一元二次函数解法辅导讲义

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一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为。

例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。

一元二次方程解法

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：八课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师授课类型 T 同步知识讲解 C 专题方法讲解 T 学法与能力测评授课日期时段教学内容一、同步知识梳理一元二次方程1）概念：等式，=号两边是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）；2）表现形式：（1）一般形式：)0(02≠=++a c bx ax； ① 当0,0≠=c b，方程为02=+c ax ； ② 当0,0≠=b c，方程为02=+bx ax ； ③ 当0,0==b c，方程为02=ax ； 3）注意0≠a ；（1）只有当0≠a，02=++c bx ax 才叫做一元二次方程；（2）当0,0≠=b a ，方程变成0=+c bx ，变成一元一次方程；（3）判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面现象，要看化简后的最简式，整理成一元二次方程的一般形式；（4）如果明确指出方程02=++c bx ax 是一元二次方程，那就隐含了0≠a 这一条件；4）一元二次方程的解：（1）有的一元二次方程有两个不相等的实数解；有的方程有两个相等的实数解；有的方程无实数根；（2）判断某个实数是不是一元二次方程的解，代入其方程看是否符号即可；5）一元二次方程的解法：（1）直接开平方法形如02=+c ax或0)(2=++c m x a （2）配方法① 把形如02=++c bx ax 的一元二次方程通过配方变形为n m x a =+2)(的形式，左边是一个含有求知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这个方程就能应用直接开平方法求解；② 配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±③ 配方时，化二次项系数a 为1，通过变形，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式；④ 对于一个二次方程02=++q px x 而言，要使方程左边变成一个完全平方式，pxx +2可以写成222px x ⋅+，对照完全平方公式，222)2()2(22p p p x x -+⋅+，配成完全平方式，这样原方程就化成q p p x -=+4)2(22的形式；若042≥-q p ，可以直接开平方法解得；若042<-q p ，则原方程无解（3）公式法（求根公式）① 对于任何一个一元二次方程写成一般形式02=++c bx ax ，0≠a ；当042≥-ac b 时，一元二次方程的根可以表示为：aac b b x 242-±-=； ② 用公式法步骤：把方程化为一般形式，确定a,b,c 值；求出ac b 42-的值；若042≥-ac b ，把a,b,c 代入求根公式；若042<-ac b ，此方程无实根；③ 求根公式推导：02=++c bx ax ，因为0≠a ，方程两边都除以a ，得02=++a c x a b x ，移项得a c x a b x -=+2，配方得，ac a b a b a b x x -=+⋅⋅+222)2()2(22，即222244)2()2(a ac b a c a b a b x -=-=+；当042≥-ac b 时，直接开平方即得； ④ 根据ac b 42-=∆的值的情况可以判别方程根的情况：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；042<-ac b 时，方程没有实数根；（4）因式分解法（十字相乘）① 理论根据是00=⇔=⋅A B A 或0=B② 若一元二次方程等号的一边是0，而另一边易分解成两个一次因式时，例如092=-x ，这个方程变为(X+3)(X-3)=0，要使其成立，必须(X+3)=0或（X-3）=0，因此分别解这两个一元一次方程即可；③ 对一个一元二次方程因式分解可用的方法：十字相乘；平方差；提取公因式；6）配方法的应用由02≥x 可知：)0()(2≥≥++a c c m x a ，此时方程有最小值；)0()(2≤≤++a c c m x a ，此时方程有最大值；7）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（1）由公式法得，一元二次方程的两根为a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=；得出a b x x -=+21，a c x x =⋅21；（2）可以把方程02=++c bx ax 变形为02=++a c x ab x ，也可变形为0))((21=--x x x x a ；二、同步题型分析题型1：一元二次方程定义例1：下列方程哪些是一元二次方程： )12(3652+=+x x x ；x x =28；532=x ；y x 342=；24)3()15(x x x x x ++=-；例2：方程013)2(=+++mx xm m 是关于X 的一元二次方程，则M=？例3： a 为何值时，方程04)3()3(1=+++--x a xa a （1）是一元一次方程（2）是一元二次方程；例4; 关于X 的方程)2(322x x m ax-=--是一元二次方程，则a 范围？题型2：一元二次方程的解例1：判断下列实数是否为一元二次方程012=--x x 的解（1）x=-1 (2) x=251+;例2：若X=4是一元二次方程223a x x=-的一个根，则常数a 的值为？；例3：若关于X 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m ,其中有一个根是0，求M ；例4：若关于X 的一元二次方程)0(0532≠=--a bx ax的一个根是2，那么4a-6b=? ;例5：若n 是关于X 的方程022=++n mx x的根，则m+n 的值为？；例6; 已知X=1是一元二次方程02=++n mx x的一个根，则222n mn m ++的值为？一、专题精讲解法 – 直接开平方与配方法例1：用配方法解下列方程：142=x ； 0522=--x x ；09)6(2=-+x ； 02732=-x ；01432=++x x ； 0122=--x x ； x x 5222=+；01422=--x x ； 01722=--x x ； 01232=+--x x ；01212=+-x x解法 – 公式法例2：2x －1＝－2x 2 (x ＋1)(x －1)＝x 226x 2－x －2＝0．(x ＋3)(x －3)＝3．解法 – 十字相乘法例3：解下列方程：0542=+x x ； 0)74)(45(=+-x x ； 06)3()3(2=----x x)2()2(3-=-x x x ； 01522=-+x x ； x x x 22)1(3-=-；0)12(9)1(422=---x x ； 1)1)(12(=--x x ；12)3)(1(=+-x x ； 712)12)(53(+-=--x x x ； 03522=-+t t ；024)56)(56(=--+x x ； 0)3()3(42=---x x x ；0)21()21(2=--+x x ； 02)()(2=-+-+y x y x配方法的应用例4：（1）求证：无论X 取何值，二次根式542++x x 在实数范围内都有意义；（2）求证：无论a 取何值，122+-a a的值总是一个正数；（3）求2722+-x x的最小值；（4）设X ，Y 为实数，求0242222=+-++y y xy x的最小值韦达定理：两根和两根积1. 已知关于X 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x有两个实数根1x ，2x ；求实数M 的取值范围；当02221=-x x 时，求M 的值；2. 如果关于X 的方程0)1(222=+-+k x k x有实数根a 和b,则a+b 的范围？；3. 关于X 的方程04222=-+-k x x的两个根互为倒数，则K 为？；4. 方程0122=--x x的两个实数根为a,b,则（a-1）(b-1)=? ;5. 关于X 的一元二次方程072=--kx x的一个根为1，另一根为A ，求A 和K ；6. 已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为a,b,则b a 11+；7. 甲已两学生解同一个一元二次方程，甲将X 项的系数看错，解得两根为-4和8，已将常数项看错，解得两极为4和10，此外无其他错误，试求正确的一元二次方程，求出根；8. 设a,b 是一元二次方程0232=--x x的两个实数根，则223b ab a ++；9. 若一元二次方程02)2(2=++-a x a x的两个实数根分别是3，b,则a+b ；10. 若关于X 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根a,b,求K 的范围？设kb a t +=，求t 的最小值二、专题过关检测题1：k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．检测题2：关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．检测题3:求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实数根．一、能力培养综合题1已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．综合题2求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．二、能力点评课后作业一、写出下列一元二次方程的根1．3(x －1)2－1＝0．_____________________________．2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＝3．_______________________．3．3x 2－5x ＋2＝0．_____________________________．4．x 2－4x －6＝0．______________________________．二、选择题5．方程x 2－4x ＋4＝0的根是( )．(A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2 (C)x ＝4(D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． (A)x ＝3(B)x ＝±3 (C)x ＝±9 (D)3±=x 7．072=-x x 的根是( )．(A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77 (C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝7 8．(x －1)2＝x －1的根是( )．(A)x ＝2 (B)x ＝0或x ＝1(C)x ＝1 (D)x ＝1或x ＝2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2＝0． 10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0． 2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．.02322=+-x x (y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6．.066)3322(2=++-x x。

第34讲一元二次不等式的解法精品PPT课件

有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 x1=x2
ax2+bx+c>0
的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠
b 2a}
ax2+bx+c<0 的解集
{x|x1<x<x2}
没有实根 R
a<0如何画出上图相类似的结构图？
1定 .求义函 x域 y数 R 值 x2y 4域 x5 ， 9 的定义 . 如为果+域 3值呢域？呢？改
学习数学先认识自己，再发现就是初中如何学习一元二次方
程、函数、不等式的自己，而这个自己是不好的，于是突破自己，成为那个就是要达到像高中一样的学习一元二次方程、函数、不等式的自己，自动化化做这个最好的自己。
课件下载后可自由编辑，使用上如有不理解之处可根据本节内容进行提问
Thank you for coming and listening,you can ask questions according to this section and this courseware can be downloaded and edited freely
一、请同学们自学教材，教材给人什么感觉？答：其实不是教材编的不好，但给人感觉是乱。
二、因为文理相通：你们在学习《》的时候，老师会告诉你一条线索就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索，以贾宝玉与薛宝钗的爱情为线索。长篇小说是很长的，没有线索就会显的很乱。线索就是把许多洒落在地下的珍珠，用一条线把它们串起来，形成一条美丽的珍珠项链。那好，在《一元二次不等式及其解法》这一节中线索是什么？
cx2 bxa0的解集.
2.设 aR,解关于 x的不等式 x2ax40.

一元二次函数解法__辅导讲义

公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑
能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
6
x1Βιβλιοθήκη 2, x21. 3
（3）用公式法解:
49 . 36
解:移项,得 3x2 5x 2 0（这里 a=3,b=-5,c=-2）
b2 4ac 52 4 3 (2) =49
x (5) 49 5 7
23
6
2
本先教育教案
x1
2, x2
1. 3
总结： 1、解一元二次方程的方法：
例题：x 2 -6x=-8
1
本先教育教案
练习：(1)3x 2 +6x-4=0
(2)2x 2 -5x+2=0
④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 +bx+c=0(a≠0).
2.b 2 -4ac≥0. 例题：X2+2x-3=0
练习： -2m2+4=-3m
31
a2-a- =0
24
8y2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程： 3x2 5x 2
（1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成 A`B=0 的形式）
即 x-2=0 或 3x+1=0（A=0 或 B=0）

一元二次辅导讲义(全面)

杭州教育辅导讲义
2、知识要点归纳
由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.
（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁
（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.
（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识。

第1章第5节一元二次不等式及其解法课件

第五节一元二次不等式及其解法
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
考点二含参数的一元二次不等式
解含参不等式的分类讨论依据
第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
[典例1] 解关于x的不等式
(1)x2＋ax＋1＜0(a∈R)；
第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
2．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解
第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
二、教材习题衍生
1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1}
B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1}
D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式
第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集为R.( ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－ 4ac≤0.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

一元二次不等式的解法公开课课件

利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解，再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
课后：（1）作业 P21.习题1.5 1、3、5；（2）归纳一元一次不等式的解集；（3）预习 P20.~P21。
预习提纲 (1) 一元二次不等式能否可化为不等式组来解?
2x2－3x－2 < 0
1 x2 2
-2
3
利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解，再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
例2.解不等式－3x2＋6x > 2
略解: －3x2＋6x > 2
3x2－6x＋2 < 0
x |1
3 x 1 3
Δ>0 Δ=0 Δ<0
请同学们完成下表:
方程或不等式（a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式（a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
ax2＋bx＋c=0、｛x|x=x1 或 x=x2｝
新课一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表与图像如下：
x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y -3 -2 -1 0 1 2 3

4.1一元二次函数4.2一元二次不等式及其解法课件(北师大版)

{x|x≠- }

R
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;

2
解:(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.

2
画出一元二次函数 y=2x -3x-2 的图象[如图(1)],结合图象得不等式
2

2x -3x-2>0 的解集是{x|x<- ,或 x>2}.

(2)-3x2+6x-2>0;
(3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小.
简记为“一a,二判(Δ),三大小(两根)”.
最后对系数中的参数进行完全分类,即将(-∞,+∞)分成若干个区间,根
据相应一元二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集.
备用例题
[例题] 已知函数f(x)=x2-4ax,x∈R,a∈R.
(1)若f(x)<b的解集为(1,3),求a,b的值;
与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系.
2
①如果不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|d<x<e},则说明 a<0,x1=d,x2=e 分别为方程
2

ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= ;若解集为{x|x<d,或 x>e},则说明 a>0,
2

x1=d,x2=e 分别为方程 ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= .
拓展探索素养培优
含参数的一元二次不等式的解法
[典例] 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.

第二章一元二次方程复习讲义

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：八年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第二章一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式（警告：用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

初三数学讲义——一元二次方程的解法

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5 方程 x 2 mx (n 1) 0 的两个根是 2 和－4，那么 m = 思维提升： 1、若两数和为 4，两数积为 3，则这两数分别为 .
，n=
.
2 2、已知方程 2 x 2 3x 4 0 的两根为 x1 ， x2 ，那么 x12 x2 =
. ， m 的值是 . .
（7） 4 x2 12x 1 0
2 （8）（x 1 ） 6( x 1) 2 45 0
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
x
b b 2 4ac 2 (b 4ac 0) 2a
2 2
一元二次方程（m-1）x +2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根，求 m 的最大整数值．
2
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4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
2 （ 7x 3 ） 16 0 （1） 25
教学内容一、教材回归
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

课件3：§3.2一元二次不等式及其解法

§3.2 一元二次不等式及其解法
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学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法． 2.理解一元二次不等式、一元二次方程及二次函数之间的关系．
课前预习
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的_根__是二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的_零__点_____
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象的开口方向向下．
②Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相同的解，即x1＝x2，则不等式(1)的解集为_{_x_|x_≠_x_1_，__x_∈__R_}，不等式(2)的解集为_∅__； ③Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，则不等式(1)的解集为_R__，不等式(2)的解集为_∅__.
思考感悟
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或∅？【答案】当a＞0，Δ＝b2－4ac＜0时，解集为R；当a＜0，Δ＝b2－4ac≤0时，解集为∅.
变式训练1 解下列不等式： (1)2＋3x－2x2＞0； (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
类型二：解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．
类型三：三个“二次”之间的关系一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的根，也是对应二次函数的零点．
例3 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜ x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集．

《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx

定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
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化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二次不等式是中学数学中一个重要的内容，它与一元二次方程、二次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过观察和计算，确定不等式的解集，掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，如环境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学生
覆盖知识点全面，体现一元二次不等式的重点和难点
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题量适当，避免过多或过少
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题目类型多样，包括填空题、选择题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等式，掌握解题步骤

(2021年整理)一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义

一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义）的内1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义的全部内容。

1、一元二次方程解法重点、难点2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解考点及考试要一元二次方程的四种解法求教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。

3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+;4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。

新课标第一网课前检测5。

已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值.一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式:2()x a b +=举例:解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得: 225(1)9x +=1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解。

一元二次方程讲义模板

龙文教育学科教师辅导讲义课题方程与不等式（组）（二）一元二次方程教学目标1. 理解一元二次方程的概念。

2. 掌握解一元二次方程的方法和技巧。

3. 学会列一元二次方程解应用题。

重点、难点本节的重点是熟练掌握解一元二次方程的方法和技巧；会列一元二次方程解应用题是本节教学的难点。

考点及考试要求教学内容一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。

例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？（1）（2）（a 为常数）（3）一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型配方法：配方:方程两边同加一次项系数一半的平方公式法：因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=（4）（5）（6）22(1)0m x mx m +-+=例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

（关于x 的一元二次方程）253x x -= 230x =三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。

例1：若关于x 的一元二次方程x 2＋p x ＋5＝0的一个根是－1，求p 的值。

一元二次方程的解法

（3） (m n) 4(m n) （平方差)
2 2
（4） a 6a 9 (完全平方式)
2
(5） 12xy x 36y
2
2
(完全平方式)
（6） (a b) 5(a b) 4 （十字相乘法）
2
（7） p 7 pq 12q （十字相乘法）
2 2
（8） 5n(2m n) 2(n 2m) (提公因式)
（2） ( x 2) 4
2
（3） 2 x 8 0;
2
（ 4）（3x 1) 2 7
（5） 1 x 9 0;
2
（6） 9x 1 16x 2
2
2
例 2、解关于 x 的方程： ax2 b 0
2
3. 下列方程无解的是（ A. x 2 3 2 x 2 1 类型二、配方法
2 ① 当 b 4ac 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： x1,2
b b2 4ac 2a
2 ② 当 b 4ac 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： x1,2
b 2a
③ 当 b2 4ac 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根。
3
例 3、试用配方法说明 x 2 2 x 3 的值恒大于 0， 10x 2 7 x 4 的值恒小于 0。
例 4、已知 x、y 为实数，求代数式 x 2 y 2 2 x 4 y 7 的最小值。
例 5、已知 x 2 y 2 4x 6 y 13 0，x、y 为实数，求 x y 的值。
（2）
2x 2 7 x 4
（4） x 2 4 3x 10 0

一元二次方程解法根与系数关系1.30

1精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T 一元二次方程的解法授课日期时段教学内容一、同步知识梳理一元二次方程的概念1.方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。

3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为02=++c bx ax 的形式,我们把02=++c bx ax (a,b,c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。

c bx ax ,,2分别称为二次项，一次项，常数项。

一元二次方程的解法1．因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法2.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

它的基本步骤是：（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（2）将方程的左边分解因式；（3）根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

3.一般地，对于形如 a x =2（a ≥0）的方程，根据平方根的意义，可解得 a x =1，a x -=2这种解一元二次方程的方法叫做开平方。

24.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

5.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（a ≠0, b 2-4ac ≥0) 当b 2-4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。

当b 2-4ac<0，一元二次方程无实数根。

二、同步题型分析例题1 下列方程中，属于一元二次方程的是（）。

（A ）x 2-1x=1 （B ）x 2+y=2 （C ）2x 2=2 （D ）x+5=（-7）2例题2 把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（）。

（A ）x 2+x-10=0 （B ）x 2-x-6=4 （C ）x 2-x-10=0 （D ）x 2-x-6=0 例题3 当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x+1）是关于x 的一元二次方程？当m 取何值时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x +1）是一元一次方程？例题4 设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -三、课堂达标检测1. 一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项)04(24222,1≥--±-=ac b a ac b b x3系数为：一次项系数为：，常数项为：。

一元二次函数辅导讲义

一元二次函数解法讲义【知识梳理】1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y2。

二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=3。

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：（1）当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-（2）当时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大,最大值为a b ac 442-（3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作．特别地,ｙ轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1)公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=．（２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ,对称轴是直线.(３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失．6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=（１）决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的完全一样.(２）和共同决定抛物线对称轴的位置：由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故: ①时,对称轴为轴 ②ab＞0（即、同号）时,对称轴在轴左侧 ③0<ab（即、异号）时,对称轴在y 轴右侧. （3）的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。