“数形结合”在重点初中数学中的运用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是一种将数学与几何形状相结合的思维方式，通过观察几何形状的特点
和数学关系，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于以下几个方面。
第一，在解决几何问题时，数形结合思想可以帮助学生理解几何形状的性质和关系。
在解决平面图形相关问题时，可以通过观察图形的对称性、边长比例、角度关系等来找到
解决问题的方法。
这样不仅可以提高学生对几何形状的理解，还能培养其观察和分析问题
的能力。
第四，在证明数学定理时，数形结合思想可以帮助学生通过观察几何图形的性质和数
学关系来理解和证明数学定理。
在证明三角形内角和为180度时，可以通过绘制三角形的
外接圆或内切圆来展示角度和边的关系，进而得出结论。
这样可以培养学生的逻辑思维和
证明能力，提高其对数学定理的理解和应用能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的应用价值。
通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题的方法，培养其观察、分析、解决问题的能力，提高其数学学习的兴趣和自信心。
在教学过程中，教师应该灵活运用这种思维方式，
将抽象的数学知识与具体的几何形状相结合，创设适合学生的情境，激发学生的思维活力，使数学学习更加生动、实践、有意义。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过形状和图形的变化来帮助理解和解决问题的思维方式。
它将数学与几何形状相结合，通过对形状的分析和变换，揭示出数学问题的本质。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于代数、几何和概率的相关知识中。
下面将分别介绍这几个领域中数形结合思想的应用。
1. 代数：代数是数学中重要的一个分支，它研究的是数与数之间的关系和运算。
在代数中，数形结合思想主要应用于代数式的理解和方程的解法。
通过将代数式转化为几何图形，可以帮助学生更好地理解代数式的含义和性质。
对于分式的除法运算，可以用一个长方形来表示被除数和除数，通过形状的变化可以帮助学生理解分式除法的原理。
2. 几何：几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科。
在几何学中，数形结合思想的应用非常广泛。
通过将图形进行平移、旋转和缩放等变换，可以帮助学生理解几何运动的性质和规律。
数形结合思想还可以用于解决几何问题。
通过画图来辅助解决面积、周长和体积等计算问题，可以更直观地理解问题的解题思路。
3. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在概率中，数形结合思想可以用于模拟随机事件的发生和计算概率。
通过掷硬币和掷骰子等实验，可以直观地模拟和计算各种随机事件的概率。
数形结合思想还可以用于解决排列和组合等问题。
通过画图来辅助计算排列和组合的个数，可以更好地理解问题的解题方法。
数形结合思想在初中数学中的应用非常广泛。
它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
通过将数学与几何形状相结合，数学不再枯燥乏味，而变得有趣和实用。
初中数学教学中应充分发挥数形结合思想的作用，培养学生的数学兴趣和创造力。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是指在解决数学问题时，通过对图形进行分析，探索其内在规律，从而
得出数学结论的方法。
在初中数学教学中，数形结合思想不仅可以帮助学生更深入地理解
几何问题，还可以帮助学生将抽象的数学概念与具体的图形进行结合，提高学生的数学应
用能力和解决问题的能力。
1. 解决几何问题
在初中几何学习中，学生将会学习到一些基本的几何图形，如平面图形、立体图形等，数形结合思想可以帮助学生更好地理解这些图形的特点，并通过对其面积、周长、体积等
数学量的分析，解决一些几何问题。
例如，当学习矩形的面积与周长时，可以将其画成图形，将其边长表示为数值，然后
用乘法、加法等数学运算来求出其面积与周长。
此外，在学习三角形的相似性质时，可以
结合图形来解决复杂的三角形相似问题，从而深入理解三角形的特性。
2. 统计图表分析
例如，当学习条形图时，可以将其画成长方形，用长方形的面积表示各个项目的数量，从而更加直观地比较两个项目之间的差异。
又如，在学习饼图时，可以将其看成一个圆形，用圆形的面积来表示各个部分的比例，从而更加准确地理解各个部分的占比。
除了帮助学生更好地理解数学问题之外，数形结合思想还可以帮助学生将抽象的数学
概念与实际问题结合起来，解决实际问题。
例如，在学习平均数时，可以通过将班上同学的身高画成柱状图，然后求出其平均值，从而更好地帮助学生理解平均数的概念。
此外，在学习速度、时间、距离等实际问题时，
可以通过对其进行图形化分析，从而更加直观地解决这些实际问题。
数形结合在初中数学教学中的运用例谈
数形结合在初中数学教学中的运用例谈数形结合是指在数学教学中，通过运用几何图形来帮助学生理解和解决数学问题。
它能够提升学生的动手实践能力和直观的几何感，使抽象的数学概念变得具体可见，从而提高学生对数学知识的理解和记忆。
下面将通过几个例子，详细介绍数形结合在初中数学教学中的运用。
例1：分数的乘法在初中数学中，学生需要学习分数的乘法运算。
通常，教师会通过十分十分相乘的方法来解释分数的乘法规则，但是这种方法抽象且难以理解。
为了帮助学生更好地理解分数的乘法，教师可以利用几何图形进行数形结合的教学。
教师可以在黑板上绘制一个矩形，并将其分成若干个小矩形，其中一部分为横向分割，一部分为纵向分割。
然后，教师可以用不同颜色的粉笔标注出各个小矩形的面积，并引导学生寻找分数乘法的规律。
通过这种方法，学生可以直观地看到矩形面积的分割和组合过程，从而更好地理解分数乘法的概念和规则。
例2：代数式的图形展示在初中代数学中，学生需要学习代数式的理解和运算。
通常，学生对于代数式的抽象性特点难以理解和掌握。
为了帮助学生更好地理解代数式，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以让学生绘制一个具体几何图形，如长方形、正方形等，并引导学生根据图形的特点构造相应的代数式。
通过观察几何图形和代数式的对应关系，学生可以更直观地理解代数式的含义和运算法则。
例3：三角形的相似性质在初中几何学中，学生需要学习三角形的相似性质。
相似三角形的判定是一个抽象且复杂的过程，学生容易混淆和理解困难。
为了帮助学生更好地理解三角形的相似性质，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以设计一些具有相似关系的三角形，并通过投影仪将其投影到黑板上，让学生观察各个角度和边长的变化。
通过比较观察和思考，学生可以从图形中找到相似三角形的一些共同特征，从而更好地理解相似三角形的判定条件和性质。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
数形结合思想在初中数学中的妙用
数形结合思想在初中数学中的妙用
一、以数化形思想在初中数学教学中的妙用
以数化形思想作为数形结合思想中的重要思想之一，在初中数学学习中，由于很多数量关系具有较强的抽象性，使得学生在理解和掌握过程中的难度很大，但是图形又具有直观形象的特点，能有效的表现抽象的思维形象。
数与形之间本身就是一种对应，此时就应将与“数”对应的形式即“形”找出来，从而有效的利用图形达到解决数量问题的目的。
在实际应用过程中，主要是结合已知的问题情境，找出数和形之间的关系，并将数量问题转换成图形行为，再对图形进行分析，达到解决数量问题的目的。
二、以形变数思想在初中数学教学中的妙用
以形变数思想作为数形结合思想中的重要思想之一，在初中数学学习中，虽然图像能直观形象的展示抽象的思维，然而在定量时就需要利用代数计算，尤其是复杂的图形，对其直接观察难以得出规律，同样，形与数之间本身就是一种对应，此时就应将与“形”对应的形式即“数”找出来，从而有效的利用图形的特点找出图形中隐藏的条件，实现图形数量化，达到利用数量解决图形方面的问题。
以《锐角三角函数》教学为例，由于其作为整个图形与几何的重要教学内容，其主要学习三角函数感念以及如何解直角三角形，由于解直角三角形必须利用到锐角三角函数，而且在生活实际中应用的情况较为广泛。
教材中就是以比萨斜塔为例，将直角三角形的内容引出，结合已知的条件对直角三角形进行求解。
所以为了更好地学习三角函数概念，就应结合实际针对性的进行概念教学。
三、形数互变思想在初中数学教学中的应用
形数互变思想在初中数学教学中的应用，主要是将数化形、以形变数在初中数学教学中的综合应用。
以勾股定理教学为例，就需要采取形数互变思想进行教学。
数形结合在初中数学的应用
数形结合在初中数学的应用
数形结合是初中数学中非常重要的一个概念，它是指在分析解决数学问题时，既可以运用数学知识，也可以利用几何图形来帮助解决问题。
数形结合在初中数学的应用非常广泛，例如：
1.求解面积和体积问题：我们可以通过利用几何图形来求解各种面积和体积问题，例如求解长方形、正方形、圆形、三角形等图形的面积，以及球、圆柱、圆锥等图形的体积。
2.利用相似三角形求解问题：我们可以通过数形结合的方法，利用相似三角形来解决各种数学问题，例如求解直角三角形的斜边长度、求解比例问题等等。
3.利用图形坐标系求解问题：我们可以通过建立图形坐标系，将数学问题转化为几何问题，利用几何图形来解决各种问题，例如求解直线方程、解决距离问题等。
4.利用平面向量求解问题：我们可以通过利用平面向量的性质和特点，来解决各种数学问题，例如求解向量的模长、向量的方向、向量的加减等等。
总之，数形结合在初中数学中的应用是非常广泛的，它能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学知识，提高我们的数学思维和解决问题的能力。
- 1 -。
“数形结合”在初中数学教学中的应用
河的右侧有 Ａ、 Ｂ两个村子 ， 试在河 的左
。
地解一元二次方程和简单 的高次不等式 等． 【 ｌ 试通 过二次 函数 ． 例 】 ） ， 一 的 图象特 点来
比较 下 列 各 数 的 大 小 ： ． １， 一 ２ ） ， ．９， １ ０ （ ．１ ４
（一 １ ０９） ．０ ．
侧建一个商店 ｃ 使 Ａ ＋Ｂ， ｃ ｃ最少？
ｌｌ ：
分 析 ： 图 １从 图形 上 易 发 现 这 样 规 律 ： 给 两 如 ， 任 个 自变量 ｎ 、 ． 果它 与 原 点 的距 离 越 长 ， ｎ 如 则它 对 应 的 函 数值 越 大 ． 对 给定 的数 有 Ｉ １０ ９ｌ Ｉ． １ ＜ Ｉ ． 一 ． ０ 】 Ｏ ＜ ｌ 一２ １ ＜ ｌ
９Ｉ Ｉ． ． ４
＞Ｂ， Ａ．
．Ｃ 为 所 求 的 点， 此 时 － ． 且
Ｂ
ＡＣ Ｂ 的最 少 距 离 为 Ｂ， ＋ Ｃ Ａ． 例 ２ 例 ３若仅 关注代 数方 、
图 ３２ －
因 而 易得 （ １０ ９ １０ （ ２ １ ４ ９． 一 ．０ ）＜ ． １＜ 一 ． ）＜ ．
／ ｌ：
． ．
用代数对 图形性质进行更为丰富 、 精确 、 深刻地探讨 ，
． ． 、
－ ．
４ ３ — ｎ ｌ ０ Ｉ ２ ２ ４ ２ Ｌ Ⅱ ３
对 提 高学 生 发 现 问 题 、 析 问 题 、 决 问 题 的 能 力 大 分 解
有好 处 ．
图 １
把代数式的精确刻 画与几何图形 的直观描述结 合起 来， 从而使几何问题代数化 ， 代数问题几何化 ， 并进而 使抽象思维 和形象思维结 合起来 ， 能够使很多复杂 问
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：作为数学核心文解力的重要部分，直观的想象力的培养成为中学数学的主要教育目标。
直观的想象力是以思维能力为核心的思考问题的一种形态，在实际教学过程中结合数字和形状的思考可以用在建立数量关系、加深学生的理解、提高解决问题的效率性上。
将教学实习与学生生活联系起来，将技能内容整合起来，从洞悉解决问题的想法的角度出发，详细说明培养学生直观的想象力的战略。
关键词：数形结合；初中数学；教学方法探究数形结合是目前数学教育最有效的方法之一。
初中学生是在发展学习能力的时期，老师应该有意识地培养学生的学习能力，并为课堂教学采用数字和形状相结合的方法。
在数学教育中运用数字和形状的组合，可以使对数学概念的理解变得简单化，可以在学生面前提出数学公式的本质，使学生更容易理解和背诵，减轻学生的学习负担。
数学学习的困难。
在这一点上，教师主要在中学数学教育中运用数字和形状的组合进行分析。
本文针对如何在初中数学教学中运用数形结合思想，提出以下几个观点：一、以学生为中心，提高学生学习主动性在学生的课堂听课过程中，我们教师一定要以学生为中心设计课堂，要让学生在课堂的学习生活中感受到自己收到了关注，让学生在课堂上充分的感受到自己是课堂学习的主体，从而激发学生的学习兴趣，使学生在课堂上能够充分的发挥自己的学习积极性和学习主动性。
数形结合方式的教学在以学生为教学主体的课堂上能够更容易的开展，把学生当作课堂教学的主体能够很好地使学生在课堂上完成学习任务。
此教学方式能够很好地帮助学生解决问题，从而减少自己做题时对教师的依赖。
例如，在带领学生学习《圆的认识》这一章节的内容时，第一次授课所取得的效果并不是特别的明显，于是在课后我对自己的授课方式和课堂讲课内容进行了思考，在思考过后，我意识到，我不能够站在自己的角度去认为自己的讲课非常好，要站在学生的角度去看待问题，只有课堂能让学生满意，这才是最有效最高效的课堂。
针对这一观点，我对课堂的授课进行了改变，采取画图教学来给学生讲解圆的面积、周长，公式的死记硬背不能够使学生理解，而画图能够很好地帮助学生理解面积公式。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用数形结合思想是一种把数学问题和几何问题结合在一起的思考方法，它在初中数学教学中具有非常重要的应用价值。
本文将从几何图形的计算和应用、算术与代数的联系和分析证明等方面探讨数形结合思想在初中数学教学中的应用。
一、几何图形的计算和应用数形结合思想最常见的应用就是在几何图形计算中，它能够将一个抽象的数学概念通过几何图形形象化，使学生更加易于理解和记忆。
比如，平面图形的面积、周长和体积就是典型的数形结合题目。
例如，在计算矩形面积时，可以让学生想象一个由两条平行边和两条垂直边组成的图形，并通过单位面积上的方格个数来进行计算，这样可以增强学生的空间感。
另外，在应用层面，数形结合思想也可以帮助学生更好地理解并解决实际问题。
例如，在解决班级容量问题时，可以通过将教室平面图形和学生个数进行相互转化，进而得出容量结论。
二、算术与代数的联系数形结合思想还可以帮助初中学生更好地理解算术与代数之间的联系。
代数式本质上是一个良好的抽象概念，但它对初中学生来说可能过于抽象，难以理解和记忆。
而数形结合思想则可以将代数式与几何图形结合，使它更加形象化，加深学生的记忆和理解。
例如，学生在学习一元二次方程的解法时，可以通过将代数式与抛物线图形相结合，让学生更好地理解函数图像的形态和方程解的特点，使学生更加清晰地理解一元二次方程。
三、分析证明在学习初中数学时，学生需要学会进行基本的分析和证明，通过形式化的证明来加深对数学知识的理解。
数形结合思想同样可以用于这个过程。
例如，在证明一些基本几何公式时，可以先从几何图形出发，通过简单的数学运算和推导得到推论，然后再用代数式进行加强。
这样既可以使证明更加清晰，也可以帮助学生知道什么时候可以用数学公式来代替几何图形，什么时候需要进行证明。
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用
． ．
在Ｒ ｔ ＡＭＯ Ｃ中 ， ‘ ． ‘ Ｏ Ｍ＝ １ ， Ｃ Ｍ＝ ２ ＇ － ． ． Ｃ ＭＯ ＝ ６ ０ ￣ ， Ｏ Ｃ ＝ 、 ／ ３． 在Ｒ ｔ ＡＭＣ Ｅ中 ， ‘ ． ‘ ０ Ｃ ＝ ２ ， Ｃ ＭＯ ＝ ６ ０ 。 ． ＭＥ － ４ ．
・
． ．
点 Ｃ、 Ｅ的坐标分别为 （ ０ ， 、 ／ ） ， （ 一 ３ ， ０） ．
￣ Ａ Ｂ ， Ｃ ｒ ＝ ￣ ｃ ｏ ， 试 说 明 Ｅ Ｆ 互 分 。
， Ｊ Ｆ ’ Ｃ ‘
图 ３
这是一道关 于平行 四边形 的数学问题案例 。学生解答 “ Ｂ Ｄ
与 Ｆ 互相平分” 的过程 中，如果直接借助于平行 四边形 的性 质， 很难求 出 “ Ｂ Ｄ与 Ｅ Ｆ互相平分”的结论 。因此 ， 在解答 中学 生需要 运用数形结合思想 ， 借助数学 问题所给予 的条件 ， 再通过 对图形 的分析 ， 从 出采 用 “ 构建法 ”， 通过添 加 “ 连接 ＤＥ 、 Ｂ Ｆ’ 的辅助线 ， 然后借 助平 行四边形性质 ， 采用等量代换 的形 式 ， 求
．
・
．
切线 Ｃ Ｅ的解 析式为 ＇ ， ＝
ｊ
＋ 、 ／ 了．
图 ４
（ ３ ） 设 过点 Ｄ（ ０ ， 一 ３ ） ， “ 蛋 圆”切 线 的解析 式为 ｙ ＝ ｋ ｘ 一 ３
得Ａ ＝ Ｃ Ｆ ． Ｅ Ｂ ＝ Ｄ Ｆ ， 从 而证得 四边形 Ｄ Ｅ Ｂ Ｆ是平行 四边形 ， 求得 “ Ｂ Ｄ与 Ｅ Ｆ互相平分” 这一结论 。 三、 利用数形结合思想解决不等式 问题 例 ４某城市 的出租汽车起步价为 １ ０元 （ 即行驶距离 在 ５ 千米以内都需付 ｌ Ｏ元车费 ） ， 达 到或超过 ５ 千米后 ， 每行驶 １ 千 米加 １ ． ２元 （ 不足 １ 千米也按 １ 千米计算 ） 。现某人乘车从 甲地 到乙地， 支付 车费 １ ７ ． ２ 元， 问从 甲地到乙地的路程大约是多少？
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
在初中数学教学中，数形结合可以帮助学生理解抽象的数学概念。
例如在教学整数的时候，可以通过图形的方式来直观地展示正数和负数，让学生通过图形更直观地理解正数和负数的关系。
通过画图的方式，学生可以更具体地感知到数的大小和方向，帮助他们更轻松地掌握整数的加减乘除运算规则。
通过数形结合，学生能更深入地理解数学知识，也更容易接受和记忆。
数形结合可以激发学生的学习兴趣，增加学习动力。
基于图形的学习方法可以使学习变得更加生动活泼，从而激发学生的学习兴趣。
通过举一些有趣的例子，使用图形的方式展示数学知识内容时，学生更易产生兴趣，愿意主动参与到课堂讨论和学习中来。
相比于枯燥的书本知识，利用图像进行教学可以让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识，从而更好地提升学习效果。
数形结合还可以培养学生的数学思维和创新能力。
通过观察和分析图形、运用数学知识，学生可以培养出锐利的观察力和敏锐的分析能力。
数形结合的教学方法也可以激发学生的创新意识，启发他们寻找数学和图像之间的新颖联系，培养他们的创新能力。
在教学几何问题时，可以引导学生进行探究性学习，在实际的几何图形中让学生自己发现几何定理的特殊性质，从而激发学生的数学创新能力。
数形结合在初中数学教学中的应用有利于帮助学生更好地理解数学知识，激发学生的学习兴趣，增加学习动力，并培养学生的数学思维和创新能力。
在教学实践中应该积极采用数形结合的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
希望教师们能够加强教学理念的更新和教学方法的探索，不断探索和研究数形结合的更多教学方法和实践经验，为初中数学教学注入更多的活力和新意。
数形结合在初中数学教学中的应用案例研究
数形结合在初中数学教学中的应用案例研究数形结合是指将数学知识与几何形状相结合，通过图形直观地展示和解释数学问题。
在初中数学教学中，数形结合常常被运用于几何和代数的学习中，有助于帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
本文将从几何和代数两个方面，介绍数形结合在初中数学教学中的应用案例。
一、几何方面1.面积的计算在教授面积的计算时，可以通过数形结合，让学生将几何形状拆分成矩形、三角形或其他可以计算面积的形状，然后将这些形状的面积相加得到整个图形的面积。
例如，教学三角形的面积时，可以让学生将三角形划分成两个矩形，然后计算这两个矩形的面积并相加，即可得到三角形的面积。
2.图形的相似性在讲解图形的相似性时，可以通过数形结合，让学生观察和比较不同图形的长、宽、角度等属性的关系。
例如，教学三角形的相似性时，可以让学生观察两个三角形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而判断它们是否相似。
3.三角形中的重点线段在教学三角形时，可以将数形结合运用于三角形中的重点线段。
例如，教学三边中位线时，可以先让学生画出三角形，然后通过数形结合的方式，让学生观察三边中点是否共线，如果共线，可以引导学生通过测量和计算，发现这条线段的长度等于三角形中位线的一半。
二、代数方面1.代数式与图形的关系2.方程与图形的关系3.变量与图形的关系综上所述，数形结合在初中数学教学中有着广泛的应用。
通过数形结合，能够帮助学生直观地理解抽象的数学概念和原理，提高他们的数学思维能力和解题能力。
因此，在初中数学教学中合理运用数形结合教学法，能够提高教学效果，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指在解决数学问题时，通过图形化表达问题，利用几何图形的性质进行问题分析和解决的方法。
数形结合在初中数学解题中的应用十分广泛，下面我们就分几个方面进行讲解。
一、初中数学中的平面几何平面几何是初中数学中的重要内容之一，其中很多知识点和概念都可以通过数形结合的方法进行更直观的理解和记忆。
比如：1.相似三角形的判定对于两个三角形，判断它们是否相似，可以通过计算它们的角度和边长比值，但也可以通过绘制它们的图形，通过观察其中的角度和边长比值是否相等来得出答案。
2.勾股定理的应用通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长，而数形结合可以让我们更直观的理解勾股定理的几何意义。
图形中，斜边的平方等于两直角边平方和，也很容易理解。
3.中点定理的证明中点定理是一个非常简单而重要的定理，它的证明可以通过数形结合，绘制出一个平行四边形来完成。
在平行四边形中，对角线交点的连线恰好平分对角线，从而证明中点定理。
函数在初中数学中也是一个非常重要的概念，数形结合也可以为我们更好地理解函数的概念和性质提供帮助。
1.函数的定义函数可以看做是一种映射关系，图形中的坐标系就是一种很好的示例。
我们可以通过绘制坐标系、在坐标系中标出点、绘制函数图像等方式，帮助初学者更好地理解函数的定义。
2.函数图像的性质函数图像的性质也可以通过数形结合的方式来理解。
比如，对于一个一次函数，它的图像就是一条直线，通过观察这条直线的斜率和截距，我们就可以简单地推导出这条直线所对应的函数。
三、初中数学中的统计与概率统计与概率在初中数学中也是一项重要的内容。
这方面的问题可以用数形结合的方式解决。
1.频率分布直方图频率分布直方图是一个常用的图表来表示数据分布的情况。
通过绘制直方图，我们可以简单地看出数据的分布情况，例如是否呈现正态分布，均值与中位数是否接近等等。
2.概率树概率树可以帮助我们更直观地理解概率的计算过程。
通过绘制概率树，我们可以清楚地看出每个事件的发生概率，从而更好地计算该事件的概率。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指数学中的数学问题和几何问题相互转化、相互运用的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：一、用几何图形解决代数问题在学习代数知识时，许多问题可以通过几何图形来直观地展现。
在解一元一次方程时，可以通过画图的方式来帮助学生理解方程的意义。
教师可以选取和学生相关的实际问题，用几何图形的方式来解决，这样不仅可以让学生更好地理解代数问题的本质，还可以培养学生的数学建模能力。
在学习几何知识时，代数方法也可以被应用到许多几何问题的解决中。
比如在计算几何图形的面积或周长时，可以通过代数式的运算来得到结果。
这种方法不仅简单直观，而且可以加深学生对代数知识的理解和运用。
三、将数学问题转化为几何问题有些数学问题在代数形式下可能比较抽象，难以理解，而将这些问题转化成几何问题时，学生可能会更容易理解和解决。
比如在概率问题中，可以用几何图形来表示事件的发生，从而让学生更加直观地理解概率的概念和计算方法。
在初中阶段，学生学习的数学知识往往和实际问题有着密切的联系。
几何方法在解决实际问题时，不仅可以用来求解图形的面积、体积等几何问题，还可以帮助学生理解实际问题的本质和解决方法。
比如在解决日常生活中的测量、建模等问题时，几何方法的应用可以让学生更好地理解问题的背后数学原理。
数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣。
但是在教学中，如果不能很好地将数形结合思想融入到教学实践中，可能会达不到理想的效果。
教师在教学中需要灵活地运用数形结合思想，结合具体的教学内容和教学目标，设计出符合学生学习特点的教学方法。
教师需要结合教学内容，合理设计教学活动。
比如在教学一元一次方程时，可以设计一些与生活相关的问题，并通过几何方法来解决，这样可以让学生更好地理解代数方程的实际意义。
教师需要引导学生学会灵活运用数形结合思想。
在解决数学问题的过程中，学生需要通过分析问题，选择合适的数学工具和方法，从而达到数形结合的效果。
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“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC ∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S为：S解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+．所以ABC ∆是直角三角形．所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-．【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ，∴30bx c +=． ∴3c x b =-． 31b x c =-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ，∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12c x x a=-．∴12121211bx x b a c x x x x c a ++===--． ∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是5．现在我们只需要在图中找出来一段边长为5的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b +对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析，（2，1）即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(2 1)B -，，则y的最小值为'AB ==例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒．【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．轴的横【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x知，要坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可使两根都在－1和3之间，只须：成立，(1)0f ->，(3)0f >，()()02b f f k a -=-≤同时由此即可解得10k -<≤或3k ≥．其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：x(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++，∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<，∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--．考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次一次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是当函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，4p =，0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的内的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆x的面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒．7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2） 1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b ->5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．26．已知函数y x =和y =x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC ∠=，则DC =，sin B =．8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是．9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AE B C DE ⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2） 【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．68．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。