小船渡河模型(含答案)

运动的合成与分解实例——小船渡河模型

一、基础知识

（一）小船渡河问题分析

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1

(d 为河宽)．

②过河路径最短(v 2

.

③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆

心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d

cos α＝v 2

v 1

d .

（二）求解小船渡河问题的方法

求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．

(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．

(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习

1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：

(1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝垂直河岸方向．

当船头垂直河岸时，如图所示．

合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s.

t ＝d v 2＝180

5

s ＝36 s v ＝v 21＋v 2

2＝

5

2

5 m/s x ＝vt ＝90 5 m

(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短．

x ′＝d ＝180 m.

t ′＝d v 2cos 30°＝180

5

23

s ＝24 3 s

答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是

( )

A ．船渡河的最短时间是25 s

B ．船运动的轨迹可能是直线

C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2

D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100

5 s ＝20 s ，A

错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m/s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m

到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m/s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2

，

C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52

＋42

m/s ＝41 m/s ，D 错误．

3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则

( )

A ．船渡河的最短时间是60 s

B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C ．船航行的轨迹是一条直线

D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD 解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝

300

3

s ＝100 s ，A

错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42

＋32

m/s ＝5 m/s ，C 错，D 对． 4、(2011··3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲

C ．t 甲>t 乙

D ．无法确定 答案 C

解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则

t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OA v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝2x OB v 20－v 2＝2x OA v 20－v 2

<2v 0x OA

v 20

－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．

5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距2

33H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂

直到达对岸A 点，则下列判断正确的是

( )

A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同

B ．v ＝2v 0

C ．两船可能在未到达对岸前相遇

D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD

解析 渡河时间均为

H

v sin 60°

，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝

2v 0，甲船在该时间沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)

H

v sin 60°＝2

3

3H ，刚好到达A