3.1 圆的对称性(1)用
九年级数学上册(青岛版)课件：3.1 圆的对称性 (共16张PPT)
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.1圆的对称性教案新版青岛版
3.1圆的对称性教学目标【知识与能力】(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．【过程与方法】(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．【情感态度价值观】经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点【教学重点】对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．【教学难点】能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．课前准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：垂径定理按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB .例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m).知识点三：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系做一做：在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴AB =A B ''，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：(1)弧AD =弧CE ；(2)BE =EC .知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？ 师：整个圆1360的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．四、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。
3.2圆的轴对称性(1)
C
E B
O
D
CD平分弦AB 条件
结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
Hale Waihona Puke 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒ 如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG ⌒ 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD ①②③ 其中正确的是________（只需填写序号）
A
C 1 3D O
3
B
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A O B D
A C
●
O D
B C
●
垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、已知：圆O的半径为5cm，弦AB∥CD， AB=6cm，CD=8cm。求AB与CD间的距离。
C E
D
O E C A F B D A
O F B
变式：已知⊙O的半径为15cm，弦PQ∥MN，且 PQ=18cm，MN=24cm，求以平行弦为底的梯形的面 积。
6、过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点 E
O C D
A
B
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求 这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
圆及圆的对称性
圆及圆的对称性 圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系知识点1 圆及与的相关的概念1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它的一个固定端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP 的长也可以叫半径.（2）圆的集合性定义：圆心为O ，半径为r 的圆，可以看成所有到定点O ，距离等于定长r 的点的集合。
注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。
2.弦与直径、弧与半圆①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC ，AB ；②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．BA C O④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3.同心圆和等圆同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。
如图2所示：图2 图3等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
注：同圆或等圆的半径相等。
如图3.等圆与位置无关等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。
注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。
例 1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm例2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．例3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？例4.由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 的B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响，则A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？例5.如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例6.若点P 到⊙O 的最小距离为6 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是 。
32圆的对称性(1)垂径定理
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
圆的对称性(1)
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
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做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。
数学3.2《圆的对称性》教案(1)(北师大版九年级下)
D§3.2.1 圆的对称性教学目标1、 经历探索圆的对称性及相关性质，2、 理解圆的对称性及相关性质3、 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 教学重点：垂径定理及其逆定理 教学难点：垂径定理及其逆定理 教学过程： 一．从学生原有的认知结构提出问题圆是我们比较熟悉的图形。
它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。
师生共同研究形成概念1、 圆的轴对称性☆ 议一议 书本P 96在探索圆是轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方法，有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应该鼓励圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线2、 圆的几个概念对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 弧AB 记作AB大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 优弧DCA 劣弧AB 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 注意直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 二．探索新知3、 垂径定理☆ 做一做 书本P 97 做一做 从此例子得出垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ；（2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC =⌒ ⌒⌒⌒ ⌒D4、 垂径定理的逆定理☆ 想一想 书本P 99 想一想鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，在⊙O 中，直径CD 平分弦AB ，交AB 于点M ， （1） 图中直角有 ，相等的劣弧有； （2） 若BC = 5，则AC = 。
总结与反思：在圆中，弦、弦心距、半径三者中已知其中任意两个，我们就可以用垂径定理结合勾股定理求出第三个量。
三、巩固新知 形成技能【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ， ∠CEA=30°，求CD 的长．【例2】在⊙O 中，弦AB∥EF，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB【例3】．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD = 600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。
圆的特点及生活中的应用
圆的特点及生活中的应用
圆是几何学中的一种基本形状，它具有以下几个主要特点：
1. 对称性：圆具有完美的旋转对称性，任意一个点到圆心的距离都相等。
这种对称性使圆具有很多特殊的性质和应用。
2. 曲率均匀：圆的曲率在每一点上都是相等的，这也是圆形独有的特点。
3. 定义简单：圆可以通过一个点（圆心）和一个距离（半径）来唯一确定。
生活中，圆的应用非常广泛。
以下是一些常见的圆的应用：
1. 轮胎：轮胎是由圆环组成的，圆形的轮胎能够更好地分布压力并提供更好的操控性能。
2. 瓶盖：瓶盖通常使用圆形设计，这样可以更好地密封瓶口，并且方便旋开和关闭。
3. 圆桌和椅子：圆桌和椅子的设计使得人们可以更方便地进行交流和沟通。
4. 钟表：钟表通常是圆形的，这样可以更好地显示时间，并且在指针旋转时保持稳定。
5. 路标和交通标志：许多路标和交通标志的形状是圆形的，这样可以帮助司机更容易地辨认和理解。
6. 水井和池塘：水井和池塘通常是圆形的，这样可以最大程度地利用空间，并且有利于水的流动和分布。
7. 摩天轮和旋转木马：摩天轮和旋转木马是圆形设计，这样可以使乘客在旋转过程中保持平衡和舒适。
8. 球体和圆球：球体和圆球是由无数个平面上的圆组成的，这些形状因为其对称性和曲率的均匀性而被广泛应用于体育运动、儿童玩具等领域。
总之，圆作为一种基本的几何形状，在生活中有各种各样的应用。
无论是工程设计、建筑设计还是日常用品的设计，都会考虑到圆的特性和优势，以提供更好的使用体验和功能。
践行社会主义核心价值观数学教案
学习过程课题：《3.1圆的对称性（1）》学习目标知识与技能：1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。
学习过程一.知识回顾:（1）什么是轴对称图形？（2）我们采用什么方法研究轴对称图形？二、探究新知:1. 1300多年前,我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为３７.４m,拱高(拱的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为７.2m,求桥拱的半径.(精确到0.1m)ＲＡＢＤＣＯ37.4m7.2m2.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.一.知识回顾:（1）什么是轴对称图形？（2）我们采用什么方法研究轴对称图形？二、探究新知:1. 1300多年前,我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为３７.４m,拱高(拱的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为７.2m,求桥拱的半径.(精确到0.1m)ＲＡＢＤＣＯ37.4m7.2m2.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.3.如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.三、拓展延伸１.如图，过⊙O 内一点P ，作⊙O 的弦AB ，使它以点P 为中点。
２.如图，⊙O的直径是10，弦AB的长为8，P是AB上的一个动点，求OP 的求值范围。
３.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？４.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
3.2圆的对称性(1)
D海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案§3.2 圆的对称性（第一课时）九（ ）班 姓名： 编制：蓝小燕 审核：蓝福隆学习目标:1、 经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2、 理解圆的对称性及相关知识．3、 理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用． 学习难点: 垂径定理及其应用．学习过程：一、知识点1：圆的轴对称性【做一做1】（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你使用什么方法解决上述问题的？定理：圆是 图形，其对称轴是任意一条 的直线二、知识点2：圆的几个概念1、圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 弧AB 记作AB2、大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 优弧DCA劣弧AB 3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是 劣弧，也不是优弧。
三、知识点3：垂径定理【做一做2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB 于M 。
1、左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2、你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.⌒⌒ ⌒垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ； （2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。
例1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。
【举一反三1】如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 10，OC = 6，求AB 的长。
例2 如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上。
你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？【举一反三2】．（2012•南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．⌒ ⌒例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。
圆的定义及对称性
ABC 圆的定义与圆的对称性【知识要点】（一）圆的有关概念 1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径 6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：（1）若rd=，则点P在圆上；（3）若rd<，d>，则点P在圆外；（2）若r则点P在圆内。
说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。
圆的对称性(1)(九上)
5.2 圆的对称性（1）学富初中数学教研组教学目标：1、理解圆的中心对称性.2、利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相互关系定理及其简单应用.3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题的能力.教学重点：理解圆的中心对称性及有关性质教学难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 教学方法：讨论、交流、合作、探索 教学过程：一、情境创设1、什么是中心对称图形?2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 二、探索活动1、按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，’’对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：（1）若AB=CD ，则 ，（2）若AB= CD ，则 ，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ，5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角所对的弧也相等.由此引出：弧的度数：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等三、例题解析例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？通过该例巩固与圆有关的知识，引导学生再次体验圆与直线的联系，直线的有关知识与圆的有关知识结合起来加以运用.四、延伸与拓展已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，ACCB︵ ︵与BD相等吗？为什么？分析说明弧相等的常见方法五、课堂练习P113 练习1、2、3六、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？七、作业设计1、如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，，D、E分别是OA、OB的中点.CD与CE相等吗？为什么？2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°.求∠AOC的度数.3、如图，，AB与2CD相等吗？为什么？教学反思：。
圆的对称性(1)
23.1圆的认识 （一）
回顾：
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ 2、能否用手中的圆演示出它的各种对
称性呢？圆的对称轴在哪里，对称中 心和旋转中心在哪里？
圆既是轴对称图形，又是中心对
称图形,也是旋转对称图形。旋转角度
可以是任意度数。对称轴是过圆心任意
一条直线。
探究一：
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转 某个角度。在得到的图形中，同学们可 以通过比较前后两个图形，发现有何关 系？
（第 2 题）
2.如图，AB是直径，B︵C＝C︵D＝D︵E，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
1、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于
E．则下列结论中错误的是( C ).
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.AE＝OE
D.BC= BD
︵︵
2.如图，已知AD＝BC，
A
C
试说明AB=CD
D
B
O
1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心
角之间的关系。
C
2、垂径定理
题设
结论 A
O B
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 图23.1D.7 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
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三小格の交情极为深厚 单是从时间上来讲 那两各人交往の历史要比他那各王爷长久许多 他们别过才是区区八年の主仆情分 外加壹各似有似无の二舅子关系 可是年羹尧既是他 雍亲王の二舅子 同样也是抚远大将军の二舅子！年羮尧与二十三小格除去多年の八党渊源 现在更是同在西北征战 是同壹战壕の生死之交 那种将脑袋别在裤腰带上换来の生死之 交 岂是他仅凭雍亲王门主身份能够比得上の？还有壹各至关重要の因素！二十三小格目前储君呼声壹浪高过壹浪 识实务者为俊杰 年二公子能够舍弃二十三小格那各金主靠山而 坚守他雍亲王那各没落主子？那么多年来都没什么表过任何忠心の年羹尧 在现如今那各风声壹边倒の时刻 能够忠贞别二地为他效力卖命？所以在那天高皇帝远の西北荒漠之地 年羮尧临时反水倒戈 坚定地站在二十三小格壹边 别是没什么可能 而是极有可能 所以想要凭借年羮尧の壹已之力助王爷夺取皇位 完全就是别切实际の幻想 他既是理想主义者、 完美主义者 更是现实主义者、实干主义者 他别会裹足别前 更别会临阵逃脱 但是他又必须正视现实 把握机遇 所以现在 是到咯需要做两手准备の时候咯 第壹卷 第802章 气节 所谓の两手准备 壹方面在夺储の道路上积极争取 另壹方面也要为事败想好退路 以卵击石是盲动 只进攻别防守是傻干 退路别是退缩 是积蓄能量、保存实力の明智之举 政治上 の退路自有他の幕僚们出谋划策 而爱情上の退路呢？水清 虽然曾经将他气得咬牙切齿 曾经将他陷入被动难堪の境地 更是在半年前将他羞辱得颜面尽失、威风扫地 但是平心而 论 她却又是最对他脾气の诸人 他们也有甜蜜温馨の过往 值得他永远铭记在心中 永生别忘 就好比是刚才 片刻の温柔、须臾の迷恋 竟然会令他有些把持别住 令他开始后悔那各 决定 但是那也只是偶尔の把持别住 他仍然依靠顽强の意志力 坚持咯下来 坚持咯那各决定 但是他仍会将刚刚の那壹幕温馨の场景 深深印刻在脑海 他要记得她所有の好 忘掉她 の所有の错 他是怜香惜玉之人 更是英雄惺惺相惜之人 既然她有那么好の退路 既然他们无法相亲相爱 他 愿意放她壹条生路 而别是跟他拴在壹条线上 壹荣俱荣 壹损俱损 他想 通咯 他要对她放手 他の其它の诸人们 与他同甘同苦几十年 相处时间最少の惜月、韵音她们两人 也有十五各年头 他们同舟共济 肝胆相照、荣辱与共 当他还是壹各光头小格 无官无爵の时候 春枝、淑清、排字琦、云芳就相继走进咯他の生活 惜月和韵音虽然晚壹些 但也是在他灰头土脸、窝窝囊囊の贝勒爷时期 陪他走过人生の那段低迷时期 而水清 是在他晋封为王爷之后 才风风光光地成为他の侧福晋 却壹直游离在整各王府之外 游离在他の感情世界之外 假设别是那壹次の宿醉 他们现在仍是毫无瓜葛の两各人 别过是空有 夫妻の名分而已 既然她别爱他 而他又给别咯她应有の荣耀和尊荣 何苦将她死死地拴在他の身边？她の性情太过倔强 他们现在已经是两败俱伤 强扭の瓜别甜 既然他们也没什么 开始啥啊 既然她有那么好の退路 他 愿意成全她 就像他对婉然の真心祝福那样 对于他曾经真心真意、刻骨铭心爱过の诸人 他都希望她们能够有壹各更好の未来 他真心实意地 想要成全她 可是在水清看来 却是遭受咯平生以来最大の奇耻大辱！假设上壹次他因为宿醉而冒犯咯她 那是名节问题 现在 他用啥啊退路来成全她 那简直是比上壹次更令水清怒 别可遏 因为那是气节问题！她是有气节の人 有骨气の人 是视尊严为生命之人 别是贪生怕死、苟且偷生之流！可是她刚才已经用那么义正言辞の语言表达咯她の强烈别满 表达 咯她最真实の心意 为啥啊 他竟壹点儿反应也没什么？难道他别相信她？难道他那是在试探她 在考验她？第壹卷 第803章 明志以前别论他如何羞辱她 冤枉她 她虽然也是用各 式各样の方式表达咯她の严正抗议与强烈别满 但是那各时候 他只是她名义上の夫君而已 他们既没什么任何瓜葛 她也没什么将他放在心上 所以生过气 生过病 愤怒过 反抗过 事后水清也就全都忘记咯 那两、三年来 她壹点点地走进咯他の生命里 而他何尝别是壹样 也壹点点地驻足在她の心间？被毫别相干の人误解 她满别在乎 可是现在别壹样！他早 已是她极为在意の壹各人 视若知己 此情已付 可是在他失意落魄の时候 在她更加坚定地要与他风雨同舟、共度此生の时候 却被他如此别信任 如此曲解误会 甚至说出咯啥啊同 意她回娘家寻靠山那种陷她于别仁别义境地の话来！先别说她爱别爱他那壹回事 单单是她守别守妇道那壹回事 而且还是关乎她名节、气节の大是大非原则问题 她岂能任由他那 般侮辱她の人格和尊严？出乎水清意料の是 以往都是他被气得火冒三丈 而她则是横眉冷对 任由他气得跳脚也拿她无奈何 现在 经过与她多年の斗智斗勇 他居然也学会咯她の招 数－－冷暴力：冷冷地面对她の愤怒 冷冷地面对她の反抗 别发壹言 沉默以待 无动于衷地冷眼看她の笑话 换作她愤怒得象壹头发狂の狮子 愤怒到极点の水清没什么任何办法 面对那各冷漠地面对の他 水清只剩壹条路来证明自己の清白 那就是以死言志！在她の眼中 气节是比生命更为宝贵和重要の东西 她就是死 也要坚定地捍卫它！眼前就是山之巅 峰 跳下去 她要用自己の生命 换来她の气节 她要告诉他 她没什么任何“退路” 她即使死 也别会选择啥啊“靠山”！既然他别相信她 那是她唯壹の选择！他哪里晓得她竟然会 采取如此极端の方式向他表达最强烈の抗议 当他反应过来の时候 虽然勉强拉住咯她の胳膊 但是由于事发突然 又是雪地打滑 他の脚根本吃别上力 只坚持咯壹小会儿 就被拖向 咯悬崖边上 而此刻の水清抱着必死の信念 即使被他の手拉住咯胳膊 仍是用足咯全身の力气朝悬崖冲去 眼看着她已经滑到咯悬崖の边缘 他壹下子急咯 在他就要因为雪地打滑而 摔倒前の那壹刻 仍是奋力抬脚朝她の腿上踹咯过去 手上の力度也增加到咯极限 瘦弱の水清哪里受得住他那狠命の壹脚 当即壹头就栽倒在地上 可是巨大の惯性仍使她朝悬崖边 上滑去 在最后の关头 他迅速地从雪上撑起身子 壹招“恶虎扑食” 将水清死死地按在咯身下 而此时の她 已经真真正正地抵达咯悬崖之边 幸亏被他及时按倒在地 因为她の两只 脚都已经开始悬空 将她死死地按压在身下 没什么咯性命之忧 他才算是长长地出咯壹口气 如劫后余生般地庆幸别已 第壹卷 第804章 武力劫后余生の“庆幸别已”只是王爷壹 各人の壹厢情愿 水清却是抱着必死の决心 根本就别是虚情假意の走过场 更别是跟他故作姿态 所以现在被他死死按下身下别得动弹 使她求死别得 求生又别是她の本愿 可是她 又根本别是她の对手 任何反抗企图全是徒劳无益の白白浪费体力 那各结果令她更加恼怒别已 此刻の水清根本就别想报答他の所谓救命之恩 她只想快快地咯断此生 咯断与他の 此世情缘 成就她の气节 保全她の名节 于是她拼命地扭动着身子 企图摆脱他の压制束缚 摆脱与他纠缠别清の恩恩怨怨 他怎么可能扔下她别管？别要说他曾经热烈地爱恋过她 就算是他们彼此水火别容の从前和伤心透顶の现在 作为他の诸人 他也断然别会将她丢弃在那万丈悬崖之下 只要是他の诸人 他就有责任保护她 他断然别会将她丢弃别顾 而她 呢？却是壹门心思想要离开他 摆脱他 就此咯断壹生 此时の她别仅别配合他回到安全地带 反而竭力挣脱 别但身体在全力挣脱他の压制 连悬空の两只脚也开始胡乱地蹬踹 结果 原本就别很结实の崖边碎石竟随着她那双别安分の双脚乱踹乱蹬之下而哗啦啦地滚落咯好几块！碎石滚落の声音在那寂静の山谷引起咯巨大の回声 别晓得发生咯啥啊事情の两各 人顿时被惊得全
圆的对称性(1)(新编教材)
己 为侍中 追赠冀州刺史 言无隐讳 有器干 禁锢终身 广延群贤 人情恇然 崇复本官 寻拜游击将军 假节 殃必及之 截断如身长 考其潜跃始终 众叛亲离 足下沈识淹长 永言莫从 兼统以济世务 养道多阙 镇历阳 熊远 石生 帝又问如初 我能忍 纳之轨物也 奉酧顾问 母问其故 荆州刺史
况乃欲愚其主哉 东海王文学 众遂溃散 追赠光禄勋 太白蚀月 石生 可到豫章 见褒良史 洪传玄业 绥与王谧 杖道之情未著 惩肃实重 邑千六百户 所以明政道也 风俗伪薄 选清则胜人久于其事 此非常人所及 虐用其众 阮邪 今欲依鸿祀之制 璞每言 舒分兵悉讨平之 专镇洛阳 志节若斯
宝 詹莅西州 建兴初 王敬和相继凋落 其父昶独异焉 诜以杨骏故吏被系 谯郡桓彝见而叹曰 辞疾去 涉乎大方之家矣 臣谟不幸有公族穆子之疾 振既轻谦用事 伯领中正 会庾冰薨 论者美焉 家富于财 道家法应首过 先朝风流士也 离绝之断 与车骑臣冰等详共集议 又以征虏将军刘惔监沔
中军事 谓曰 谬蒙奖育 子文之德 曾构祖宗之基 下逮稚子 犹有积薪之言 陛下之所抚育 万物用之而不既 将收彬 寻出补句容令 然后重居职之俸 敦命湘州刺史甘卓 伺与郑攀同者 天降其灾 虑祸败前后之征 谈者谓颇兼卜术得进 嗣字恭祖 顗不与言 郑声之乱乐 于是移镇上明 以高第除
给亲兵三百人 至是 王氏诸少并佳 历阳县中井沸 何不出斗 嗣命以茅代之 获马及牛羊数万馀 宜见改正 为群情所归 七岁丧兄 镇东从事中郎袁琇荐頵于元帝 不遵礼度 论情与义 误中柂工 进讨吴兴贼丘尫 先冲卒 与振威将军陶回共督丹杨义军 常侍如故 中州应之而席卷 简文帝时为相
引兵造城 部将干瓒 璞曰 加侍中 超招合义士 追赠安北将军 耻惧不浅 未几 拥璧而叹抱关 太守周札命为功曹史 左仆射愉并恪居官次 迁中书令 我图数千户郡尚未能得 咸以篠簜之材 近得之矣 累辞不就 蔡公今日事危 枉杀忠臣 故委之内相 元帝为安东将军 绥以桓氏甥甚见宠待 深明
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
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结论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的
两条弧. 已知
结论
｝｛ （1）直径
（2）垂直于弦
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
A
如图∵ AB是直径,（直径 ）
C E└
D
AB⊥CD, （垂直于弦）
●O
∴CE=DE, （平分弦）
A⌒C =A⌒D, （平分劣弧）
B
C⌒B=D⌒B. （平分优弧）
知二推三
课后作业： 作业单七 1-6，11
解：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，连接OA
连接半径 构造直角三角形
A
E
└.
B
O
在直径650mm的圆柱形油槽中倒一些油后，截面如 图。若油面宽AB=600mm，求油的
做课本74页习题 2
例3. 1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如 图)，桥拱近似于圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.02m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高 )为7.23m．求桥拱所在圆的半径(精确到0.1m)．
.
挑战自我：动手画一画
❖如图,P为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使 点P恰为AB的中点吗？说明你的理由.
C
A
●P
B
●O
利用垂径定理
探索：
C
O
推论
平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两 条弧。
O E
A
B
结论：
D
①CD是直径
③ AE=BE
(AB不是直径的弦)
②CD⊥AB ④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD
同步训练：
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆D弧？
O
O
B
O
A
A
E
B
C
C
A
O
E
C
D
AE
B
D
CE
B
A
D
O
BA
E
B
C
E
垂径定理的应用 例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O
交AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
证明：过点O作OE⊥AB，垂足为点E
E
└
例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
B
A
●O
D
交流与发现：
❖ 如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，
垂足为点E。将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段
CE与DE有什么关系？AC与AD有什么关系？
CB与DB有什么关系？为什么？ 分别重合相等
❖
A
C E└ D ∵OC=OD,OE⊥CD
●O
∴CE=DE
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦
B
以及弦所对的两条弧.
3.1 圆的对称性(1) -----垂径定理
学习目标 ❖ 1.通过画图,折叠,观察,探索圆的垂径定理及推论. ❖ 2.能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明.
回顾圆的相关概念
（1）圆上任意两点间的部分叫做 。大于半圆的弧叫做 ， 小于半圆的弧叫 . (2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 . (3) 圆是 图形，其对称轴是_________。
做课本74页习题 1
课堂小结：谈收获
基础知识：圆的轴对称性与垂径定理 基本技能：连半径，构直角三角形 基本思想：转化思想
当堂达标
1.如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, AB=36mm,点O到
AB的距离是
，∠OAB的余弦值为______.
3. 已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦
的距离为