第五章带电粒子的动力学方程

∫
fα (υα ) f β (υβ )υαβ σ αβ (υαβ ,θ )d Ωd 3υα d 3υ β
（5-19）
同时，碰撞也可能使 α 类粒子从其它体积元流入所讨论体积元 d 3υ α 。其中，上述碰撞的逆
′ → υα ′ + dυ α ′ ）和 β 碰撞就可能导致这样的结果。类似可以写出单位时间 α 类粒子（ υα
时间， α 类粒子（ υα → υα + dυα ）和 β 类粒子（ υ β → υ β + dυ β ）发生碰撞，并散射 到 d Ω 立体角内的碰撞数
′ dQ − (υα , υβ υ′ α , υβ ) = dnα dnβ υαβ σ αβ (υαβ ,θ ) d Ω = nα nβ fα (υα ) f β (υ β )υαβ σ αβ (υαβ ,θ )d Ωd 3υα d 3υ β
f υ (υ, r , t ) = ∫
(θ ) ϕ
∫
f (υ, r , t )υ 2 sin θdθdϕ
（5-7）
在 f ( υ, r , t ) 各向同性的情况下，即当它只依赖于速度值而不依赖于角度 θ , ϕ 时，有
57
f υ (υ, r, t ) = 4πυ 2 f ( υ, r , t )
（5-8）
在（ 5-7 ）式中，用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即
fυ dυ = f K ( K , r, t )dK ，这里 K = mυ 2 / 2 ，由于 dK = mυdυ ，则
f K = fυ mυ = fυ
2mK
（5-9）
已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。
δ (nα fα ) ( p) ( nα fα ) = ∑∑ Sαβ δt p β
式中对所有粒子种类 β 和所有碰撞类型 p 求和。
（5-17）
把所得到的与粒子运动、在电场和磁场中速度的变化及碰撞有关的分布函数的变化
[∂(nf ) ∂t ]r ， [∂ (nf ) ∂t ]E , B ，及 [δ (nf ) δt ] 的表达式相加起来就得到分布函数的方程
dN r = d 3 r ∫ F ( υ, r , t ) dBaidu Nhomakorabea3υ =n(r, t ) d 3 r
(υ )
（5-3）
这里
n(r , t ) = ∫ F ( υ, r, t ) d 3υ
(υ )
（5-4）
显然是结构空间的粒子密度。可以把分布函数 F ( υ, r , t ) 表示成乘积形式
F ( υ, r, t ) = n(r, t ) f ( υ, r, t )
dQ − = na ne ∫ υeσ (υe ,θ ) d Ωf e (υe ) d 3υe
(Ω)
（5-25）
由碰撞流入速度空间元 d 3υ e 的电子数
3 ′σ (υ e ′ ,θ ) d Ωf e ( υ′ ′ dQ + = na ne ∫ υe e )d υe (Ω)
（5-26）
体积元 d 3υ e 中 给定散射角， 碰撞后的电子速度 υ′ e 单值的与它们碰撞前的速度 υe 相联系着。 电子数的变化
作用于等离子体带电粒子的是电场和磁场力。这些力引起的加速度为
（5-13）
a=
Ze (E + υ × B ) m
（5-14）
考虑到 ZeE 根本与 υ 无关 ，洛仑兹力 Ze [ υ × B ] 只依赖于垂直与它的速度分量，因此， （5-13）式中的加速度可提到导数之外，即
⎡ ∂ (nf ) ⎤ = −a ⋅ gradυ (nf ) ⎢ ⎣ ∂t ⎥ ⎦υ
d 6 R = d 3 rd 3υ = dxdydzdυ x dυ y dυ z
所以六维相空间的体积元中代表点数或粒子数目为
（5-1）
dN R = F (υ, r, t )d 6 R = F (υ, r, t )d 3 rd 3υ
（5-2）
按速度积分 （5-2） 式， 给出结构空间体积元 d 3 r 这里 F ( υ, r , t ) 是给定时刻粒子的分布函数。 中的粒子数
dQαβ + = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )
∫
3 3 ′ fα (υ′ α ) f β ( υ β )υαβ σ αβ (υαβ ,θ ) d Ωd υα d υ β
(5-22)
′ 和 υ′β 应借助于守恒定律用 υα ， υ β 来表示。由（5-19）和（5-22）式，可 式中速度 υα
∂ (nf υ x ) ∂ (nf ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ =− = −υ x ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎣ ∂t ⎦ x
(5-11)
同理， 可以得到粒子沿 y 和 z 方向运动相关的分布函数变化率的类似表达式。 由粒子运动引 起的分布函数的总变化率
∂ (nf υ x ) ∂ (nf υ y ) ∂ (nf υ z ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − − − = − υ ⋅ grad (nf ) ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎣ ∂t ⎥ ⎦r
（5-20）
60
′ , υ′β 的积分变换到按 υα , υ β 的积分，不难证明这个变换的雅可比行列式等 可以从按变量 υα
于 1，即
′ d 3υ β ′ = d 3υα d 3υ β d 3υα
（5-21）
可以按 υ β 积分，可以得到由于同 β 类粒子发生弹性碰撞从其它体积元流入 d 3υ α 的全部 α 类粒子数
3
υ 与面积 dydz 和高
υ x dt 限定体积的乘积，即 ( nf υ x ) x dtd 3υ dydz ，这里量 nf υ x 取 x 点值；通过面积 dydz 流出
体积元的粒子数，应取 x + dx 点值，即 ( nf υ x ) x + dx dtd 3υ dydz 。这两个流之差给出体积元内 与沿 x 轴运动有关的粒子数变化
以确定由于同 β 类粒子发生弹性碰撞，体积元 d 3υ α 中的 α 类粒子数的变化
e Sαβ d 3υα = dQαβ − dQαβ + −
= nα n β [
∫ ∫
( υβ ) (Ω)
( f α′ f β′ − f α f β )υαβ σ αβ dΩd 3υ β ]d 3υα
（5-23）
′ ′ ′ 式中为简化起见引入了标志 fα ( υ′ α ) = fα 和 f β ( υ β ) = f β 。最后得到与弹性碰撞有关的分布
α 类粒子分布函数的变化。 为此， 我们求处于相空间体积元 d 3 rd 3υ α β 类粒子弹性碰撞时，
的 α 类 粒 子 由 于 碰 撞 而 发 生 变 化 的 数 。 α 类 粒 子 在 体 积 元 d 3υα 内 的 密 度 为
dnα = nα fα ( υα )d 3υα ， β 类粒子在体积元 d 3υ β 内的密度为 dnβ = nβ f β (υβ )d 3υ β 。 单位
⎡ ∂ (nf ) ⎤ dtd 3υ d 3r = [ (nf υ x ) x − (nf υ x ) x + dx ] dtd 3υ dydz ⎢ ⎥ t ⎣ ∂ ⎦x
⎡ ∂ (nf υ x ) ⎤ 3 3 = −⎢ ⎥ dtd υ d r ∂ x ⎣ ⎦
58
(5-10)
用 dtd 3υ d 3 r 除(5-10)式两边，得到粒子沿 x 轴运动有关的分布函数变化率
5.2 动力学方程
现在我们来求等离子体中带电粒子分布函数 F = nf 方程。作为六维相空间粒子密度的 分布函数，它随时间的变化显然是由三种因素引起的，粒子的运动，在电场和磁场中速度的 变化及碰撞引起的分布函数的变化。
y
υ x dt
dz
dy
dx
x
z
图 5-1 先计算由于粒子运动引起体积元 d 3 r 内粒子数变化。见图 5-1，在 dt 时间内沿 x 轴通过 面积 dydz 流入体积元的粒子数等于所讨论速度区间的粒子密度 nfd
函数变化速率
e Sαβ = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )
∫
( fα′ f β′ − fα f β )υαβ σ αβ d Ωd 3υ β
（5-24）
用类似方法可以求得非弹性碰撞引起的分布函数的变化。 下面研究电子和原子的碰撞项，在很多情况下，可以认为电子平均动能比重粒子平均 动能大很多。这时，电子与重粒子的碰撞积分实际上不依赖于重粒子的分布函数，设原子是 静止的。由于与原子碰撞，单位体积的电子从所讨论速度空间元流出的速率等于
第五章带电粒子的动力学方程
5.1 分布函数
为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体积元表示成
d 3 r = dxdydz 。速度空间体积元为 d 3υ = dυ x dυ y dυ z 。要完全确定粒子的运动状态，需
要同时给出粒子在结构空间和速度空间的位置， 所以经常采用六维相空间的概念。 每个粒子 的运动状态以这个空间的一个代表点表示。 所谓分布函数就是这个空间中代表点的密度。 六 维相空间的体积元为
（5-19）
这个方程称为动力学方程或玻尔兹曼方程。可以对每一种粒子（电子，离子，中性粒子）写 出这样的方程。要确立方程的具体形式，需要得到电场 E 和磁场 B 及碰撞项 δ (nf )
δt 。
5.3 动力学方程的碰撞项
各种类型的碰撞在动力学方程中的碰撞项（5-17）式中是相加的。可以独立的讨论它们 对分布函数的影响。首先决定与弹性碰撞有关的分布函数的变化。例如由于同
（5-5）
这里 f ( υ, r , t ) 称为粒子速度分布函数。按速度积分（5-5）式，考虑到（5-4）式，得
∫υ
( )
f ( υ, r , t ) d 3υ = 1
（5-6）
速度分布函数决定速度处于 υ → υ + dυ （在 r 点，时刻 t ）的粒子的相对数目，或几率。 引进速度绝对值分布函数是有用的。 利用速度空间的球坐标系， 并完成对所有的角度积 分则
类粒子（ υ′β → υ′β + dυ′β ）发生碰撞，并散射到 d Ω 立体角内的逆碰撞数
3 ′ ′ ′ ′ 3 ′ dQαβ (υ′ α , υ β υ α , υ β ) = nα n β f α ( υ α ) f β ( υ β )υ αβ σ αβ (υ αβ ,θ ) dΩd υ α d υ β +
S ea = dQ + − dQ − = na ne ∫
(Ω)
[
′σ (υ e ′ , θ ) f e ( υ′ υe e)
′ d 3υ e − υ eσ (υ e ,θ ) f e (υ e ) ]dΩ d 3υ e
59
∂ ( nf ) Ze δ (nf ) = − υ ⋅ grad (nf ) − (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) + δt ∂t m
或者，将第二，三项移到左边，有
（5-18）
∂ ( nf ) Ze δ (nf ) + υ ⋅ grad (nf ) + (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) = δt ∂t m
（5-15）
将（5-14）式代入到（5-15）式中，得到与电场和磁场中的加速度有关的分布函数的变化率
Ze ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) ⎢ ⎥ m ⎣ ∂t ⎦ E , B
与各种类型的碰撞有关的分布函数变化率可以相加。例如对 α 类粒子
（5-16）
（5-12）
计算由粒子速度变化引起速度空间体积元 d 3υ 内粒子数的变化。类似于由粒子运动引 起的结构空间体积元 d 3 r 内粒子数变化的计算过程， 得到由粒子速度变化引起的分布函数的 变化率
∂ (nfax ) ∂ (nfa y ) ∂ (nfaz ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − − − ⎢ ∂υ x ∂υ y ∂υ z ⎣ ∂t ⎥ ⎦υ
61
S ea d 3υ e = dQ + − dQ − = na ne ∫ d υe ′σ (υ e ′ , θ ) f e ( υ′ [ υe e) 3 (Ω)
3
′
d υe
− υ eσ (υ e ,θ ) f e (υ e ) ]dΩd 3υ e
（5-27）
得到电子与重粒子的碰撞电子分布函数的变化数率
（5-18）
在弹性碰撞情况下，给定散射角 θ ，守恒定律能单值地确定碰撞前速度 υα , υβ 和碰撞后速度
′ υ′ α , υ 速度之间的关系。按散射角和 β 类粒子速度积分（5-18）式，就得到由于同 β 类粒子
发生弹性碰撞从体积元中流出的全部 α 类粒子数
dQαβ − = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )