第六章相似矩阵
特征值与特征向量计算第六章
其对应的特征向量为
因为 A xk = k xk
x1 x2 , x3 ,
, xn
所以 A-1 xk = k-1 xk
故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足
n
1
n1
1
1
1
对应的特征向量仍为 x k 。因此，求矩阵 A 的按模最小特征 值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1 ，这只需应用 幂法即可求得。
i
, n ， B
1
的特征向量与矩阵
A
相 同 。 为 了 加 速 求 得 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且 。
q
2 q 2 1 q 1
易求得，
2 n
2
是一个很好的选择.可以验证，
2 q
1
此时 B 的模最大的特征根仍为 1 q ， 且模第二大的特 征根为 2 q 或 n q ， 由于 q q 2
i [1 1 i ( ) i ] 1 i 2 n i k k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
i k ) i 1 i 2 n i k m ax [ 1 1 i ( ) i ] 1 i 2 1 1 i (
1 1 2
n q
2 n
n
2 1
， 因而，
过程可以加速。
这个办法也可用来求按模最小的特征值及相应 特征向量，只需令
1 n1 q 2
即可。
上述加速办法也称为移位法 .由于特征值分布 范围预先可由定理 6.1 先限定一个范围，但此范围 往往太大，实际使用时一般是通过多次实验找到合 适的 q 值使迭代过程有明显加速为止。
第6章 矩阵的相似变换
6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
-19-
定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
第六章_特征值问题与矩阵变换
⎛ − 1 1 0⎞ ⎟ ⎜ 例２ 求矩阵 A = ⎜ − 4 3 0 ⎟的特征值和特征向量 . ⎜ 1 0 2⎟ ⎠ ⎝
解
A的特征多项式为 −1− λ 1 0
2
3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1. −4 当 λ 1 = 2时, 解方程( A − 2 E ) x = 0.由
A − λE =
⎛ − 3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A − 2E = ⎜ − 4 1 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎠ ⎝ 得基础解系
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 1 0 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ p1 = ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
所以kp1(k ≠ 0)是对应于 1 = 2的全部特征向量 λ
若A与B相似 , B与C相似 , 则A与C相似 .
结论.n维线性性空间V上的一些线性变换σ在V的 不同基下的矩阵是相似矩阵。
二、相似矩阵与相似变换的性质
定理6.6:
;
求齐次线性方程组( A − λ E ) x = 0 的一个基础 x 解系
η 1 ,η 2 ,
,η t
可得 A 的属于特征值 λ 的全部特征向量 k 1η 1 + k 2η 2 + + k t η t 其中 k 1 , k 2 , , k t 为不全为零的常数 .
注、 n 次多项式的求根 问题一般并不容易， 在实际问题中常常应用 近似计算公式来求 特征值
6.2、矩阵的相似变换
(一)、相似变换与相似矩阵的性质
一、相似变换与相似矩阵概念
定义1 设A, B都是 n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
研究生矩阵理论课后答案第6-7章
求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如 第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章 矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一 矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都 对应于唯一 f(x)∈ 唯一的 对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分 广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 矩阵多项式函数和由 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1
第六章矩阵的相似特征值和特征向量
第六章矩阵的相似特征值和特征向量矩阵的相似性：在线性代数中，如果两个矩阵具有相同的特征值，则它们被称为相似矩阵。
当两个矩阵A和B相似时，它们之间可以通过一个可逆矩阵P进行相互转换，即A=PBP^(-1)。
相似矩阵具有一些有用的性质和应用。
特征值和特征向量：一个n阶矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Av=λv，其中v 是一个非零的n维向量，称为特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来计算。
特征值和特征向量对于理解矩阵的性质和应用非常重要。
特征值和特征向量的求解：要求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：1. 对于矩阵A，计算其特征方程det(A-λI) = 0，其中det表示矩阵的行列式，I为单位矩阵。
2.解特征方程，得到特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对于每个特征值λi，求解方程(A-λiI)v = 0，其中v为特征向量。
得到多组特征向量v1，v2，...，vn。
特征值和特征向量的性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质：1.相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
2.特征向量可以用于将线性变换A表示为对角矩阵D的相似变换，即A=PDP^(-1)。
3.特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵的行列式。
4.如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是相互正交的。
特征值和特征向量的应用：特征值和特征向量在多个领域都有广泛的应用：1.物理学中，特征值和特征向量用于描述物理系统的振动模式和稳定性。
2.图像处理中，特征值和特征向量用于图像压缩、图像恢复等算法。
3.机器学习中，特征值和特征向量用于降维、主成分分析等特征提取方法。
4.工程学中，特征值和特征向量用于结构分析、系统控制等问题的求解。
总结：特征值和特征向量是矩阵相似性的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和应用。
通过求解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
它们具有许多有用的性质和应用，在多个领域中得到广泛的应用。
6-2 相似矩阵
B
相似， 或说矩阵 A 与 B 相似， 相似矩阵， 则称 B 是 A 的相似矩阵， 【性质】 若n阶方阵 与 B相似，则A与B的特征多项式相同 性质】 的特征多项式相同. 与 的特征多项式相同 (1)若 阶方阵 阶方阵A与 相似 相似， 相同的行列式,相同的秩 ，相同的特征值,相同的行列式 相同的秩 相同的特征值 相同的行列式
5 + a = 4 + b ∴ − (5a + 3) = −( 4 + 4b ) 6a − 6 = 4b
解得a = 5, b = 6
小结
1、相似矩阵的概念； 、相似矩阵的概念； 2、相似矩阵的性质及推论； 、相似矩阵的性质及推论；
作业 ： 173页习题 页习题6-2 页习题 2
第一节 特征值与特征向量
( x1 , x 2 , L , n )
那么
A ( x1 , x 2 ,L , x n ) =
或
( Ax1, Ax2 ,L, Axn ) = (λ1 x1, λ2 x2 ,L, λn xn )
第二节 相似矩阵
相似矩阵的概念及性质 方阵可对角化的条件及方法 问题与思考
6.2.2节 二（6.2.2节）、 方阵相似对角化问题
【定义6.3 】 若方阵 定义6.3 相似， A 能与一个对角阵 Λ相似，
则称 A 可以相似对角化. 【定理6.3 】 定理6.3 n 阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 阶方阵A可以相似对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量
3 4 A= , 5 2
1 − 1 4 1 P = , Q = − 5 1 − 1 2
−1
1 − 1 3 4 1 − 1 1 9 −1 P AP = 5 2 − 1 2 = 2 4 − 1 2 4 1 3 4 4 1 − 2 −1 Q AQ = 5 2 − 5 1 = 0 − 5 1
第6章矩阵的特征值及特征向量的计算
λ
x
的特征值时， 是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组 的特征向量。 ，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。 从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看 ， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题 。 当 很小时（ 这种方法是可行的。 稍大时， 很小时（ 如 n = 2,3,4 ） ，这种方法是可行的。 但当 n 稍大时 ，多项式方 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果： 程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向 量的数值计算方法。 可逆， 量的数值计算方法 。 设某 n 阶矩阵 A 可逆 ， λ 和 ν 分别 的特征值和相应的特征向量， 为 A 的特征值和相应的特征向量 ， 并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数， 特征值互为倒数 ， 而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向 量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值 的倒数， 的倒数 ， 用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量教材
2 2
4 3
0 0
0
1 6
第 6章
2.3
矩阵的相似 特征值和特征向量
根与系 数 A 有相同 设 A 是 n 阶方阵，则 AT 与 的关系 Proof
特征值与特征向量的性质
Theorem 6.2
的特征值. Theorem 6.3 设 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个特征值为 1，2， ，n ，则
说明特征向量不是被特征值所唯一确定，相反，特
征值却是被特征向量所唯一确定。 一个特征向量只能属于一个特征值
若非零向量 x 是属于两个特征值 1，2 的特征向量, 1 x 2 x 则有 Ax 1x，Ax 2 x 即
于是 (1 2 ) x 0 又因为 x 0 所以 1 2 . A 的属于特征值 0 的全体特征向
A E 0 E A 0
ann ) n1 (1)n A ()
E A n (a11 a22
又因为 1，2， ，n 是 A 的全部特征值，故
E A ( 1 )( 2 ) ( n ) n (1 2 n ) n1 (1)n 12
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
未必有两 个
当 1 2 1， 解方程组 ( A E ) x 0 ( A 5E ) x 0 52 x 当 ， 解方程组 3x 1 0 2 2 x 0 1 2 3 0 1 4 2 2 1 1 x 0 x 1 解得基础解系 1 2 2 x 2 x 0 即 2 x 1 2 3 r 1 x 1 A 5E 2 4 2 0 1 1 1 2 x 3 2 x 2 x 0 解得基础解系
矩阵论第六章K积及一些常见的矩阵方程
x2 x2
y1 y2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
x1 y "
⎟⎞ ⎟
，η
x2 y ⎟⎠
=
⎜⎛ u1v1
⎜ u1v2
⎜ ⎜⎜⎝
u2v1 u2v2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜
u1v "
⎟⎞ ⎟
⎜⎝u2v ⎟⎠
x1 y1 = ( a11u1 + a12u2 ) ( b11v1 + b12v2 ) = a11b11u1v1 + a11b12u1v2 + a12b11u2v1 + a12b12u2v2
= A+ ⊗ B+ [ ( A ⊗ B ) ( A+ ⊗ B+ ) ]H = [ AA+ ⊗ BB+ ]H
= ( AA+ )H ⊗ ( BB + )H
= AA+ ⊗ BB + = ( A ⊗ B ) ( A+ ⊗ B+ )
同样有[ ( A+ ⊗ B+ ) ( A ⊗ B ) ]H = ( A+ ⊗ B+ ) ( A ⊗ B )
在于它们的元的表示法不同，C mn 中的元是用列向量形式表出的。由
同构定理易知这两个空间是同构的。于是，适当的取同构映射，就能
故
( A ⊗ B ) ( x(i) ⊗ y( j) ) = [ ( A ⊗ In ) + ( Im ⊗ B ) ] ( x(i) ⊗ y( j) )
=
λ i
(
x(i)
⊗
y( j)
)
+
μ j
(
矩阵函数及函数矩阵矩阵函数及函数矩阵
第六章矩阵矩阵函数及函数矩阵函数及函数矩阵第一节矩阵多项式、最小多项式定义：设nn m m mm CA a a a a p ⨯--∈++++=,)(0111λλλλ m m1-则称E a A a A a A a A p m m 011)(++++=- 为A 的矩阵多项式.块i ⎥⎤⎢⎡λλ1例1：设J i 为d i 阶Jordan ii J ⎥⎥⎥⎢⎢⎢=1 iidd i ⨯⎦⎣λJ d di ()例2：设J 为Jordan 标准形, J =diag(J 1, J 2, , J r ), 则:diag J J J J =))(,),(),((g )(21r p p p p 例3：设A 为n 阶矩阵, J 为其Jordan 标准形, A =PJP -1=P diag(J 1, J 2, , J r )P -1,则:11--== (以上表达式称为p (A )的Jordan 表示)21))(,),(),((diag )()(PJ p J p J p P P J Pp A p r 例4：设34,12)(-+-=p λλλλ1020*********-⎥⎥⎤⎢⎡=⎥⎥⎤⎢⎡=PP A 200311⎦⎢⎣⎦⎢⎣-⎥⎤⎢⎢⎡-=⎥⎤⎢⎡=-111010,0011101P P 其中:⎥⎥⎦⎢⎣-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-110101则:=-)()(1PJ Pp A p ⎤⎡-⎤⎡'⎤⎡0100)2()2(0110p p ⎥⎥⎦⎢⎢⎣-⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣-=0110111)2(000)2(010101p p ⎥⎤⎢⎡--=⎥⎥⎤⎢⎢⎡''-'''-'=98901)2()2()2()2(00)2(p p p p p ⎥⎦⎢⎣⎦⎣+1099)2()2()2()2(p p p p定义：设0111)(,a a a a p C A m m m m nn ++++=∈--⨯λλλλ 若-满足则称(λ)为A 的化零多项式.0)(0111=++++=-E a A a A a A a A p m m mm p 定理：设是A 的化零多项)det()(,A E D CA nn -=∈⨯λλ则式,即D (A ) =0. (Hamilton Hamilton--Cayley 定理)))))证明：设J =diag(J 1(λ1), J 2(λ2), , J r (λr )) 是A 的若当标准型,即A =PJP -1=P diag(J 1, J 2, , J r )P -1, 则:1211))(,),(),((diag )()(--==PJ D J D J D P P J PD A D r)()()(λλλλf p id i i -=⇒id 即: Jordan 块的最小多项式为其初等因子.ii J )()(λλλψ-=⇒定理：设, 则:的任一化零多项式都能被nn CA ⨯∈(1)A 的任化零多项式都能被ψA (λ)整除;(2)A 的最小多项式ψA (λ)是唯一的;(3)相似矩阵的最小多项式相同证明：(1) 设f (λ)为A 的化零多项式, 则∃多项式q (λ)及次数小于ψA (λ)次数的多项式r (λ),使)()()()(λλλψλr q f A +=⇒)()()()(=+=A r A q A A f A ψ即: r (λ)也是A 的化零多项式. 从而r (λ) =0, 否则与ψA (λ)为A 0)(=A r 再由⇒)(=A A ψ的最小多项式矛盾,因为r (λ)的次数<ψA (λ)的次数.(2)(2)设ψA (λ)及ξA (λ)都为A 的最小多项式, 则ψA (λ)能被ξA (λ)整除, ξA (λ)也能被ψA (λ)整除,从而ψA (λ) =ξA (λ).(3) 设B =P -1AP , A 和B 的最小多项式为p (λ)和q (λ). 由B =-1)=-1=0,P AP 知:p (B ) P p (A )P 0, 从而p (λ)是B 的化零多项式, p (λ)的次数≥q (λ)的次数.同理, q (λ)的次数≥p (λ)的次数.))所以p (λ)的次数=q (λ)的次数.从而, p (λ) =q (λ).定理：定理：设分别是的最小多项式,则A 的最小多项式是)(,),(),(),,,,(diag 2121λψλψλψs s A A A A =s A A A ,,,21 的最低公倍式.)(,),(),(21λψλψλψs 证明：设是A 的最小多项式, 则:)(λψA 0))(,),(),((diag )(21==s A A A A A A A A ψψψψ 于是: , 即0)(,,0)(,0)(21===s A A A A A A ψψψ )(λψA ))是的化零多项式⇒是的公倍式.s A A A ,,,21 )(,λψs )(λψA ),(),(21λψλψ⇒若不是的公倍式,:)(,),(),(21λψλψλψs )(λψA 则0)(≠A A ψ另一方面, 若是的最低公倍式,则: .从而是A 的化零多项式. 次数)(λψA )(,),(),(21λψλψλψs 0)(=A A ψ)(λψA 更低的多项式必定不是的公倍式，从而不是A 的化零多项式.定理得证.)(,),(),(21λψλψλψs ⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎤⎢⎡---=11621例5:⎥⎥⎦⎢⎣→⎥⎥⎦⎢⎢⎣--11411301)1(J A 2)1()(-=λλψA ⇒⎤⎡-⎤⎡-1111⎥⎥⎦⎢⎢=→⎥⎥⎢⎢--=01017215)2(J A ⎥⎢⎣⎥⎦⎢⎣-212662)1()(λλλψ+=A ⇒J d 第二节矩阵函数及其Jordan 表示定义：设A 的最小多项式为,)()()()(2121sd s d d A λλλλλλλψ---= 其中为A 的互异特征值. 若函数f (x )具有足够多且下列s λλλ,,,21 d d d m +++= 阶的导数值,个值),,2,1(),(,),(),()1(s i ff f i d i i i ='-λλλs 21都有确定的值,则称f (x )在A 的影谱上有定义.-⎡-111例1：⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=⎥⎥⎤⎢⎢-=112103,0340B A ⎥⎦⎢⎣-⎥⎦⎢⎣30201p(x)不唯一例2：⎤⎡⎤⎡⎥⎤⎡11012002⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢-=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢==⎥⎥⎢⎢⎢-=-101001,22,3111111P J PJP A ⎣⎣⎦⎣⎤⎡⎤⎡'010)2()2(f f ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢--=⎥⎥⎥⎢⎢⎢=-110111,)2()2()(1P f f J f ⎣⎦⎣⎤⎡00)2(f ⎥⎥⎥⎢⎢⎢'+'-'''-'==-2222)2()2()2()2()()(1f f f f P J Pf A f ⎦⎣)()()()(f f f fA e At cos 例3：求f (A )的Jordan 表示, 并计算e , e , cos A⎡50⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎡==⎥⎥⎤⎢⎢--=-13000120,2123,130903025171P J PJP A ⎦⎣⎣⎦⎣⎡1⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢'=-50320100,2()2()2()3()(1P f f f J f ⎡''⎦⎣⎣)f ⎥⎥⎤⎢⎢'-'-+==-21520290)3(0)2(250)2(15)2()()(1f f f f P J Pf A f ⎦⎣)()()(f f f⎡⎥⎥⎤⎢⎢--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎡--=1510900250)151(,140900250162232222322t e te e te t e e e e ee e e tt t t t At A ⎥⎦⎢⎣⎣)(⎤⎡-()2sin(250)2sin(15)2cos((⎥⎥⎦⎢⎢⎣+-=)2sin(15)2cos(0)2sin(90)3cos(0)cos(A •用矩阵函数Jordan 表示计算f (A )的一般步骤:(1) 求A 的Jordan 标准形J ; (2) 求f (J );(3) 由AP =PA 计算变换矩阵P ; (4) 求f (A ) =Pf (J )P -1;(5) x Pf J P -1A ).()将具体f ()代入f ()即可求出f ()定理：设f (x )与g (x )在A 的影谱上有定义, 则:f (A ) =g (A ) ⇔f (x )与g (x )在A 的影谱上有相同的值第三节矩阵函数的多项式表示定义:设n 阶矩阵A 的最小多项式为,)()()()(2121sd s d d A λλλλλλλψ---= , 函数f (x )在A 的影谱上有定义, m -1次多项式s d d d m +++= 21满足1110)(--+++=m m a a a p λλλ 为什么是m -1次？1,,1,0;,,2,1),()()()(-===i i k i k d k s i fp λλ从而:1110)()(--+++==m m Aa A a E a A p A f 称f (A )的以上表达式为f (A )的多项式表示.⎡0例1: 设, 求矩阵函数f (A )的多项式表示,⎥⎤⎢=11102A 并计算e At⎥⎥⎦⎢⎢⎣-311解：前已求得, A 的Jordan 标准形为:⎥⎥⎤⎢⎢⎡=020012J 因此, 其最小多项式为(x ) =(x -2)2⇒m =2 ⇒⎥⎦⎢⎣200ψA 110)()(a x p x a a x p ='⇒+=满足:⎨⎧''-=⇒⎨⎧''=+=)2(2)2()2(2)2(010a f f a f a a p ⎩=⎩==)2()2()2(11f f a p从而:AE A a E a A 2222'+'-=+=f f f f )()]()([)(10此即f (A )的多项式表示. 将E 和A 代入, 可得:⎤⎡⎥⎢''-'=)2()2()2()2(00)2()(f f f f f A f ⎥⎥⎦⎢⎢⎣'+'-')2()2()2()2(f f f f 与第一节例4t 的结果相同⎡当f (x ) =e tx时, f (2) =e 2t , f'(x ) =t e 2t , 从而⎥⎥⎤⎢⎢-=t t t t e et At110012⎥⎦⎢⎣+-t t⎡1例2: 设, 求矩阵函数f (A )的多项式表示.⎥⎤⎢--=03401A 解)⎥⎥⎦⎢⎢⎣201解：前已求得, A 的最小多项式为ψA (x ) =(x -1)2(x -2)xa a x p x a x a a x p m 2122102)(,)(312+='++=⇒=+=⇒满足:'⎧⎪⎨⎧-'+=-=⇒⎪⎨'=+='=++=)2(2)1(3)1(2)1(2)2()1(2)1()1()1(1021210f f f a f f a f a a p f a a a p ⎪⎩'--=⎪⎩=++=)1()1()2()2(42)2(2210f f f a f a a a p=++=2210)(A a A a E a A f(m -1次)sd s )λ1-i d因此:⎤⎡+-+sk k k E A a E a 21)(λ ∑=-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-+==k k d k kd A E A a A p A f kk11)()()()(ϕλsk k d s d k d k d k E A E A E A E A A )()()()()(111111λλλλϕ----=+-+- 称以上f (A )的表达式为f (A )的Lagrange-Selvester 内插多项式表示.3:设⎥⎤⎢⎡002例3: , 求矩阵函数f (A )的Lagrange-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-=311111A Selvester 内插多项式表示.•与例1得到的多项式表示Af E f f A a E a A f )2()]2(2)2([)(10'+'-=+=相比, 结果是一致的, 只是表示方式不一样.第四节矩阵函数的幂级数表示第五章定义过矩阵幂级数. 设A 的Jordan 标准 -1∑∞=0k kk A c 形J =diag(J 1(λ1),J 2(λ2),,J r (λr )),A =PJP ⇒A k =PJ k P -1=P diag(J 1k (λ1), J 2k (λ2), , J r k (λr ))P -1⇒⎛100220110)(,,)(,)(diag -∞=∞=∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝=∑∑∑∑P J c J c J c P A c k r kr k k k k k k k k k k λλλ i i kk d k id k k k k ikk k k ik Cc C c c ∞∞=+--∞=-∞=⎥⎤⎢⎡∑∑∑0110110λλλk k k ik k k ik k i ki k C c c J c ∞=-=∞=⎥⎥⎥⎢⎢⎢=∑∑∑01100)(λλλiidd k ikc ⨯∞=⎥⎦⎢⎣∑0λ与前页结果相同⎥⎤⎢⎡1310041285⎥⎥⎦⎢⎢⎣-511第五节函数矩阵⎛x a x a 定义：设()⎪⎪⎫ ==⨯)()()()(111a x a x A n nm ij 其中: x ∈R , a ij (x )∈R , 称A (x )为函数矩阵——以实函数为⎪⎭⎝)()(1x x a mn m 元素的矩阵•函数行向量、函数列向量、函数矩阵的转置函数矩阵加法纯量函数与函数矩阵乘法函数矩阵与•函数矩阵加法、纯量函数与函数矩阵乘法、函数矩阵与函数矩阵乘法))))定义：设A (x ) =(a ij (x ))为n 阶函数矩阵, 若∃B (x ) =(b ij (x )), 使得∀x ∈[a , b ],A xB x ) =B x A x ) =E ()()()()则称A (x )在[a, b ]上可逆, B (x )是A (x )的逆的逆矩阵矩阵, 记为A -1(x ).x A x B x B x )()()]()+=x d ?)(d )(2)(d 2x A x A x A =d d xx ,可逆时()21)(x A -A x A x A x x A x A x d )()(d )(d )()(211---≠-=))()((1得到可由E x A x A =-。
矩阵相似_精品文档
矩阵相似1. 引言矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中有广泛的应用。
矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值，相同的特征多项式和相同的秩。
2. 矩阵相似的定义设A和B是两个n阶复矩阵，如果有一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵A和B相似。
其中P-1是矩阵P的逆矩阵。
3. 矩阵相似的性质矩阵相似是一种等价关系，即具有反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何矩阵都与它自己相似，对称性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，则矩阵B也与矩阵A相似，传递性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
4. 矩阵相似与特征值矩阵相似的一个重要性质是两个相似的矩阵具有相同的特征值。
特征值是指矩阵对应的线性方程组Ax=λx中的λ值，其中x是非零向量。
相似的矩阵具有相同的特征值的原因是它们对应的特征多项式相同。
特征多项式是指将矩阵减去λI（其中I是单位矩阵）后的行列式，它的根就是矩阵的特征值。
5. 矩阵相似与秩矩阵相似的另一个性质是两个相似的矩阵具有相同的秩。
秩是指矩阵中线性无关列的最大个数。
由于相似的矩阵具有相同的特征值，所以它们对应的特征向量的个数相同，而特征向量是线性无关的，因此两个相似的矩阵的秩也相同。
6. 矩阵相似与对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
相似矩阵具有相同的特征值，因此可以通过选择适当的变换矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是对角矩阵。
对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的矩阵。
对角化可以大大简化矩阵的运算，对于一些特定的应用来说非常有用。
7. 应用领域矩阵相似在许多领域中有广泛的应用。
在物理学中，矩阵相似性是量子力学中重要的概念之一，用于描述系统的量子态之间的变换。
在图论中，矩阵相似性与图的同构性密切相关，用于研究网络结构的相似性。
在机器学习和数据挖掘中，矩阵相似性可以用于聚类分析和模式识别。
8. 结论矩阵相似性是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
矩阵论-第六章--矩阵函数
(1)
3 2 2 3 0 8 1 (2) B 8 2 A 3 1 6 2 14 3 2 0 5
1 2 6 (3) C 1 0 3 1 1 4
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f ( ) ( i ) 则由上面的定理可知其最小多项式
di
,
m( )
一定具有如下形状 m() ( i )k 其中 1 k di。 但是当 k di 时 m( J i ) ( J i i I ) k
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Odi di 0 0
f (1) sin1, f (1) cos1
'
同样可得
4 3
与矩阵
3 0 8 A 3 1 6 2 0 5 求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相 似变换矩阵 P
1 0 0 J 0 1 1 0 0 1
0 4 1 P 1 3 0 0 2 0
（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被m ( )
整除。
（3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例1 ：已知一个Jordan块
i Ji
1
i
1 i di di
3 0 (4) D 0 0
1 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
矩阵论第六章K积及一些常见的矩阵方程
不过，倘采用这种记法，应该注意到 ⊕ 法是没有交换律的，因为
按定义，有
B ⊕ A = ( B ⊗ Im ) + ( In ⊗ A) ≠ ( A⊗ In ) + ( Im ⊗ B ) = A⊕ B
关于 K 和还有一个重要的性质。请看
定理 6.1.7 A∈C m×m ； B ∈C n×n ，设 A, B 的特征值集各为： { λi }， i = 1, 2, "m ； { μ j }， j = 1, 2, "n
= ( det A )n ( det B )m
（证毕）
关于矩阵函数，有下述定理：
定理 6.1.6 设 f ( z ) 是解析函数，且 f ( A ) 存在，则
证明
f ( In ⊗ A) = In ⊗ f ( A) f ( A⊗ In ) = f ( A) ⊗ In f ( z ) 可以用幂级数表示，设其为
利用混合积公式，容易推得：
故有
∀ k ∈ A+ ，( In ⊗ A )k = In ⊗ Ak
（6.1－8）
f ( I n ⊗ A ) = I n ⊗ ( a0 I m + a1 A + a2 A2 + " + al Al + " )
= In ⊗ f ( A)
同理可证
f ( A⊗ In ) = f ( A) ⊗ In
{ x(i) ⊗ y( j) }， i = 1, 2, "m ， j = 1, 2, "n
证明
由
Ax (i)
=
λ x(i) i
By ( j)
=
μ y( j) j
( A ⊗ B ) ( x(i) ⊗ y ( j) ) = Ax(i) ⊗ By ( j)
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量
量，构成向量空间吗？ 不！因为不含零向量。
4
第 6章
矩阵的相似 特征值和特征向量
(1)
a1n a2 n ann 0
2.2 特征值与特征向量的求法 由 Ax x
a11 a12 a22 an 2
可得 ( A E ) x 0
(2)
显然，（2）有非零解的充要条件是 det( A E ) 0 即
§2 特征值和特征向量
2.1 特征值与特征向量的概念 Definitቤተ መጻሕፍቲ ባይዱon 6.1 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非
零向量 x 使关系式
对应于特征值 Theorem 6.1
Ax x
（1）
成立，则称 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的
的特征向量.
特征向量，则 k1x1 k2x2 也是A 的属于特征值 0 的特
( x1 x2 ) x 1 1 2 2x
( ) x 0 即 (1 ) x 1 2 2
因 1 2 , 由Th. 4.5 知 x1，x2 线性无关，故由上式 得 1 2 0 即 1 2 与题设矛盾 15 因此， x1+ x2 不是 A 的特征向量.
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
theorem612的对应于特征值的线性无关的特征向量恰有r344242实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化theorem613阶实对称矩阵则必存在n阶正交阵u1au其中是以a对实对称矩阵a求正交阵u1au1求出a的全部互不相等的特征值它们的重数分别为k重特征值求方程的基础解系1au注意中对角元的排序应与u中列向量排序相对应
线性代数 第六章 矩阵的特征值和特征向量
2 1 1 解：A I 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
令 A I 0，得矩阵A的特征值为1 1，2 3 2，
求特征向量就是求(A-λI)x=0 的非零解。
当1 1时,解方程A I x 0.
1 1 1 1 0 1 A I 0 3 0 ~ 0 1 0 ,
4 11 1 0 2 0 4 1 3
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.
4 1 1 4 1 1 A 2I 0 0 0 ~ 0 0 0,
4 1 1 0 0 0
1 1 x2 4 , x3 0 0 4
例
1 2 2
特征值和特征向量的应用
❖ 汽车的设计者研究特征值是为了抑制噪音从 而创造一个安静的乘车环境.
❖ 石油公司借助特征值分析可以找到石油储藏 地点.
❖ 特征值也可以用于检查固体的裂缝,当一根梁 被撞击,它的固有频率(特征值)能够被听到, 如果这根梁有回响表明它没有裂缝;如果声音 迟钝,则这根梁有裂缝.
❖ 用收音机收听广播时要改变谐振频率直到它 与正在广播的频率相匹配,因此设计收音机时 要利用特征值.
A I 0
a11 a12 a1n f ( A I a21 a22 a2n
an1
an2 ann
f(λ)=|A- λI|是关于λ的n次多项式，称为A的特征多
项式， |A- λI|=0称为A的特征方程。
代数学基本定理
一个n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）。
A
2 2
1 2
12
解
A I (1 )( 1)( 3),
1 1 ,
1
x1
11
,
2 1 ,
1
上海财经大学线性代数第六章习题
第六章习题课一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |,(2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I(3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值)（4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。
（5）相似矩阵的特征值相同例1 填空题（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。
（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。
（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。
（4）已知|A |=E A B b a 2,01112133=+=−−−−, 则B 的一个特征值是 。
例2 选择题（5）设C=, 则C 的特征值是（ ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；（C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1.（6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ）(A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1; (C) λ|A | ; (D) λn A ||.二、相似对角化（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）（2） （充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。
例3 填空题（1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于 。
（2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .（3）已知A 相似于对角阵, 则r (A -E )+r (2E +A )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−211. 例4 n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件是(A) A 有n 个不同的特征值;(B) A 有n 个不同的特征向量 ;(C) A 的每个r i 重特征值λi , 有r (λi E -A )=n -r i ;(D) A 是实对称矩阵.例5 设均为n 阶矩阵，且C B A ,,0,0=+=C AC AB ，如果， n B r r =+)()C (例6 证明A 相似于对角阵，并求ΛΛ。
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这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;