安徽师范大学高等数学高数2009-2016年期末考试题
安徽大学期末试卷MK08-09(2)高数C(二)答案.pdf
3 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
，B
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
−1 0
0 0
⎟ ⎟⎠⎟
.若
X
满足
AX
+
2B
=
BA +
2X
，求
X
.
解：由 AX + 2B = BA + 2 X 得到： ( A − 2E) X = B( A − 2E) ，
从而 X = ( A − 2E)−1 B( A − 2E)
⎛0
又
(
A
−
2E)
=
⎜ ⎜
这样原方程的通解为：
C1e x
+
C2e 2 x
+
1 6
e−x
.
14. 将 f (x) = 1 展开成 ( x − 3) 的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域. x
解：
f
(
x)
=
1 x
=
3
+
1 x
−
3
=
1 3
⋅
1+
(
1 x
−
3)
3
∑ 而
1
∞
= (−1)n xn ， x ∈ (−1,1) ，
1+ x n=0
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 −2
1 −1 a −1 −1
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
1 −1 a +1 −3
⎟ ⎟⎟⎠
《高等数学 C（二）》（A 卷）参考答案 第 3 页 共 4 页
安徽大学期末试卷
普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3 至页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1 •答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2 •答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号。
3 •答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。
在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h表示底面上的高如果事件互斥，那么棱柱体积V=Sh棱锥体积」第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i是虚数单位，i（1+i）等于A. 1+iB. -1-iC.1-iD. -1+i2•若集合一J」：一ID • I,则J一是A. {1 , 2, 3}B. {1 , 2}C. {4 , 5}D. {1 , 2, 3 , 4 , 5}x + 3y>43. 不等式组所表示的平面区域的面积等于3 2A. LB. 「4 3C. -D.4. ”是“ a >5 且”的9. 设函数值范围是A.[-2,2] B.【返Q M2】 D.【Q]10. 考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于1 1A.1B. -C. -D. 0 --2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科）第II 卷(非选择题共100 分)A.必要不充分条件 C.充分必要条件B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知[为等差数列'打 心-小，则T 等于A. -1B. 1C. 3D.76. 下列曲线中离心率为[的是A,2 2 * 丁J ___ IIB.--4 107. 直线’过点（-1，2）且与直线垂直，则.的方程是A 3x+2y-l=OB 3x+2y+7 = 0c.2x-3/+5 = O D . 2x-3y+8 = O28. 设，••，」，函数的图像可能是，其中5开-'，则导数一D.考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
高数A(三)期末考试答案整理安徽大学
0
⎜⎝ 0
0 4k 0
⎜ 4k
0⎞ ⎜
0
⎟ ⎟
QT
=
⎜ ⎜
0
6k ⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝ 0
0 2k + 6k
2 −2k + 6k
2
0⎟
−2k
+
6k
⎟ ⎟
2⎟
2k + 6k 2
⎟ ⎟⎟⎠
13、解：二次型的矩阵为
各阶顺序主子式为
⎛ 2 2 −2⎞
⎜ ⎜
2
a
−4
⎟ ⎟
⎜⎝ −2 −4 5 ⎟⎠
2 2 −2 | 2 |= 2 ， 2 2 = 2a − 4 ， 2 a −4 = 2(3a −10) ，
。
10、从一批零件中，抽取 9 个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3
设零件直径服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，其中 μ 未知，σ = 0.21 （毫米）， Φ(1.96) = 0.975 ，
则这批零件平均直径 μ 的对应于置信度为 0.95 的置信区间为
⎛ 0 −1 1 ⎞
7、
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
2 0
−01⎟⎟⎟⎠
8、30
9、9
10、（19.77，20.05）
三、计算题（本大题共 4 小题，其中第 11 题和第 13 题各 10 分，第 12 题 14 分，第 14 题 12 分，共 46 分）
11、解：将第一行的-1 倍加到其余各行，得
x1
a2
a3
80
20
四、证明题（本大题共 2 小题，每题 12 分，共 24 分）
2008-2009学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2008—2009学年第二学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）题 号 一 二 三 四 五 总 分得 分阅卷人得分一、填空题（每小题2分，共10分）1．已知两个4维向量与21(1,,1,0)t α=2(2,1,3,2)t α=−正交，则＝ t . 2．幂级数221212n nn n x ∞−=−∑的收敛半径为 . 3．设，100220345A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ∗是A 的伴随矩阵，则1()A ∗−= .4．设平面区域：0,D 01x y y ≤≤≤≤(,)，f x y 在上连续，则利用极坐标变换可将二重积分D (,)Df x y d σ∫∫ 化为 .5．二次型22212312224243x x x x x x ++++x 的秩为 .得分 二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. 二元函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点处( ).(0,0)A. 连续，偏导数也存在 B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数也不存在7．若,A B 均为同阶可逆矩阵，则必有( ) . A. A 可经行初等变换变到B B. A B =C. 存在可逆矩阵，使得P 1P AP B −=D. A B +为可逆矩阵8．若阶矩阵n A 的一个特征值为2，则23A A E ++必有一个特征值为( ) .A. 0B. 1C. 11D. 不能确定9．若级数收敛，则( ) .1(n n n a b ∞=+∑)A. 、中至少有一个收敛 B. 1n n a ∞=∑1n n b ∞=∑1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑均收敛C. 1n n n a b ∞=+∑收敛 D. 1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑敛散性相同10. 差分方程的通解为 ( ) (其中为任意常数) .2132t t t y y y ++−+=02222C 1,C C A. B. C. 1C t C +12t C C +1(2)t C −+ D.12(1)t C C −+三、计算题得分(第11小题至第14小题每题8分，第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin y z x =，求(1) zx ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域.院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.14. 将1()f x x=展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域. (3x −)⎟⎟15. 已知，. 若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X .16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟0,院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) a 为何值时，方程组无解；(2) a 为何值时，方程组有解，并求其解.得分 四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到三条直线0x =、0y =、2160x y +−=距离的平方和最小.五、证明题（本题8分） 得分19．设A 为矩阵，其秩为，m n ×AX b =r β是非齐次线性方程组的一个解，0AX =12,,,n r ααα−"是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：向量组12,,,,n r ααα−"β 线性无关.安徽大学2008－2009学年第二学期《高等数学 C（二）》考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、填空题（每小题2分，共10分）1．1或； 3. 110A ； 4.csc 204(cos ,sin )d f r r r πθπθθ∫∫dr θ； 5. .2二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. C；7. A；8. C；9. D； 10. B.三、计算题(第11小题至第14小题每题8分， 第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin yz x =，求(1) z x ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.解：2cos z y y x x x ∂=−∂,1cos z y y x x∂=∂ 21cos cos y y ydz dx dy x x x x=−+22(cos )z y y x y y x ∂∂=−∂∂∂x 231cos sin y y y x x x x =−+ 12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 解：cos Dxdxdy x ∫∫210cos x x x dx dy x=∫∫120cos ()xx x dx x=−∫1(cos cos )x x x d =−∫x=1cos1−13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.解：方程对应的齐次微分方程为：32y y y 0′′′−+= 0 其特征方程为，解得232λλ−+=121, 2λλ==.故齐次方程的通解为：212x x C e C e +. 设非齐次方程的一个特解为x y Ae ∗−=代入原方程得到32x x x x Ae Ae Ae e −−−++=−，故16A =这样原方程的通解为：21216x x x C e C e e −++.14. 将1()f x x =展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域.解：(3x −)1111()33331()3f x x x x ===⋅−+−+ 而01(1)1n n n x x ∞==−+∑，，(1,1)x ∈− 故11331()3x ⋅−+013(1)()33n n n x ∞=−=−∑＝1(3)(1)3n n n n x ∞+=−−∑ 且313x −<，于是33x −<，收敛半径为3r =， 收敛区域为.(0,6)15．已知，.若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜⎟⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X . 解：由 22AX B BA X +=+得到：(2)(2)A E X B A E −=−，从而1(2)(2)X A E B A E −=−−又，001(2)010200A E ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠11002(2)010100A E −⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠这样，1200100001010010010100000200X ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎠000010001⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎜⎟⎝⎠⎟⎟16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠解：1104301022(1)(2λλE A λλλλ+−−=−−−)=−− 令0E A λ−=解得特征值为12λ=，231λλ== 对于12λ=，解方程组，得基础解系为：123(2)0x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠=1(0,0,1)T η=故属于12λ=的全部特征向量为1(0,0,1)T k 1(0k )≠ 对于231λλ==，解方程组，得基础解系为：123()x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠0=2(1,2,1)T η=−故属于231λλ==的全部特征向量为2(1,2,1)T k −2(0k )≠ 因A 只有两个线性无关的特征向量，故A 不能对角化.17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax 0,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) 为何值时，方程组无解；a (2) 为何值时，方程组有解，并求其解. a 解：方程组对应系数的增广矩阵为：11 1 112 2 011 0A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111 1011 102 1 1 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠11 1 1011 100 13 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠(1) 当时方程组无解；10a +=(2) 当即时，方程组有唯一解，其解为：10a +≠1a ≠− 123 23 113 1x x a x a ⎧⎪=⎪⎪=−⎨+⎪⎪=−⎪+⎩. 四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到直线0x =，0y =及2160x y +−=的距离的平方和最小.解：设所求的点为(,)x y ，则它到0x =，0y =及2160x y +−=的距离分别为x ，y，于是由题意，距离的平方和为：221(216)5s x y x y =+++−2令22(216)0542(216)05s x x y x s y x y y∂⎧=++−=⎪∂⎪⎨∂⎪=++−=∂⎪⎩，解得唯一驻点816(,)55根据实际意义所求的点一点存在，即为816(,55.五、证明题（本题8分）设β是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,,,n r ααα−"是对应的齐次方程组的一个基础解系，证明：12,,,,n r ααα−"β线性无关.证明：设11220n r n r k k k k ααα−−++++="βr ，因为0,(1,2,,)i A i n α=="−，于是A 左乘上式两端得到0kA β=，而0A b β=≠，故0k =于是11220n r n rk k k ααα−−+++="，而12,,,n r ααα−"是0AX =的一个基础解系，从而线性无关，故，这样120n r k k k k −====="12,,,,n r ααα−"β线性无关.。
安徽大学期末试卷MK_08-09(2)高数C(二)答案.pdf
3 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
，B
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
−1 0
0 0
⎟ ⎟⎠⎟
.若
X
满足
AX
+
2B
=
BA +
2X
，求
X
.
解：由 AX + 2B = BA + 2 X 得到： ( A − 2E) X = B( A − 2E) ，
从而 X = ( A − 2E)−1 B( A − 2E)
⎛0
又
(
A
−
2E)
=
⎜ ⎜
这样原方程的通解为：
C1e x
+
C2e 2 x
+
1 6
e−x
.
14. 将 f (x) = 1 展开成 ( x − 3) 的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域. x
解：
f
(
x)
=
1 x
=
3
+
1 x
−
3
=
1 3
⋅
1+
(
1 x
−
3)
3
∑ 而
1
∞
= (−1)n xn ， x ∈ (−1,1) ，
1+ x n=0
y ， x + 2 y −16 ，于是由题意，距离的平方和为： 5
s = x2 + y2 + 1 (x + 2 y −16)2 5
令
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
∂s ∂x ∂s
= =
2x 2y
+ +
2 5 4
(x (x
+ +
安徽师范大学高等数学高数2009-2016年期末考试题
安徽师范大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分2222120(,,)x y x y dx f x y z dz --+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxy y dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛 区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim (,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y ⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =. [210sin 1sin1y y yI dy dx y==-⎰⎰]11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰] 12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行). [222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydx I dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰] 13. (10')计算曲面积分222()()x y z dydz x y z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面: 22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑] 15. (8')求幂级数201(2)!!n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和. [22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]安徽师范大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===, 从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F 所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin nn S x bnx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分, 则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4D xydV xydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程. [121,812208112x y z x y z ---==+-+=-] 10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数22()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++=+=⎰⎰⎰⎰] 13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中 Ω 是由曲面2221x y z +-=与平面 1,2z z ==所围成的有限闭区域. [222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n ∞=∑. [222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑] 15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()b bb b b b aaa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]安徽师范大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-, 则极限21(,1)(1,2)lim31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz ee --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线 'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ] :A 充分条件; :B 必要条件; :C 充分必要条件; :D 无关条件.6. 若常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: [ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛; 1:nn u B n ∞=∑一定收敛; 1:n n C nu ∞=∑一定发散; :D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1np n u n∞=∑收敛, 必有1p >. 7. Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥, 则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于 [ B ] 123:8()A x yz dv Ω++⎰⎰⎰; 12:8B y dv Ω⎰⎰⎰; 12:8()C x y dv Ω+⎰⎰⎰; 12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dz Γ+++++⎰等于 [ D ]:2A zdydz xdzdx dxdy ∑++⎰⎰; 22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰; :(21)C z x dS ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=)1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程. [111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =y =所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f ee=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数 n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略] 五(10')3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰,其中'L 是沿曲线2x y xe =从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰]七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰. [22112220312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3nn n x n ∞=+-∑的收敛域及其和函数. [333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==----- 九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]安徽师范大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2. yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z在二次曲面中, 该曲面的类型是 圆锥面 .3. Ω是上半球体 22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段, AB L 是以A 为起点 B 为终点的有向直线段,则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5. D 是由曲线22y x =与3y x =-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xx dx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰.6. 积分222211()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 222222,0()x y y I x y dxdy +≤≥=+⎰⎰, 224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 则有 [ D ]1234()A I I I I >>>; 1243()B I I I I >>>; 4321()C I I I I >>>; 2134()D I I I I >>>.7. xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =, G 是引力常数, 则 [ B ] 32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z DG z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰.8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰等于 [ C ]()(22)A P x Q y R dS ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e-==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz . [(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++, 试计算该薄片的质量. [2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n n nn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n nn n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211()2[12(1)]x s x x -<=--] 四. (10')Ω是由曲面z =以及2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算) [22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大 与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-] 六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y +++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ;(2)计算积分222222Lax by x y dx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数. [11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=>< 0α⇒≤时,级数显然发散;0α>时,级数收敛]安徽师范大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4. D 是以(1,1),(1,1)-以及(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =- (1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m , 则有 【D 】 (),A M a m d ==; (),B M c m a ==; (),C M d m b ==; (),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是 【C 】2cos 2()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰cos 20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2sin 204()(cos ,sin )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰; sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7. Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f xy z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是 【C 】22200()(,)A d d f z dz πρθρρρ⎰⎰; 2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;22()(,)C d f z dz πρθρρρ⎰; 220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是 【A 】1()lim nkn k A u→∞==-∞∑; ()lim n n B u →∞=-∞; ()C {}n u 是无界数列; 1()lim nk n k D u →∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆 弧长度的最小值. [6π] 2. 求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz . [122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π] 4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分2323(sin )()y Ly y x dx e x dy -++-⎰的最大值. [2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn e n ∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由. [1n u n发散] 三. (10')求由方程221z xz x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以及 二阶偏导22(1,1,1)zy∂∂. [22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂]四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ 是顺时针方向的, 计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I xy dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n nn x n ∞=+∑的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. [111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)zxy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-] 七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分21[()cos ]nk k f x c kx dx π=-∑⎰取得最小值, 并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式. [0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰]安徽师范大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =.2. 设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限0(2,)(,)lim 4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2f fx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y 的偏导数(1,2)6gy∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分222(2)(2)6x Ly e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D 是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时, I 等于 【A 】sin 2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;12()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 244()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是 【C 】21()nn A u ∞=∑; 11()n n n B u u ∞+=∑; 11()2n n n u u C ∞+=+∑; 1()(1)nn n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()nn n n a xx ∞=+∑的收敛半径为 【D 】(A(B ; ()C ;()D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程. [(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)yf x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值 a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ. [488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy ∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积. [136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dx ππ=⎰, 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()sin n b f x nxdx ππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑在(,]ππ-上的表达式. [2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH 中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ---- 求(1),,D E G 点的坐标; (2)该平行六面体的体积. [(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=. [1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面 22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角. [56π-]六. (10')求幂级数30(1)21n n n n x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+<七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >. 判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以及相距 为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值. [(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]安徽师范大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为 锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n方向的方向导数为5.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以及曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x ≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4xx x xLa ee dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数 12a π=-.7.设无穷级数1(1)nn ∞=-∑, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=, 求22(0,2)(0,2)z zx x --∂∂∂∂，. 【22(0,2)(0,2)415z zx x --∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它 的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】 四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【21211()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)y y Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =(1,1)A 的有向弧段.【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()y x e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】 七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】安徽师范大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知直线L 过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设2sin (,)1xytf x y dt t=+⎰, 则22(0,2)4f x ∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)xdx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22sin 42cos sin 04(cos ,sin )(cos ,sin )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z dv Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1nn a∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是 [ D ]11:(1)n n n a A n ∞-=-∑; 21:n n B a ∞=∑; 2211:()n n n C a a ∞-=-∑; 11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ; :(1,3)C -;:(1D +.二.(8'216⨯=)9. 设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f . [1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=]三.(10')计算二次积分112201x xdx dy x y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdy x y-+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=. [π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=及226x y +=之间的曲面面积, 并求相应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧. [6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围. [2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且1()0g x dx =⎰, 函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记1()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx n n ==-⎰⎰,22n M a n≤]常用公式·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：·三倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-si n(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
安徽师范大学高等数学期末考试试卷(含答案)
安徽师范大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
3．函数的图形如图示，则函数
( )．
A、有一个极大值
B、有两个极大值
C、有四个极大值
D、没有极大值
【答案】A
4．微分方程满足的特解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
5．函数的单调增加区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
7．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
9．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
2016届安徽师范大学附属中学高三最后一卷数学(理)试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21,A y y xB x y ⎧⎪==+==⎨⎪⎩,则A B = （ ）A ．[)1,+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．[)0,+∞ 2. 已知复数 20162015120152016i z i+=+-，则2016z=（ ） A ．20162B ．10082 C ．10082- D ．20162-3. 面αβ⊥，直线b α⊂，m β⊂,且b m ⊥，则b 与β（ ）A ．b β⊥B ．b 与β斜交C ．b βD ．位置关系不确定4. 已知命题:p 函数12x y a+=-的图象恒过定点()1,2； 命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝5. 已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）A ．10n >B ．10n ≤C ．9n <D ．9n ≤6. 如图是一个多面体三视图，的等腰Rt ∆，则这个多面体最长一条棱长为（ ）A B C ．D ．7. 设 ()21,X N δ ，其正态分布密度曲线如图所示，且()30.0228P X ≥=，那么向正方形 OABC 中随机投掷 10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）附：（ 随机变量ξ服从正态分布()21,N δ，则()0068.26P μδξμδ-<<+=，()002295.44P μδξμδ-<<+=A ．6038 B ．6587 C ．7028 D ．7539 8. 已知P 为函数()ln 21y x =-图象上的一个动点，Q 为函数23y x =+图象上一个动点，则2PQ 最小值=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9. 已知lg3ln 2lg 2lg32,3,10a b c ===，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a c b =>B ．a b c =>C ．a b c <=D ．a b c ==10. 设()00,M x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点，,A B 是其左，右顶点，2202AM BM x a =- ，则离心率e =（ ）A ．12 BC ．45D11. 定义{}()(),a a b Max a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩设 实 数 ,x y 满 足 约 束 条 件 ：22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围为（ ）A ．78z -≤≤B ．710z -≤≤C ．810z ≤≤D ．010z ≤≤12. 已 知 函 数 ()y f x =是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ，当 0x ≥时，()()()5sin 01421114x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“20,0x x x ∀>-≤” 的否定是 ． 14.((5611-+展开式中32x的系数为 ．15. 如图，半径为2的扇形的圆心角为120,.M N ︒分别为半径,OP OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，,AM AN则的取值范围是 ．16. 已知数列{}n a 满足111,222n n n a a a +==+数列{}n b 满足n n b a =，存在m N *∈，使得对n N *∀∈,不等式n m b b ≤恒成立，则m 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2226cos ,sin 2sin sin a b ab C C A B +==.（1）求角C 的大小； （2）设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，且()f x 图像上相邻两最高点间的距离为π,求 ()f A 的取值范围.18. （本小题满分12分）2014 年12 月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA 来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ,则表明感染牛肉在这三个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组样品中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8 元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？(3)试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.说明理由.19. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为a 的菱形,120,BAD PA b ∠=︒=.（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）设AC 与BD 交于点,O M 为OC 中点，若二面角O PM D -- 的正切值为,求:a b 的值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是()()121,0,1,0F F -,过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与,P Q 两点, 且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点,M N ,则1F MN ∆ 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）定义 在 R 上 的 函 数 ()f x 满 足()()()222'1202x f f x e x f x -=+- , ()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数 ()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；(3) 如果,,s t r 满足s r t r -≤-，那么称s 比更靠近r .当 2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更靠近 ln x ，并说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于,O BD 是O 的直径AE CD ⊥于点,E DA 平分BDE ∠.（1）证明：AE 是O 的切线；（2）如果4,2AB AE ==,求CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是31,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（1）求点 D 的直角坐标和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若经过点D 的直线与曲线C 交于,A B 两点，求DA DB 的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,x y z R ∈,且2228,24x y z x y z ++=++=,求证：4443,3,3333x y z ≤≤≤≤≤≤.安徽师范大学附属中学2016届高三最后一卷数学（理）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CBDDD 6-10.BBBDD 11-12.BC 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 20,0x x x ∃>-> 14.5- 15.35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.27 三、解答题（2）()3sin cos cos 623f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由已知2,2ππωω==,则()23f A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为2sin 2sin sin ,3C A B C π==,所以232sin sin 34A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ,整理得1sin 264A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为203A π<<,所以72666A πππ-<-<,所以()cos 2226366A f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 2cos 2662A A ππ⎤⎛⎫⎛⎫=---⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦①()1142f A ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.②()1142f A ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭, 故()f A的取值范围是. 18. 解：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为353163116C C C ⨯=,第二种, 先化验一组，结果含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为253163116C C C ⨯=.所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为111663+=. （2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为η元,则()()()()1511110,2186656P P P P ξηξμ========⨯=,()()()()541154311324,430654665436P P P P ξηξη====⨯⨯=====⨯⨯⨯=,()()5432153665433P P ξη====⨯⨯⨯=.则其化验费用η的分布列为所以()1018243036666633E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).所以甲方案平均需要化验费773元.(3) 由(2) 知方案甲平均化验的次数为()111111012345666633E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为2,3，所以()()()122,31233P P P δδδ====-==,所以()12823333E δ==⨯+⨯=.则()()E E ξδ>,所以方案乙化验的次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.19. 解：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，从而平面PBD ⊥平面PAC .（2）过O 作OH PM ⊥交PM 于H ，连HD ,因为DO ⊥平面PAC ,可以推出DH PM ⊥，所以OHD∠为A PM D--的平面角, 又3,,44a aOD OM AM ===,且,4OH APa OH OM PM===,tan ODOHD OH ∠===,所以22916a b =,即43a b =.20. 解：（1）设椭圆的方程是()222210x y a b a b +=>> ,由焦点的坐标得：1c =,由3PQ =,可得223b a =,解得2,a b ==,故椭圆的方程是22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ,不妨设120,0y y ><,设1F MN ∆的内切圆半径是R ,则1F MN ∆的周长是48a =,()111142F MN S MN F M F N R R ∆=++=,因此1F MN S ∆最大，R 就最大, ()112121212F MN S F F y y y y ∆=-=-. 由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为1a my =+,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,()2234690m y my ++-=,解得12y y ==则()121212AMNS AB y y y y ∆=-=-=,令t =则1t ≥, ()121212AMNS AB y y y y ∆=-=-==1213t t+, 设()()2113,'3,f t t f t tt =+=-()f t 在[)1,+∞上单调递增， 所以，()()1214,3,4AMN f t f S ∆≥=≤=因为4,AMN S R ∆=所以max 3,4R =此时所求内切圆的面积最大值是916π，故直线方程为1x =时，AMN ∆内切圆面积最大值是916π.21. 解：（1）()()()22''1220x f x f e x f -=+-，令1,x =解得()01,f =由()()()222'1202x f f x e x f x -=+- ，令0x =得()()2'102f f e -=，()2'12f e =， 所以，()222x f x e x x =-+.（2）因为()222xf x ex x =-+，所以()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=()1x e a x --，()',x g x e a =-①当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，由()'0g x >得函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，由()'0g x <得函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减；综上，当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时， ()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， ()f x 在(),ln a -∞上单调递减.(3)设()()1ln ,ln x ep x x q x e a x x-=-=+-，()'0p x <得()p x 在[)1,+∞上递减，所以当1x e ≤≤时()()0.p x p e ≥=当x e >时，()0.p x <而()()11211',''0,x x q x e q x e x x--=-=+>所以()'q x 在[)1,+∞上递增，()()''10,q x q ≥=则()q x 在在[)1,+∞上递增，()()120,q x q a ≥=+>①当1x e ≤≤时，()()()()()1x e p x q x p x q x e a m x x --=-=--=，()()12'0,x em x e m x x-=--<∴在[)1,+∞上递减，()()()()110,m x m e a p x q x ≤=--<∴<，所以ex比1x e a -+更靠近ln .x ②当x e >时，()()()()()12ln x ep x q x p x q x x e a n x x--=--=-+--=，()()11222'.''0x x n x e n x e x x--=-=--<，所以()()()''0.n x n e n x <<∴递减，()()0.n x n e <<()()p x q x >，ex比1x e a -+更靠近ln .x 综上所述，当 2a ≥且1x ≥时，ex 比1x e a -+更靠近ln .x22. 解：（1）连接,OA 则,OA OD =所以,OAD ODA ∠=∠又,ODA ADE ∠=∠所以,ADE OAD ∠=∠所以，.OA CE 因为,.AE CE OA AE ⊥∴⊥ 所以AE 是O 的切线.（2）由(1) 知可得ADE BDA ∆∆ ,所以AE AB AD BD =,即24AD BD=,则2BD AD =,所以30ABD ∠=︒,从而30DAE ∠=︒,所以tan 30DE AE =︒=.由切割线定理，得2AE ED EC = , 所以CD =.23. 解：（1）点D 的直角坐标是()0,1-,2,cos 21cos ρρρθθ=∴=+- ,即()2222x y x +=+,化简得曲线C 的直角坐标方程是244y x =+. （2）设直线的倾斜角是α，则的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ， 则12122233,sin sin t t DA DB t t αα=-∴== ,当90α=︒时, DA DB 取得最小值3. 24. 解： 证明：显然()()22228,8202x y x y x y z xy z z +-++=-==-+,x y ∴是方程()2288200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0∆≥得443z ≤≤,同理可得443y ≤≤,443x ≤≤.。
安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答
安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答安徽大学2009--2010学年第一学期《高等数学A(一)》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 若+∞→x lim （12+-x x -（ax+b ））= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ .2. 设函数y = y(x)由方程52arctan 2=+-=e ty y t x t所确定，y = y(x) 关于x 的一.3.若f(x)= ,0,1sin x x a00=≠x x 在x=0处右导数存在，则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ).A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.D. 若{nx 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 选 D. 理由:A ，B 不正确，如x n ==-=k n n k n 2,12,0,y n ==-=kn k n n 2,012,C 不正确如2. 设f(x)= ∞→n lim1sin )1(2+-nx xn ,则( ).A.f(0)不存在.B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.处连续.3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).A. 0.B. 1.C. 2 D . 3.4. 设f '(x) 存在且连续，则[?)(x df ]'= ( ).A. f '(x).B. f '(x)+C. C. f(x).D. f(x)+C. 选A. 理由:?)(x df =f(x)+C5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ). A. dt t f x2)(. B.dt t f t f t x-+0C.dt t f x2)(. D.dt t f t f t x--0))()((选B. 理由:A,D 不正确:)(2t f ,t(f(t)-f(-t)) 均为偶函数;B 正确:t(f(t)+f(-t)) 为奇函数; C 不正确: 当f(x) 为奇函数或偶函数时)(2x f 为偶函数三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)1. ∞→n limn n n n 22cos sin +2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+xx f )()x1.3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =21(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n4. 0lim →x 21xxtt sin 02arctan dt .+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0)6.?-112x x dx . (x>0)7. 设xsin 是f(x) 的一个原函数, 求?103)('dx x f x .8. 求曲线Γ: y =dt t xsin (x ∈[0, π]) 的长.四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.2. 讨论广义积分?∞++01nmx x dx (n ≥0)的敛散性。
安徽师范大学09—10计量试卷A
《计量经济学》试卷 共8页 第1页 《计量经济学》试卷 共8页 第2页安徽师范大学2009－2010学年第一学期07级经济专业《计量经济学》期末考试试卷（A ）（时间 120分钟）（ ）A ．确定科学的理论依据、模型设定、模型修定、模型应用B ．模型设定、估计参数、模型检验、模型应用C ．搜集数据、模型设定、估计参数、预测检验D ．模型设定、模型修定、结构分析、模型应用2. 在满足经典假定条件的回归分析中，下列有关解释变量和被解释变量的说法正确的有（ ）A ．被解释变量和解释变量均为非随机变量 B. 被解释变量和解释变量均为随机变量C ．被解释变量为随机变量，解释变量为非随机变量 D. 被解释变量为非随机变量，解释变量为随机变量3. 在给定的显著性水平之下，若DW 统计量的下和上临界值分别为L d 和U d ,则当U L d d d << 时，可认为随机误差项 ( )A.存在一阶正自相关B.存在一阶负相关C.不存在序列相关D.存在序列相关与否不能断定4. 调整后的可决系数2R 与可决系数2R 之间的关系叙述不正确的有 （ ） A. 2R 与2R 均非负B.判断多元回归模型拟合优度时，使用2RC.模型中包含的解释变量个数越多，2R 与2R 就相差越大D.只要模型中包括截距项在内的参数的个数大于1，则22R R<5. 已知五元标准线性回归模型估计的残差平方和为8002=∑i e ，样本容量为46，则随机误差项i μ的方差估计量2ˆσ为 ( ) A. 33.33 B. 40 C. 38.09 D. 206. Goldfeld-Quandt 检验法可用于检验 ( ) A.异方差性 B.多重共线性 C.序列相关 D.设定误差7. 在具体运用加权最小二乘法时, 如果变换的结果是,121ii ii iii X X X X X Y μββ++=则)(i Var μ是下列形式中的哪一种? ( )A.i X 2σB. 22i X σ C. i X 2σD.i X log 2σ8.多元线性回归中，发现各参数估计量的t 值都不显著，但模型的2R 或2R 却很大，F 值也很显著，这说明模型存在 ( )A.多重共线性B.异方差C.自相关D.设定偏误9. 在修正序列自相关的方法中，不正确的是 （ ）A.广义差分法B.普通最小二乘法C.一阶差分法D. Durbin 两步法 10. 设多元线性回归模型中自变量的个数为k ，则对总体回归模型进行显著性检验（F 检验）时构造的F 统计量为 （ ）A. (1)R SSkF E SSn k =-- B. (1)E SSkF R SSn k =--C. 1()R SSk F E SSn k -=- D. R SS F E SS=11.逐步回归法既检验又修正了 ( ) A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性12. 如果回归模型违背了同方差假定，最小二乘估计是 （ ）A ．无偏的，非有效的 B. 有偏的，非有效的一、单项选择题（每小题2分，共30分）《计量经济学》试卷 共8页 第3页 《计量经济学》试卷 共8页 第4页C ．无偏的，有效的 D. 有偏的，有效的13. 下列有关叙述中不正确的是 （ ） A ．回归分析中的残差之和一定为零B ．一元回归析中，点)ˆ,(ii Y X 一定落在样本回归直线上 C ．一般化的多元线性模型和中心化的多元线性模型的残差平方和有可能不相等 D ．在一元回归分析中，拟合优度恰好等于样本相关系数的平方14. 在多元线性回归中，对于给定的样本，随着解释变量数目的增加，可决系数将 （ ） A ．减小 B ．增大 C ．保持不变 D ．变化不定 15. 在下列产生序列自相关的原因中，不正确的是 （ ） A.经济变量的惯性作用 B.经济行为的滞后作用C.设定偏误D.解释变量的共线性1. 计量经济模型的检验一般包括内容有 （ ）A.经济意义的检验B.统计推断的检验C.计量经济学的检验D.预测检验E.对比检验2. 如果模型中解释变量之间存在共线性，则会引起如下后果 （ ）A.参数估计值确定B.参数估计值不确定C.参数估计值的方差趋于无限大D.参数的经济意义不正确E.DW 统计量落在了不能判定的区域3. 应用DW 检验方法时应满足该方法的假定条件，下列是其假定条件的有 （ ）A.解释变量为非随机的B.截距项不为零C.随机误差项服从一阶自回归D. 解释变量为随机的E.线性回归模型中不能含有滞后应变量4. 对于二元样本回归模型ii i i e X X Y +++=22110ˆˆˆβββ，下列各式成立的有（ ） A. 0=∑i e B. 01=∑i i X e C. 02=∑i i X e D. 0=∑i i Y e E. 012=∑i i X X5.下面用到2χ检验的是 （ ）A.变量的显著性检验B.方程的显著性检验C.DW 检验D.拉格朗日乘数检验E.怀特检验1.（15分） 根据1961年到1985年期间美国个人消费支出和个人可支配收入数据，得到如下的回归模型：()()()8755.0.9979.06933.22936.702392.20925.088544.04664.49ˆ232==-=++-=W D Rt X X Y t t t其中：=Y 个人消费支出（1982年10亿美元），=2X 个人可支配收入（PDI ）（1982年10亿美元），=3X 道.琼斯工业平均指数。
安徽师范大学附属中学2016届高三最后一卷 数学(文)(word版)
安徽师大附中2016届高考最后一卷文科数学试题一、选择题1．已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为 （ ）A. (0,3] B ．[4,3]- C ．[4,0)- D ．[4,0]- 2．i 为虚数单位，若(3)3i z i +=-，则||z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23．已知命题p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ ）A.p ∧qB. p ∨ qC. (⌝p) ∧( ⌝q)D.p ∨(⌝q)4．若平面向量，满足，，，则与的夹角是（ ）A ．125πB ．C ．6πD ．4π5．函数f（x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=，且2454a a +=，则n nSa =（ ） A ．14n - B ．41n- C ．12n - D ．21n-7．右边程序框图的算法思路源于古希腊数学家欧几里得的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入的,m n 分别为153，119，则输出的（ ）a b 2=a 2=b ()-⊥a b a a b 3πm =A ．0B ．2C ．17D ．34 8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（ ） A. B.C.D.9．已知x ，y 满足约束条件x y 0x y 2y 0-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为a 1+，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．[1,1)-C ．[1,1]-D ．(1,1]- 10．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．21 D ．41 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点,,,A B C D 在球上，球与的另一个交点为，且1AE BA ⊥，则球O 的表面积为（ ） （A ）6π （B ）8π （C ）12π （D ）16π12．已知函数，2()2(0)g x x bx x =+->，b R ∈，若()f x 图象上存在A ，B 两个不同的点与()g x 图象上'A ，'B 两点关于轴对称，则b 的取值范围为（ ）A ．(425,)--+∞B ．(425,)-+∞C ．(425,1)--D ．(425,1)- 二、填空题13．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =8a n ﹣1，则= ．14．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ．O O 1BA E 24()(0)1xf x x x x x =--<-y15．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||||||PF QF PQ +-的值为 ．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ．三、解答题17．在等比数列{}n a 中，233=a ，293=S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1226log +=n n a b ，且{}n b 为递增数列，若11+⋅=n n n b b c ，求证：41321<+⋅⋅⋅+++nc c c c ．18．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3.）男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++参考数据：19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D-的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠= ，求点C 到平面1OBB 的距离．20．已知圆：()22:12N x y ++=和抛物线2:C y x =，圆N 的切线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B .（Ⅰ）当切线l 斜率为-1时，求线段AB 的长；（Ⅱ）设点M 和点N 关于直线y x =对称，且0MA MB ⋅=，求直线l 的方程.21．若22(ln 1)(0e)()(ln 1)(e)x a x x f x x a x x ⎧--<<=⎨+-⎩，，≥，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 在区间2[e e ]，上的最大值；（Ⅱ）当0a >时，若3[1)()2x f x a ∈+∞，，≥恒成立，求a 的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252252x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （Ⅱ）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ．求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值．参考答案1．D.由题意得，[4,3]M =-，(0,3]N =，而所求集合即为[4,0]R M C N =- ，故选D ． 考点：1.函数的性质；2.集合的关系． 2．A根据复数的运算，可知33123134223i i z i i---===-+，所以13144z =+=，故选A ．考点：复数的四则运算和复数的相关概念．3．B )(|cos ||cos ||)cos(|)(x f x x x x f ==-=+=+ππ ，|cos |)(x x f =的最小正周期为π，故命题p 为假命题，p ⌝为真命题，令x x y x g sin )(3+==，则)sin()()(3x x x g -+-=-)()sin (3x g x x -=+-=，即x x y sin 3+=的图象关于原点中心对称，故命题q 为真命题；由真值表，得q p ∨为真命题；故选B ． 考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.复合命题的真假判定．4．D ：()()22,0,a b a a b a a a b a b a -⊥∴-⋅=-⋅=∴⋅= ，又2,2,a b == cos ,2,a b a b = 2cos ,,2a b ∴= 又0,,a b π≤≤ 所以,,4a b π≤ 故选D.考点：向量的数量积运算.5．C ：由所给图象上两点，)1,127(-π，可知1=A ，312741ππ-=T ，即π=T ，故2=ω，代入点)0,3(π，解得3πϕ=，所以)32sin()(π+=x x f ，当函数)(x f 向左平移12π个单位长度时，)12(π+=x f y x x x 2cos )22sin(]3)12(2sin[=+=++=πππ.考点：1、三角函数图象与性质；2、三角函数图象变换；3、诱导公式. 6．D ：241312a a q a a +==+,所以2131155(1)42a a a q a +=+==，12a =，所以11111(1)11112211122nn n n n n n n n nn a q S q q a a q q q ----⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 考点：1.等比数列的定义及性质；2.等比数列的前n 项和公式.7．C ：首先执行n m 除以得余数34=r ，34,119====r n n m ，0≠r ，再一次执行n m 除以得余数17=r ，17,34====r n n m ，0≠r ，在一次执行n m 除以得余数0=r ，0,17====r n n m ，0=r ，所以输出17=m ，故本题正确选项为C.考点：程序框图.8．B ：由已知可得2p = ．如图过A 作1AA l ⊥ ，垂足为1A ，则由抛物线的定义得1AA AF =；5,42A A px x ∴+==， 代入得44y =±，()()4444A A ∴，或，- ；又()10F ，， 直线AB 方程为014041y x --=-- ，即314x y =+ ，代入 得234y y =+，1B y =-；()()115141222AOB AB S OFyy ∆∴=+=⨯⨯+=.故选B.考点：直线与抛物线的综合应用；三角形的面积.9．C ：作出x ，y 满足约束条件x y 0x y 2y 0-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域则(2,0),(1,1),A B z ax y =+，即y ax z =-+当过点B 时取得最大值1a +，所以11a -≤-≤则a 的取值范围为[1,1]-.考点：线性规划.10．B ：由题意，得三棱锥ABC P -的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当P Z 在底面ABCD D 的投影点在ABC ∆的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为21，此时，三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B ． 考点：三视图．11．B ：因为12,AB AE BA =⊥，所以2AE BE ==，球O 的半径为2，所以球O 的表面积为()2428ππ=.考点：空间立体几何和球的面积公式.12．D.：设()g x 函数图象上任一点2(,2)x x bx +-，其关于y 轴的对称点为2(,2)x x bx -+-，∴由题意可知方程22242(1)(1)201xx bx x x b x b x x -+-=+-⇒-++-=--在(0,)+∞上有两个不等实根，∴2(1)8(1)010*******(1)b b b b b b ⎧⎪∆=++->⎪⎪-<⇒-<<⎨⎪+⎪->-⎪⎩，即实数b 的取值范围是(425,1)-，故选D ． 考点：函数与方程． 13．解：∵S n =8a n ﹣1，∴当n=1时，a 1=8a 1﹣1，解得a 1=．当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（8a n ﹣1）﹣（8a n ﹣1﹣1），化为．∴==．故答案为：．考点：数列递推式．14．13：所求概率为22232163A P A ===考点：古典概型概率15．16：由于22||||||PF QF PQ +-=164|)QF |-|QF (||)PF |-|PF (|1212==+a 考点：双曲线定义 16．7：由题意作出()y f x =在区间[]2,4-上的图像，与直线1y =的交点共有7个，故函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为7考点：函数图像与性质 17．（1）1=q 时，23=n a ，1≠q 时，1)21(6--⋅=n n a ；（2）证明见解析．试题解析：（1）1=q 时，23=n a ； 1≠q 时，1)21(6--⋅=n n a ． （2）由题意知：1)21(6--⋅=n n a ， ∴nn a )41(612⋅=+．∴n b n 2=．∴)111(41)1(141)22(21+-=+⋅=+⋅=n n n n n n c n ，∴41)111(41321<+-=+⋅⋅⋅+++n c c c c n ． 考点：1、等比数列通项公式；2、列项相消法求和；3、对数的运算法则． 18．②在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析： （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120=7014000+10000⨯人，女生抽取人数为1207050-=人，故x =5，y =2， 则该校男生平均每天运动的时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈，故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是201=1206，故估计该校“运动达人”有 ()1140001000040006⨯+=人； ②由表格可知：故2K 的观测值()2120154555596=2.7433.841.20100507035k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关” 考点：1.用样本估计总体；2.独立性检验.19．试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO ⊥BD ． 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ． 因为1AO CO O = ，1AO ，CO ⊂平面1ACO ，所以BD ⊥平面1ACO ． （Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，21==AA AB ，60BAD ∠= ， 所以1OB OD ==，3OA OC ==． 所以OBC ∆的面积为13132212OBC S OB OC ∆==⨯⨯=⨯⨯． 因为1AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥，22111A O AA OA =-=．因为11A B 平面ABCD ，所以1B 到面ABCD 的距离等于1A 到面ABCD 的距离1AO ．由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1AAC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A A B B ，所以BD ⊥1B B ． 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯． 设C 到面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以D D ??111133OBB OBC S dS A O ． 所以11313212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB 的距离为32． 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ACO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D ．连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形．所以111OC OA ==． 因为平面11OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．因为11O C A O ，1AO ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形． 所以1113322O C OC CH OO ⋅⨯===． 所以点C 到平面1OBB 的距离为32．考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离．20．试题分析：（1）因为圆()22:12N x y ++=，所以圆心N 为()1,0-，半径2r =.设()()1122,,,A x y B x y ，当直线l 的斜率为-1时，设l 的方程为y x m =-+. 由122m +=，解得3-=m 或1=m ，所以:1l x -+由21y x y x=-+⎧⎨=⎩消去x 得210y y +-=， 所以()()2212121212121,1,45y y y y y y y y y y +=-⋅=--=+-⋅=弦长1221110AB y y k =+-=； （2）（i ）当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 是圆N 的切线，所以l 的方程为21x =-，与2y x =联立，则得()212121212322,0,322x x y y y y x x =-+===-，即12120y y =-<，()12121215320MA MB x x y y y y ⋅=++++=-≠.不符合题意.（ii ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，即()00kx y m k -+=≠.由题意知221k mk -+=+，得22220m k mk ---=①，由2y kx my x=+⎧⎨=⎩，消去x 得20,140ky y m km -+==-> .由直线l 是圆N 的切线，得到21-2=++kmk ，解得此时直线l 的方程为1+-=x y ；设直线l 的斜率不存在时，l 的方程为12-=x 则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为1+-=x y .考点：1、抛物线的简单性质；2、直线方程.21．试题解析：（Ⅰ）当2a =-，2[e e ]x ∈，时，2()2ln 2f x x x =-+，2()20f x x x'=->， 24max ()(e )e 2f x f ==-．（Ⅱ）①当e x …时，2()ln f x x a x a =+-，()20af x x x'=+>，2min ()(e)e f x f ==； ②当1e x 剟时，2()ln f x x a x a =-+，'2()2()()22a a a f x x x x x x =-=+-， （i ）当12a…，即02a <…时，()f x 在区间[1e]，上为增函数， 当1x =时，min ()(1)1f x f a ==+，且此时2(1)(e)e f f <=； （ii ）当1e 2a <…，即222e a <…时，()f x 在(1]2a ，上是减函数，在(e)2a ，上是增函数， 2min 3()()ln (e)e 2222a a a a f x f f ==-=…； （iii ）当e 2a>，即22e a >时，()f x 在区间[1e]，上为减函数，2min ()(e)e f x f ==． 综上所述，函数()f x 在[1)+∞，上的最小值为2min221023()ln 22e 222e 2e a a a a a f x a a +<⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪>⎩，，，……， 则02312a a a <⎧⎪⎨+⎪⎩……，解得02a <…；222e 33ln 2222a a a a a ⎧<⎪⎨-⎪⎩……，无解；222e 3e 2a a ⎧>⎪⎨⎪⎩…，无解．故所求a 的范围是(02]，．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数最值的关系；3、不等式的解法．23．（1）()2224x y -+=，250x y -+=；（2）102. （1）曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=．直线l 的普通方程为250x y -+=． （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12，得 ()22224x y -+=，即()22114y x -+=，再将所得曲线向左平移1个单位，得1C ：2214y x +=， 又曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则()cos 2sin 25255sin 10222p l d θθθϕ→-+-+==≥（其中1tan 2ϕ=-），所以点P 到直线l 的距离的最小值为102． 考点：极坐标、参数方程.。
安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数A(一)、B(一)答案.pdf
4
4
∫ ∫ 由换元公式，
a 0
(a2
1 + x2
)3/ 2 dx=
π 4 0
a3
1 sec3
t
a sec2
tdt
∫ = 1 a2
π 4 0
cos tdt
=
1 a2
sin t
|π0
/4=
2 2a 2
.
∫ 8.
e
sin(ln x)dx
1
∫ | ∫ 解： e sin(ln x)dx = xisin(ln x) e − e xi(cos(ln x)) 1 dx
3. 由曲线 y = (x −1)(x − 2) 和 x 轴围成的一个平面图形,求此平面图形绕 y 轴
一周所围成的旋转体的体积.
解：由题意知抛物线 y = (x −1)(x − 2) 的顶点坐标为 ( 3 , − 1 ) ,且 24
y = (x − 3)2 − 1 24
故
∫ V = π
0 −1
4
[(
1 i arcsin x
= lim(1+ arcsin x)arcsin x x
arcsin x lim
= ex→0 x
= e.
x→0
x→0
3. lim esin x2 −1 x→0 cos(2x) −1
解： lim esin x2 −1 = lim sin x2 = lim x2 = − 1 .
x→0 cos(2x) −1 x→0 − 1 (2x)2 x→0 − 1 (2x)2
解：函数 y = x3 + 3ax2 + 3bx + c 在定义域内可二阶可导. 由于曲线在 x = −1 处取到极值，由 Fermat 定理， y '(−1) = 0 . 即 3 − 6a + 3b = 0 由于 (0,3) 是曲线的拐点，则
安徽大学 2008—2009 学年第一学期高等数学附答案
《高等数学C （一）》（A 卷） 第 1 页 共 6 页安徽大学 2008—2009 学年第一学期《高等数学 C （一）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）1．已知 f (x ) = sin x , f [ϕ(x )] = 1- x 2 ,则ϕ (x ) = .2．设 x →∞ 时, 1 ax 2+ bx与sin 1 是等价无穷小量,则a =x, b =. 3．曲线C ： y = 3x 5 -10x 4 +10x 3 + 3x +1 上的拐点坐标为.4．设 f (x ) = xe x ，则n 阶导函数 f (n ) (x ) = .5．设 y = f ( x ) 为由方程 x 3 + y 3 - sin 3x + 3y = 0 所确定的隐函数，则 y '(0) = .二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1. 设函数 f (x ) = lim1+ xn →∞1+ x n(x > -1) ,则对于函数 f (x )( )A.不存在间断点.B. 仅有 x = 1 是间断点.C.仅有 x = 0 是间断点.D. x = 0 与 x = 1 都是间断点.2. 函数 f (x ) 在点 x 0 处的左、右导数存在且相等是 f (x ) 在点 x 0 处可导的 ( )A.充分非必要条件 .B.必要非充分条件.C.充分必要条件D.无关条件.3. 设 f (x ) 的导函数为sin 2x ,则 f (x ) 有一个原函数为()A. - 1 cos 2xB. 1 cos 2xC. - 1 sin 2xD. 1 sin 2x2 2 4 4得 分得 分院/系专业姓名学答题 勿 超 装订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C （一）》（A 卷） 第 2 页 共 6 页4. 下列说法正确的是( )A . 函数 f ( x ) 在(a , b ) 内的极值点一定是驻点.的 值. 定D. 若 f '( x 0 ) = f '( x 0 ) = 0 ，则 x = x 0一定不是 f ( x ) 的极值点.5. 下列各种描述正确的是()A. +∞ 1 d x =- x -1 +∞ = 1 .B.因为 f (x ) = 1为奇函数,所以11d x = 0 .⎰1x 21 +∞ax⎰-1xC. ⎰-∞ sin x d x = lim ⎰-a sin x d x = lim 0 = 0 . a →+∞a →+∞ D. 1 1 d x =- x -1 1 = -2 .⎰-1 x2-1三、计算下列极限（每小题 6 分，共 24 分）1. limn →+∞2. n 得分B . 函数 f ( x ) 在[a , b ] 内C . 函数 f ( x ) 的驻点一 最大值一定是极大 不是间断点.《高等数学C （一）》（A 卷） 第 3 页 共 6 页( ) 3.lim x (π- arctan x ) x →+∞214. lim cosx sin 2 x x → 0四、计算下列积分（每小题 6 分，共 24 分）1．x ( a > 0 )得 分《高等数学C （一）》（A 卷） 第 4 页 共 6 页⎰ e2． ⎰2d x3.1 d xx4.⎰e -1| ln x | d x《高等数学C （一）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页♥五、综合分析题（每小题 10 分，共 20 分）♣ x 2 , f (x ) = x ≤ 1, '1.设 ♦ax + b , x > 1.试确定a , b 的值,使得 f (x ) 处处可导,并求其导函数 f (x ) .2．设 D 为由曲线 xy = 1和直线 x = 1, x = 2, y = 0 所围成的平面图形. （1） 求 D 的面积. （2） 求由 D 绕 x 轴旋转所得到的旋转体体的体积.得 分《高等数学C （一）》（A 卷） 第 6 页 共 6 页b六、证明题（每小题 6 分，共 12 分）x 2 x31. 证明方程1 + x ++ = 0 有且仅有一个实根. 2 62. 设 f ( x ) ， g ( x ) 在[a , b ] 上连续，且 g ( x ) ≠ 0 ， x ∈[a , b ]．试证明至少存在一个ξ ∈ (a , b ) ，b使得⎰af ( x )d x = f (ξ ) ．⎰a g ( x )d x g (ξ )得 分1n →∞I I 2 = lim [ |n (n + 1) − |n (n − 1)] . ... ...... ...... ...... ...... ....... .....(2 ) 1安大22 2008-2009 2 2 《等学C ） C 考试(A ）） 考 A(参 与评标一填题每题 (分共10 2 10 )1. ϕ(x ) = arcsin(1 − x 2);2. a = 0, b = 1;3. (0, 1);4. (x + n )e x ;5. 1.二填题每题 (分共10 2 10 )1. B;2. C;3. C;4. C;5. A.三填下列限每题分 (分共10 6 24 )1. lim[ √1 +2 + ··· + n − √1 +2 + ··· + (n − 1)] n →∞ 2 lim n 2 .... ...... ...... ...... ...... ...... ...... (4 ) = n →∞ n (n + 1) 2+n (n − 1)2 = I 1 I 1= √2 ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... (6 )2 + 22. 为2011 = √n 2011n < √n 2008n + 2009n + 2010n + 2011n < √n4 · 2011n = 2011√n 4 .. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... . (3 ) 且 lim2011 = 2011 = lim 2011√n 4 . ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... . (4 )n →∞ 故夹定理知，n →∞lim √n 2008n + 2009n + 2010n + 2011n = 2011 ............................................................. (6 )n →∞√ | ⇐⇒1 0 √ 9 I a − 1 J d x 2 2 .... ...... ...... ...... ...... ...... . (3 ) 0 1 + x + √ (1 + x )3 √ 1 3 4 6 x 2 x 2 − 91 − 9t2 e −1 1e −1 1 e −1 √ J 9x 3. lim x ( π − arctan x )lim π2 − arctan x ........................................................ (2 )x →+∞ 2 1x →+∞1 x = lim− 1 + x 2 = lim x 2= 1 .................................................................. (6 ) x →+∞ 1 − x 2 1x →+∞ 1 + x 2llim ln cos x 4. lim(cos x ) sin 2 x = lim e sin 2 x ln cos x = e x →0 sin 2x ..................................................... (3 )x →0lim − sin x cos x x →01= e x →0 2 sin x cos x = e − 2 ................................................................................................................................................................ (6 )四填下列限每题 (分共10 6 24 )1. J √a − x d x = J √ a d x − J √ xd x ........................................ (1 ) a 2 x 2 J （ ） a 2 − x 2 a 2 − x 2 1 − ( x ) a − x= a arcsin a + a 2 − x 2 + C ............................................................................ (6 )2. 令 t = √x + 1, x = t 2− 1, d x = 2d t , t √3 x |2. 故 J 2√d x = J 1 3 2t d t t + t 3 = J 1 3 2d t 1 + t 2...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .... (3 )= 2 arctan t | √3 =2( π − π) = π ................................................................ (6 )3. 令 x = 1 , t = 1 , d x = − 1 d t . 故 t J √d x= − Jx√ t d t t 2 . ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... . (2 )1 d9t2 18 1 − 9t 2= 1 √1 − 9t 2 + C .............................................................. (4 )1 √x2 − 9 + C ............................................................................................ (6 ) 4. J e | ln x |d x = J e ln x d x − J 1ln x d x .............................................................. (2 ) = (x ln x − x )|e− (x ln x − x )|1 . ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . (5 ) = 2 − 2e −1 ......................................................................................................................................................... (6 )22 x ad 2 − = xa = − = = 23−⎩ 2, x > 1 ⎨⎪ 32 a aS = J 2 1 d x = ln x l 2 = ln 2.................................................................................... (4 ) x 1 x 2a a ∈ 五填分析 小题 (分共10 10 20 )1. x > 1 . f (x ) = a ; x < 1 . f (x ) = 2x ..................................... (2 )f + (1) = a , 且 f (1) = 2, f (x ) x = 1 5 故 a = 2 ................................... (5 ) 此 为 f (x ) x = 1 5)l (= 1 = f (1) = lim f (x ) = a + b ,x →1−故 b = −1 .................................................................................................................... (8 )进一t f (x ) = ⎧⎧ 2x , x ≤ 1 2. 面域D 面 D 域题.. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... (10 )设X x 转得体(V 积题 V x , ,题 x , x ∈ [1, 2],V = π J 2 （ 1 ）2d x = 1 π ...................................................................................... (10 )六填题 题题 分共10 6 121. 设 f (x ) = 1 + x + x 2 + x 3 .....................................................................................................................(2 )2 6f (0) = 1, f (−2) = − 1 < 0. 在理 f (x ) )l 故夹 Æ 知， ∃ξ ∈ (−2, 0), s.t. f (ξ) = 0 ............................................................................................ (4 )另一，域 f (x ) = 1 + x + x 2> 0, (= f (x ) (−∞, ∞)故 f (x ) 有且根有一．．． ................................. (6 )2. 设 F (x ) = J x f (t )d t , G (x ) = J x g (t )d t , x ∈ [a , b ] ............................................... (2 ) 在理 F (x ) = f (x ), G (x ) = g (x ) 0, x ∈ [a , b ], 且J bf (x )d x = F (b ) − F (a ) J bg (x )d x = G (b ) − G (a ) .............................................................................................. (4 ) 夹 Cauchy 可 知 ， Æξ (a , b ), s.t.bf (x )d x abg (x )d xa= F (b ) − F (a ) G (b ) − G (a ) F (ξ) = G (ξ) = f (ξ) g (ξ) . ... ...... ....... ...... ...... ...... .. (6 ) 1 x 1。
安徽大学高等数学期末试卷和答案
安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、选择题（每小题2分，共10分）1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。
n （A）； （B）1(2)2A −=1A −11(2)(2)T T A A −−=； （C）； （D）。
1111(())(())T T A A −−−−=11(())(())T T T A A −−−=12.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是（ ）。
（A）； （B）r ；r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。
3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。
n （A）E A E B λλ−=−；（B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数，与k kE A −kE B −相似。
4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。
（A）11212,,3ααααα−−； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++−； （D）12231,,3αααααα+++。
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一定收敛; 一定收敛; 一定发散;
对于常数 ,如果 收敛就可判断 收敛,必有 .
7. 是球体 , 是球体 位于第一卦限内的部分 ,
则积分 等于[ B ]
; ; ; .
8. 是空间光滑的有向曲面片, 是与 正向联系 的有向边界曲线,则由斯托克斯公式
所围成的闭区域.
[ ]
12. ( )计算曲线积分 ,其中 为椭圆 (按顺时针方向绕行).
[ ]
13. ( )计算曲面积分 ,其中 为曲面:
,取上侧.
[ ]
14. ( )将函数 展开成 的幂级数,并指出展开式成立的范围.
[ ]
15. ( )求幂级数 的收敛域及和函数,并由此求级数 的和.
[ ]
安徽师范大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
与 的计算公式,并求函数 周期为 的傅里叶级数.[略]
五( )求曲面 上的点 ,使得该点处的切平面与三
个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积 ]
六( )如果曲线积分 与路径无关,其中 是可导函
数,并且满足 ,求函数 ,并计算积分 ,
其中 是沿曲线 从 到 的弧段.[ ]
七( ) 是由曲面 与 所围立体的边界曲面,它的法向
[ ]
五. ( )任意取定球面 上一点并且任意给定一个方向,都可以求出函数
在给定点沿给定方向的方向导数,试求出所有这些方向导数中的最大
与最小值.
[
]
六. ( )已知 是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数 ;
(2)计算积分 ,其中 是逆时针方向的曲线 .
[ ]
七. ( ) 是斐波那契数列: ,即 ,
,试分析级数 的收敛性,其中 是实常数.
[
时,级数显然发散; 时,级数收敛]
安徽师范大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
[ ]
3.占有上半圆 的薄片面密度为 ,试计算该薄片的
质量. [ ]
4.将函数 展开成 形式的幂级数.
[ ]
5.将函数 展开成周期为 的余弦级数.[ ]
三. ( )求幂级数 的收敛区间与和函数.
[ ]
四. ( ) 是由曲面 以及 所围成的立体,其体密度为 .
(1)计算 关于 轴的转动惯量;
(2)试写出 关于平行于 轴的直线 转动惯量的计算公式(无需计算)
则下列等式中正确的是
; ;
; .
二.解答题( )
9. ( )求曲线 在点 处的切线与法平面方程.
[ ]
10. ( )计算曲面积分 ,其中 是球面 被曲面.
截下的较小部分的曲面.
[ ]
11. ( )将函数 展开成 的幂级数,并指出展开式成立的范围.
[ ]
12. ( )计算曲面积分 ,其中 为曲面
取前侧.
在二次曲面中,该曲面的类型是圆锥面.
3. 是上半球体 , 是 的边界曲面外侧, 是上半球面
的上侧,则利用高斯公式计算可得
;
积分 .
4. 是空间两点, 是以 为两端点的直线段, 是以 为起点
为终点的有向直线段,则 .
5. 是由曲线 与 所围的有界闭区域,则积分 等于[ ]
; ;
; .
6.积分 , , ,
一.填空题( )
1.直线 与平面 的夹角为 .
2.向量函数 在点 处的散度为 .
3.质点在变力 的作用下,沿螺旋线 ,
从点 运动到点 ,则变力 所作的功为 .
4.闭区域 ,则积分 .
5.若级数 在点 处条件收敛,则该级数的收敛半径 .
6.函数 的麦克劳林展开式为 .
7.若 是函数 的正弦展开式,则
8.设 是由 与平面 所围的有界闭区域, 是 位于 的部分,
安徽师范大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
一.填空题( )
1.曲面 在点 处的法线方程为 .
2.函数 在点 处沿方向 的方向导数为 .
3.设 为连续函数,则三次积分 的柱面坐标积分
形式为 .
4.设函数 具有一阶连续函数,且 ,若曲线积分
在整个平面上与路径无关,则 .
5.曲面积分 ,其中
指向曲面的外侧,计算曲面积分 .
[ ]
八( )求幂级数 的收敛域及其和函数. [
九( )判别常数项级数 的收敛性 ,并对自己的判断给出证明.
[ 收敛]
安徽师范大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
一.填空选择题( )
1.经过三点 的平面方程为 ;
点 到该平面的距离为 .
2. 平面上的直线 绕着 轴旋转一周所得的曲面方程为 ;
[ ]
13. ( )计算三重积分 ,其中 是由曲面 与平面
所围成的有限闭区域. [ ]
14. ( ) 是周期为 的偶函数,在 上 .求该函数的傅里叶展
开式,并由此求级数பைடு நூலகம்和 .
[ ]
15. ( )设 为区间 上的连续函数,且 ,证明
[ ]
安徽师范大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
6.设函数 ,则 .
7.若幂级数 在点 处收敛,在点 处发散,则幂级数 的收敛
区间为
8.设 是以 为周期的周期函数,它在 上的表达式为
则 的傅里叶级数在点 处收敛到
二.解答题( )
9. ( )证明函数 在点 处不连续.
[ ]
10. ( )计算二重积分 ,其中 是由直线 与 所围成的闭区域.
[ ]
11. ( )计算三重积分 ,其中 是由平面 与三坐标平面
一.填空选择题( )
1.极限 .
2.若函数 具有连续的偏导数,且 ,则极限
.
3.由 所确定的函数 在 点的偏导数
4. 平面上曲线 的方程为 ,若将该曲线关于直线 对称得到曲线
,则 的方程为 .
5.函数 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ]
充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.
等于[ D ]
; ;
; .
二.解答题( )
1.求曲线 在 点的切线方程. [ ]
2.计算 ,其中 是由 与 所围成的有界闭区域. [ ]
三( )求函数 的极值,并说明是极大还是极小值.[ ]
四( )已知 是 上的连续函数,若将 分别展开成周期为 的傅里叶余弦和
正弦级数,它们分别为余弦级数 ;正弦级数 .试写出系数
,则有[ ]
; ; ; .
7. 平面上密度为 的薄片 对 轴上位于 点单位质点的引力为
, 是引力常数,则[ ]
; ;
; .
8. 是抛物面 的上侧,则由两类曲面积分的联系,
等于[ ]
; ;
; .
二. ( )
1.试求曲线 在参数 所对应点的切线与法平面方程.
[ ]
2.试求由方程 所确定的函数 在 点的全微分 .