线性回归和相关
线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、Spearman等级相关)
4.剔除强影响点（Influential cases；或称为突出点， outliers）
通过标准化残差（Standardized Residuals）、学生氏残 差（Studentlized Residuals）来判断强影响点 。当指标 的绝对值大于3时，可以认为样本存在强影响点。
删除强影响点应该慎重，需要结合专业知识。以下两种情 况可以考虑删除强影响点：1.强影响点是由于数据记录错 误造成的；2.强影响点来自不同的总体。
r r t sr 1 r2 n2
只有当0时，才能根据|r|的大小判断相关 的密切程度。
4.相关与回归的区别和联系 （1）相关与回归的意义不同 相关表达两个变量 之间相互关系的密切程度和方向。回归表达两个变 量之间的数量关系，已知X值可以预测Y值。从散点 图上，散点围绕回归直线的分布越密集，则两变量 相关系数越大；回归直线的斜率越大，则回归系数 越大。 （2）r与b的符号一致 同正同负。
5.自变量之间不应存在共线性（Collinear）
当一个（或几个）自变量可以由其他自变量线性表示时，称 该自变量与其他自变量间存在共线性关系。常见于：1.一个 变量是由其他变量派生出来的，如：BMI由身高和体重计算 得出 ；2.一个变量与其他变量存在很强的相关性。 当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、 预测值的精度降低以及对y有影响的重要自变量不能选入模 型。
P值
截距a 回归系数b sb 标准化回归系数 t值 P值
3.直线回归的预测及置信区间估计
给定X＝X0， 预测Y
3.直线回归的预测及置信区间估计
因变量
自变量
保存（产生新变量，保 存在当前数据库） 统计
3.直线回归的预测及置信区间估计
线性回归与相关分析
线性回归与相关分析一、引言线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。
本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。
二、线性回归线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。
线性回归的应用场景非常广泛。
例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。
线性回归还可以用于预测未来趋势。
通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。
在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。
然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。
通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。
此外，我们还可以借助评价指标如R 平方来衡量模型的拟合程度。
三、相关分析相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。
它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。
当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。
第13章 简单线性回归与相关
b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
线性回归与相关分析在统计学中的应用
线性回归与相关分析在统计学中的应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其中线性回归和相关分析是常用的分析方法之一。
线性回归是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型，而相关分析则衡量两个变量之间的相关性程度。
本文将探讨线性回归和相关分析在统计学中的应用。
一、线性回归分析在统计学中，线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的方法。
线性回归的基本思想是根据已观察到的数据点，拟合出一个直线模型，使得观测值与模型预测值的差异最小化。
线性回归的应用非常广泛。
首先，它可以用于预测和预测分析。
通过使用线性回归模型，我们可以根据已知数据来预测未知数据的取值。
例如，我们可以根据房屋的面积、地理位置和其他因素，建立一个线性回归模型，从而预测房屋的价格。
其次，线性回归可用于找到变量之间的因果关系。
通过分析变量之间的线性关系，我们可以确定一个变量对另一个变量的影响程度。
这在社会科学研究中特别有用，例如经济学、社会学和心理学等领域。
最后，线性回归还可以用于模型评估。
我们可以使用线性回归模型来评估实验数据和观测数据之间的拟合度。
通过比较模型中的预测值与实际观测值，我们可以了解模型对数据的拟合程度，从而对模型的有效性进行评估。
二、相关分析相关分析是统计学中另一个常用的方法，用于衡量两个变量之间的相关性程度。
通过计算相关系数，我们可以了解两个变量之间的线性关系强弱。
相关分析最常用的是皮尔逊相关系数。
该系数取值范围为-1到1，其中1表示两个变量完全正相关，-1表示两个变量完全负相关，0表示两个变量之间没有线性相关关系。
相关分析在实际中有着广泛的应用。
首先，它可以用于研究市场和经济的相关性。
通过分析不同经济指标之间的相关性，我们可以了解它们之间的关联程度，从而作出相应的决策和预测。
其次，相关分析也可用于医学和生物学研究。
例如，研究人员可以分析某种疾病与环境因素之间的相关性，以便找到疾病的诱因和风险因素。
最后，相关分析还可以用于社会科学和心理学研究。
相关分析和线性回归分析
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一、相关分析和回归分析概述
❖ 相关分析和回归分析都是分析客观事物之间关 系的数量分析方法。
❖ 客观事物之间的关系大致可以归纳为2类：
函数关系：两事物之间一一对应的关系。
统计关系：两事物之间的一种非一一对应的关系。 统计关系可再进一步分为线性相关和非线性相关
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❖ 5、逐步回归法（ Stepwise ），运用很广，报告 中出现的几率最高。结合了前进法和后退法的优 点。第一，模型中先不包含任何预测变量，与因 变量相关最高者首先进入回归方程；第二，控制 回归方程中的变量后，根据每个预测变量与因变 量的偏相关的高低来决定进入方程的顺序；第三， 已进入方程的自变量，每引入一个自变量，就对 方程中的每一自变量进行显著性检验，若发现不 显著，就剔除；每剔除一个自变量有也对留在方 程中的自变量再进行显著性检验，再不显著，又 剔除，直至没有自变量引入，也没有自变量剔除 为止。
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步骤
❖ 计算样本的偏相关系数：反映两变 量间偏相关的程度强弱如何。
❖ 偏相关系数的取值范围及大小含 义与相关系数相同。
❖ 对样本来自的两总体是否存在显 著的净相关进行推断。
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练习
❖ 高校科研研究.sav：高级职称的人年数可能是 共同影响课题总数和发表论文数的变量，希望 考察控制高级职称的人年数的影响后，课题总 数和发表论文数之间的关系。
❖ 教养方式.sav：父亲对情感温暖的理解是 否成为父亲惩罚严厉以及拒绝否认的中介 变量？
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线性回归分析
❖ 回归分析是一种应用极为广泛的数量分析 方法。它用于分析事物之间的统计关系， 侧重考察变量之间的数量变化规律，并通 过回归方程的形式描述和反映这种关系， 帮助人们准确把握变量受其他一或者多个 变量影响的程度，进而为控制和预测提供 科学依据。
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析相关系数和线性回归分析是统计学中常用的方法，用于研究变量之间的关系和进行预测分析。
本文将介绍相关系数和线性回归分析的概念、计算方法和应用场景。
一、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间的相关性强弱的统计指标。
它的取值范围是-1到1之间，值越接近于1或-1，表示两个变量之间的相关性越强；值越接近于0，则表示两个变量之间的相关性越弱。
计算相关系数的方法有多种，常见的是皮尔逊相关系数。
它可以通过协方差和两个变量的标准差来计算。
具体公式如下：r = Cov(X,Y) / (σX *σY)其中，r表示相关系数，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
相关系数的应用非常广泛。
例如，在金融领域，相关系数可以用来研究股票之间的关联程度，有助于投资者进行风险分析和资产配置；在医学领域，相关系数可以用来研究疾病因素之间的关系，帮助医生进行诊断和治疗决策。
二、线性回归分析线性回归分析是一种用来研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个线性方程，来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
线性回归模型可以通过最小二乘法来估计模型参数。
最小二乘法的基本思想是通过使模型预测值与实际观测值的残差平方和最小化来确定模型参数。
具体公式如下：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归分析常用于预测和解释变量之间的关系。
例如，在市场营销中，可以通过线性回归分析来预测产品销售量与价格、广告投入等因素的关系；在经济学中，可以利用线性回归模型来研究GDP与就业率、通货膨胀率等经济指标之间的关系。
三、相关系数与线性回归分析的关系相关系数和线性回归分析常常一起使用，因为它们有着密切的关联。
相关系数可以用来衡量两个变量之间的相关性强弱，而线性回归分析则可以进一步分析两个变量之间的因果关系。
在线性回归分析中，相关系数经常作为检验模型是否适用的依据之一。
统计学中的线性回归与相关系数
统计学中的线性回归与相关系数统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而线性回归和相关系数则是统计学中两个重要的概念与方法。
线性回归和相关系数可以帮助我们理解和解释数据之间的关系，从而作出准确的预测和结论。
本文将详细介绍统计学中的线性回归和相关系数，并讨论它们的应用和限制。
一、线性回归分析线性回归是一种用来建立两个变量之间关系的统计模型。
其中一个变量被称为“自变量”，另一个变量被称为“因变量”。
线性回归假设自变量和因变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来描述这种关系。
线性回归模型可以用公式表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差。
利用线性回归模型，我们可以估计回归系数的值，并通过回归系数来解释自变量对因变量的影响程度。
回归系数β1表示自变量对因变量的平均改变量，β0表示当自变量为0时，因变量的平均值。
线性回归模型的拟合程度可以通过R方值来衡量，R方值越接近1，表明模型拟合程度越好。
线性回归的应用广泛，例如经济学中的GDP与人口增长率之间的关系，医学研究中的药物剂量与治疗效果之间的关系等等。
通过线性回归，我们可以从大量的数据中提取有用的信息，并利用这些信息做出合理的预测和决策。
二、相关系数分析相关系数是衡量两个变量之间相关关系强度的指标。
相关系数的取值范围为-1到1，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关关系。
相关系数可以用来描述变量之间的线性关系，并判断这种关系的强度和方向。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量且呈线性分布的情况，而斯皮尔曼相关系数适用于顺序变量或非线性关系的情况。
相关系数的计算方法涉及到协方差和标准差的概念，具体计算方法可以参考统计学教材或统计学软件。
相关系数的应用广泛，可以用来进行变量筛选、研究变量之间的关系、评估模型拟合程度等。
在金融领域，相关系数可以用来衡量股票之间的关联性，帮助投资者进行风险控制和资产配置。
线性相关和线性回归的异同
线性相关和线性回归的异同
线性相关和线性回归的主要区别有三点：
1.线性相关分析涉及到变量之间的呈线性关系的密切程度，线性回归分析是在变量存在线性相关关系的基础上建立变量之间的线性模型；
2.线性回归分析可以通过回归方程进行控制和预测，而线性相关分析则无法完成；
3.线性相关分析中的变量地位平等，都是随机变量，线性回归分析中的变量有自变量和因变量之分，而自变量一般属确定性变量，因变量是随机变量。
线性相关和线性回归的相同之处：
所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
11线性回归与相关
SS 剩余= SS 总－SS 回归
这三个平方和的自由度依次为：
总=n－1,
回归=1,
剩余=n－2
MS回归
SS回归 回归
MS剩余
SS剩余 剩余
MS回归 F MS剩余
对例题回归方程用方差分析进行假设检验
（1）建立假设检验 H0:β =0 H1:β ≠0 α =0.05 （2）计算统计量
则
归关系进行检验。
回归系数的假设检验可用下面简化公式计算
SS总 (Y Y ) 2 Y 2 ( Y ) 2 n
ˆ Y )2 (Y b( X X ) Y ) 2 b2 ( X X )2 SS回归 (Y
LXY L2 XY b LXX bLXY LXX LXX
linear correlation
相关系数r没有度量衡单位，其数值为 1 r 1。
r 0 表示正相关； r 0 表示负相关；r 0 表示
无相关，即无直线关系。当 | r | 1 时称为完全相 关。
相关系数的绝对值愈接近1，表示相关愈密切；相
关系数愈接近0，表示相关愈不密切。
1 9
1020.23 9.81
103.97
< 0.01
对例题的回归方程用t 检验进行假设检验 （1）建立假设检验 β =0 β ≠0 α =0.05 （2）计算统计量
细心的读者可以发现统计量 F 与 t 之间存在着关系 F t 。 本例 103.97 10.22 。
88.31 sY X 3.13 9 1.523 0 t 10.22 0.149
r r0.005/2,9 ， 界值表 r0.005 / 2 ,9 0.776 ， P 0.005
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
变量的相关性及线性回归
变量的相关性与线性回归变量间的相关关系与线性回归方程一、知识点1.正相关:从散点图看,点散布在从左下角到右上角的区域内.负相关：从散点图看，点散布在从左上角到右下角的区域内.2.回归直线方程:a x b y ˆˆˆ+=，其中（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n，y n）为样本点,则 111n i x x n ==∑,111ni y y n ==∑;线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式: 121()(),()nii i ni i xx y y b a y bxx x ==--==--∑∑3.统计案例⑴相关系数⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∑===ni i n i i ni ii y n y x n x yx n yx r 1221221是用于衡量两个变量之间的线性相关程度的.0>r 时表示两个变量正相关；0<r 时表示两个变量负相关；r 的绝对值越接近1，表明两个变量间的线性相关程度越高，当75.0>r 时，可以认为两个变量有很强线性相关性.⑵相关指数()()∑∑==---=ni i ni i y y y R 121221 ，用来刻画回归的效果，2R 越接近1，表明回归效果越好. ⑶两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表：则()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，通常：（1）828.102>k 有9.99﹪的把握认为X 与Y 有关系；（2）636.62>k 有99﹪的把握认为X 与Y 有关系； （3）841.32>k 有95﹪的把握认为X 与Y 有关系； （4）706.22>k 有90﹪的把握认为X 与Y 有关系；（5）706.22≤k 认为没有充分证据显示X 与Y 有关系；二、例题例1：⑴某市居民2005～2009年家庭年平均收入X （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）的统计资料如下表所示： 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.⑵某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预 测他孙子的身高为_____cm ．析：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数量可列表如下：185(cm).31823,y ,1173176,13)3(63)())((,176,1732231231=++=∴=-=-==+-⨯=---=∴==∑∑==身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为x x b y a x xy y x xb y x i ii i i例2：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆ+=；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)解： (1)如下图 (2)y x i ni i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5，x =46543+++=4.5，y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i12=32+42+52+62=86，266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35aY bX =-=-⨯=，故线性回归方程为y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35，故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)例3：为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？ 说明理由 附：解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500= （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯。
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析数据分析是现代社会中不可或缺的一部分，它帮助我们了解事物之间的相互关系。
在数据分析中，相关系数与线性回归分析是常用的统计工具，它们可以揭示变量之间的关联和预测未来的趋势。
本文将以深入浅出的方式介绍相关系数与线性回归分析的原理、应用和局限性。
相关系数是用来衡量两个变量之间的统计依赖性的指标。
它的取值范围从-1到1，其中0表示没有线性关系，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数是用来衡量两个连续变量之间线性关系的强弱的指标。
它的计算公式为cov(X,Y)/(σX σY)，其中cov(X,Y)代表X和Y的协方差，σX和σY分别代表X和Y的标准差。
如果相关系数接近于1，则表示两个变量之间存在强正相关关系；如果接近于-1，则表示存在强负相关关系；如果接近于0，则表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼等级相关系数是用来衡量两个有序变量之间的相关性的指标。
它通过将每个变量的原始值转换为等级值，并计算等级之间的差异来确定相关性。
斯皮尔曼等级相关系数的取值范围与皮尔逊相关系数相同，但它不要求变量之间呈现线性关系。
相关系数的应用非常广泛。
在金融领域中，相关系数可以用来衡量不同证券之间的关联性，帮助投资者构建更稳健的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用来分析不同变量对疾病风险的影响，为医生提供指导性建议。
在社会科学中，相关系数可以帮助研究者了解不同因素对人们态度和行为的影响，从而改善政策和社会管理的决策。
除了相关系数，线性回归分析也是一种常用的统计方法。
线性回归分析通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，它的基本形式为Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳拟合线，使得回归系数能够准确地预测Y的变化。
线性回归分析的应用广泛。
在市场营销中，线性回归分析可以帮助企业了解消费者购买意愿与价格、促销活动等因素之间的关系，从而制定更有效的营销策略。
第10章 线性相关与回归
∑( X X)(Y Y) ∑( X X) ∑(Y Y)
2 i i
=
LXY LXX.LYY
2
相关系数r没有测量单位,其数值为-1≤≤+1 没有测量单位,其数值为-
相关系数的计算方法
计算时分别可用下面公式带入相关系数r 计算时分别可用下面公式带入相关系数r的 计算公式中
∑ (X ∑ (Y ∑ (X
四,进行线性相关分析的注意事项
⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数,它是总体相关系数的一个估计值,与总体 它是总体相关系数的一个估计值, 相关系数之间存在着抽样误差,要判断两个事 相关系数之间存在着抽样误差, 物之间有无相关及相关的密切程度, 物之间有无相关及相关的密切程度,必须作假 设检验. 设检验.
蛙蛙蛙 蛙蛙蛙
20
10
0 0 10 20 30
温度
2.计算回归系数与常数项 2.计算回归系数与常数项
在本例中:
∑ X = 132
∑ Y = 246
∑X ∑Y
2
= 2024
= 6610
X = 12
2
Y = 22.363
∑ XY = 3622
l b = XY = l XX
∑
XY
∑
( ∑ X )( ∑ Y ) (132)(246) 3622 670 n 11 = = = 1.523 2 2 (∑ X ) 132 440 2 2024 X 11 n
X2
4 16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 2024
Y2
25 121 121 196 484 529 1024 841 1024 1156 1089 6610
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（总例数减1） （自变量个数）
误差自由度：n-2
（总的自由度减去回归自由度）
F 回归均方 / 误差均方
F
U /1 Q /( n 2 )
查方差分析用的F界值表，得P值
df1=1, df2=n-2
例6.2 研究正常男性年龄与运动后最大心率 的关系，求直线回归方程。
ˆ 302.2684 3.2496 x y
体重
心脏横径
设有n对x，y的观察值，先在直角坐标系中 作散点图,如果散点的分布呈直线趋势，则可设法 求出直线方程。 通常用最小二乘法，依据：各点与该直线的 纵向距离的平方和为最小
先由(6.3)式求得b，再由(6.4)式求得a,就得出 直线回归程。
b ( x x )( y y ) /[ ( x x ) 2 ]
直线回归相关分析的注意事项：
5. 在资料要求上：
相关分析要求两个变量服从双变量正态分布。
回归分析要求因变量服从正态分布，自变量可 以是精确测量和严格控制的变量。如两个变量服 从双变量正态分布，则可以作两个回归方程，用 X推算Y，或用Y推算X。
r=0.7495
回
60
3.2 3.1 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 40 45 50 55
回
r=-0.83597
60
65
r
相关系数的计算： x x y y 2 2 x x y y
xxx
x x y y xy x y n
ˆ a bx y
Y为应变量（dependent variable)
X为自变量（independent variable）
A为截距（intercept） b为回归系数（regression coefficient） 回归系数b表示x每改变一个单位，y平均改变b 个单位。
Y=10x+5
ˆ =4.22+0.20x y
直线回归相关分析的注意事项：
2. 在进行直线回归前应绘制散点图，有直 线趋势时，才适宜作直线回归分析。散 点图还能提示资料有无异常点。 3. 直线回归方程的适用范围一般以自变量 的取值范围为限。
直线回归相关分析的注意事项：
4. 对同一组资料作回归和相关分析， 其相关系数和回归系数的显著性检验结果完 全相同。由于相关系数的显著性检验结果可 直接查表，比较方便；而回归系数的显著性 检验计算复杂，故在实际应用中常用相关系 数的显著性检验结果代替回归系数的显著性 检验。
( x x ) 32.63 ( x x ) 93.01 ( x x )( x x ) 54.95
2 1 1
2 2 2
1
1
2
2
r 0.9975
tr 46.82
P 0.01
df 11
两法的测得值有相关（P<0.01)
第三节 直线回归方程
目的：找出描述x与y依存关系的直线方程。
方差分析法：
X和Y的线性关系引起的变异
Y的总变异
2
误差引起的变异
ˆ )2 Q ( y y
2 2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y)
2 ˆ U ( y y)
回归平方和
误差平方和
ˆ )2 Q ( y y
总的自由度：n-1 回归自由度：1
生物统计教研室
第一节 概述
分析两个变量间的关系常用回归及相关分析的统 计方法。 如两个变量间的关系是线性的，可用直线相关与 回归分析；如两个变量间的关系是非线性的需用非线 性（曲线）回归。 回归分析适用于分析变量间的因果关系；用一个 自变量的值来估计另一个应变量的值。 相关分析用于分析两变量间相互联系的密切程度 及相关方向。
tb 5.4078, df 12, P 0.01
U 2404.5954, df1 1 Q 987.4046, df 2 12
F 29.2232, P 0.01
直线回归相关分析的注意事项：
1. 相关分析只是以相关系数来描述两个变量 间线性相关的程度和方向，并不阐明事物间存在 联系的本质，也不是两事物间存在联系的证据。 要阐明两事物间的本质联系，必须凭专业知识从 理论上加以论证。因此，把两个毫无关系的事物 放在一起作相关分析是毫无意义的。同样，作回 归分析也要有实际意义。
t 检验法:
tb b / sb
sb s y. x /
s x. y
2 ˆ ( y y)
df n 2
(x x)
2
2
样本回归系 数的标准误 剩余标准差
ˆ ) /( n 2) (y y
估计误差平方和
2 2 2 2 ˆ ( y y ) ( y y ) [ ( x x )( y y )] / ( x x )
a y bx
y
ˆ a bx y
ˆi yi y
ˆ) ( y y
2
x
2 ˆ 最小 ( y y )
回归系数的显著性检验
从样本资料中算得的回归系数b，也有抽样误 差，因此需作显著性检验，检验其是否是回归系 数为零的总体中抽得的。 H0:β=0 H1:β≠0。
当拒绝H0时，可认为x与y间的直线回归方程 有统计学意义。 显著性检验可有两种方法：t 检验法和方差 分析法。
X和Y的离均差积和
x x
2
x x
2
2
n
X的离均差平方和
相关系数的显著性检验
H0 : 0
sr
H1 : 0
1 r n2
2
样本相关系 数的标准误
tr
r sr
df n 2
查t界值表， 得P值
例6.1 极谱法和碘量法测定水中溶解氧的含 量，两法的测得值是否有相关性？
第二节 相关系数
相关分析的目的在于通过相关系数r来描述和度 量两变量线性联系的程度和方向。 r>0 正相关 图例1
r<0 负相关
r=0 零相关
图例2
图例3
零相关即两变量间无关。
样本相关系数不等于零，并不表示总体相关系 数不等于零，还要作显著性检验。
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3.7 3.5 3.3 3.1 2.9 2.7 2.5 40 45 50 55