山东省泰安市高一上学期期末数学试卷
泰安市高一数学上学期期末考试试题含解析
A。 B. C. D。
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据角所在象限，判断三角函数符号,即可判断选项。
【详解】因为 为第二象限角，
， ，
所以A，B正确,D不正确;
当 时， ，当 时， ,所以C不一定正确。
故选：AB
11。 函数 的图象可能为（ ）
A.
B.
【详解】对于A，若 , 为正实数， ，
， ，故A正确；
对于B，若 , , 为正实数， ， ,则 ,故B错误；
对于C，若 ,则 ，不能推出 ，
而当 时,有 ，所以 成立，即 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,故C正确；
对于D，当 时， ， ，当且仅当 时取等号，故D不正确。
故选:AC。
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
故选：D.
7. 科学研究已经证实，人的智力,情绪和体力分别以 天、 天和 天为周期，按 进行变化，记智力曲线为 ，情绪曲线为 ，体力曲线为 ，且现在三条曲线都处于 轴的同一点处，那么第 天时 ( )
A. 智力曲线 处于最低点
B. 情绪曲线 与体力曲线 都处于上升期
C. 智力曲线 与情绪曲线 相交
D. 情绪曲线 与体力曲线 都关于 对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 , ，则命题 的否定为“ , ”，
故选：B．
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的。每个节气对应地球在黄道上运动 所到达的一个位置。根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 ( ）
山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级考试数学试题一、单项选择题1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】先求U A ð，再求U B A I ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设p：x >q ：22x >，则p 是q 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式22x >，根据集合的包含关系，可得到答案. 【详解】解：因为q ：22x >，所以q ：x >x <因为p ：x >所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】 分析】 变换141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开利用均值不等式得到答案. 【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4559ab ab =+++=…，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间（ ） A. ()1,0-和()0,1内 B. (),1-∞-和()1,0-内 C. ()0,1和()1,+∞内 D. (),1-∞-和()1,+∞内【答案】A 【解析】 【分析】将()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+进行整理化简，可得()y f x =为二次函数，求出零点即可. 【详解】解：()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+231x =-， 令()0f x =，解得：3x =±，因为(1,0)-(0,1) 【故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知2ln 3a =，22log 32b =，0.245c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】A 【解析】 【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，22log 3223b ==， 因为213<， 所以2ln 03a =<，因为0.20-<， 所以0.24()15->，所以，0.22401()35a c -<<<<=，即abc << 故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等. 6.函数422y x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：42()2f x x x =-的定义域为R ，4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=，所以函数为偶函数，故正确答案在A 、B 中， 当1x =时，(1)121f =-=-， 故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 7.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8.若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ） A. []0,17 B. (],17-∞ C. []1,17 D. [)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ） A. tan 0θ< B. 24tan 9θ>C. 22sin cos θθ>D. sin20θ>【答案】AB 【解析】 【分析】求解出cos θ、tan θ，对选项逐一判断. 【详解】解：因为2sin 3θ=-，且cos 0θ>，所以cos 3θ==，tan θ=A 正确； 244tan 59θ=>，B 正确； 24sin 9θ=，25cos 9θ=，22sin cos θθ<，C 不正确；sin 22sin cos 0θθθ==<，D 不正确； 故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键. 10.已知01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b >C.11a b> D.11ln ln a b> 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为01a b <<<，1()2xy =为减函数，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为01a b <<<，ln y x =为增函数， 所以ln ln 0a b <<， 又因为1y x=在区间(),0-∞上为减函数，在区间()0,∞+上也为减函数， 所以11ln ln a b >，同理可得，11a b>， 故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条： （ⅰ）对任意的[0,1],x ∈总有()0;f x ≥（ⅱ）(1)1;f =（ⅲ）若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有1212()()().f x x f x f x +≥+就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[]0,1的函数中为“A 函数”的有_______________①()f x x =；②()21;xf x =-③12()log (1);f x x =+④2()log (1).f x x =+ 【答案】①② 【解析】 【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】①显然()f x x =在[0，1]满足条件①()f x x =≥0；也满足条件②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f (x 1+x 2)−[f (x 1)+ f (x 2)]＝(x 1+x 2)− (x 1+ x 2)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．②显然()f x =2x -1在[0，1]满足条件①g（x ）≥0；也满足条件②g（1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则g(x 1+x 2)−[g(x 1)+g(x 2)]＝2x 1+x 2−1−[(2x 1−1)+(2x 2−1)]=2x 1+x 2−2x 1−2x 2+1＝(2x 2−1)(2x 1−1)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．③显然()()12log 1f x x =+在[0，1]不满足条件①f （x ）≥0,()()12log 1f x x =+不为A 函数．④显然()()2log 1.f x x =+在[0，1]满足条件①f （x ）≥0；也满足条件②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝()()121222212121211log log log 10111x x x x x x x x x x ++++==≤=+⋅+⋅+++不满足条件③，故f （x ）不为A 函数．【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用． 12.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）A. ()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B. (){},sin 1M x y y x ==+ C. (){},22xM x y y ==-D. (){}2,log M x y y x ==【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-，故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立， 则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：7lg142lg lg 7lg183-+-=__________， 【答案】0 【解析】 法一：7lg142lglg 7lg183-+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg7237232lg lg lg lg =+-++--0=．法二： 7lg142lglg 7lg183-+- 27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．故答案为014.命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______． 【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则______． 【答案】3 【解析】【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案． 【详解】设幂函数()(f x x αα=为常数)，Q 幂函数()y f x =的图象过点(，3α=，解得12α=． ()f x ∴= ()93f ∴==．故答案为3．【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．16.已知函数()cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =______，函数()f x 的单调递增区间为______.【答案】 (1). 1 (2). ()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）由等式239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求解， （2）将（1）结果代入化简得()2sin(3)16f x x π=-+，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以222()cos 3933f a a πππ=-+=， 解得：1a =；（2）将1a =代入，得()cos31f x x x =-+， 化简得()2sin(3)16f x x π=-+，故232262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：2229393k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，的故函数()f x 的增区间为：()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1；()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合{}{}225120,31(0)xA x x xB y y x =--≥==+>.（1）求集合A B I ,()R C A B ⋃；（2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R C A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】（1）{}|4x x ≥,32x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，利用指数函数的性质化简集合B ，从而可求出R C A ，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）()R C A C C ⋂=等价于()R C C A ⊆，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得m 的取值范围. 试题解析：（1）()()2325120234042x x x x x x --≥⇒+-≥⇒≥≤-或, ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或，{}2B y y =>,∴{}()34,2R A B x x C A B x x ⎧⎫⋂=≥⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∴()R C A C C ⋂=，()R C C A ⊆，342R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭, 当C =∅时，22,2m m m -><-即时满足()R C C A ⊆∴2m <-;的当C ≠∅时，要使()R C C A ⊆，则22231122222242m m m m m m m m -≤≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪->-⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩综上所述，()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃⎪⎝⎭. 18.在①函数3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =；③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ； （2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间. 【详解】解： Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 为奇函数，2sin 033fππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3k πϕπ=+，k Z ∈.（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，k Z ∈或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案三：选条件③23πQ 是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，k Z ∈. （1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.19.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．【答案】（1）1（2【解析】【详解】（1）∵()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos2sin2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.∴16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0A π<<可得：62A ππ+=，即3A π=.∴23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵203B π<<，∴51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，∴sin sin B C +. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数()221xx f x m =+-，m R ∈.（1）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，12m =- 【解析】 分析】（1）利用作差法证明函数的单调性； （2）利用奇偶性的定义求解m 的值. 【详解】解：（1）()f x (),0-∞上单调递减，证明：()12,,0x x ∀∈-∞，且12x x <则()()()()()()12211212121212122212212222212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x m m ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭()()2112222121x x xx -=--，120x x <<Q ，120221x x ∴<<<，21220x x ∴->，1210x -<，2210x -<，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴> ()f x ∴在(),0-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x x x x m m --+=----恒成立， 221212212121122121x x x x x x xx x m ---=--=--==------， 解得：12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数. 【【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法. 21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100百件 【解析】 【分析】（1）根据收益=总收入-成本，进行分情况讨论，构建出分段函数； （2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭； 2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当030x <<时，()210201500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =； 当30x ≥时，100002000200020002001800y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，max 18001500y =>. ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。
2023-2024学年山东省泰安市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【正确答案】A根据条件可得{}1,3,5B =，然后可得答案.【详解】因为{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，所以{}1,3,5B =所以A B = {}1,3故选：A2．在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（）A ．2y =B ．y =C ．00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D ．2x y x=【正确答案】C【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.【详解】由题意，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，其解析式为,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，对于A ，函数2y =，其定义域为[)0,∞+，故A 错误；对于B ，函数y x ==，其定义域为(),-∞+∞，对应法则不同，故B 错误；对于C ，与题目中的函数一致，故C 正确；对于D ，函数2x y x=，其定义域为{}0x x ≠，故D 错误，故选：C.3．命题“R,sin 1x x ∀∈≤-”的否定为（）A ．R,sin 1x x ∀∈>-B ．R,sin 1x x ∀∉≤-C ．00R,sin 1x x ∃∉>-D ．00R,sin 1x x ∃∈>-【正确答案】D【分析】利用全称命题的否定的概念求解即可.【详解】命题“R,sin 1x x ∀∈≤-”的否定为“00R,sin 1x x ∃∈>-”故选：D4．角θ为第一或第四象限角的充要条件是（）A ．sin tan 0θθ<B ．cos tan 0θθ<C ．sin 0tan θθ>D ．sin cos 0>θθ【正确答案】C【分析】根据角θ所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.【详解】若角θ为第一象限角，则sin 0,cos 0,tan 0θθθ>>>，若角θ为第四象限角，则sin 0,cos 0,tan 0θθθ<><，所以若角θ为第一或第四象限角，则sin 0tan θθ>；若sin 0tan θθ>，则sin 0,tan 0θ<θ<或sin 0,tan 0θθ>>，所以角θ为第一或第四象限角.故选：C.5．已知函数()()14123(1)x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．12-B ．32C ．92D ．52【正确答案】B【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.【详解】由题设，551(3222f =-+=，所以5113(22222f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．设sin 46a = ，cos 47b = ，tan 48c = ，则下列结论成立的是（）A ．c<a<b B ．b a c <<C ．a b c<<D ．b<c<a【正确答案】B比较a 、b 的大小关系，并比较a 、b 、c 三个数与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】()cos 47cos 9043sin 43b ==-=且sin 43sin 461<< ，即1b a <<，又tan 48tan 451c =>= ，因此，b a c <<.故选：B.7．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为()2()10lg10xf x dB -=，喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，大货车鸣笛时，声音约为90dB ，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（）倍.A ．149B ．14910C ．510D ．1000【正确答案】C 解出2()10lg14010x f x -==、2()10lg 9010x f x -==可得答案.【详解】由2()10lg 14010xf x -==可得1210x =由2()10lg9010xf x -==可得710x =所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的1257101010=倍故选：C8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【详解】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.二、多选题9．若,,R a b c ∈则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则a c b c ->-C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b>【正确答案】BD【分析】利用不等式的性质及特例法判断ABC ，利用指数函数的单调性判断D 即可.【详解】选项A ：当0c =时，22ac bc =，故A 错误；选项B ：若a b >，则0a b c c ->=-，移项可得a c b c ->-，故B 正确；选项C ：当1a =，2b =-时，满足a b >，此时22a b <，故C 错误；选项D ：因为函数2x y =在R 上单调递增，所以当a b >时，22a b >，故D 正确；故选：BD10．关于函数()()π4cos 2R 6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（）A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =的表达式可改写为π4sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π3x =对称【正确答案】BC【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD ，利用诱导公式判断B 即可.【详解】()π4cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，A 错误；ππππ4cos 24cos 24sin 26323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；因为ππ4cos 062f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，C 正确；因为ππ4cos 032f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象不关于直线π3x =对称，D 错误；故选：BC11．已知函数()2121x f x =-+，则下列结论正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的值城为()1,1-D ．12,x x ∀∈R ，且120x x +≠，()()()12120x x f x f x ⎡⎤++>⎣⎦恒成立【正确答案】ACD【分析】根据题意，结合函数的奇偶性以及单调性的定义，以及指数函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】函数的定义域为R ，()201011f =-=+，故A 正确；因为()()22221111221122xx x xxf x f x -⋅-=-=-=-≠+++，故B 错误；由于20x >，则121x +>，20212x<<+，所以211121x -<-<+，即函数()f x 的值城为()1,1-，故C 正确；由于2x y =在定义域上为增函数，故()2121x f x =-+在定义域上为增函数，即有12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，将式子中的2x 换为()2x -，可得当120x x +≠时，()()()()()()121212120x x f x f x x x f x f x +--=++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故D 正确.故选:ACD12．下列说法正确的是（）A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2B ．若0x >，0y >，1x y +=，则11x y+最小值为4C ．若对()0,x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2D ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-【正确答案】BCD【分析】利用基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式成立的条件.【详解】对A ：当(]sin 0,1x ∈时，则1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立；当[)sin 1,0x ∈-时，则()1sin 2sin y x x-=-+≥=-，当且仅当1sin sin x x -=-，即sin 1x =-时等号成立，则1sin 2sin y x x=+≤-；综上所述：函数1sin sin y x x=+的值域为(][),22,-∞-+∞U ，无最小值，A 错误；对B ：若0x >，0y >，则()2111124y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y x x y =，即12x y ==时等号成立，B 正确；对C ：当0x >，则12x x+≥=，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，若对()0,x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则2m ≤，即实数m 的最大值为2，C 正确；对D ：∵12x <，则120x ->，∴()1121212112112x x x x ⎛⎫-+=-+-≥= --⎝⎭，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，即12121x x +≤--，故1221x x +-的最大值是1-，D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数()mf x x =经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f=______【正确答案】12##0.5【分析】将点代入函数解得2m =-，再计算得到答案.【详解】()1224mf ==，故2m =-，212f -==.故1214．若23a=，89b =，则ba=_______．【正确答案】23【分析】先由23a=，89b =求出,a b ，即可求出结果.【详解】因为89b =，所以328222log 9log 3log 33b ===，又23a=，所以2log 3a =，所以222log 32log 333b a ==故2315．当0x π<<时，使tanx 1<-成立的x 的取值范围为______．【正确答案】π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据正切函数的图象，进行求解即可．【详解】由正切函数的图象知，当0x π<<时，若tanx 1<-，则π3πx 24<<，即实数x 的取值范围是π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为π3π,.24⎛⎫⎪⎝⎭本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．16．对于函数()f x 、()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ==，若存在m 、n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“友好函数”.已知函数()()13log 2x f x x e -=+-与()1422x x g x a +=⋅+-互为“友好函数”，则实数a 的取值范围是________.【正确答案】1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭求出函数()f x 的零点为1x =，由题意可求得函数()g x 零点的取值范围是()0,2，由()0f x =可得出112242xxa ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,124xt ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222h t t t =-，则实数a 的取值范围即为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域，即为实数a 的取值范围.【详解】由于函数()13log 2y x =+为增函数，函数12xy e -=为减函数，则函数()f x 为增函数，因为()031log 30f e =-=，1m ∴=.由于()()13log 2x f x x e -=+-与()1422x x g x a +=⋅+-互为“友好函数”，则11n -<，可得111n -<-<，解得02n <<，所以，函数()1422x x g x a +=⋅+-的零点的取值范围是()0,2，由()14220xx g x a +=⋅+-=可得1221122442x xx xa +-⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,124xt ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222h t t t=-，则实数a 的取值范围即为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域.当1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22111222,0222h t t t t ⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.因此，实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．已知函数()()2sin R,06f x x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【正确答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)最小值是1，最大值是2．【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可；（2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可.【详解】（1）由函数图象可得11π5ππ212122T =-=，解得πT =，又2πT ω=，所以2ω=，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈，所以当ππ266x +=或5π6即0x =或π3时，()f x 取得最小值，最小值是1，当ππ262x +=即π6x =时，()f x 取得最大值，最大值是2．18．已知328lg 25lg 40m ++，集合{}20A x x mx =-≤，{}32B x a x a =≤≤-．(1)求m 的值；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2(2)1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据指数和对数的运算法则化简求解即可；（2）先化简集合A ，在利用集合交集的概念求解即可.【详解】（1）由题知1111336233234lg100034322m =⨯⨯-+=-⎛⎫⨯ ⎪⎝+=⎭（2）由()2220x x x x -=-≤解得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤，因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，32-<a a ，解得1a >；当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤，要使B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥，所以112a ≤≤，综上综实数a 的取值范围是1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．19．已知()()()()()πsin 2πsin πcos 22cos πsin 3πsin αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=---．(1)求1sin cos 22cos 3sin αααα+-；(2)若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a -，(),5B b ，求a b +的值．【正确答案】(1)316-(2)12a b +=-【分析】（1）利用诱导公式和同角三角关系求解即可；（2）根据三角函数的定义求解即可.【详解】（1）因为()()()()()πsin 2πsin πcos 2cos πsin 3πsin αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭---()()()()()sin sin sin tan 2cos sin sin ααααααα---==-=--所以tan 2α=-，所以11sin cos tan 222cos 3sin 23tan αααααα++=--316=-.（2）由正切函数的定义知5tan 1a bα==-，又因为tan 2α=-，所以2a =，52b =-，所以12a b +=-．20．已知关于x 的不等式()22,ax b x ax a b -≥-∈R ．(1)若不等式的解集为{}21x x -≤≤-，求a ，b 的值：(2)若0a <，解不等式222ax x ax -≥-．【正确答案】(1)12a b =-⎧⎨=⎩(2)答案见解析．【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系求解；（2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解．【详解】（1）原不等式可化为()220ax a x b +--≥，由题知，2-，1-是方程()220ax a x b +--=的两根，由根与系数的关系得0232a a a b a⎧⎪<⎪-⎪-=-⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．（2）原不等式可化为()2220ax a x +--≥，因为0a <，所以原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，当21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得=1x -；当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-；综上所述，当20a -<<时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()210200,040100008019500,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少?【正确答案】(1)()210600300,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元【分析】（1）由利润=销售额-成本，讨论x 的范围，得出函数关系式；（2）利用二次函数和不等式分别得出函数的最值，即可得出最大利润．【详解】（1）()()800300W x x R x =--当040x <<时，()()280010200300W x x x x =-+-210600300x x =-+-，当40x ≥时，()100008008019500300W x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭100009200x x =--+，所以()210600300,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩.（2）当040x <<时，()210600300W x x x =-+-()210308700x =--+，当30x =时，()max 8700W x =；当40x ≥时，()1000010000920092009000W x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时等号成立，所以当100x =时，()max 9000W x =，所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元．22．已知函数()21log ,ax f x a x+=∈R ．(1)已知1a =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求()g x 的解析式；(2)若函数()()()22log h x f x x =+有且只有一个零点，求a 的值；(3)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【正确答案】(1)221log ,0()0,0log ,01x x x g x x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<-⎩；(2)14a =-或0a =；(3)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）由奇函数的定义求解；（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．【详解】（1）由题知，当0x >，()()21log x g x f x x+==，设0x <．则0x ->，所以()2211log log x x g x x x-+--==-，因为()g x 是奇函数，所以()2log 1x g x x =-，又因为()00g =所以221log ,0()0,0log ,01x x x g x x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）令()()2221log log 0h x a x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，整理得210ax x +-=，因为()h x 有且只有一个零点，所以方程210ax x +-=有且只有一根或两相等根，当0a =时，1x =，符合题意，当0a ≠时，只需140a ∆=+=所以14a =-，此时2x =，符合题意综上，14a =-或0a =．（3）在()0,∞+上任取12,x x ，且12x x <，则1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减．所以函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．所以()()()()2222211111log log log 111at a t f t f t a a t t at a t +++⎛⎫⎛⎫-+=+-+=≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-的图象开口向上，对称轴102a t a+=-<，所以函数()211y at a t =++-在()0,∞+上单调递增，所以当12t =时，y 有最小值3142a -，所以31042a -≥，解得23a ≥．所以a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，集合B ={2,3,4}，则A ∩(∁U B)=( )A. {1,3,5}B. {1}C. {1,5}D. {5}2.已知p ：x >0，y >0q ：xy >0，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.方程log 3x =−x +3的解所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞) 4.已知函数f(x)={sinπx,x <0−√ x,x ⩾0，则f[f(49)]=( ) A. √ 32 B. −√ 32 C. 12D. −12 5.已知函数y =cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )A. y =cos(6x +π6)B. y =cos(6x +π12)C. y =cos(23x +π18)D. y =cos(23x +π6) 6.已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tanθ=( )A. −2B. −1C. 1D. 27.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数.已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)( )A. 0.035B. 0.35C. 0.461D. 0.768 8.已知定义域为R 的函数f(x)=2|x−m|−1(m ∈R)为偶函数，记a =f(log 314),b =f(2−32),c =f(2−23)，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−125．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12) C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．27．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e ﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.7688．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞210．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√311．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B ．函数f （x ）图象的一条对称轴是直线x =−π12C ．f(x −π3)是奇函数D ．f （x ）在(−π6，π3)上单调递增12．已知函数f(x)=x x−1−2x (x ＞1)，g(x)=x x−1+log 12x(x ＞1)，则下列结论正确的是（ ） A ．若m ⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log 12x +m 有实根B ．若函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ），则ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1 C ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则α+β＞4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x的定义域为 ． 14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 ．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ．16．当0＜x⩽12时，4x＜log a x（a＞0且a≠1）恒成立，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|2x＜2或2x＞64}，B＝{x|﹣2＜x﹣a＜2}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{2，3，4}，∴∁U B ＝{1，5}， 又∵集合A ＝{1，3，5}，∴A ∩（∁U B ）＝{1，5}． 故选：C ．2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为：x ＞0，y ＞0，⇒xy ＞0，即p ⇒q ；而xy ＞0，表明x ，y 同号，即可推得，x ＞0，y ＞0，或x ＜0，y ＜0， 即不能由q 推得p ，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）解：令f （x ）＝log 3x ﹣3+x ，则方程log 3x ＝3﹣x 的近似解x ＝x 0∈（k ，k +1），k ∈Z ，即 函数f （x ）的零点，在（k ，k +1）上，k ∈Z ，∵f （2）＝log 32﹣3+2＜0，f （3）＝log 33﹣3+3＞0， ∴函数f （x ）的零点在（2，3）上， 故选：C ．4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12解：因为f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，所以f （49）=−√49=−23，则f[f(49)]=f （−23）＝sin （−2π3）＝﹣sin 2π3=−sin π3=−√32．故选：B ．5．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12)C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)解：函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos （2x +π6）的图象，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y ＝cos （23x +π6）的图象．故选：D ．6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：∵2tanθ−tan(θ−π4)=−7，∴2tanθ−tanθ−11+tanθ=−7，即2tan θ+2tan 2θ﹣tan θ+1＝﹣7﹣7tan θ，即2tan 2θ+8tan θ+8＝0，即2（tan θ+2）2＝0，解得tan θ＝﹣2． 故选：A ．7．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.768解：由题意可得，100（1﹣e ﹣3k）＝10，即e﹣3k＝0.9，所以﹣3k ＝ln 0.9≈﹣0.105，所以k ≈0.035．故选：A ．8．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a解：∵f （x ）＝2|x﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），即2|﹣x ﹣m |﹣1＝2|x﹣m |﹣1，解得m ＝0，∴f （x ）＝2|x |﹣1，且在[0，+∞）上单调递增．∵a =f(log 314)=f （﹣log 34）＝f （log 34），b ＝f （2−32），c ＝f （2−23），又log 34＞1＞2−23＞2−32＞0，∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞2解：因为a ＜b ＜1a ＜0，所以a ＜b ＜0，a ＜1a，所以a 2＞1，即a ＞1（舍）或a ＜﹣1，A 正确；当c ＝0时，B 显然错误；由a ＜b ＜0可得，1a ＞1b ，C 正确；由a ＜b ＜1a＜0，可得a 2＞ab ＞1，故a 2+ab ＞2，D 正确．故选：ACD ．10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√3解：因为，P(−3，3√3)是α终边上一点，所以tan α=−√3且α为第二象限角， 所以α=2π3+2kπ，k ∈Z ，A 错误； 所以tan2α＝tan （4π3+4kπ）＝tan π3=√3，B 正确；若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则α=2π3，故扇形的半径r =4π32π3=2，C 正确；3sinα−cosαsinα+cosα=3×√32+12√32−12=5+2√3，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B．函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=−π12C．f(x−π3)是奇函数D．f（x）在(−π6，π3)上单调递增解：由于f(x)=sinxcosx−√3cos2x+√32=12sin2x−√3(cos2x+1)2+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3 )；对于A：当x=π3时，f（π3）=sinπ3=√32，故A错误；对于B：当x=−π12时，f（−−π12）＝sin（−π2）＝﹣1，故B正确；对于C：f（x−π3）＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x，故该函数为奇函数，故C正确；对于D：由于x∈(−π6，π3)，所以2x−π3∈(−2π3，π3)，故函数在该区间上不单调，故D错误．故选：BC．12．已知函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，则下列结论正确的是（）A．若m⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log12x+m有实根B．若函数h（x）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x＞1时，h（x）＝f（x），则ℎ(x)={xx−1−2x，x＞1−x x+1+12x，x＜−1C．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则α+β＞4解：对于A：因为函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，所以g（x）﹣f（x）=log12x+2x=2log12x+m，即2x=log12x+m，所以m=2x−log12x=2x+log2x，因为y＝2x和y＝log a x在（1，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（1）＝2，即f（x）＞2在（1，+∞）上恒成立，所以m＝2时，m＝2x+log2x无解，即原方程无解，故A错误；对于B ：因为函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ）， 所以x ＞1时，h （x ）=xx−1−2x ， 令x ＜﹣1，则﹣x ＞1， 所以f （﹣x ）=−x −x−1−2−x =x x+1−12x ， 因为f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以﹣f （x ）=x x+1−12x ， 即f （x ）=−x x−1+12x ， 综上：ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1，故B 正确； 对于C ：由函数y =x x−1，得x =yy−1，所以y =xx−1的图象关于直线 y ＝x 对称， α，β是函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象与函数y =xx−1的图象的交点的横坐标， 已知α＝log 2β，β＝2a ， 又β=αα−1=1α−1+1， 所以（α﹣1）（β﹣1）＝1，即α+β＝a β，所以1α+1β=1，故C 正确；对于D ：由于α+β=α+αα−1=α−1+1α−1+2≥4， 当且仅当α﹣1=1α−1，即α＝2时等号成立， 但f(2)=22−1−22=−2≠0，因而α≠2，上式等号不成立，所以α+β＞4，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为 （23，1） ． 解：要使原函数有意义，则{3x −2＞01−x ＞0，解得23＜x ＜1．∴函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为（23，1）． 故答案为：（23，1）．14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 √3 ．解：“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”，它是真命题，因为x ∈[0，π3]时，tan x ∈[0，√3]，所以m ≥√3，即实数m 的最小值是√3．故答案为：√3．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ﹣2 ． 解：a ﹣3b +6＝0，即a ﹣3b ＝﹣6， 则2a +18b ≥2√2a ⋅18b =2√2a−3b =14，当且仅当a ＝﹣3b ，即a ＝﹣3，b ＝1时取等号，此时a +b ＝﹣2． 故答案为：﹣2．16．当0＜x ⩽12时，4x ＜log a x （a ＞0且a ≠1）恒成立，则a 的取值范围是 [√22，1) ．解：x ∈（0，12）时，函数y ＝4x 的图象如下图所示；对任意的x ∈（0，12），4x ＜log a x ，即不等式4x ＜log a x 恒成立，∴y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 图象的上方（如图中虚线所示）；又函数y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于（12，2）点时，a 2＝2，解得a =√22，∴虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足√22＜a ＜1．即a 的取值范围为：(√22，1)． 故答案为：(√22，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}，B ＝{x |﹣2＜x ﹣a ＜2}． （1）若a ＝2，求A ∩B ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}＝{x |x ＜1或x ＞6}．（1）当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}；（2）B＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，∵B⊆A，∴a+2⩽1或a﹣2⩾6，∴a⩽﹣1或a⩾8．实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵a2x2﹣4ax﹣5＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，∴a≠0且−53，13是方程a2x2﹣4ax﹣5＝0两个实数根，由韦达定理得{−53+13=4a (−53)×13=−5a2，∴a＝﹣3；（2）由题意，a2x2﹣4ax﹣3a﹣5＞0恒成立，当a＝0时，﹣5＞0不成立，当a≠0时，Δ＝16a2+4a2（3a+5）＜0，∴a＜﹣3，故a的取值范围为{a|a＜﹣3}．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．解：cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13，∴(−cosα)(−sinα)cosα=13，∴sinα=1 3．（1）∵α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−2√2 3，∴tanα=sinαcosα=−√24．（2）∵sinα=13，0＜α＜π2，∴cosα=2√2 3，∴sin2α＝2sinαcosα=4√29，cos2α＝2cos2α﹣1=79，又∵cos(α+β)=−15，0＜α+β＜π，∴sin(α+β)=2√6 5，∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）=4√29×(−15)−79×2√65=−4√2−14√645．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．解：（1）由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象知，A=2，T=(π18+5π18)×2=23π，∴ω=2πT=2π2π3=3，∴f（x）＝2sin（3x+φ），将(−π9，−2)代入f（x）＝2sin（3x+φ），可得2sin(−π3+φ)=−2，∴−π3+φ=−π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2sin(3x−π6 )，∵2sin(3x−π6)=√3，∴sin(3x−π6)=√32，∴3x−π6=π3+2kπ或3x−π6=2π3+2kπ，k∈Z，∴x=π6+23kπ或x=5π18+23kπ，k∈Z；（2）g(x)=2sin(3x−π6)+2√3sin(3x+π3)=−2cos[(3x−π6)+π2]+2√3sin(3x+π3)=−2cos(3x+π3)+2√3sin(3x+π3)=4sin(3x+π6 )，∵x∈[0，7π18]，∴3x+π6∈[π6，4π3]，∴当3x+π6=4π3，即x=7π18时，g(x)min=−2√3，当3x+π6=π2，即x=π9时，g（x）max＝4．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．解：（1）由题意可得y＝7600x﹣（800x2﹣400x）﹣7200＝﹣800（x2﹣10x+9）（x∈N*），令y＞0，可得1＜x＜9，又因为x∈N*．所以该企业从第2年开始盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：因为y＝﹣800（x2﹣10x+9）＝﹣800（x﹣5）2+12800，x∈N*，所以当x＝5时，y取到最大值12800，若此时处理掉智能机器人，总利润为12800+2000＝14800万元，方案二：年平均盈利额yx=−800(x+9x)+8000⩽−1600√x⋅9x+8000=3200万元，当且仅当x＝3时，等号成立，此时年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总利润为3200×3+5200＝14800万元，两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，即−ax+log2(4−x+1)=ax+log2(4x+1)恒成立，∴−2ax=log2(4x+1)−log2(4−x+1)=log24x+1(4−x+1)=log2(4x+1)4x(4x+1)=log24x=2x恒成立，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴f(x)=log2(4x+1)−x；（1）∵2f（x）=2log24x+12x=4x+12x=2x+2﹣x，∴g（x）＝m（2x+2﹣x）+22x+2﹣2x，令2x+2﹣x＝t，t≥2，h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2），∵g（x）的最小值为﹣3，即h（t）的最小值为﹣3，等价于{−m2≤2ℎ(2)=2m+2=−3或{−m2＞2ℎ(−m2)=−m24−2=−3，∴m=−5 2；（2）∵f(x)=log2(4x+1)−x=log24x+12x=log2(2x+2−x)，设φ（x）＝2x+2﹣x（x≥0），任取x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，则φ(x1)−φ(x2)=2x1+2−x1−2x2−2−x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，∵0≤x1＜x2，∴2x1−2x2＜0，2x1+x2−1＞0，∴φ（x1）﹣φ（x2）＜0，∴φ（x）单调递增，又∵y＝log2x单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（3m﹣1）＜f（m2+1），f（x）是偶函数，∴|3m﹣1|＜m2+1，∴﹣（m2+1）＜3m﹣1＜m2+1，∴{−m2−3m＜0m2−3m+2＞0，∴m＜﹣3或0＜m＜1或m＞2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，1）∪（2，+∞）．。
2022-2023学年山东省泰安市高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
（3）若函数 满足性质P(T)，求证：函数 存在零点.
20．已知函数 是R上的奇函数.
（1）求a的值，并判断 的单调性；
（2）若存在 ，使不等式 成立，求实数b的取值范围.
21．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
2、A
【解析】由题可得分针需要顺时针方向旋转 .
【详解】分针需要顺时针方向旋转 ，即弧度数为 .
故选：A.
3、C
【解析】由集合 ， ，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选 ．
【点睛】考查列举法的定义，以及 图表示集合的方法,属于基础题．
4、D
C.3D.2
7．已知命题 ： ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8．已知a＝log23＋log2 ，b＝log29－log2 ，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）
A.a＝b<cB.a＝b>c
C.a<b<cD.a>b>c
9．已知点 是第三象限的点，则 的终边位于（）
A.第一象限B.第二象限
20、（1） ， 为 上的增函数；
山东省泰安第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
D． b c a
4．在用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在（1，2）内近似根的过程中，已经得到
f (1) 0, f (1.5) 0, f (1.25) 0 ，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
5．已知函数 y ax3 3 （ a 0 ，且 a 1）的图象恒过点 P ，若角 的终边经过点 P ，
则 cos （ ）．
A． 3 5
B．- 3 5
C．
4 5
D． 4 5
6．已知函数 f x 2 sin 2x ， 0 2 为偶函数，则 的值为（ ）
3
A． 2
B．
C．
3 2
D．
2
或
3 2
7．已知
f
x
1 2
x2 2ax
在1,3 上是减函数，则实数
a
的取值范围为（
）
A． ,1
0
log2
2 3
log4
16 9
；
（2）已知
tan
=
-
2 ，求
2 sin(
)
sin
2
的值．
cos() sin( 3 )
18．命题 p ：“ x 1, 2 ， x2 x a 0 ”，命题 q：“ x R ， x2 3x 2 a 0 ”.
(1)写出命题 p 的否定命题 p ，并求当命题 p 为真时，实数 a 的取值范围；
0
=
1
，
c log2 3 log2 2 1，
所以 c b a . 故选：A
答案第 1页，共 12页
4．B 【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间. 【详解】∵f（1）<0，f（1.5）>0， ∴在区间（1，1.5）内函数 f (x) =3x+3x﹣8 存在一个零点 又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0， ∴在区间（1.25，1.5）内函数 f (x) =3x+3x﹣8 存在一个零点， 由此可得方程 3x 3x 8 0 的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B 5．B 【分析】令 x 3 0 ，求得定点，然后再由角 的终边经过点 P ，利用三角函数的定义求解. 【详解】令 x 3 0 ，则 x 3, y 4 ，
泰安市2020-2021学年高一上学期期末考试 数学试题(含答案)
泰安市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合{}13,5A =,，{}3,4B =，则A B =（ ）A. {}5B. {}3C. {}1,3,4,5D. {}2,4,52. sin 330= （ ） A. 3-B.32C. 12-D.123. 已知命题:0p x ∀>，2log 2x x >，则命题p 的否定为 （ ） A. 0x ∀>，2log 2x x ≤ B. 00x ∃>，002log 2x x ≤ C. 00x ∃>，002log 2x x <D. 00x ∃≤，002log 2x x ≤4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ）A. 3π-B. 512π-C.512π D.3π 5. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A. 3-B. 3±C. 23D.36. 若54log a =，b =，0.76c =（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c <<7. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按()sin y x ωϕ=+进行变化，记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且现在三条曲线都处于x 轴的同一点处，那么第322天时 （ ） A. 智力曲线I 处于最低点B. 情绪曲线E 与体力曲线P 都处于上升期C. 智力曲线I 与情绪曲线E 相交D. 情绪曲线E 与体力曲线P 都关于()322,0对称8. 已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ） A. []1,3-B. []1,5-C. []3,5-D. []3,3-二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9. 下列结论正确的是（ ） A. 若,a b 为正实数，ab ，则3223+a b a b b a +>B. 若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b +<+ C. 若,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件D. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是10. 若α为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A. sin cos αα>B. sin tan αα>C. sin cos 0αα+>D. cos tan 0αα+>11. 函数()()22xxa f x a R =+∈的图象可能为（ ）A.B.C. D.12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，()00f ≠.若,x y R ∀∈，()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则下列说法正确的是（ ） A. ()01f =B. ()()f x f x -=-C. ()()2f x f x π+=D. ()()2212f x x f=-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知弧长为3πcm 的弧所对圆心角为6π，则这条弧所在圆的半径为___________cm ．14. 已知函数()()22,1log 1,1xa x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________． 15. 若函数()(0log a f x x a =>且1)a ≠在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()()32g x m x=+在[)0,+∞上是增函数，则a m +的值是______． 16. 若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数()()lg 2f x x m =-的定义域为集合A ，函数()24g x x x=-的定义域为集合B . （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围; （2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. ①()f x 的最小正周期为，且()f x 是偶函数②()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭③0x =与2x π=是()f x 图象上相邻的两条对称轴，且()02f =问题：已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，若 ． （1）求ω，ϕ的值;（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19. 己知4cos 5α=-，且2παπ<<.（1）求()()5sin 4tan 3παπα+--的值; （2）若02πβ<<，()5cos βα-=求sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.20. 已知函数()2ln2mxf x x-=+，0m >，且()()011f f +-=. （1）证明:()f x 定义域上是减函数;（2）若()()ln9f x f x +<-，求x 的取值集合.21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V (单位:千米/秒)满足lnm MV W M+=，其中，W (单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位:吨)表示它装载的燃料质量，M (单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).（1）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到0.1);（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数= 2.71828e =⋯，ln3 1.10≈） 22. 已知函数()22x x f x -=-，()2sinlog 4xg x x π=+（1）若[]0,1x ∀∈，()()sin4k f x g k π>-恒成立，求实数k 的取值范围; （2）证明：()g x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合{}13,5A =,，{}3,4B =，则A B =（ ）A. {}5B. {}3C. {}1,3,4,5D. {}2,4,5【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}13,5A =,，{}3,4B =， 所以A B ={}3，故选：B2. sin 330= （ ）A. B.C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】()()1sin 330sin 36030sin 30sin 302=-=-=-=-， 故选：C3. 已知命题:0p x ∀>，2log 2x x >，则命题p 的否定为 （ ） A. 0x ∀>，2log 2x x ≤ B. 00x ∃>，002log 2x x ≤ C. 00x ∃>，002log 2x x < D. 00x ∃≤，002log 2x x ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x ∀>，2log 2xx >，则命题p 的否定为“00x ∃>，002log 2x x ≤”，故选：B ．4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ）A. 3π-B. 512π-C.512π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度415⨯，即可求解. 【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气， 故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了41560⨯=. 故选：D5. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A. 23-B. 23±C. 3D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据终边经过点()2,a -，且120α︒=，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为终边经过点()2,a -，且120α︒=，所以tan 1202a︒==-解得a = 故选：C6. 若54log a =，b =，0.76c =（ ） A. a b c << B. c a b << C. a c b << D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质判断01,0a b <<<，根据指数的性质判断1c >，由此得出三者的大小关系. 【详解】因为550log 4log 51a <=<=，0.50b =<，0.761c =>，所以b a c <<.故选：D.7. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按()sin y x ωϕ=+进行变化，记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且现在三条曲线都处于x 轴的同一点处，那么第322天时 （ ） A. 智力曲线I 处于最低点B. 情绪曲线E 与体力曲线P 都处于上升期C. 智力曲线I 与情绪曲线E 相交D. 情绪曲线E 与体力曲线P 都关于()322,0对称 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线I 位于2532周期处，情绪曲线E 位于12周期处，体力曲线P 刚好位于起始点处，逐一判断可得选项． 【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线I 位于2532周期处，情绪曲线E 位于12周期处，体力曲线P 刚好位于起始点处， A 项，253>324则智力曲线I 不处于最低点，故A 错误； B 项，情绪曲线E 处于最高点，即将开始下降，故B 错误；C 项，经过n 个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I 与情绪曲线E 不一定相交，故C 错误；D 项，(322, 0)位于体力曲线P 和情绪曲线E 的交点x 轴上，故D 正确， 故选：D ．8. 已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ） A. []1,3- B. []1,5- C. []3,5- D. []3,3-【答案】A 【解析】 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解. 【详解】令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++，所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+，所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9. 下列结论正确的是（ ） A. 若,a b 为正实数，ab ，则3223+a b a b b a +>B. 若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b +<+ C. 若,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件D. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确. 【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，ab ，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b a a b ab--=<，不能推出0a b >>， 而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<， 所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确. 故选：AC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 若α为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A. sin cos αα> B. sin tan αα>C. sin cos 0αα+>D. cos tan 0αα+>【答案】AB 【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角,sin 0α>,cos 0α<,tan 0α<所以A,B 正确，D 不正确；当324ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，sin cos 0αα+>，当3,4παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos 0αα+<，所以C 不一定正确. 故选:AB11. 函数()()22xxa f x a R =+∈的图象可能为（ ）A.B.C. D.【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项. 【详解】当0a =时，()2xf x =，图象A 满足；当1a =时，()122xx f x =+，()02f =，且()()f x f x -=，此时函数是偶函数，关于y 轴对称，图象B 满足；当1a =-时，()122xx f x =-，()00f =，且()()f x f x -=-，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立. 故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，()00f ≠.若,x y R ∀∈，()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则下列说法正确的是（ ） A. ()01f =B. ()()f x f x -=-C. ()()2f x f x π+=D. ()()2212f x x f=-【答案】ACD 【解析】 【分析】根据()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，利用赋值法求解判断.【详解】A. 令0x =得()()()200f f =，即()()()0010f f -=，因为()00f ≠，所以()01f =，故正确；B. 令y x =-，得()()()()02f f f x f x x =+-，即()()f x f x -=，故错误；C. 令y x π=+，得()()22022x f x f f f x πππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++，即()()f x f x π+=-，所以()()()2f x f x f x ππ+=-+=，故正确；D. 令2,0y x x ==得()()()2202f x f fx +=，所以()()2212f x x f =-，故正确；二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知弧长为3πcm 的弧所对圆心角为6π，则这条弧所在圆的半径为___________cm ．【答案】2 【解析】 【分析】 由弧度制公式lrα=求解. 【详解】已知弧长为3πcm 的弧所对圆心角为6π，因为lrα=， 所以326lr ππα===，故答案为：214. 已知函数()()22,1log 1,1x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．【解析】 【分析】 先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15. 若函数()(0log a f x x a =>且1)a ≠在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+在[)0,+∞上是增函数，则a m +的值是______． 【答案】1【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 422a f a ==⇒=，所以21log 12m ，此时()g x x =在[)0,+∞上是增函数，符合题意，因此211a m +=-=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有112()log 222a f a ==⇒=，所以22log44m，此时()g x x =-在[)0,+∞上是减函数，不符合题意. 故答案为：116. 若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【答案】2π【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=. 故答案为：2π. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数()()lg 2f x x m =-的定义域为集合A ，函数()24g x x x=-的定义域为集合B . （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围; （2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(],0-∞；（2）[)1,+∞. 【解析】 【分析】首先分别求解两个函数的定义域，（1）根据集合包含关系，列不等式求解m 的取值范围；（2）根据A B =∅，得22m ≥，求m 的取值范围. 【详解】由题知{}2A x x m =>，240x x ⎧-≥⎨>⎩ ，解得：02x <≤， {}02B x x =<≤（1）若B A ⊆，则20m ≤，即0m ≤，∴实数m 的取值范围是(],0-∞.（2）若AB =∅，则22m ≥，即m 1≥，∴实数m 的取值范围是[)1,+∞.18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. ①()f x 的最小正周期为，且()f x 是偶函数②()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭③0x =与2x π=是()f x 图象上相邻的两条对称轴，且()02f =问题：已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，若 ． （1）求ω，ϕ的值; （2）将函数()y f x =图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件性选择见解析，（1）2ω=，2ϕπ=；（3）2π,π3. 【解析】 【分析】（1）方案一:选条件①，由()f x 的最小正周期求出ω，利用函数的奇偶性得出ϕ；（2）由（1）得出函数()y f x =的解析式，通过平移和伸缩变换得到()y g x =，根据余弦函数的单调递减区间结合给出的定义域得出答案． 【详解】（1）方案一:选条件①()f x 的最小正周期为π， 2T ππω∴==，2ω∴=.又()f x 是偶函数，()()sin 2sin 2x x ϕϕ∴+=-+恒成立， ()sin 2cos 0x ϕ∴=恒成立，cos 0ϕ∴=， 2k πϕπ∴=+，k Z ∈.又0ϕπ<<，2πϕ∴=. （2）由（1）知，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()y f x =的图像向右平移6π个单位长度后，得到2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像. 再将横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos 23x g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像. 由2223x k k ππππ≤-≤+，k Z ∈. 当0k =时，2833x ππ≤≤ 0x π≤≤23x ππ∴≤≤ ()g x ∴在[]0,π上的单调递减区间是2π,π3. 方案二：选条件② （1）函数()f x 图像上相邻两个最高点之间的距离为π，2T ππω∴==，2ω∴= 又04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， sin 204πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，即cos 0ϕ=2k πϕπ∴=+，k Z ∈.又0ϕπ<<，2πϕ∴=（2）同方案一（2） 方案三：选条件③ （1）0x =与2x π=是()f x 图像上相邻的两条对称轴，22T π∴=，即2T ππω==. 2ω∴=又()02sin 2f ϕ==sin 1ϕ∴=， 22k πϕπ∴=+，k Z ∈.又0ϕπ<<，2πϕ∴=.（2）同方案一（2）. 19. 己知4cos 5α=-，且2παπ<<.（1）求()()5sin 4tan 3παπα+--的值; （2）若02πβ<<，()cos 5βα-=求sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）6-；（2）117125- 【解析】 【分析】（1）先根据同角三角函数的关系求出sin α，tan α，再根据诱导公式化简求值即可；（2）根据,βα的范围，求出βα-的范围，再根据同角三角函数的关系求出()sin βα-，再根据两角和的余弦公式求出cos β，最后根据诱导公式即可求出sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：4cos 5α=-，2παπ<<，3sin 5α∴===，3sin 35tan 4cos 45ααα∴==--；（1）()()335sin 4tan 35sin 4tan 54654παπααα⎛⎫+--=-+=-⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭； （2）02πβ<<，2παπ<<，0πβα∴-<-<，又()cos βα-=()sin 5βα∴-===-， ()()()43cos cos cos cos sin sin 55ββααβααβαα⎛⎛⎫⎡⎤∴=-+=---=--⨯= ⎪⎣⎦ ⎝⎭⎝⎭22117sin 2cos 22cos 1212125πβββ⎛⎫∴+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 20. 已知函数()2ln2mxf x x-=+，0m >，且()()011f f +-=. （1）证明:()f x 定义域上是减函数;（2）若()()ln9f x f x +<-，求x 的取值集合. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}12x x <<. 【解析】 【分析】（1）根据()()011f f +-=，求得1m =，得到()2ln 2x f x x -=+，由202xx->+，求得()f x 的定义域，令()24122x g x x x-==-+++，用函数单调性的定义证明其单调性，再利用复合函数的单调性得到结论. （3）易得函数是奇函数，将原不等式转化为()()1ln13f x f <=，再利用()f x 在定义域上的单调性求解. 【详解】（1）()()110f f +-=，()224ln ln 2ln 033m m m --∴++==，21m ∴=，又0m >，1m ∴=，()2ln2xf x x-∴=+. 由202xx->+，解得22x -<<， ()f x ∴的定义域为()2,2-.令()24122x g x x x-==-+++. 任取()122,2,x x ∈-，且12x x <，则()()()()()211212124442222x x g g x x x x x x --=-=++++. 210x x ->，120x +>，220x +>，()()120g g x x ∴->，即()()12g g x x >，又ln y x =在()0,∞+上是增函数，由复合函数的单调性知：()f x 在()2,2-上是减函数.（3）()()22ln ln 22x x f x f x x x+--==-=--+， ∴原不等式可化为()2ln9f x <-，即()()1ln13f x f <=. 由（1）知，()f x 是减函数，1x ∴>.又()f x 的定义域为()2,2-， x 的取值集合为{}12x x <<.【点睛】方法点睛：复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V (单位:千米/秒)满足ln m M V W M+=，其中，W (单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位:吨)表示它装载的燃料质量，M (单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).（1）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到0.1);（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数= 2.71828e =⋯，ln3 1.10≈）【答案】（1）该单级火箭的最大速度为3.3千米/秒；（2）该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据单级火箭的最大速度V (单位:千米/秒)满足lnm M V W M +=，由3W =，50M =，100m =求解.（2）根据单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9，即9m M≤，又2W =代入ln m M V W M+=求解. 【详解】（1）3W =，50M =，100m =，10050ln 3ln 3ln 3 3.350m M V W M ++∴==⨯=≈， ∴该单级火箭的最大速度为3.3千米/秒.（2）9m M≤，2W =， 110m M m M M+∴=+≤. ln2ln10m M V W M +∴=≤. 7.97.9712810022e >>=>，7.97.9ln ln1002ln10e ∴=>=，7.9V ∴<.∴该单级火箭最大速度不能超过7.9千米/秒.22. 已知函数()22x x f x -=-，()2sin log 4x g x x π=+（1）若[]0,1x ∀∈，()()sin 4k f x g k π>-恒成立，求实数k 的取值范围;（2）证明：()g x 有且只有一个零点0x ，且05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭ 【答案】（1）01k <<；（2）证明见解析.【解析】【分析】 (1)先判断()f x 的单调性，求其最小值，再列出关于k 的不等式，求解即可；(2)用零点存在定理，分类讨论()g x 在()2.+∞和(]0,2的零点情况；利用得出的零点结论，找到关系式002sin log 4x x π=-，然后将02log x -带入()f x 中进行计算即可证明不等式成立.【详解】解（1）2x y =是增函数，2x y -=是减函数， ()22x x f x -∴=-在[]0,1上单调递增.()f x ∴的最小值为()00f =.又()2sin log 4k g k k π-=， 20log k ∴<，解得01k <<，∴实数k 的取值范围为01k <<.（2）当()2.x ∈+∞时，2221log log x >=，sin 14xπ≥-，()()2sin 1104x g x x log π∴=+>+-=.()g x ∴在()2,+∞上无零点.当(]0,2x ∈时，2log y x =与sin 4xy π=单调递增，()g x ∴在(]0,2上单调递增.又2222221sin 0log log log 336323g π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭，()1sin 04g π=>， 02,13x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，()g x ∴在(]0,2上有且只有一个零点0x ， 综上所述，()g x 有且只有一个零点0x . 又()0002sin 0log 4x g x x π=+=，即002sin log 4x x π=-，()002200021log log sin log 224x x x f f x x x π⎛⎫-∴=-=-=- ⎪⎝⎭， 1y x x =-在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，001325236x x ∴-<-=，05sin 46xf π⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
2019-2020学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则(U A B =I ð ) A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}2．（5分）设:2p x >，2:2q x >，则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．9D ．104．（5分）函数()(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间( ) A ．(1,0)-和(0,1)内 B ．(,1)-∞-和(1,0)-内 C ．(0,1)和(1,)+∞内D ．(,1)-∞-和(1,)+∞内5．（5分）已知32a ln =，22log 32b =，0.24()5c -=，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．（5分）函数422y x x =-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50-B ．0C ．2D ．508．（5分）若函数222,1()(1),1x x f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，在(-∞，]a 上的最大值为4，则a 的取值范围为( ) A ．[0，17] B ．(-∞，17] C ．[1，17] D ．[1，)+∞二、多项选择题9．（5分）已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则( )A ．tan 0θ<B ．24tan 9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin 20θ>10．（5分）已知01a b <<<，则下列不等式成立的是( ) A ．11()()22a b >B ．lna lnb >C ．11a b> D ．11lna lnb>11．（5分）若定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条： ()i 对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …； ()ii f （1）1=；()iii 若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…． 就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A 函数”的有( ) A ．12()log (1)f x x =+B ．2()log (1)f x x =+C ．()f x x =D ．()21x f x =-12．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==-D ．2{(,)|log }M x y y x ==三、填空题13．（5分）计算：71427183lg lglg lg -+-= ．14．（5分）命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．15．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则 ．16．（5分）已知函数()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，则实数a = ，函数()f x 的单调递增区间为 ． 四、解答题17．（10分）已知集合2{|25120}A x x x =--…，{|31(0)}x B y y x ==+>． （1）求集合A B I ，()R A B U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟且()R A C C =I ð，求m 的取值范围． 18．（12分）在①函数()3f x π-为奇函数②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间．19．（12分）已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x R ππ=+-∈．（1）求()6f π的值；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的最大值．20．（12分）已知函数2()21xxf x m =+-，m R ∈． （1）判断函数()f x 在(,0)-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，2()10100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，10000()5014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 22．（12分）若()log (2)log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠． （1）当12a =时，若方程12()log ()f x p x =-在(2,3)上有解，求实数p 的取值范围； （2）若()1f x …在[3a +，4]a +上恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则(U A B =I ð ) A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5，6，7}， {2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则{1U B =ð，6，7}， 所以{6U A B =I ð，7}． 故选：C ．2．（5分）设:p x >，2:2q x >，则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2:2q x >，解得xx <若:p x >2:2q x >成立，反之，若2:2q x >成立，则:p x > 即p 是q 成立的充分不必要条件， 故选：B ．3．（5分）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．9D ．10【解答】解：0a >Q ，0b >，41a b+=，∴1414()()559b a b ab a b a ab +=++=+++=…， 当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”成立． 故选：C ．4．（5分）函数()(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间( ) A ．(1,0)-和(0,1)内 B ．(,1)-∞-和(1,0)-内 C ．(0,1)和(1,)+∞内D ．(,1)-∞-和(1,)+∞内【解答】解：由(1)2f -=，(0)1f =-，f （1）2=，故(1)(0)0f f -<，(0)f f （1）0<， 且二次函数()f x 在定义域上是一条连续不断的曲线，结合零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在(1,0)-和(0,1)内， 故选：A ．5．（5分）已知32a ln =，22log 32b =，0.24()5c -=，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【解答】解：3122a ln ln e =<=，22log 3223b ==，0.24()15c -=>，则a b c <<． 故选：A ．6．（5分）函数422y x x =-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 当1x =时，1210y =-=-<．排除A ， 故选：B ．7．（5分）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50-B ．0C ．2D ．50【解答】解：()f x Q 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， (1)(1)(1)f x f x f x ∴-=+=--，(0)0f =，则(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数， f Q （1）2=，f ∴（2）(0)0f ==，f （3）(12)(1)f f f =-=-=-（1）2=-， f （4）(0)0f ==，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）20200=+-+=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)12[f f +⋯+=（1）f +（2）f +（3）f +（4）](49)(50)f f ++ f =（1）f +（2）202=+=，故选：C ．8．（5分）若函数222,1()(1),1xx f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，在(-∞，]a 上的最大值为4，则a 的取值范围为( ) A ．[0，17]B ．(-∞，17]C ．[1，17]D ．[1，)+∞【解答】解：函数222,1()(1),1x x f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，(x ∈-∞，1]时，函数是增函数； (1,)x ∈+∞函数是增函数，因为f （1）4=，(17)4f =，所以a 的取值范围为：[1，17]． 故选：C ． 二、多项选择题9．（5分）已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则( )A ．tan 0θ<B ．24tan 9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin 20θ>【解答】解：Q 2sin 3θ=-，且cos 0θ>，∴cos θ==∴sin tan 0cos θθθ==<，24459tan θ=>，224599sin cos θθ=<=，sin22sin cos 0θθθ=<， 故选：AB ．10．（5分）已知01a b <<<，则下列不等式成立的是( ) A ．11()()22a b >B ．lna lnb >C ．11a b> D ．11lna lnb>【解答】解：A ．01a b <<<Q ，函数1()2x y =在(0,1)上单调递减，∴11()()22a b >，故A 正确；B ．由01a b <<<，取14a =，12b =可知，B 不正确； C ．01a b <<<Q ，∴，故C 正确；D ．01a b <<<Q ，函数y lnx =在(0,1)上单调递增，0lna lnb ∴<<，∴11lna lnb>，故D 正确． 故选：ACD ．11．（5分）若定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条： ()i 对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …； ()ii f （1）1=；()iii 若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…． 就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A 函数”的有( ) A ．12()log (1)f x x =+B ．2()log (1)f x x =+C ．()f x x =D ．()21x f x =-【解答】解：对于A ，当[0x ∈，1]时1[1x +∈，2]，则12()(1)0f x log x =+<，故12()(1)f x log x =+不是“A 函数”；对于B ，2()log (1)f x x =+，取1212x x ==，则12()f x x f +=（1）2log (11)1=+=，1222219()()2log (1)log 2124f x f x log +=+=>=，不满足若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…，故2()log (1)f x x =+不是“A 函数”；对于C ，当[0x ∈，1]时，总有()0f x x =…，f （1）1=，121212()()()f x x x x f x f x +=+=+，故()f x x =是“A 函数”；对于D ，()21x f x =-，当[0x ∈，1]时，总有()0f x …，f （1）1=， 若10x …，20x …，121x x +„，则_1_2_1_2_1_2_1_2_1_21212()()()21[(21)(21)]2221(21)(21)0x x x x x x x x x x f x x f x f x +++--=---+-=--+=--…，故f ()x 为“A 函数”． 故选：CD ．12．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==-D ．2{(,)|log }M x y y x ==【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y y x ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y y x ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切，因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确；对于C ，{(,)|22}x M x y y ==-，其图象过点(0,1)-，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =-的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==-是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ⨯+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．三、填空题13．（5分）计算：71427183lg lg lg lg -+-= 0 ． 【解答】解：71427183lg lglg lg -+- 14499718lg lg lg lg lg =-++- 1497()4918lg ⨯⨯=⨯10lg ==．故答案为：0．14．（5分）命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 x R ∀∈，210x x -+≠ ． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．15．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点(()3,9f =则 3 ． 【解答】解：设幂函数()(f x x αα=为常数），Q 幂函数()y f x =的图象过点，∴3α=，解得12α=．∴()f x =．∴(9)3f =．故答案为3．16．（5分）已知函数()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，则实数a = 1 ，函数()f x 的单调递增区间为 ．【解答】解：因为()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，所以222()cos 3933f a a πππ=-+=，解可得，1a =，()cos312sin(3)16f x x x x π=-+=-+，令11232262k x k πππππ-+-+剟，k z ∈， 解可得，2229393k k x ππππ-++剟 故答案为：1，222[,]9393k k ππππ-++，k z ∈， 四、解答题17．（10分）已知集合2{|25120}A x x x =--…，{|31(0)}x B y y x ==+>． （1）求集合A B I ，()R A B U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟且()R A C C =I ð，求m 的取值范围． 【解答】解：集合23{|25120}{|2A x x x x x =--=-厔或4}x …， {|31(0)}{|2}x B y y x y y ==+>=>． （1）集合{|4}A B x x =I …， 3{|4}2R A x x =-<<ð，3(){|}2R A B x x ∴=>-U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟，且()R A C C =I ð， R C A ∴⊆ð，∴32224m m ⎧->-⎪⎨⎪<⎩，解得122m <<；当C =∅时，22m m ->，解得2m ∴<-； 综上，m 的取值范围是2m <-或122m <<． 18．（12分）在①函数()3f x π-为奇函数②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，()2sin()3f x x π=+ ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间．【解答】解：Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，∴22T ππω==，1ω∴=，()2sin()f x x ϕ∴=+．方案一：选条件①Q ()2sin()33f x x ππϕ-=+-为奇函数，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，（1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+．（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟，66∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ，方案二：选条件②()2sin()33f ππϕ=+∴sin()3πϕ+=， 2k ϕπ∴=，k Z ∈，或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+，（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟， 令1k =，得71366xππ剟， ∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ，方案三：选条件③Q23π是函数()f x 的一个零点， ∴22()2sin()033f ππϕ=+=， ∴23k πϕπ=-，k Z ∈， （1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+，（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟，66∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ．故答案为：()2sin()3f x x π=+．19．（12分）已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x R ππ=+-∈．（1）求()6f π的值；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的最大值．【解答】（1）()sin()sin()cos 44f x x x x x ππ=+-Q1cos 222x x =⋯（2分） sin(2)6x π=+，⋯（4分）()16f π∴=．⋯（6分）（2）由()sin()126A f A π=+=，而0A π<<可得： 62A ππ+=，即3A π=．（8分）23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ∴+=+-=+．⋯（12分） 203B π<<Q ， ∴5666B πππ<+<，1sin()126B π<+…，sin sin B C ∴+⋯（14分）20．（12分）已知函数2()21xx f x m =+-，m R ∈．（1）判断函数()f x 在(,0)-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）()f x 在(,0)-∞上单调递减， 证明：1x ∀，2(,0)x ∈-∞，且12x x <，则12211212122222()()()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x m m --=+-+=----，120x x <<Q ，∴120221x x <<<，∴21220x x ->，1210x -<，2210x -<，12()()0f x f x ∴->， 12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x xx x m m --+=----恒成立， 解得12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数．21．（12分）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，2()10100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，10000()5014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【解答】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x …时，1000010000500501450025002000()y x x x x x=--+-=-+； ∴2104002500,03012000(),30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+⎪⎩…； （2）当030x <<时，210(20)1500y x =--+，∴当20x =时，1500max y =；当30x …时，100002000()200020002001800y x x =-+-=-=„， 当且仅当10000x x=，即100x =时，18001500max y =>， ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．22．（12分）若()log (2)log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠．（1）当12a =时，若方程12()log ()f x p x =-在(2,3)上有解，求实数p 的取值范围； （2）若()1f x „在[3a +，4]a +上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）12a =时，11122233()log (1)log ()log [(1)()]22f x x x x x =-+-=--函数()f x 的定义域为3(,)2+∞．Q 12()log ()f x p x =-，∴3(1)()2x x p x --=-．即233022x x p -+-=，令2233315()()22416g x x x p x p =-+-=-+-，Q324<， ()g x ∴在(2,3)上单调递增，∴要使12()log ()f x p x =-有解，则(2)0(3)0g g <⎧⎨>⎩，∴562p <<． （2）22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--．由题意知33a a +>，∴32a <， ∴532a a +>， ∴函数225()()24a a g x x =--在区间[3a +，4]a +上单调递增．①若01a <<，则()f x 在[3a +，4]a +上单调递减，()f x ∴在[3a +，4]a +上的最大值为2(3)log (299)a f a a a +=-+． ()1f x Q „在[3a +，4]a +上恒成立，∴2log (299)1a a a -+„，221090a a ∴-+…，解得a a „．01a ∴<<．②若312a <<，则()f x 在[3a +，4]a +上单调递增，()f x ∴在[3a +，4]a +上的最大值为2(4)log (21216)a f a a a +=-+． ()1f x Q „在[3a +，4]a +上恒成立，∴2log (21216)1a a a -+„，2213160a a ∴-+„，解得131344a-，Q32>， ∴此时，不存在a 满足题意，综上，a 的取值范围为(0,1)．。
山东省泰安市高一上学期期末数学试卷
山东省泰安市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列各式中，值为的是（）A . sin 67°30′cos 67°30′B . cos2 ﹣sin2C .D .2. （2分）(2018·延安模拟) 已知，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）函数y=3cos（x﹣）的最小正周期是（）A .B .C . 2πD . 5π4. （2分） (2016高一上·陆川期中) 二次方程x2+（a2+1）x+a﹣2=0，有一个根比1大，另一个根比﹣1小，则a的取值范围是（）A . ﹣3＜a＜1B . ﹣2＜a＜0C . ﹣1＜a＜0D . 0＜a＜25. （2分）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如下表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（）x（年）468…y=ax2+bx+c7117…A . 15B . 10C . 9D . 66. （2分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，需要将函数y=sin（2x+）的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位7. （2分）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高一上·衡阳期末) 已知函数f（log4x）=x，则等于（）A .B .C . 1D . 29. （2分）α是三角形的内角，则函数y=﹣2sin2α﹣3cosα+7的最值情况是（）A . 既没有最大值，又没有最小值B . 既有最大值10，又有最小值C . 只有最大值10D . 只有最小值10. （2分）已知函数和函数在区间上的图象交于，，三点，则△ 的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将f(x)的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位12. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）的定义域为R，且f（2）=2，又函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a、b满足f（2a+b）＜2，则的取值范围是（）A . （，2）B . （﹣∞，）∪（2，+∞）C . （2，+∞）D . （﹣∞，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则 =________．14. （1分） (2019高一上·镇原期中) 已知且，则________.15. （1分） (2016高一上·扬州期末) 将正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y=________．16. （1分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为________三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）(2017·东城模拟) 已知函数f（x）= sin2x+a•cos2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[ ， ]上单调递减，求f（x）的最大值．18. （5分）直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=logax的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．19. （5分） (2015高一下·自贡开学考) 已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．20. （5分） (2018高一下·威远期中) 已知(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的值21. （10分） (2017高三下·武邑期中) 已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．22. （5分）(2017·延边模拟) 已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（ A）= ．求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
山东泰安市数学高一上期末测试
一、选择题1．(0分)[ID ：12114]已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(0分)[ID ：12125]函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )A ．B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：12106]若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)6．(0分)[ID ：12101]若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．(0分)[ID ：12080]函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞8．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20229．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -10．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃11．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1412．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 13．(0分)[ID ：12063]将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．514．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1215．(0分)[ID ：12039]已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12222]已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．17．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________． 18．(0分)[ID ：12210]已知log log log 22a a ax yx y +-=，则x y的值为_________________． 19．(0分)[ID ：12209]对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.20．(0分)[ID ：12198]已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.21．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.22．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．23．(0分)[ID ：12167]若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________.24．(0分)[ID ：12147]若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.25．(0分)[ID ：12133]已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12321]已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.27．(0分)[ID ：12274]随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？28．(0分)[ID ：12267]已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.29．(0分)[ID ：12238]已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.30．(0分)[ID ：12247]已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()10 2x af x--≥对(],0x∈-∞恒成立，求实数a的取值范围.（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．D10．C11．C12．A13．D14．B15．B二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题18．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题19．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可20．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数21．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值22．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即23．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式24．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a）即2x2+（225．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点三、解答题26．27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.3．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．4．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围． 【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数， 则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．7．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞.内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.9．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果.【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.10．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 11．C解析：C【解析】【分析】 根据已知条件得出415k e -=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt P P e -=⋅，所以()400180%k P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%kt P P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=. 故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 12．A解析：A【解析】【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解．【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-， ∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0 112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.13．D解析：D【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae a a ae +==，由55122n n ae a e =⇒=，代入(5)1142m n mnae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
山东省泰安市高一上学期数学期末联考试卷
山东省泰安市高一上学期数学期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·蚌埠月考) 设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（）A . 为锐角}B . 为小于的角}C . 为第一象限角}D .2. （2分） (2018高一上·舒兰月考) 下列函数中与函数相等的函数是（）A .B .C .D .3. （2分）函数的值域是（）A . [0，+∞）B . （0，+∞）C . [﹣1，+∞）D . （﹣1，+∞）4. （2分） (2020高三上·新疆月考) 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·汪清月考) 设，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·日照月考) 已知，则等于（）A . 0B .C .D . 28. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知则下列命题成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A . （﹣3， 3）B . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C . （﹣2， 2）D . [﹣3， 3]10. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）A . 3B .C .D .11. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面MB . 若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直C . 若直线a，b⊂平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥MD . 若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b⊥M12. （2分）(2017·丰台模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2020高一上·义乌期末) ________；若，则 ________.14. （2分） (2020高二上·温州期末) 经过两点A(2,3)，B(1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．15. （1分）若指数函数y=ax在[﹣1，1]上的最大值和最小值的差为1，则实数a= ________．16. （1分）(2020·广西模拟) 在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD= ，以BD为折痕，将四边形折成一个的二面角，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ， D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 在极坐标系中,曲线极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为参数（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程;（2）已知点是曲线上一点,求点到直线的最小距离.18. （10分） (2020高二上·嘉兴期末) 如图所示, 平面 , 为正方形, ,､､分别为､､的中点.（1）求证:直线平面 ;（2）求直线与直线所成角余弦值的大小.19. （5分） (2017高二下·南昌期末) 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且同时满足下列条件：①f（x）是奇函数；②f（x）在定义域上单调递减；③f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．求a的取值范围．20. （10分） (2020高二下·顺德期中) 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M、N是AB上被切去的小正方形的两个顶点，设 .（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.21. （10分） (2019高一下·扬州期末) 如图，已知圆与轴的左右交点分别为，与轴正半轴的交点为 .（1）若直线过点并且与圆相切，求直线的方程；（2）若点是圆上第一象限内的点，直线分别与轴交于点，点是线段的中点，直线，求直线的斜率.22. （15分）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得最小值m﹣1（m≠0）．设f（x）= ．（1）求二次函数y=g（x）的解析式（假设m为已知常数）；（2）若曲线y=f（x）上的点P[到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（3） k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、。
2019-2020学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则(U A B =I ð ) A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}2．（5分）设:2p x >，2:2q x >，则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．9D ．104．（5分）函数()(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间( ) A ．(1,0)-和(0,1)内 B ．(,1)-∞-和(1,0)-内 C ．(0,1)和(1,)+∞内D ．(,1)-∞-和(1,)+∞内5．（5分）已知32a ln =，22log 32b =，0.24()5c -=，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．（5分）函数422y x x =-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50-B ．0C ．2D ．508．（5分）若函数222,1()(1),1x x f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，在(-∞，]a 上的最大值为4，则a 的取值范围为( ) A ．[0，17] B ．(-∞，17] C ．[1，17] D ．[1，)+∞二、多项选择题9．（5分）已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则( )A ．tan 0θ<B ．24tan 9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin 20θ>10．（5分）已知01a b <<<，则下列不等式成立的是( ) A ．11()()22a b >B ．lna lnb >C ．11a b> D ．11lna lnb>11．（5分）若定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条： ()i 对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …； ()ii f （1）1=；()iii 若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…． 就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A 函数”的有( ) A ．12()log (1)f x x =+B ．2()log (1)f x x =+C ．()f x x =D ．()21x f x =-12．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==-D ．2{(,)|log }M x y y x ==三、填空题13．（5分）计算：71427183lg lglg lg -+-= ．14．（5分）命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．15．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则 ．16．（5分）已知函数()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，则实数a = ，函数()f x 的单调递增区间为 ． 四、解答题17．（10分）已知集合2{|25120}A x x x =--…，{|31(0)}x B y y x ==+>． （1）求集合A B I ，()R A B U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟且()R A C C =I ð，求m 的取值范围． 18．（12分）在①函数()3f x π-为奇函数②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间．19．（12分）已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x R ππ=+-∈．（1）求()6f π的值；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的最大值．20．（12分）已知函数2()21xxf x m =+-，m R ∈． （1）判断函数()f x 在(,0)-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，2()10100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，10000()5014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 22．（12分）若()log (2)log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠． （1）当12a =时，若方程12()log ()f x p x =-在(2,3)上有解，求实数p 的取值范围； （2）若()1f x …在[3a +，4]a +上恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则(U A B =I ð ) A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5，6，7}， {2A =，3，6，7}，{2B =，3，4，5}，则{1U B =ð，6，7}， 所以{6U A B =I ð，7}． 故选：C ．2．（5分）设:p x >，2:2q x >，则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2:2q x >，解得xx <若:p x >2:2q x >成立，反之，若2:2q x >成立，则:p x > 即p 是q 成立的充分不必要条件， 故选：B ．3．（5分）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．9D ．10【解答】解：0a >Q ，0b >，41a b+=，∴1414()()559b a b ab a b a ab +=++=+++=…， 当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”成立． 故选：C ．4．（5分）函数()(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间( ) A ．(1,0)-和(0,1)内 B ．(,1)-∞-和(1,0)-内 C ．(0,1)和(1,)+∞内D ．(,1)-∞-和(1,)+∞内【解答】解：由(1)2f -=，(0)1f =-，f （1）2=，故(1)(0)0f f -<，(0)f f （1）0<， 且二次函数()f x 在定义域上是一条连续不断的曲线，结合零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在(1,0)-和(0,1)内， 故选：A ．5．（5分）已知32a ln =，22log 32b =，0.24()5c -=，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【解答】解：3122a ln ln e =<=，22log 3223b ==，0.24()15c -=>，则a b c <<． 故选：A ．6．（5分）函数422y x x =-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 当1x =时，1210y =-=-<．排除A ， 故选：B ．7．（5分）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50-B ．0C ．2D ．50【解答】解：()f x Q 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， (1)(1)(1)f x f x f x ∴-=+=--，(0)0f =，则(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数， f Q （1）2=，f ∴（2）(0)0f ==，f （3）(12)(1)f f f =-=-=-（1）2=-， f （4）(0)0f ==，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）20200=+-+=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)12[f f +⋯+=（1）f +（2）f +（3）f +（4）](49)(50)f f ++ f =（1）f +（2）202=+=，故选：C ．8．（5分）若函数222,1()(1),1xx f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，在(-∞，]a 上的最大值为4，则a 的取值范围为( ) A ．[0，17]B ．(-∞，17]C ．[1，17]D ．[1，)+∞【解答】解：函数222,1()(1),1x x f x log x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩„，(x ∈-∞，1]时，函数是增函数； (1,)x ∈+∞函数是增函数，因为f （1）4=，(17)4f =，所以a 的取值范围为：[1，17]． 故选：C ． 二、多项选择题9．（5分）已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则( )A ．tan 0θ<B ．24tan 9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin 20θ>【解答】解：Q 2sin 3θ=-，且cos 0θ>，∴cos θ==∴sin tan 0cos θθθ==<，24459tan θ=>，224599sin cos θθ=<=，sin22sin cos 0θθθ=<， 故选：AB ．10．（5分）已知01a b <<<，则下列不等式成立的是( ) A ．11()()22a b >B ．lna lnb >C ．11a b> D ．11lna lnb>【解答】解：A ．01a b <<<Q ，函数1()2x y =在(0,1)上单调递减，∴11()()22a b >，故A 正确；B ．由01a b <<<，取14a =，12b =可知，B 不正确； C ．01a b <<<Q ，∴，故C 正确；D ．01a b <<<Q ，函数y lnx =在(0,1)上单调递增，0lna lnb ∴<<，∴11lna lnb>，故D 正确． 故选：ACD ．11．（5分）若定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条： ()i 对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …； ()ii f （1）1=；()iii 若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…． 就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A 函数”的有( ) A ．12()log (1)f x x =+B ．2()log (1)f x x =+C ．()f x x =D ．()21x f x =-【解答】解：对于A ，当[0x ∈，1]时1[1x +∈，2]，则12()(1)0f x log x =+<，故12()(1)f x log x =+不是“A 函数”；对于B ，2()log (1)f x x =+，取1212x x ==，则12()f x x f +=（1）2log (11)1=+=，1222219()()2log (1)log 2124f x f x log +=+=>=，不满足若10x …，20x …，121x x +„，则有1212()()()f x x f x f x ++…，故2()log (1)f x x =+不是“A 函数”；对于C ，当[0x ∈，1]时，总有()0f x x =…，f （1）1=，121212()()()f x x x x f x f x +=+=+，故()f x x =是“A 函数”；对于D ，()21x f x =-，当[0x ∈，1]时，总有()0f x …，f （1）1=， 若10x …，20x …，121x x +„，则_1_2_1_2_1_2_1_2_1_21212()()()21[(21)(21)]2221(21)(21)0x x x x x x x x x x f x x f x f x +++--=---+-=--+=--…，故f ()x 为“A 函数”． 故选：CD ．12．（5分）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==-D ．2{(,)|log }M x y y x ==【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y y x ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y y x ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切，因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确；对于C ，{(,)|22}x M x y y ==-，其图象过点(0,1)-，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =-的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==-是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ⨯+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．三、填空题13．（5分）计算：71427183lg lg lg lg -+-= 0 ． 【解答】解：71427183lg lglg lg -+- 14499718lg lg lg lg lg =-++- 1497()4918lg ⨯⨯=⨯10lg ==．故答案为：0．14．（5分）命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 x R ∀∈，210x x -+≠ ． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．15．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点(()3,9f =则 3 ． 【解答】解：设幂函数()(f x x αα=为常数），Q 幂函数()y f x =的图象过点，∴3α=，解得12α=．∴()f x =．∴(9)3f =．故答案为3．16．（5分）已知函数()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，则实数a = 1 ，函数()f x 的单调递增区间为 ．【解答】解：因为()3cos3f x x a x a =-+，且2()39f π=，所以222()cos 3933f a a πππ=-+=，解可得，1a =，()cos312sin(3)16f x x x x π=-+=-+，令11232262k x k πππππ-+-+剟，k z ∈， 解可得，2229393k k x ππππ-++剟 故答案为：1，222[,]9393k k ππππ-++，k z ∈， 四、解答题17．（10分）已知集合2{|25120}A x x x =--…，{|31(0)}x B y y x ==+>． （1）求集合A B I ，()R A B U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟且()R A C C =I ð，求m 的取值范围． 【解答】解：集合23{|25120}{|2A x x x x x =--=-厔或4}x …， {|31(0)}{|2}x B y y x y y ==+>=>． （1）集合{|4}A B x x =I …， 3{|4}2R A x x =-<<ð，3(){|}2R A B x x ∴=>-U ð；（2）若集合{|22}C x m x m =-剟，且()R A C C =I ð， R C A ∴⊆ð，∴32224m m ⎧->-⎪⎨⎪<⎩，解得122m <<；当C =∅时，22m m ->，解得2m ∴<-； 综上，m 的取值范围是2m <-或122m <<． 18．（12分）在①函数()3f x π-为奇函数②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，()2sin()3f x x π=+ ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间．【解答】解：Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，∴22T ππω==，1ω∴=，()2sin()f x x ϕ∴=+．方案一：选条件①Q ()2sin()33f x x ππϕ-=+-为奇函数，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，（1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+．（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟，66∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ，方案二：选条件②()2sin()33f ππϕ=+∴sin()3πϕ+=， 2k ϕπ∴=，k Z ∈，或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+，（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟， 令1k =，得71366xππ剟， ∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ，方案三：选条件③Q23π是函数()f x 的一个零点， ∴22()2sin()033f ππϕ=+=， ∴23k πϕπ=-，k Z ∈， （1）Q 02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin()3f x x π=+，（2）由22232k x k πππππ-+++剟，k Z ∈，得52266k x k ππππ-++剟，k Z ∈，∴令0k =，得566xππ-剟，66∴函数()f x 在[0，2]π上的单调递增区间为[0,]6π，7[,2]6ππ．故答案为：()2sin()3f x x π=+．19．（12分）已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x R ππ=+-∈．（1）求()6f π的值；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的最大值．【解答】（1）()sin()sin()cos 44f x x x x x ππ=+-Q1cos 222x x =⋯（2分） sin(2)6x π=+，⋯（4分）()16f π∴=．⋯（6分）（2）由()sin()126A f A π=+=，而0A π<<可得： 62A ππ+=，即3A π=．（8分）23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ∴+=+-=+．⋯（12分） 203B π<<Q ， ∴5666B πππ<+<，1sin()126B π<+…，sin sin B C ∴+⋯（14分）20．（12分）已知函数2()21xx f x m =+-，m R ∈．（1）判断函数()f x 在(,0)-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）()f x 在(,0)-∞上单调递减， 证明：1x ∀，2(,0)x ∈-∞，且12x x <，则12211212122222()()()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x m m --=+-+=----，120x x <<Q ，∴120221x x <<<，∴21220x x ->，1210x -<，2210x -<，12()()0f x f x ∴->， 12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x xx x m m --+=----恒成立， 解得12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数．21．（12分）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，2()10100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，10000()5014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【解答】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x …时，1000010000500501450025002000()y x x x x x=--+-=-+； ∴2104002500,03012000(),30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+⎪⎩…； （2）当030x <<时，210(20)1500y x =--+，∴当20x =时，1500max y =；当30x …时，100002000()200020002001800y x x =-+-=-=„， 当且仅当10000x x=，即100x =时，18001500max y =>， ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．22．（12分）若()log (2)log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠．（1）当12a =时，若方程12()log ()f x p x =-在(2,3)上有解，求实数p 的取值范围； （2）若()1f x „在[3a +，4]a +上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）12a =时，11122233()log (1)log ()log [(1)()]22f x x x x x =-+-=--函数()f x 的定义域为3(,)2+∞．Q 12()log ()f x p x =-，∴3(1)()2x x p x --=-．即233022x x p -+-=，令2233315()()22416g x x x p x p =-+-=-+-，Q324<， ()g x ∴在(2,3)上单调递增，∴要使12()log ()f x p x =-有解，则(2)0(3)0g g <⎧⎨>⎩，∴562p <<． （2）22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--．由题意知33a a +>，∴32a <， ∴532a a +>， ∴函数225()()24a a g x x =--在区间[3a +，4]a +上单调递增．①若01a <<，则()f x 在[3a +，4]a +上单调递减，()f x ∴在[3a +，4]a +上的最大值为2(3)log (299)a f a a a +=-+． ()1f x Q „在[3a +，4]a +上恒成立，∴2log (299)1a a a -+„，221090a a ∴-+…，解得a a „．01a ∴<<．②若312a <<，则()f x 在[3a +，4]a +上单调递增，()f x ∴在[3a +，4]a +上的最大值为2(4)log (21216)a f a a a +=-+． ()1f x Q „在[3a +，4]a +上恒成立，∴2log (21216)1a a a -+„，2213160a a ∴-+„，解得131344a-，Q32>， ∴此时，不存在a 满足题意，综上，a 的取值范围为(0,1)．。
精品解析：山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
(2)在△ABC中,若f ＝1,求sinB＋sinC的最大值．
【正确答案】（1）1（2）
【详细解析】
【详细详细解析】（1）∵ .
∴ .
（2）由 ,而 可得: ,即 .
∴
∵ ,∴ ,∴ 最大值为 .
点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
高一年级考试数学试题
一、单项选择题
1.已知集合 ,则
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
【详细分析】
先求 ,再求 ．
【详细详细解析】由已知得 ,所以 ,故选C．
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出正确答案．
2.设 : , : ,则 是 的（）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
8.若函数 在 上的最大值为4,则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
【详细分析】
要求函数 的最大值,可先分别探究函数 与
的单调性,从而得到 的最大值．
【详细详细解析】易知 在 上单调递增, 上单调递增.
因为 , ,所以 的取值范围为 .
【点睛】本题考查分段函数的单调性,考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
7.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
详细分析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果.
详细详细解析:因为 是定义域为 的奇函数,且 ,
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山东省泰安市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）有如下结论：①m∈（P∪Q）⇒m∈P；②m∈（P∩Q）⇒m∈（P∪Q）；③P⊆Q⇒P∪Q＝Q；④P∪Q ＝P⇒P∩Q＝Q．其中正确的个数是（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
2. （2分） (2017高一下·长春期末) 直线：，：，若，则的值为（）
A .
B .
C . 或
D . 或
3. （2分）已知幂函数的图象经过点（4，2），则（）
A .
B . 4
C .
D . 8
4. （2分）空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中（）
A . 必有三点共线
B . 必有三点不共线
C . 至少有三点共线
D . 不可能有三点共线
5. （2分） (2016高二下·哈尔滨期末) 已知函数，其中a∈R，若对任意的非零的实数x1 ，存在唯一的非零的实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的最小值为（）
A .
B . 5
C . 6
D . 8
6. （2分）以下五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
7. （2分） (2019高一上·银川期中) 下列结论正确的是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一上·重庆期末) 若区间[x1 ， x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=
（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）
A .
B .
C .
D . 3
10. （2分）对于定义域为D的函数y=f（x）和常数c，若对任意正实数ξ，∃x∈D使得0＜|f（x）﹣c|＜ξ恒成立，则称函数y=f（x）为“敛c函数”．现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）
②
③f（x）=log2x
④．其中为“敛1函数”的有（）
A . ①②
B . ③④
C . ②③④
D . ①②③
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有________．（填序号）
12. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则实数a的取值范围为________．
13. （1分） (2016高二上·六合期中) 直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为________．
14. （1分） (2016高一上·盐城期中) 函数f（x）=﹣x2+2x﹣3，x∈[0，2]的值域是________
三、解答题 (共5题；共46分)
15. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示图形为圆．
（1）若已知曲线关于直线x+y﹣4=0的对称圆与直线6x+8y﹣59=0相切，求实数k的值；
（2）若k=15，求过该曲线与直线x﹣2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．
16. （15分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，BD是对角线，过A点作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△A DE向上折起，使点D到达点P的位置（图2），且PB=2 ．
（1）求证：PO⊥平面ABCE；
（2）过点C作一平面与平面PAE平行，作出这个平面，写出作图过程；
（3）在（2）的结论下，求出四棱锥P﹣ABCE介于这两平行平面间部分的体积．
17. （10分） (2017高三上·涞水开学考) 已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．
（1）求出函数y=f（x）的解析式；
（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）
18. （10分）已知：三棱锥P﹣ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
19. （1分） (2018高一上·辽宁期中) 若定义域为的函数同时满足以下三条：
（ⅰ）对任意的总有（ⅱ）
（ⅲ）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有________
① ；② ③ ④
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共5题；共46分) 15-1、
15-2、
16-1、
16-2、
16-3、
17-1、17-2、
18-1、
18-2、19-1、。