北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题(最新整理)

情景创设：分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.
6.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
时间 t/秒 0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为 12 升，则汽车行驶了
(4)贮满 60 升汽油的汽车，最多行驶
小时
(5)下面哪个图像能够反映变量 Q 与 t 的关系的是（
）
Q
Q
Q
小时
这天在
范围内温度在下 20
降；
0 3 6 9 12 15 18 21 24 时间
t
（A）
t
（B）
t
（C）
(4)请你预测一下，次日凌晨 1 点的气温大约多少度。
例如，正方形的边长为 x，面积为 y，则y = x2这个关系式就是表示两个变量之
间的对应关系，其中 x 是
，y 是
；一般地，含有两个未知数（变量）
的等式就是表示这两个变量的关系式；
【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将
专题一 能从表格中获取两个变量之间关系的信息 注水时间/min 0 5 10 15 20 25 30 注水量/L 200 250 300 350 400 450 500
2．如图：将边长为 20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好 的材料围成一个无盖的长方体。
(5)当 x 在什么范围变化时y，随 x 的增大而增大当， x 在什么范围变化时y，随 x 的增大 而减小？你又是根据哪种表示法得到的？ (6)请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
6.（1）某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值 范围．
2
（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
函数关系式．
①当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的 栽种以后的年数 n/年 高度 h/厘米
与这排的排数 n 的关系式分别
温度变化的情况如图所示： （1）上午 10 时的温度是 度，
是
，
（1≤n≤25，且 n
4
180
是正整数）；
③某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a
…
…
14 时的温度是 度； （2）这一天最高温度是 度， 是在 时达到的；最低温度是 度，是在
时达到的；
个座位，后面每一排都比前一排多 b 个
4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动 10 秒之间的速度经测量如下表：
（1）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中 自变量，
是因变量.
（2）当温度是 10 ℃时，合金棒的长度是 cm．
（3）如果合金棒的长度大于 10.05 cm 小于 10.15 cm，根据表中的数据推测，此时
的温度应在
℃～
关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之
间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反
映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象
法往往难以得到准确的对应值；
据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.
知识点三 用关系式表示两个变量之间的关系
第三章 变量之间的关系 知识点梳理及典型例题
知识回顾——复习
路程、速度、时间之间的关
系：
，
，
；
知识点一 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为
.数值始终不变的量
为
；
在某一变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，当其中一个变量 x 在一定范围内
取一个数值时，另一个变量 y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变
（1）此变化过程中
是自变量，
是因变量；
水的体积相同）注入下面四种底
（2）树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为
；
面积相同的容器中.
（3）栽种后 后，树苗能长到 280 厘米．
（1）请分别找出与各容器对应的水
的高度 h 和时间 t 的变化关系的
图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达到一半
3．小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图反应了他们两人离开 学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。
（1）小红与小兰谁先出发？谁 先达到？
s/千米
实线---小兰 虚线---小红
（2）描述小兰离学校的路程与
5
时间的变化关系。
4
（3）小兰前 20 分钟的速度和 3
2 最后 10 分钟的速度是多少？怎 1
（3）若已知小伟家五月份的水费为 17 元，则他家五月份用水多少吨？
排数 n 的关系式是
（1≤n≤25，
1
且 n 是正整数）；
②当后面每一排都比前一排多 3 个座
2
105
专题五 曲线型图象
9．温度的变化是人们经常谈论的话
130
题．请你根据图象，讨论某地某天
位、4 个座位时，则每排的座位数 m
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
155
4．一辆汽车以每小时 50 千米的速度行驶了 t 小时，行驶的路程为 s 千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。 （3）该汽车行驶 2.5 小时的路程是多少千米？ （4）一段公路全长 350 千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？
x>40
x（千克）
专题二 根据表格确定自变量、因变量及变化规律 3．七年级（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：
每千克价格
8元
7元
6元
若小强购买香蕉 x 千克（x 大于 40 千克）付了 y 元，则 y 关于 x 的关系式
为
.
时 间（s ） 0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
速度（m/s） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.
知识点四 用图象表示两个变量间的关系
图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之
1
（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量
与
其中变量
是自变量，变量
是因变量；
（2）这个水箱原有水
L；
之间的关系，
（3）
min 时水箱注满水；
（3）这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；
座位，试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式．
（4）温度上升的时间范围为
，温度下降的时间范围为
；
（5）你预测次日凌晨 1 时的温度是 ．
专题四 用关系式求值
7．一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表： 10如．图水，以恒（速即单位时间内注入
量 x 叫做
，后一个变量 y 叫做自变量的
；
注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对
某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度 60 千米/时是 ，时间 t 和里程 s 为变量t.
是
，s 是
。
知识点二 用表格表示变量之间的关系
表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；
℃的范围内．
爬坡长度x/m
（4）当温度为-20 ℃和 30 50 80 100 150 200 100 ℃，合金棒的长度分别
爬坡时间 y/min
2 3.7 6.5 9 14 20 为 cm．
cm 和
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变 量？
（2） 如果用 t 表示时间，v 表示速度，那么随着 t 的变化，v 的变化趋势是什 么？
4
第三章 变量之间的关系复习题
1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发 生变化，实验数据如下表：
所挂物体的质量/千克
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
12 12.5 13 13.5 14 14.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量， 用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？ (3)如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧 的长度是多少？
的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，
则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.
知识点五 变量之间的关系的表示方法比较
表示变量之间的关系，可以用
、
和
；其中表格
法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规
律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互
样从图像上直观地反映速度的 0
大小？
10 20 30
40 50
60
t/分钟
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
(1) 这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是 xcm，围成的无盖长方体的体积 是 ycm3,则 y 与 x 之间的关系式是__________________； (3)若小正方形的边长是 5cm，那么长方体的体积是多少 cm3？当 x=2.5cm 体积是多 少 cm3 (4)根据以上关系式填下表：
借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因
变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数
间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示
，用竖直方向的数
轴（纵轴）上的点表示
，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位
1．有一个水箱，它的容积 是 500 L， 现 要 将 水 箱 注 满，下面是注水的情况表
表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.
（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，
有的变量关系不一定能用关系式表示出来.
【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量
置；
【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两
个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.
【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量
取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左
向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降
（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水
温度（℃） -5
0
5
L.
10
15
2．一根合金棒在不同的
长度（cm） 9.995 10 10.005
10.01
10.015
温度下，其长度也不 同，合金棒的长度和温
度之间有如下关系：
（1）当爬到100 m 时，所花的时间是多少？ （2）当爬到每增加10 m 时，所花的时间相同吗？ （3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？
x/cm
123456789
y/cm3
5
5. 2012 年 6 月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：
(2)汽车行驶 5 小时后，油箱中油量是
升
(1)这天的最高气温约是
℃；
(2)这天一共有
个小时的气温在
24℃以上；
(3)这 天 在
范围内温度在上
升；
温度/℃
28 26 24 22
（3） 当 t 每增加1 s 时，v 的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v 的增加量最大？ （4） 若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这
辆小汽车的速度就达到这个上限?
专题三 用关系式表示两个变量之间的关系 5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
x≤20
20<x≤40
8．某市为了鼓励市民节约用 水，规定自来水的收费标准如
每月每户用水量
每吨价（元）
高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置．
下表： （1）现已知小伟家四月份用水
不超过 10 吨部分
专题六 折线型图象 0.50
11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．
18 吨，则应缴纳水费多少元？ 超过 10 吨而不超过 20 吨部分
0.75
（2）写出每月每户的水费 y （元）与用水量 x（吨）之间的
超过 20 吨部分
1.50
3
（1）A、B 两点分别表示 汽车是什么状态？ （2）请你分段描写汽车在 第 0 分钟到第 19 分钟的行 驶状况． （3）司机休息 5 分钟后继 续上路，加速 1 分钟后开始以 60 km/h 的速度匀速行驶，5 分钟后减速，用了 2 分钟 汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．