配方，得x 2＋2x ＋1＝43＋1，即(x ＋1)2＝73.∴x ＋1＝±213， x 1＝－1＋213，x 2＝－1－213. (4)移项，得4x 2－6x ＝3.系数化为1，得x 2－32x ＝34.配方，得x 2－32x ＋916＝34＋916，即⎝⎛⎭⎫x －342＝2116.∴x －34＝±214， x 1＝3＋214，x 2＝3－214. (5)整理，得x 2＋2x ＝－2.配方，得x 2＋2x ＋1＝－1.∴方程无实数根．(6)整理，得x 2－4x ＝12.配方，得x 2－4x ＋4＝16，即(x －2)2＝16.∴x －2＝±4，x 1＝6，x 2＝－2.当堂检测1.把方程x ²+4x = 2, 左边配成完全平方式的结果是（）A ．（x +4）²= 4 B. (x +2) ²= 0C. (x +2) ²= 6D. (x - 2)² = 62. 若代数式x ²+kx +9是一个完全平方式，则k 的值是（）A ． 6B ． ±6C ．12D ． ±123. 填上适合的式子，让等式成立：（1）x ²- 4x +______= ( x _____)²；(2) x ²+ 5x +___ = ( x +____ )² ．4. 配方：(1) x ² + mx = （x _____）²+______ ,(2) 2x ²- 8x +3 = 2(x ______)²+ ______ .5.用配方法解一元二次方程：（1）x ² + 4x +2 = 0；(2) 2x ² + 6x -1 = 0 .参考答案1. C2. B3.（1）4 -2 （2）425 25 4．（1） +2m （-4m 2）（2）-2 -5 5. 解：（1）(x+2)2=2,x = -2±2； (2) )23(2 x =411, x = -23±211.方程式的由来十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation". 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式. 由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的<代数初步>译出.李.伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词.这样,"方程"一词首次意为"含有未知数的等式.1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的<代数学>,他们则把"equation"译为"方程式",他们的意思是,"方程"与"方程式"应该区别开来,方程仍指<九章算术>中的意思,而方程式是指"今有未知数的等式".华.傅的主张在很长时间裏被广泛采纳.直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定"方程"与"方程式"两者意义相通.在广义上,它们是指一元n 次方程以及由几个方程联立起来的方程组.狭义则专指一元n次方程.既然"方程"与"方程式"同义,那么"方程"就显得更为简洁明了了.。

3[1].2配方法(2)

2
2
2
二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边。
两边同时加上一次项系数一半的平方。
写成完全平方式：（x+4）2=25
开方得：x+4= +5
注意：正数的平方根有两个。
转化降次思想
x=-4 +5 ∴ x=-4+5=1或x=-4-5= - 9
∴原方程的解为
x1=1
x2= 9
_
‹# ›
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
程左边配成完全平方式。
开方:根据平方根的意义,方程两边开平方。求解:解一元一次方程。定解:写出原方程的解。
‹# ›
随堂练习
成功者是你吗？
用合适的方法解下列方程:
1. (2x+3)² =0 -5
2. 2x² -8x=120
3. x² 10x +24 = 0 4. x² +6x =1
整体思想
‹# ›
1 2 49 (x + ) = 4 16
即
开平方得： ∴原方程的解为
x+
1 4
= 7 4
3 2
7 4
x=-
1 4
x1 = - 2 x2 =
‹# ›
用配方法解一元二次方程的步骤:
化1:方程两边同除以二次项系数。移项:把常数项移到方程的右边，二次项、一次项
移到方程左边。
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方
配方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
‹# ›
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程 2 x + x - 6 = 0 吗？

用配方法解一元二次方程的方法总结

用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。

其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。

（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。

（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。

(4)直按开平方:求出方程的解。

同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。

3(1).1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念(二)(第二课时) 教案

3.1.1 函数的概念(二)本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。

但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。

所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。

所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标学科素养A.能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数B.会求函数的定义域C.会求函数的值域1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：求函数的值域。

多媒体思考2：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值域时为什么分0a >和0a <两种情况？提示：当a >0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≥4ac －b 24a}．当a <0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( ) (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( )(3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一个函数．( )[解析] (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 的定义域不相同，所以不是同一个函数． (2)例如f (x )＝3x 与g (x )＝5x的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数． (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域都是R ，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y ＝f(x)的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数．例3．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )A ．{－2,0,4}B ．{－2,0,2,4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3}例4.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．{y|－1≤y ≤1}B ．RC ．{y|2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一函数的值域1、函数21,12y x x =-+-≤<的值域是( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．[解析] 由21,12y x x =-+-≤<，可知当x ＝2时，min 413y =-+=-；当x ＝0时，max 1y =，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数2(0)y ax bx c a =++>的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．题型二同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y ＝x x与y ＝1； (2)y ＝x 2与y ＝x ；(3)y ＝x ＋1·1－x 与y ＝1－x 2.[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否函数概念理解有误1、设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，集合N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M 到N 的函数关系的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[错解]函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D ．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x 在值域中是否有相应的y 值与之对应．[正解] 图(1)定义域M 中的(1,2]部分在值域N 中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B ．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A 、值域与数集B 之间的关系．学科素养求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法求函数y ＝3x ＋2x －2的值域． [分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y ＝a ＋c x ＋b的形式再求函数的值域．[解析] ∵y ＝3x ＋2x －2＝(3x －6)＋8x －2＝3＋8x －2，又∵8x －2≠0，∴y ≠3.∴函数y ＝3x ＋2x －2的值域是{y |y ∈R ，且y ≠3}． [归纳提升] 求y ＝ax ＋c x ＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为。

第3课时一元二次方程的解法(2) -- 配方法

例题与对应练习
• [例1]用配方法解一元二次方程x2 - 6x = 5时，此方程可变形为（
）
• A.（x+3）2 = 14
B.（x-3）2 = 4
• C.（x+3）2 = 9
D.（x-3）2 = 14
• 【练习】把一元二次方程x2 - 6x + 1 = 0配方成（x + m）2 = n的形式，正确的是（
用配方法解一元二次方程
• 解方程:x2 + 6x - 16 = 0. • 步骤: • （1）移项:把“常数项”移到等号的右边:x2 + 6x = 16； • （2）配方:等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使等号左边成为一个完全平
方式: • x2 + 6x + _________ = 16 + _________ ， • 即（x + _________ ）2 = _________ ； • （3）用直接开平方法解方程:x + _________ = _________ ， • ∴方程的解是x1 = _________ ，x2 = _________ .
形式，则ab = _________ . • 小结:配方时，先把常数项移到等号的右边，然后两边都加上一
次项系数一半的平方.
• [例3]配方法解一元二次方程: • （1）y2 + 10y + 4 = 0；（2）x（x + 8） = 16.
（1）y2 + 10y + 4 = 0；
• 【练习】用配方法解一元二次方程:
）
• A.（x+3）2 = 10
B.（x-3）2 = 10
• C.（x+3）2 = 8

专题01 二次根式重难点题型专训(原卷版)

【题型目录】题型一【经典例题一知识点（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是【变式训练】【变式【经典例题二【解题技巧】掌握二次根式的加减乘除运算法则，是求二次根式的值的关键；【例2【变式训练】【变式【例3【变式训练】【变式【解题技巧】把二次根式中套叠着二次根式的情形叫做复合二次根式。

1、公式法2、配方法解出【变式训练】【变式【经典例题五如果一个二次根式符合下列两个条件：因数是整数，因式是整式。

那么，这个根式叫做最简二次根式。

【变式训练】【经典例题六几个次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。

【变式训练】【变式值为（【经典例题七【变式训练】【变式【经典例题八【变式训练】【变式正数解，方法为：如图，将四个长为A．－1B【变式3】（2021春·四川凉山2+---，x x x1(5),4(4)V的最长边的长度是(1)当2x=时，ABC【培优检测】1．（2022A ．3154B ．3152C ．352D ．3548．（2022·全国·八年级专题练习）设a 为3535+--的小数部分，b 为633633+--的小数部分，则21b a -的值为（）A ．621+-B ．621-+C ．621--D ．621++9．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则3a =.③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③10．（2022春·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）化简二次根式 22a a a +-的结果是（）A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a -11．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.12．（2022秋·山西临汾·九年级统考期中）已知223y x x =-+--，则()()20222023x y x y +-的值为_____．13．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）已知120222021=-x ，则65432220212202222022x x x x x x --+-+-的值为___________．14．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）温故知新：若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值_____________．阅读理解：任意正整数a ，b ，∵()20a b-³，∴20a ab b -+³，∴2a b ab +³，只有当=a b 时，等号成立；结论：在2a b ab +³（a 、b 均为正实数）中，只有当=a b 时，+a b 有最小值2ab ．若1m >，11m m +-有最小值为________．15．（2022秋·八年级课时练习）已知n 是正整数，182n -是整数，则满足条件的所有n 的值为__________．16．（2022秋·八年级单元测试）若20212022a a a -+-=，则22021a -的值为______．17．（2021春·安徽六安·九年级统考期中）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．11(21)2121(21)(21)´-==-++-；11(32)3232(32)(32)´-==-++-；……11(10099)1009910099(10099)(10099)´-==-++-由此，我们可以解决下面这个问题：111123100S =+++×××+，求出S 的整数部分．解：1112222111231002233100100S =+++×××+=+++×××+++++222211122399100<+++×××+++++12(213210099)19=+-+-+-=L 1112222111231002233100100S =+++×××+=+++×××+++++……∴S 的整数部分是________．18．（2022·全国·八年级假期作业）形如726+的根式叫做复合二次根式，对726+可进行如下化简：726+＝22(6)261(61)++=+＝6+1，利用上述方法化简：102214231-+-+＝_____．19．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：111122´=-；11112323´=-；11113434´=-；11114545´=-¼¼(1)请用含n 的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x x ++++++++++；(4)计算：1111122332310++++++++L ．20．（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2322(12)+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设22(2)a b m n +=+（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有222222a b m n mn +=++．222a m n \=+，2b mn =．这样小明就找到了一种把部分2a b +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ．n 均为正整数时，若23(3)a b m n +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得=a ，b = ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数；a ，b ，m ，n 填空： + 3(= + 23)；(3)若243(3)a m n +=+，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．21．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）将n 个0或2排列在一起组成一个数组，记为()12,,,n A t t t =L ，其中1t ，2t ，…，n t 取0或2，称A 是一个n 元完美数组（2n ³且n 为整数）．例如：()0,2，()2,2都是2元完美数组，()2,0,0,0，()2,0,0,2都是4元完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于()x y x y x y =+--*，新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x =L 和()12,,,n N y y y =L ，()11221***2n n M N x y x y x y Å=+++L ．例如：对于3元完美数组()2,2,2M =和()0,0,2N =，有1(0022)22M N Å=´++=．(1)①在()3,2，()2,0，()2,2,0中是2元完美数组的有______；②设()2,0,2A =，()2,0,0B =，则A B Å=______；(2)已知完美数组()2,2,2,0M =，求出所有4元完美数组N ，使得22M N Å=；(3)现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 满足0C D Å=，则m 的最大可能值是______．22．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知556777=，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是677的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x 的最大整数．在数轴上就是取出实数x 对应的点左边最接近的整数点（包括x 本身），简称取整，记为[]x ．这里[]x x a =-，[]x a x +=，其中[]x 是一个整数，01a £<，a 称为实数x 的小数部分，记作{}x Z ，所以有[]{}x x x Z =+．例如，[14.3]15-=-，2.45{}0.45Z =．关于取整运算有部分性质如下：①1[]x x x -<… ②若n 为整数，则[][]x n x n +=+请根据以上材料，解决问题：(1)[10]=___________；若[]m p =-，{}n Z p -=，则2m mn +=___________；(2)记111121322320222021M =++++++++L ，求[]M ；(3)解方程：3467[]93x x +-=．23．（2022秋·甘肃天水·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如231+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：231=+2(31)(31)(31)-=+-22(31)(3)1-=-2(31)2-=31-以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则2222224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)计算：1+31+1+53+1+75+1 (20192017)++；(2)m 是正整数， a =11m m m m +-++，b =11m mm m+++-且222182322019a ab b ++=．求 m ．(3)已知2215+261x x --=，求2215++26x x -的值．24．（2021秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读下列三份材料：材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”如11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如31x +，221x x +这样的分式就是真分式；类似的，假分式也可以化为带分式．如：()12121111x x x x x +--==-+++；材料2：在学了乘法公式“()2222a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：()2222245422521x x x x x ++=++-+=++，∵()220x +³，∴()2211x ++³．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1．25311544x x =--++∴245x x ++的最小值是1．材料3：由()20a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，则有下面的不等式：2a b ab +³，当且仅当a =b 时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x+的最小值．解：令a =x ，4b x =，则由2a b ab +³，得4424x x x x+³×=，当且仅当4x x =时，即x =2时，式子有最小值，最小值为4．请你根据上述材料，解答下列各题：(1)已知0x >，填空：①把假分式12x x -+化为带分式的形式是________；②式子2815x x ++的最小值为________；③式子364+x x的最小值为________；(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)已知0x >，分别求出分式223374x x x x -+-+和2234124x x x x -+-+的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．。

配成完全平方的技巧

配成完全平方的技巧在数学中，完全平方是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如4、9、16等。

而有些数并不是完全平方，但是我们可以通过一些技巧将它们配成完全平方。

下面就来介绍一些配成完全平方的技巧。

1.加减法配方这是最基本的一种方法，即将一个数拆分成两个数的和或差的形式，然后再将其配成完全平方。

例如，对于数12，我们可以将其拆分成9+3，然后再将9配成3的平方，即12=3²+3。

2.乘法配方这种方法适用于两个数的乘积可以表示为一个完全平方的情况。

例如，对于数24，我们可以将其拆分成4×6，然后再将4和6配成2²和2²+2×2，即24=2²×(2²+2×2)。

3.公式配方有些数可以通过一些公式来配成完全平方。

例如，对于数10，我们可以使用差平方公式，即10=3²-1²，因此10可以表示为(3-1)²+2²。

4.负数配方有些数可以通过引入负数来配成完全平方。

例如，对于数15，我们可以将其拆分成16-1，然后再将1配成(-1)²，即15=4²-1²。

5.连续奇数配方对于一些连续的奇数，它们的和可以表示为一个完全平方。

例如，对于数9，我们可以将其拆分成1+3+5，然后再将它们配成(1+2)²-2²，即9=(1+2)²-2²。

配成完全平方的技巧有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法。

这些技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以在实际应用中发挥重要作用。

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （•淄博）解方程：x 2+4x ﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到x 2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x 2+4x ﹣1=0∴x 2+4x=1∴x 2+4x +4=1+4∴（x +2）2=5 ∴x=﹣2±∴x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-．【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（）A ．（x +2）2=1B ．（x +2）2=7C ．（x +2）2=13D ．（x +2）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为．12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7．2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9，（x ﹣3）2=2．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1 【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+2149()416x +=1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

第21章第3课时配方法解一元二次方程-人教版九年级数学上册讲义

人教版九年级数学上册讲义第二十一章一元二次方程第3课时配方法解一元二次方程教学目的1．了解配方的意义和方法；2．掌握用配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程．教学重点配方法的应用教学内容知识要点用配方法解一元二次方程配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．步骤：(1)移项，把常数项移到方程右边，左边只含二次项和一次项．(2)二次项系数化为1.(3)配方，方程两边分别加上一次项系数一半的平方，然后将方程整理成(x＋n)2＝p的形式．(4)降次．若p≥0，则根据直接开平方法求其解；若p<0，则原方程无实数根．对应练习1．方程的根为（）.(A) 124,4x x ==- (B) 124,0x x =-=(C) 120,2x x == (D) 124,0x x ==2．用配方法解方程0582=+-x x ，正确的变形为（）.(A) 11)6(2=-x (B) 11)4(2=-x(C) 2(4)11x -=- (D) 以上都不对3．方程2160y +=的根是（）.(A)4 (B)4- (C)4± (D) 无实数根二、填空题4．根据题意填空：(1) 226___(__)x x x ++=+； (2) 225___(__)x x x -+=-； (3) 224___(__)3x x x ++=+ (4) 22412___(23)x x x ++=+ 三、解答题5．用配方法解方程：(1) 242x x +=； (2) 27304x x --=；(3) 2483xx -=-； (4) 2441018x x x ++=-；。

浙教版数学八年级下册第3课时配方法(二)[学生用书A14]

第3课时配方法(二)[学生用书A14]1．用配方法解方程2x 2－7x ＋5＝0时，下列配方结果正确的是 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＝916 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝298D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＝298 【解析】 ∵2x 2－7x ＋5＝0，∴x 2－72x ＝－52，∴x 2－72x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝916，故选A. 2．方程3x 2＋2x －6＝0左边配成一个完全平方式所得的方程是 ( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋262＝－1718B.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3718C.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3518D.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋262＝376【解析】方程两边同时除以3，得x 2＋23x －2＝0， ∴x 2＋23x ＝2，∴x 2＋23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫262，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3718.故选B.3．若关于x 的方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( A )A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7【解析】根据题意知，－(k －1)＝±2×5×1， ∴k －1＝±10，即k －1＝10或k －1＝－10，∴k ＝11或k ＝－9. 4．下列方程解法正确的是 ( D )A ．4x 2＝36，所以x ＝3B ．x 2＋4x ＋3＝0，可化为(x ＋1)2＝7C ．3x 2－6x ＋15＝0，可化为(x －1)2＝16D ．2y 2－7y －4＝0，可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742＝8116【解析】 A 不正确，原方程可化为x 2＝9，∴x 1＝3，x 2＝－3；B 不正确，原方程可化为x 2＋4x ＝－3，∴x 2＋4x ＋4＝－3＋4，∴(x ＋2)2＝1；C 不正确，原方程可化为x 2－2x ＋5＝0，∴x 2－2x ＋1＝－5＋1，∴(x －1)2＝－4；D 正确． 5．代数式2x 2－x ＋3的值( A )A ．总为正B ．总为负C ．可能为0D ．都有可能【解析】 2x 2－x ＋3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－116＋3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－18＋3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋278＞0，故选A. 6．若2x 2－3x －7＝2(x －m )2＋n ，则m ＝__34__，n ＝__－658__．【解析】 2x 2－3x －7 ＝2⎣⎢⎡x 2－32x ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342－7＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－916－7＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－98－7＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－658， ∴m ＝34，n ＝－658. 7．解方程：2x 2－4x －3＝0. 移项，得2x 2－4x ＝__3__，方程两边同除以2，得x 2－2x ＝__32__．配方，得x 2－2x ＋__1__＝__52__，即(x －__1__)2＝52. ∴x __－1__＝±102， ∴x 1＝__1＋102__，x 2＝__1－102__． 8．用配方法解方程： (1)2x 2－7x ＋6＝0； (2)4x 2－6x －3＝0； (3)2x 2＋6x ＋1＝0.解：(1)方程两边同时除以2，得 x 2－72x ＋3＝0，∴x 2－72x ＋4916＝－3＋4916， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝116，∴x －74＝±14， ∴x 1＝2，x 2＝32.(2)方程两边同时除以4，得x 2－32x ＝34， ∴x 2－32x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＝2116，∴x －34＝±214，∴x 1＝21＋34，x 2＝3－214. (3)∵2x 2＋6x ＋1＝0， ∴2x 2＋6x ＝－1， ∴x 2＋3x ＝－12，∴x 2＋3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝－12＋94，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝74， ∴x ＋32＝±72，∴x 1＝－3＋72，x 2＝－3－72.9．[2013·自贡]用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.解：∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，∴a ≠0，∴由原方程，得x 2＋b a x ＝－ca ，等式的两边都加上⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，得x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝－4ac －b 24a 2，当b 2－4ac ≥0时，开方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a ，解得x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac<0时，原方程无实数根．10．有一根20 m长的绳子，怎样用它恰好围成一个面积为24 m2的长方形？解：设围成的长方形长为x m，则宽为(10－x)m，依题意，得x(10－x)＝24，解得x1＝4，x2＝6，∴10－x＝6或4.答：围成的长方形长为6 m，宽为4 m.11．已知方程x2－6x＋q＝0可以配成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配成(B) A．(x－p)2＝5B．(x－p)2＝9C．(x－p＋2)2＝9D．(x－p＋2)2＝5【解析】∵x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，∴x2－6x＋q＝0可以化为(x－p)2－7＝0的形式，∴x2－6x＋q＝2可以化为(x－p)2－7＝2的形式，即(x－p)2＝9，故选B.12．不论x，y取任何实数，式子x2＋y2－2x＋4y＋9的值(B) A．总小于9B．总不小于4C．可为任何实数D．可能为负实数【解析】x2＋y2－2x＋4y＋9＝(x2－2x＋1)＋(y2＋4y＋4)＋4＝(x－1)2＋(y＋2)2＋4≥4，故选B.13．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，上述式子就叫做2阶行列式，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，则x ＝__±2__．【解析】依题意，得(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， ∴x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＋1＝6，∴2x 2＝4，∴x 2＝2， ∴x ＝±2.14. 若关于x 的一元二次方程x 2＋3(m ＋1)x ＋9＝0的左边是完全平方式，则m ＝__1或－3__．【解析】 x 2＋3(m ＋1)x ＋9＝0，即x 2＋3(m ＋1)x ＋32＝0，∵方程左边是完全平方式，∴3(m ＋1)＝6或3(m ＋1)＝－6，解得m ＝1或m ＝－3.15．一个直角三角形的两条直角边长相差5 cm ，面积是7 cm 2，求斜边长．解：设直角三角形中较长直角边长为x cm ，则另一条直角边长为(x －5)cm ，依题意，得 12x (x －5)＝7，解得x 1＝7，x 2＝－2(舍去)， ∴x －5＝2，∴直角三角形的两直角边长分别为2 cm ，7 cm ， ∴直角三角形的斜边长为22＋72＝53(cm)．16．[2013·达州]选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2. 根据上述材料，解决下面问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)(x －4)2－12或(x ＋2)2－12x 或(x －2)2－4x 或(2x －2)2－3x 2 (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋34(y －2)2＝0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝1.初中数学试卷金戈铁骑制作。

一元三次方程的15种解法

一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。

解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。

本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。

2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。

具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。

3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。

具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。

4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。

具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，，是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解．一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1）若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2）若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3）已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4）当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1）用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-．（2）用配方法解方程：22310x x ++=．（3）用分解因式法解方程：2()2136x x -=-．（4）用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1）解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=．（2）解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=．【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和有公共根，则该公共根为．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1）解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2）解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1）解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069．（3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--．（2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．（3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是。