分式方程的分类应用(详细)
《分式方程的应用》 知识清单
《分式方程的应用》知识清单一、分式方程的定义分式方程是指分母中含有未知数的方程。
例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。
二、分式方程的解法1、去分母将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。
例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。
2、解整式方程按照解整式方程的方法求解。
3、验根将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。
例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。
三、分式方程的应用类型1、行程问题行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。
可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。
如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。
2、工程问题工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。
可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。
3、销售问题销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。
例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。
根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。
如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。
4、浓度问题浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。
分式方程的应用知识点
分式方程的应用知识点分式方程主要涉及到有关比例、百分比和利率的应用问题。
在实际生活中，分式方程可以帮助我们解决各种与比例相关的问题，例如货币兑换、混合液体的配制、百分比的计算等。
以下是一些分式方程应用的知识点：1.货币兑换问题在国际贸易中，经常需要将一种货币兑换成另一种货币。
如果已知兑换比例和要兑换的数量，我们可以使用分式方程来计算兑换后的货币数量。
例如，如果1美元兑换为5人民币，那么用x美元可以换成多少人民币可以表示为：5/1=y/x，其中y表示兑换后的人民币数量。
2.比例问题比例问题是分式方程应用的常见场景，比如：种植的草地数量与所需耕地数量之间的关系、两个不同容器中液体的比例、不同材料的配比等。
比例可以表示为a/b=c/d，其中a、b、c、d分别表示不同元素或数量之间的关系。
3.百分比问题百分比是分式方程应用中的另一个重要知识点。
百分比表示一个数相对于另一个数的比例。
通常用百分号表示，例如60%表示60/100。
在解决百分比问题时，我们常常需要找到未知数的百分数或一部分，并通过解分式方程来计算。
例如，如果商品价格上涨了20%，现在的价格是120元，那么原来的价格可以表示为x，方程为：x*(1+20/100)=120。
4.利率问题5.代数表达式的分式有时候我们还需要将代数表达式视为分式，并在求解方程时运用分式的性质。
例如，对于表达式(a+b)/c，我们可以通过分数的加法和乘法性质来合并分式、约分，从而求解方程。
6.比例和个体数量问题综上所述，分式方程主要应用于与比例、百分比和利率相关的问题。
熟练掌握这些知识点，可以帮助我们解决各种实际生活中的应用问题。
第十六章_分式方程应用题分类解析
分式方程应用题分类解析一．行程问题 【重点考点例析】（2010山东淄博）小明7：20离开家步行去上学，走到距离家500米的商店时，买学习用品用了5分钟．从商店出来，小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校．为了在8：00之前赶到学校，小明加快了速度，每分钟平均比原来多走25米，最后他到校的时间是7：55．求小明从商店到学校的平均速度．（1）一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
（2）水航问题 3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
二．工程问题1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 3.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．三．利润（成本、产量、价格、合格）问题1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
分式方程的运算
分式方程的运算摘要：一、分式方程简介1.分式方程的定义2.分式方程的组成部分二、分式方程的运算规则1.加法与减法2.乘法与除法3.通分与约分三、分式方程的解法1.替换法2.消元法3.矩阵法四、分式方程的应用1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用五、总结1.分式方程运算的重要性2.提高分式方程运算能力的建议正文：分式方程的运算分式方程是数学中一种重要的方程形式，它包含分式和整式两部分，表示两个或多个分式相等的关系。
分式方程的求解过程涉及到一系列的运算规则和方法。
一、分式方程简介分式方程是形如$frac{P(x)}{Q(x)}=R(x)$的方程，其中$P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$是多项式函数。
分式方程的定义包括分母不为零、多项式函数的定义等。
二、分式方程的运算规则1.加法与减法分式方程的加法和减法需要满足同类项相加减的条件，即分式的分母相同。
在进行运算时，先将分式通分，然后按照整式加减法的规则进行计算。
2.乘法与除法分式方程的乘法是将两个分式相乘，其结果仍为分式。
除法则需要转换为乘法，即将除以一个分式转换为乘以它的倒数。
在进行乘法和除法时，需要注意分母的约分。
3.通分与约分通分是将两个或多个分式的分母变为相同的数，以便进行加减运算。
约分是将分式的分母约简到最简形式。
三、分式方程的解法1.替换法替换法是将分式方程中的未知量用其他变量替换，从而将分式方程转化为整式方程求解。
2.消元法消元法是将分式方程中的分母消去，转化为整式方程求解。
3.矩阵法矩阵法是将分式方程表示为矩阵形式，通过高斯消元法等矩阵运算求解。
四、分式方程的应用分式方程在实际问题和数学问题中都有广泛的应用，例如物理中的速度、加速度问题，化学中的反应速率问题，数学中的最值问题等。
五、总结分式方程的运算在数学中占有重要地位，熟练掌握分式方程的运算规则和解法对于解决实际问题和数学问题具有重要意义。
分式方程应用题分类讲解与训练(很全面)
分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时)例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。
5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得xx 6828-=x 5.1828，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义．4060例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度.分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．所行距离 速度 时间甲（87-45）千米x 千米/小时乙45千米（x+4)千米/小时30608745x-454x +例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．解: 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意,得:解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发,但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。
解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。
本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。
一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。
通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。
2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。
然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。
3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。
将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。
在计算比例时，常常需要解决分式方程。
例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。
2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。
例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。
3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。
例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。
总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。
掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。
通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。
分式方程的应用
分式方程的应用分式方程是数学中的一个重要概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将就分式方程的应用进行探究。
一、商业中的分式方程商业中经常会出现类似于“三个人合伙投资开店，其中甲投入3000元，乙投入4000元，丙投入5000元。
如果合伙开店一年后，甲乙丙三人分得利润比例为3：4：5，则这笔利润总共多少元？”的问题。
这类问题可以用分式方程来解决。
设利润为x元，则有：甲的利润：乙的利润：丙的利润=3：4：5甲的利润为3x/12，即x/4元；乙的利润为4x/12，即x/3元；丙的利润为5x/12元。
因此，根据题意可得：x/4+ x/3+ 5x/12=利润总额解得x=24000元，即这笔利润的总额为24000元。
二、比例中的分式方程在比例问题中，也经常会用到分式方程。
例如，“甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是乙的1.5倍，两人相距160千米时，甲比乙早到20分钟。
求甲、乙各自的速度是多少？”这类问题可以用分式方程来解决。
设甲、乙的速度分别为v1、v2，则有：v1=1.5v2设甲比乙早到的时间为t，则有：v1t- v2t=20又因为：v1t+ v2t=160解得t=40/3小时，v1=60千米/小时，v2=40千米/小时。
三、化学中的分式方程在化学反应中，也常常会出现分式方程的应用。
例如，“硫酸和碳酸钙反应生成二氧化碳、水和硫酸钙，当反应物的质量比为9：10时，反应生成的硫酸钙的质量与反应物的质量之比是多少？”这类问题可以用分式方程来解决。
设反应物的质量为x，则有：硫酸钙的质量=反应物的质量-二氧化碳的质量-水的质量= x- 2/5x- 1/5x= 2/5x因此，硫酸钙的质量与反应物的质量之比为2/5。
四、其他领域中的分式方程除了以上几个领域，分式方程还在其他领域中得到应用。
例如在物理学中，可以用分式方程来解决速度、加速度等问题；在工程中，可以用分式方程来解决力学平衡、杠杆原理等问题。
分式方程在现实生活中有着广泛的应用，它帮助我们解决了许多实际问题。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用在数学中，分式方程是含有分数的方程，通常形式为一个或多个包含有未知数的分式等于一个已知数或者另一个分式。
解分式方程的过程需要注意一些特殊的技巧和方法。
本文将介绍解分式方程的常用方法，并探讨分式方程在现实生活中的应用。
一、一次分式方程的解法对于一次分式方程，即含有一个未知数的分式方程，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将分式方程的分母清零，即使分子等于0。
这样可以排除分母为0的情况。
2. 化简方程。
将方程两端的分式进行通分，并将分式约简到最简形式。
3. 消去分母。
将方程两端的分母消去，得到一个一次方程。
4. 求解一次方程。
将消去分母后的方程进行移项和合并同类项的运算，得到未知数的解。
二、二次分式方程的解法对于二次分式方程，即含有未知数的平方的分式方程，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将方程的分母清零，使分子等于0。
2. 化简方程，将方程两端的分式通分，并将分式约简到最简形式。
3. 进行配方法。
对于二次分式方程，我们可以通过配方法将方程转化为一次分式方程。
4. 解一次分式方程。
按照一次分式方程的解法，求解配方法后得到的一次分式方程。
5. 核对解的有效性。
将求得的解代入原分式方程，并检查是否成立。
三、分式方程的应用分式方程在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子：1. 比例问题：分式方程可以用于解决比例问题，比如某个产品的销售量与价格之间的关系。
2. 浓度计算：在化学领域，分式方程可用于计算溶液的浓度，如溶液A中含有5%的某种物质，溶液B中含有10%的同种物质，问如何将溶液A和溶液B混合得到含有8%的溶液。
3. 财务分析：在财务领域，分式方程可用于计算财务指标，如利润率、毛利率等。
4. 随机问题：分式方程可以用于解决随机问题，如抛硬币的概率问题、抽奖问题等。
通过上述例子，我们可以看到分式方程在实际生活中的应用十分广泛。
综上所述，解分式方程的方法根据方程的次数和具体形式有所区别，但总体思路是将方程转化为一次方程进行求解。
分式方程的应用
方程的复杂性
挑战
分式方程可能具有复杂的表达式和多个未知 数，增加了解决的难度。
解决方案
使用符号计算软件或编程语言来求解复杂的 分式方程，或者将其化简为更简单的形式， 例如通过部分分式展开或变量替换。
数据的可靠性
挑战
分式方程中的数据可能不可靠或存在误差， 例如由于实验或测量引起的误差。
分式方程理论在其他学科中的应用 将进一步拓展，如物理学、生物学 、经济学等。
符号计算的发展
随着符号计算技术的发展，分式方 程的符号求解将更加精确和高效。
分式方程在新技术中的应用前景
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02
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人工智能
在人工智能领域，分式方 程将在模型训练、优化问 题、图像处理等方面发挥 重要作用。
大数据技术
在处理大量数据时，分式 方程将为数据分析提供有 效的工具，帮助挖掘数据 背后的规律和趋势。
概念
分式方程表示一个数或变量与另 一个数或变量之间的关系，其结 果是一个分数。
分式方程的解法
方法
解决分式方程的方法包括约分、通分 、交叉相乘和去分母等。
步骤
首先对分式方程进行约分或通分，然 后交叉相乘或去分母，最后将得到的 解代入原方程进行验证。
分式方程的分类
分类
分式方程可以根据其形式和特 点分为简单分式方程、可约分 式方程、不可约分式方程等。
03
分式方程在科学中的应用
物理中的力学问题
牛顿第二定律
分式方程在力学中经常用于描述物体的加速度与作用力之间的关系。例如，一个物体从静止开始下落 ，受到重力和空气阻力作用，那么物体下落的加速度与作用力之间的关系就可以用分式方程来表示。
弹性碰撞
在力学中，分式方程还可以用来描述两个物体的弹性碰撞过程。例如，两个小球发生弹性碰撞，碰撞 前后的速度和时间之间的关系就可以用分式方程来表示。
资料分式方程应用题归类及常见题型
列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
分式方程的解法与应用实例讨论
分式方程的解法与应用实例讨论一、分式方程的定义与性质1.1 分式方程的概念：分式方程是含有未知数的分式等式。
1.2 分式方程的性质：分式方程的解与方程的系数、常数项有密切关系。
二、分式方程的解法2.1 去分母法：将分式方程中的分母消去，使方程变为整式方程。
2.2 代入法：将分式方程中的未知数表示为其他变量的函数，然后代入整式方程求解。
2.3 加减法：通过对分式方程进行加减运算，消去分式中的分母。
2.4 乘除法：通过对分式方程进行乘除运算，将分式方程转化为整式方程。
三、分式方程的解法实例3.1 去分母法实例：解方程x−12=3−x4。
3.2 代入法实例：解方程x+23=5x−1。
3.3 加减法实例：解方程x3−2x=1。
3.4 乘除法实例：解方程2x−13⋅x+14=12。
四、分式方程的应用实例4.1 实际问题：某商品的原价是100元，打八折后的价格是多少？4.2 实际问题：甲、乙两地相距300公里，甲地到乙地的客车每小时行驶60公里，客车行驶2小时后离甲地还有多少公里？4.3 实际问题：一个长方形的长比宽多5cm，且长方形的面积是30cm²，求长方形的宽是多少cm？五、分式方程的拓展与提高5.1 含有多个未知数的分式方程：解方程组x+y3=2和x−y4=1。
5.2 不等式与分式方程的综合：解不等式组x−12>1和3−x4≤0。
5.3 函数与分式方程的综合：已知函数f(x)=x+2x−1，求函数的值域。
六、分式方程的综合训练6.1 给出一个分式方程，要求解方程并检验解的正确性。
6.2 给出一个实际问题，要求用分式方程表示问题，并求解方程。
6.3 结合函数、不等式等知识，解决一个涉及分式方程的综合问题。
以上是关于分式方程的解法与应用实例讨论的知识点总结。
希望对您的学习有所帮助。
习题及方法：一、去分母法习题1.1 解方程x+12=3−x4。
答案：将方程两边同乘以4，得到2(x+1)=3−x，然后解得x=13。
分式方程的应用与实际解题
分式方程的应用与实际解题分式方程是数学中一种常见的方程形式，它在实际问题的解决中起着重要的作用。
本文将探讨分式方程的应用，并介绍如何在实际解题中运用这一方法。
一、什么是分式方程分式方程是含有分式的方程，其中通常包含零个或多个未知数。
其一般形式为：$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$，其中$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$、$D(x)$表示多项式。
二、分式方程的应用领域分式方程广泛应用于不同领域，包括数学、物理、化学、经济等。
以下列举几个常见的应用场景。
1.比例问题在比例问题中，分式方程可以用来表示两组数据的比例关系。
例如，在一个食谱中，需要用2杯面粉和3杯牛奶制作蛋糕。
如果要制作6杯蛋糕，需要多少杯面粉和牛奶？设面粉的量为$x$杯，牛奶的量为$y$杯，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3}$通过解这个分式方程，可以得到$x=4$和$y=6$，即制作6杯蛋糕需要4杯面粉和6杯牛奶。
2.速度问题在速度问题中，分式方程可以用来表示物体的速度和时间的关系。
例如，一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，需要2个小时才能到达目的地。
如果要在3个小时内到达目的地，汽车的速度应该如何调整？设新的速度为$x$公里/小时，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{60} = \frac{3}{2}$通过解这个分式方程，可以得到$x=90$，即汽车需要以90公里/小时的速度行驶才能在3个小时内到达目的地。
3.混合物问题在混合物问题中，分式方程可以用来表示不同成分的比例关系。
例如，需要制作一种含有30%酒精的溶液，已知有20毫升含有50%酒精的溶液和30毫升的纯水，还需要加入多少毫升的纯酒精？设纯酒精的体积为$x$毫升，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{20+30+x} = \frac{0.3}{1}$通过解这个分式方程，可以得到$x=15$，即需要加入15毫升的纯酒精。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
分式方程应用
分式方程应用
分式方程是指方程中包含有分式表达式的方程。
它们的应用十分广泛，例如在经济学、物理学和化学等科学领域中常常用到。
下面我们将介绍分式方程的一些常见应用。
一、比例问题
比例问题可以转化为分式方程的形式，例如：
已知两种货币之间的汇率为1:7，如果我拥有100美元，那么我可以换成多少卢布
解法：假设1美元可以换成x卢布，则有分式方程100/1 = x/7，通过解方程可以得到x=700，因此100美元可以换成700卢布。
二、利润分配问题
利润分配问题也可以转化为分式方程的形式，例如：
甲、乙两人合伙做生意，利润分成3:7，请问他们的利润分别是多少
解法：假设总利润为x元，则甲、乙的利润分别为3x/10和7x/10，因此有分式方程3x/10 + 7x/10 = x，通过解方程可以得到x=10，因此甲、乙的利润分别为3元和7元。
三、速度问题
速度问题也可以转化为分式方程的形式，例如：
已知甲、乙两人同时从A点出发，沿同一方向行驶，甲速度为30km/h，乙速度为50km/h。
如果乙比甲迟出发30分钟，则乙需要行驶多久才能追上甲
解法：假设乙行驶的时间为t小时，则甲行驶的时间为t+1/2小时，两人之间的距离为50t-30，30(t+1/2)，因此有分式方程50t-30=30(t+1/2)，通过解方程可以得到t=3，因此乙需要行驶3小时才能追上甲。
以上就是分式方程的一些常见应用，希望对你有所帮助。
分式方程的应用
分式方程的分类与解法
分类
根据未知数的最高次数和分母中未知 数的个数，分式方程可分为简单分式 方程和复杂分式方程。
解法
分式方程的解法通常包括去分母、去 括号、移项、合并同类项等步骤，最 终求解得到未知数的值。
分式方程的应用场景
分数运算
分式方程在分数运算中 有着广泛的应用，如计 算分数的加减、乘除等
分数在分式方程中的去分母
如$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y} = 1$，通过找到公共分母$(x+y)(x-y)$，可化 为$x(x-y) + y(x+y) = (x+y)(x-y)$。
分式方程的应用
汇报人： 2023-12-16
目录
• 分式方程的基本概念 • 分数运算在分式方程中的应用 • 代数运算在分式方程中的应用 • 实际应用中的分式方程问题解
析 • 分式方程的应用前景与展望
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义与特点
定义
分式方程是分母中含有未知数的 方程。
特点
分式方程的分母不能为零，且通 常需要经过化简才能求解。
分数减法：同分母的分数相减 ，分母不变倒数。
分数运算在分式方程中的应用实例
分数在分式方程中的化简
如$\frac{2x}{x+y} + \frac{3y}{x-y} = 1$，通过通分后可化简为$\frac{2x^2 y^2 + 3xy}{x^2 - y^2} = 1$。
。
物理问题
在物理学中，分式方程 常用于描述物理量之间 的关系，如速度、加速
度、力等。
化学问题
在化学中，分式方程可 用于描述化学反应的速
分式方程的分类应用详细
分式方程的分类应用（详细）要点感知列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)．预习练习甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( ) A.30x －30x －3＝23B .30x －30x ＋3＝23C .30x ＋3－30x ＝23D .30x －3－30x ＝23题型一：行程问题路程=速度*时间。
列分式方程解决实际问题的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例2、某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：列方程：1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。
分式方程的分类应用(详细)
分式圆程的分类应用（仔细）之阳早格格创做 重心感知 列分式圆程解应用题的普遍步调：(1)审浑题意；(2)设已知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量闭系列出式子，找出相等闭系，列出圆程；(4)解圆程，并验根，还要瞅圆程的解是可切合题意；(5)写出问案(要有单位)．预习训练 甲、乙二人共时从A 天出收，骑自止车到B 天，已知AB 二天的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，而且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列圆程为() A.30x －30x －3＝23B.30x －30x ＋3＝23C.30x ＋3－30x ＝23D.30x －3－30x ＝23 题型一：路程问题路途=速度*时间.列分式圆程办理本量问题的变形公式：速度=路途/时间，时间=路途/速度.例2、某次列车仄衡提速v km/h ，用相共的时间，列车提速前止驶s km ，提速后比提速前多止驶50 km ，提速前列车的仄衡速度为几？分解：那里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的仄衡速度为x km/h ，那么提速前列车止驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的仄衡速度为________km/h ，提速后列车运止(s ＋50)km 所用时间为________h.本题是列含字母系数的分式圆程，解那个圆程而且考验是易面，正在解题历程中注意把s，v当做已知数．等量闭系：列圆程：1、走真足少3000米的讲路，如果速度减少25%，可提前30分到达，那么速度应达到几？2、从甲天到乙天有二条公路：一条是齐少600Km的一般公路，另一条是齐少480Km的报告公路.某客车正在下速公路上止驶的仄衡速度比正在一般公路上快45Km，由下速公路从甲天到乙天所需的时间是由一般公路从甲天到乙天所需时间的一半，供该客车由下速公路从甲天到乙天所需要的时间.3、从甲天到乙天的路途是15千米，A骑自止车从甲天到乙天先走，40分钟后，B骑自止车从甲天出收，截止共时到达.已知B的速度是A的速度的3倍，供二车的速度.4、假日工人到离厂25千米的欣赏区去旅游；一部分人骑自止车，出收1小时20分钟后，其余的人乘汽车出收，截止二部分人共时到达，已知汽车速度是自止车的3倍，供汽车战自止车速度5、尔军队到某桥头阻打仇人，出收时仇人离桥头24千米，尔军队离桥头30千米，尔军队慢止军速度是仇人的1.5倍，截止比仇人提前48分钟到达，供尔军队的速度.6、某中教到离书籍院15千米的某天旅游，先遣队战大队共时出收，前进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达手段天搞准备处事.供先遣队战大队的速度各是几？7、尔军某部由驻天到距离30千米的场合去真止任务，由于情况爆收了变更，慢止军速度必须是本计划的1.5倍，才搞按央供提前2小时到达，供慢止军的速度8、八年级（1）班教死周终乘汽车到游览区游览，游览区到书籍院120千米，一部分教死乘缓车先止，出收1小时后，另一部分教死乘快车前往，截止他们共时到达，已知快车速度是缓车的1.5倍，供缓车的速度9、二天相距360千米，回去时车速比去时普及了50%，果而回去比去时途中时间支缩了2小时，供去时的速度 .10、甲、乙二人共时从A 、B 二天相背而止，如果皆走1小时，二人之间的距离等于A 、B 二天距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，那样二人之间的距离等于A 、B 间齐程的一半，供甲、乙二人各需几时间走真足程？11、某人骑自止车比步止每小时多走8千米，已知他步止12千米所用时间战骑自止车走36千米所用时间相等，供那部分步止每小时走几千米？12、某校少先队员到离市区15千米的场合去介进活动，先遣队与大队共时出收，但是前进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达手段天搞准备处事，供先遣队战大队的速度各是几.13、供电局的电力维建工要到30千米近的郊区举止电力抢建.技能工人骑摩托车先走，15分钟后，抢建车拆载着所需资料出收，截止他们共时到达.已知抢建车的速度是摩托车的1.5倍，供那二种车的速度.题型二：火流问题顺火速度＝船的静火速度＋火速；顺火速度＝船的静火速度－火速．1、轮船顺流航止66千米所需时间战顺流航止48千米所需时间相等，已知火流速度每小时3千米，供轮船正在静火中的速度.2、轮船顺火航止80千米所需要的时间战顺火航止60千米所用的时间相共.已知火流的速度是3千米/时，供轮船正在静火中的速度.3、某人沿一条河顺流游泳l米，而后顺流游回出收面，设此人正在静火中的游泳速度为xm/s,火流速度为nm/s,供他去回一趟所需的时间t.4、小芳正在一条火流速度是0.01m/s的河中游泳，她正在静火中游泳的速度是0.39m/s,而出收面与河边一艘牢固小艇间的距离是60m,供她从出收面到小艇去回一趟所需的时间.5、志怯是小芳的邻居，也喜欢正在该河中游泳，他记得有一次出收面与柳树间去回一趟约莫用了2.5min，假设当时火流的速度是0.015m/s，而志怯正在静火中的游泳速度是0.585m/s，那么出收面与柳树间的距离约莫是几？6、甲乙二天相距360千米，新建的下叔公路启通后，正在甲乙二天间止驶的少途客运车仄衡车速普及了50%，而从甲到乙的时间支缩了2小时，供本去的仄衡速度7、一船自甲天顺流航止至乙天，用5.2小时，再由乙天返航至距甲天尚好2千米处，已用了3小时，若火流速度每小时2千米，供船正在静火中的速度.题型三：工程问题处事量=处事效用*处事时间.列分式圆程办理本量问题用它的变形公式：处事效用=处事量/处事时间.特天天，偶尔处事总量不妨瞅做真足“1”，那时，处事效用=1/处事时间.例1、二个工程队共共介进一项筑路工程，甲队单独动工1个月完毕总工程的13，那时减少了乙队，二队又共共处事了半个月，总工程局部完毕．哪个队的动工速度快？分解：甲队1个月完毕工程的13，设乙队单独动工1个月能完毕总工程的1x，那么甲队半个月完毕总工程的________，乙队半个月完毕总工程的________，二队半个月完毕总工程的________．本题是工程问题，注意基础公式是：处事量＝工时×功效．等量闭系为：列圆程：1、某项慢迫工程，由于乙不到达，只佳由甲先启工，6小时后完毕一半，乙到去后俩人共时举止，1小时完毕了后一半，如果设乙单独x小时不妨完毕后一半任务，那么x应谦脚的圆程是什么？2、某输支公司需要拆运一批货品，由于板滞设备不到位，只佳先用人为拆运，6小时后完毕一半，厥后板滞拆运战人为共时举止，1小时完毕了后一半，如果设单独采与板滞拆运X小时不妨完毕后一半任务，那么应谦脚的圆程是什么？3、某车间加工1200个整件，采与新工艺，功效是本去的1.5倍，那样加工共样多的整件便少用10小时，采与新工艺前后每时分别加工几个整件？4、某人当前仄衡每天比本计划多加工33个整件，已知当前加工3300个整件所需的时间战本计划加工2310个整件的时间相共，问当前仄衡每天加工几个整件.5、一台甲型干脆机4天耕完一齐天的一半，加一天乙型干脆机，二台合耕，1天耕完那块天的另一半.乙型干脆机单独耕那块天需要几天？6、A搞90个整件所需要的时间战B搞120个整件所用的时间相共，又知每小时A、B二人共搞35个呆板整件.供A、B 每小时各搞几个整件.7、某市为处置污火，需要铺设一段齐少3000米的污火输支管讲，为了尽管缩小动工对于皆会接通制成的做用，本量动工时每天的功效比本计划减少25%，截止提前30天完毕了任务，本量每天铺设多少管讲？8、有三堆数量相共的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍.第三堆大小卡车共时运6天，运了那堆煤的一半，供大小卡车单独运一堆煤各要几天？9、有一工程需正在确定日期内完毕，如果甲单独处事，刚刚佳不妨定期完毕；如果乙单独处事，便要超出确定日期3天.当前甲、乙合做2天后，余下的工程由乙单独完毕，刚刚佳正在确定日期完毕，供确定日期是几天？10、某火泵厂正在一定天数内死产4000台火泵，工人为支援四化建制，每天比本计划删产%25，可提前10天完毕任务，问本计划日产几台？11、现要拆置30台呆板，正在拆置佳6台后，采与了新的技能，每天的处事效用普及了一倍，截止共用了3天完毕任务.供本去每天拆置的呆板数.12、某车间需加工1500个螺丝，矫正支配要领后处事效用是本计划的212倍，所以加工完比本计划少用9小时，供本计划战矫正支配要领后每小时各加工几个螺丝？13、挨字员甲的处事效用比乙下%25，甲挨2000字所用时间比乙挨1800字的时间少5分钟，供甲乙二人每分钟各挨几字？题型四：耕天问题1、块里积相共的小麦考查田，第一齐使用本品种，第二块使用新品种，分别支获小麦9000Kg 战15000Kg,已知第一齐考查田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别供那块考查田每公顷的产量.2、某农场本有火田400公顷，涝田150公顷，为了普及单位里积产量，准备把部分涝田改为火田，改完之后，央供涝田占火田的10%，问应把几公顷涝田改为火田.3、某煤矿当前仄衡每天比本计划多采330吨，已知当前采煤33000吨煤所需的时间战本计划采23100吨煤的时间相共，问当前仄衡每天采煤几吨.4、退耕还林还草是尔国西部天区真施的一项要害死态工程，某天筹备退耕里积69000公顷，退耕还林与退耕还草的里积比是5：3，设退耕还林的里积是X公顷，那么应谦脚的分式圆程是什么？题型五：盈利问题商品的进价：商店买进商品的代价；商品的标价：商店出卖商品时标出的代价；商品的卖价：商店卖出商品时的本量代价；成本：商店正在出卖商品时所赚的钱；成本率：商店正在出卖商品时成本占商品进价的百分率；挨合：商店正在出卖商品时的本量卖价占商品标价的百分率.其次，还要弄浑它们之间的闭系：商品的卖价=商品的标价*商品的挨合率；商品的成本=商品的卖价-商品的进价；1、一个批收兼整卖的文具店确定：凡是一次买买铅笔300枝以上，（不包罗300枝），不妨按批收价付款，买买300枝以下，（包罗300枝）只可按整卖价付款.小明去该店买买铅笔，如果给八年级教死每人买买1枝，那么只可按整卖价付款，需用120元，如果买买60枝，那么不妨按批收价付款，共样需要120元，（1）那个八年级的教死总数正在什么范畴内？（2）若按批收价买买6枝与按整卖价买买5枝的款相共，那么那个书籍院八年级教死有几人（3）那个八年级的教死总数正在什么范畴内？（4）若按批收价买买6枝与按整卖价买买5枝的款相共，那么那个书籍院八年级教死有几人？2、某工厂去年赢利25万元，按计划那笔赢利额应是去、今二年赢利总数的20%，今年的赢利额应是几？3、某商品的标价比成本下p%，当该商品落价出卖，为了不盈本，落价幅度不得超出d%，请用p表示d.4、某商厦进货员预测一种应季衬衫能滞销商场，便用8万元买进那种衬衫，里市成果然供不该供，商厦又用17.6万元买进了第二批那种衬衫，所买数量是第一批买进量的2倍，但是单价贵了4元，商厦出卖那种衬衫时每件定价皆是58元，终尾剩下的150件按八合出卖，很快卖完，正在那二笔死意中，商厦共赢利几元.5、一个批收兼整卖的文具店确定：凡是一次买买铅笔300枝以上，（不包罗300枝），不妨按批收价付款，买买300枝以下，（包罗300枝）只可按整卖价付款.小明去该店买买铅笔，如果给八年级教死每人买买1枝，那么只可按整卖价付款，需用120元，如果买买60枝，那么不妨按批收价付款，共样需要120元，6、某商店出卖一批拆束，每件卖价150元，可赢利25%，供那种拆束的成本价.7、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果战一包甲种糖果混同后出卖，如果将混同后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混同出卖与分启出卖的出卖额相共，那包甲糖果有几千克？8、总价9元的甲种糖果战总价是9元的乙种糖果混同，混同后所得的糖果每千克比甲种糖果廉价1元，比乙种糖果贵5.0元，供甲、乙二种糖果每千克各几元？9、甲种本料战乙种本料的单价比是2：3，将代价2000元的甲种本料有代价1000元的乙混同后，单价为9元，供甲的单价.10、某市从今年1月1日起安排住户用火代价，每坐圆火费上升1/3，小利家去年12月的火费是15元，现在年7月份的火费则是30元，已知小利家今年7月的用火量比去年12月份的用火量多5坐圆米，供该市今年住户的用火的代价. 11、小明战共教所有去书籍店买书籍，他们先用15元买了一种科普书籍，又用15元买了一种文教书籍，科普书籍的代价比文教书籍的代价超过一半，果此他们买的文教书籍比科普书籍多一本，那种科普战文教书籍的代价各是几？12、某种商品代价，每千克上升1/3，上回用了15元，而那次则是30元，已知那次比上回多买5千克，供那次的代价.13、小明战共教所有去书籍店买书籍，他们先用15元买了一种科普书籍，又用15元买了一种文教书籍，科普书籍的代价比文教书籍的代价超过一半，果此他们买的文教书籍比科普书籍多一本，那种科普战文教书籍的代价各是几？14、甲种本料战乙种本料的单价比是2：3，将代价2000元的甲种本料有代价1000元的乙混同后，单价为9元，供甲的单价.15、某商品每件卖价15元，可赢利25%，供那种商品的成本价？16、某单位将沿街的一部分房屋出租，每年房屋的租金第二年比第一年要多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10..2万元，（1）您能找出那一情景中的等量闭系吗？（2）根据那一情景您能提出那些问题？您能利用圆程供出那二年每间房屋的租金各是几？题型六：其余问题1、为了助闲遭受自然灾害的天区沉建故里，某书籍院招呼共教们志愿捐款.已知第一次捐款总数为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且二次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应谦脚何如的圆程？2、一个正多边形的每个内角皆是172度，供它的边数N应谦脚的分式圆程.3、某量检部分抽与甲、乙二厂相共数量的产品举止品量查看，截止甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率乙厂下5%，供甲厂的合格率？4、对于甲乙二班教死举止体育达标查看，截止甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班下5%，供甲班的合格率？5、沉量相共的二种商品，分别代价900元战1500元,已知第一种商品每千克的代价比第二种少300元,分别供那二种商品每千克的代价.6、某甲有25元，那些钱是甲、乙二人总数的20%.乙有几钱？7、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把几钱给甲？8、一个二位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除那个二位数商是3，供那个二位数.211倍，供单独浇那块天各需几时间？。
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分式方程的分类应用（详细）要点感知 列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)．预习练习 甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( ) A.30x －30x －3＝23 －30x ＋3＝23－30x ＝23 －30x ＝23 题型一：行程问题路程=速度*时间。
列分式方程解决实际问题的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例2、某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：列方程：1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少7、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度8、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。
5倍，求慢车的速度9、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度.10、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程11、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米12、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.13、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的倍，求这两种车的速度.题型二：水流问题顺水速度＝船的静水速度＋水速；逆水速度＝船的静水速度－水速．1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度。
2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
3、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。
4、小芳在一条水流速度是s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
5、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了，假设当时水流的速度是s，而志勇在静水中的游泳速度是s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少6、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短 了2小时，求原来的平均速度7、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型三：工程问题工作量=工作效率*工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例1、 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效．等量关系为：列方程：1、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么2、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件4、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。
5、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天6、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
7、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道8、有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍.第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天9、有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天10、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台11、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数.12、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分13、打字员甲的工作效率比乙高%钟，求甲乙二人每分钟各打多少字题型四：耕地问题1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
3、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
4、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X公顷，那么应满足的分式方程是什么题型五：盈利问题商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价*商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（3）这个八年级的学生总数在什么范围内（4）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人2、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少3、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。
4、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。