一元二次函数解法辅导讲义

龙文教育教师辅导讲义

课题一元二次方程的解法

教学目标掌握一元二次方程的四种解法，以及学会根据实际问题列出方程及灵活运用四种方法解出方程

重点、难点熟练掌握一元二次方程的四种解法

教学内容

一元二次方程的解法：

①因式分解法：

1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;

2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

→因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

一移-----方程的右边=0;

二分-----方程的左边因式分解;

三化-----方程化为两个一元一次方程;

四解-----写出方程两个解;

例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2

练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-41.2y-0.04=9y2(2x-1)2+3(2x-1)=0

②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）

例题：3x2－27=0;

练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0

③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤:

1.变形:把二次项系数化为1

2.移项:把常数项移到方程的右边;

3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;

4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;

5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;

6.求解:解一元一次方程;

7.定解:写出原方程的解.

例题：x 2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0

④公式法：

用公式法解一元二次方程的前提是:

1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0).

2.b 2-4ac ≥0.

例题：X 2+2x-3=0

练习： -2m 2+4=-3m

23a 2-a-4

1=0 8y 2-2y-15=0

△ 用三种方法解方程：2532=-x x

（1）用因式分解法解:

解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）

方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）

即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0）

31

,221-==∴x x

（2）用配方法解:

解：两边同时除以3，得:

32352=-x x

左右两边同时加上 2)65( ，得:

.3625323625352+=+-x x ()

.04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

即 .3649652=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x 开平方，得:.36496

5±=-x .31,221-==∴x x

（3）用公式法解:

解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2）

())2(34542

2-⨯⨯--=-∴ac b =49 6753249)5(±=⨯±--=∴x

.31,221-==∴x x

总结：

1、解一元二次方程的方法：

①因式分解法 （方程一边是0，另一边整式容易因式分解）

②开平方法 （ (x+m)2=a a ≥0 ）

③公式法 (化方程为一般式）

④配方法 （二次项系数为1，而一次项系数为偶数）

ax2+c=0 ---- 直接开平方法

ax2+bx=0 ---- 因式分解法

ax2+bx+c=0 ----- 因式分解法

公式法（配方法）

2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）

3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

课后练习：

1．填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x 2+2x+________=（x+__）2；（2）x 2-6x+_____=（x-___）2；

（3）t 2-10t+________=（t-___）2；（4）y 2+____y+121=（y+___）2．

2．方程（x+1）2=9的解是_________．

3．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：

（1）x2+px+_____=（x+__）2；（2）x2+b

a

x+_____=（x+___）2．

4．解方程：

（1）x2=121；（2）（x-3）2=16．

5．解下列方程：

（1）x2-2x=1；（2）x2+24=10x；

（3）x（x+2）=323；（4）x2+6x-91=0．

6．当x取何值时，代数式x2-3x+3的值等于7．

7．用一根长为24m的绳子围成面积为18m2的矩形，请问这个矩形的长与宽各是多少？8．在实数范围内，方程x2+1=0有解吗？x2-2x+2=0呢？