二元关系的基本运算与性质复习题答案

第4章 二元关系的基本运算与性质一、选择题（每题3分）1、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是自反的，1R -为其逆，则必有（ A ）A 、A I R ⊆B 、1A R RI -⊆ C 、A R I =∅ D 、1A R I -=∅2、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反自反的，1R -为其逆，则必有（ C ） A 、A I R ⊆ B 、1A I R -⊆ C 、A R I =∅ D 、1A R R I -= 3、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是对称的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆ C 、1R R -= D 、1A R R I -=4、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反对称的，1R -为其逆，则必有（ D ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆ C 、1A I R R -⊆ D 、1A R RI -⊆5、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是传递的，1R -为其逆，则必有（ B ）A 、2R R ⊆ B 、2R R ⊆ C 、1R R -= D 、1A R RI -=6、设R 是集合A 上的自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ B ） A 、全为0 B 、全为1 C 、不全为0 D 、不全为17、设R 是集合A 上的反自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ A ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为1 8、设R 是集合A 上的反对称关系，其关系矩阵中的任一元素为ij a ，当i j ≠时，总有（ D ） A 、ij ji a a = B 、1ij ji a a += C 、0ij ji a a = D 、若1,ij a =则0ji a = 9、非空集合X 上的空关系∅不具备的性质是（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、反对称性D 、传递性11、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ）A 、R 对称，但不反对称B 、R 反对称，但不对称C 、R 对称，又反对称D 、R 不对称，也不反对称12、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ）A 、R 不自反，也不反自反B 、R 不对称，也不反对称C 、R 传递D 、R 不传递13、{1,2,3,4}A =上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><>只不具备（ C ）A 、 反自反性B 、 反对称性C 、对称性D 、传递性14、设12,R R 是集合A 上的关系，1112,R R --分别为12,R R 的逆，则下列命题错误的是（ D ） A 、1111212()R R R R ---= B 、1111212()R R R R ---= C 、1111212()R R R R ----=- D 、1111212()R R R R ---=15、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ D ） A 、若S R ,自反，则R S 自反 B 、若S R ,对称，则R S 对称 C 、若S R ,反自反，则R S 反自反 D 、若S R ,反对称，则R S 反对称 16、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ A ） A 、若S R ,自反，则R S -自反 B 、若S R ,对称，则R S -对称 C 、若S R ,反自反，则R S -反自反 D 、若S R ,反对称，则R S -反对称 17、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言正确的是（ A ） A 、若S R ,自反，则S R 自反 B 、若S R ,对称，则S R 对称 C 、若S R ,反自反，则S R 反自反 D 、若S R ,反对称，则S R 反对称 18、设S R ,是集合A 上的自反关系，则下列断言错误的是（ C ） A 、R S 自反 B 、R S 自反 C 、R S -自反 D 、S R 自反 19、设S R ,是集合A 上的反自反关系，则下列断言错误的是（ D ） A 、R S 反自反B 、R S 反自反 C 、R S -反自反 D 、S R 反自反 20、设S R ,是集合A 上的对称关系，则下列断言错误的是（ C ） A 、R S 对称 B 、R S 对称 C 、R S -对称 D 、S R 对称 21、设S R ,是集合A 上的传递关系，则下列断言正确的是（ A ） A 、R S 对称 B 、R S 传递 C 、R S -传递 D 、S R 传递二、填充题（每题4分） 1、设{}2,3,4A =，则其上的小于关系A <={}2,3,3,4<><>，整除关系A D ={}2,4<>．2、设关系{}1,2,2,4,3,3R =<><><>，{}1,3,2,4,4,2S =<><><>，则R S = {}1,4,2,2<><>，1()R S -= {}4,2<>，1()R S --={}2,1,3,3<><>．3、设集合,A B 分别含有,m n 个不同元素，则A 到B 的二元关系的个数为2mn．提示：A 到B 的二元关系的个数即为()A B ρ⨯的基数． 4、设集合A 含有n 个不同元素，则A 上二元关系的个数为22n ． 设{}3,4,5A =上的关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=， 则R ={}3,3,3,4,3,5,4,5,5,3,5,4,5,5<><><><><><><>．5、设{}1,2,3,4A =上的二元关系{}2,4,3,3,4,2R =<><><>，其关系矩阵中的任一元素为ij m ，则24m =1，34m =0．6、{},A a b =上全域关系的关系矩阵为1111⎡⎤⎢⎥⎣⎦．7、设{},A a b =到{}1,2,3B =的关系{},1,,2,,3R a b b =<><><>，则其关系矩阵为100011⎡⎤⎢⎥⎣⎦．8、设{}1,2,3,4A =上R 的关系图如右图， 则2R ={}1,1,1,3,2,2,2,4<><><><>．9、设{},,A a b c =上二元关系R 的关系矩阵是101110111R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则=R R M 111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．三、问答题（每题6分）1、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是自反又不是反自反的关系吗？为什么？答：存在；如{}1,1,1,2R =<><>．2、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是对称又不是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,2,1,3,2,1R =<><><>．3、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既是对称又是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,2,2,3,3R =<><><>．4、若A 上的二元关系R 是自反的，问1R -是否也是自反的？为什么？答：是的；,a A R ∀∈ 自反，,,a a R <>∈∴则 1,a a R -<>∈，即1R -也是自反的． 5、若A 上的二元关系R 是反自反的，问1R -是否也是反自反的？为什么？ 答：是的；因R 反自反，则,A R I =∅ 有11111(),A A A R I R I R I -----===∅=∅ 即1R -也是反自反的．6、若A 上的二元关系R 是对称的，问1R -是否也是对称的？为什么？答：是的；因R 对称，则111()RR R ---==，即1R -也是对称的．7、若A 上的二元关系R 是反对称的，问1R -是否也是反对称的？为什么？ 答：是的；因R 反对称，则1,A R RI -⊆ 有111(),A R R I ---⊆ 即1R -也是反对称的．8、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反． 9、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反． 10、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问21R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；21,,R R A a ∈∀自反，21,,,R a a R a a >∈<>∈<∴， 从而 21,R R a a >∈<，即21R R 也是自反的．11、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R -是否也是自反的？为什么？答：不一定；如{},A a b =，1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,,,}R a a b b =<><>， 则21,R R 是自反的，但12{,}R R a b -=<>不是自反的．12、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：是的；若1R 反自反，则1,A R I =∅于是1212()()A A R R I R I R ==∅ ，故12R R 反自反．13、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；若1R 和2R 反自反，则12,A A R I R I =∅=∅ ， 于是1212()()()A A A R R I R I R I ==∅ ，故12R R 反自反．14、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问21R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，12{,,,}R R a b b a ==<><>， 则21,R R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b =<><> 是自反的．15、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R -是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,}R a b =<>， 则2R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b -=<><>是自反的．（若1R 是反自反的，结论对）16、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？ 答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．17、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：是的；12,R R 反对称，111122,A A R R I R R I --⊆⊆∴ ，则11111121212121122()()()()()()A R R R R R R R R R R R R I -----==⊆ ，故12R R 反对称．18、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？ 答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．19、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>， 则1R 和2R 是反对称的，但12{,,,}R R a b b a =<><> 是对称的．20、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R -是否也是对称的？为什么？ 答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ----=-=-，故12R R -对称．21、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反对称的，问12R R -是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,}R a a a b =<><>，2{,}R a b =<>， 则2R 是反对称的，但12{,}R R a a -=<>是对称的． 注：当1R 是反对称的，则必有12R R -也是反对称的．22、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问21R R 是否也是对称的？为什么？ 答：不一定；如{},,A a b c =，},,,{1><><=a b b a R ，},,,{2><><=b c c b R ， 则21,R R 是对称的，但},{21><=c a R R 不是对称的．23、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问21R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>， 则1R 和2R 是反对称的，但12{,}R R a a =<> 是对称的．四、计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =上的关系为{,|02}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧≤-<， 用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}R =<><><><><>，其关系矩阵为110011001R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2、设{1,2,3,4}A =到{B =的关系为2{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧=， 用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,,,4,2}R =<><><>，其关系矩阵为100000001010R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．3、设({0,1})A ρ=到({0,1,2}{0})B ρ=-的二元关系为{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧-=∅，写出关系矩阵，画出关系图． 解：{,{0},{1},{0,1}}A =∅，{{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}B =，其关系矩阵为111111001101101011001001R M ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，关系图如右图． 4、集合}4,3,2,1{=A 上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><=R ，写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110100100101R M ，R 的关系图为因R M 对角元皆为1，故R 是自反的，不是反自反的；因R M 为对称矩阵，故R 是对称的； 因1,3,3,1R <><>∈，故R 不是反对称的；又因1,3,3,4R <><>∈，但1,4R <>∉，故R 无传递性． 5、设R 是集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系，{1,1,1,2,1,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3}R =<><><><><><><><><>， 写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，R 的关系图为 因R M 对角元不全为1，也不全为0，故R 不是自反的，也不是反自反的；因R M 为非对称矩阵，故R 是反对称的，不是对称的；因2R R =，故R 是传递的． 6、在实数平面上，画出关系}0R 所示区域，并判定关系的五种性质．解：关系图为对任意实数x ，直线y x =上的点在区域内，即,x x R <>∈ ，故R 自反； 因R 自反且结点集非空，故R 不是反自反；若R y x >∈<,， 有 2x y -< ，则2y x -<， 即 R x y >∈<,，故R 对称； 因1,0,0,1R R <>∈<>∈，故R 不是反对称；因1,0,0,1R R <>∈<->∈ ，而 R >∉-<1,1，故R 不是传递的．五、证明题（每题10分）1、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T = ． 证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈ ((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∨<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨<>∈∧<>∈ (,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∨<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立． 2、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T ⊆ ． 证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈ ((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈ (,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇒∃<>∈∧<>∈∧∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∧<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．3、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=，证明：1212()()()S A A S A S A = ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈ 12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∨∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨<>∈∧∈ 12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨∃<>∈∧∈ 1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∨∈⇔∈ ，故原命题成立．4、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A ⊆ ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∧∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∧<>∈∧∈ 12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇒∃<>∈∧∈∧∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∧∈⇔∈ ，故原命题成立．5、设R 是集合A 上的二元关系，若R 是自反的和传递的，则2R R =．证明：因R 是传递的，则2R R ⊆，因R 是自反的，则对y A ∀∈,有,y y R <>∈， 于是2,,,,x y R x y R y y R x y R <>∈⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈，则2R R ⊆，故2R R =． 6、设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的． 证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,, 由R 的传递性知， R x x >∈<, ，此与R 反自反矛盾，故R 反对称．7、设R 是集合A 上的一个自反关系，求证：R 是对称的和传递的当且仅当,a b <>和,a c <>在R 中，则有,b c <>在R 中．证明：⑴R 是对称的和传递的⇒若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈．若,a b R <>∈，由R 对称性有,b a R <>∈，而,a c R <>∈，由R 传递性得,b c R <>∈； ⑵若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈⇒ R 是对称的和传递的． 若,a b R <>∈，因R 自反，则,a a R <>∈，由条件知,b a R <>∈，即R 对称； 若,a b R <>∈，,b c R <>∈，由R 对称性知,b a R <>∈， 再由条件知,a c R <>∈， 即R 具有传递性．。