实验一随机序列的产生及数字特征估计

实验一随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法。

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1、随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

y0=1, y n= ky n−1(mod N)（1.1）

⁄

x n=y n N

序列{x n}为产生的(0,1)均匀分布随机数。

下面给出了（1.1）式的3 组常用参数：

①N = 1010，k = 7，周期≈5*10^7；

②（IBM随机数发生器）N = 2^31，k = 2^16 + 3，周期≈5*10^8；

③（ran0）N = 2^31 - 1，k = 7^5，周期≈2*10^9；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数F X(X)，而R为(0,1)均匀分布随机变量，则有

X=F X−1(R)（1.2）

由这一定理可知，分布函数为F X(X)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数

（1）(0,1)均匀分布的随机序列

函数：rand

用法：x = rand(m, n)

功能：产生m×n的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列

函数：randn

用法：x = randn(m, n)

功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(μ,σ2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。（3）其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1 列出了部分函数。

表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数

3.随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n = 0, 1, 2, … N-1。那么，X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为:

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

（1）均值函数

函数：mean

用法：m = mean(x)

功能：返回按(1.3)式估计X(n)的均值，其中x为样本序列x(n)。

- 4 -

（2）方差函数

函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按（1.4）式估计X(n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数

函数：xcorr

用法： c = xcorr(x, y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x, y, 'opition')

c = xcorr(x, 'opition')

功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。

option选项可以设定为：

'biased' 有偏估计，即

'unbiased' 无偏估计，即按（1.5）式估计。

'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。

'none' 不做归一化处理。

三、实验内容及结果

1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

Script计算脚本：

num=input('num= ');

N=2^31;

k=2^16+3; %IBM random number generator

Y=zeros(1, num);

X=zeros(1, num);

Y(1)=1;

for i = 2:num

Y(i)=mod(k*Y(i-1), N);

end

X=Y/N;

a=0;

b=1;

m0=(a+b)/2;

sigma0=((b-a)^2)/12; %theoritical value

m1=mean(X);

sigma1=var(X); %actual value

delta_m=abs(m1-m0)

delta_sigma=abs(sigma1-sigma0) %error

plot(X, 'k');

xlabel('n');

ylabel('X(n)');

axis tight;

实验结果：

num = 1000

delta_m = 0.0110 delta_sigma =

0.0011

num = 5000

delta_m = 2.6620e-04 delta_sigma =

0.0020

n

X (n )

0.1

0.20.30.40.50.6

0.70.80.9n

X (n )