( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
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最新人教版高中数学选修1.6-微积分基本定理ppt课件
C．ab F′ (x)dx＝ F(b)－ F(a)
D．ab F′ (x)dx＝ F(a)－ F(b)
3．下列积分值等于 1 的是( C )
A.01xdx C．011dx
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
B．01 (x＋ 1)dx
D．01
1dx 2
求简单函数的定积分 计算下列定积分：
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－ (4＋16)＝53.
33
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(
1
x)dx；
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
π － 2
f(x)
1
dx＝－ 0
x2
1
dx＋0π2(cos
ห้องสมุดไป่ตู้
sin x0≤x＜π，
2 2．已知函数 f(x)＝ 1π≤x≤2，
2
x－1 2＜x≤4，
先画出函数图象， 再求这个函数在区间 [0,4]上的定积分． 解：函数 f(x)的图象如图所示．
04f(x)dx＝20πsin
xdx＋2 1dx＋ π
24
(
x－
1)dx
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2)
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
所以0－
(
π
cos
x－e
x
)dx＝－ 0
cos
π
xdx－0－
e
π
x
dx
＝ sin x|0－ π－ex|0－ π＝e1π－ 1.
D．ab F′ (x)dx＝ F(a)－ F(b)
3．下列积分值等于 1 的是( C )
A.01xdx C．011dx
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
B．01 (x＋ 1)dx
D．01
1dx 2
求简单函数的定积分 计算下列定积分：
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－ (4＋16)＝53.
33
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(
1
x)dx；
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
π － 2
f(x)
1
dx＝－ 0
x2
1
dx＋0π2(cos
ห้องสมุดไป่ตู้
sin x0≤x＜π，
2 2．已知函数 f(x)＝ 1π≤x≤2，
2
x－1 2＜x≤4，
先画出函数图象， 再求这个函数在区间 [0,4]上的定积分． 解：函数 f(x)的图象如图所示．
04f(x)dx＝20πsin
xdx＋2 1dx＋ π
24
(
x－
1)dx
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2)
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
所以0－
(
π
cos
x－e
x
)dx＝－ 0
cos
π
xdx－0－
e
π
x
dx
＝ sin x|0－ π－ex|0－ π＝e1π－ 1.
微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332
高中数学人教A版选修2-2课件 第一章 1.6 微积分基本定理
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当堂检测
π
1.
2
-π2
A.0
(sin
x+cos
x)dx 的值是( B.���4���
) C.2
D.4
π
������
解析:
2
-π2
(sin
x+cos
x)dx=(sin
x-cos
x)|-2���2���=(1-0)-(-1-0)=2.
答案:C
2.计算定积分
1 -1
(x2+sin
x)dx=
.
解析:
目录 退出
解:(1)由于|x-3|=
3-x,x∈[2,3), x-3,x∈[3,5],
所以
5 2
|x-3|dx=
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3x-
1 2
x2
|23 +
1 2
x2
-3x
|35
=9-92-6+2+225-15-92+9=52.
么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱
布尼茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,即
������ ������
f(x)dx=F(x)|ab
=F(b)-F(a).
目录 退出
预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分
(3)
1 0
当堂检测
π
1.
2
-π2
A.0
(sin
x+cos
x)dx 的值是( B.���4���
) C.2
D.4
π
������
解析:
2
-π2
(sin
x+cos
x)dx=(sin
x-cos
x)|-2���2���=(1-0)-(-1-0)=2.
答案:C
2.计算定积分
1 -1
(x2+sin
x)dx=
.
解析:
目录 退出
解:(1)由于|x-3|=
3-x,x∈[2,3), x-3,x∈[3,5],
所以
5 2
|x-3|dx=
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3x-
1 2
x2
|23 +
1 2
x2
-3x
|35
=9-92-6+2+225-15-92+9=52.
么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱
布尼茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,即
������ ������
f(x)dx=F(x)|ab
=F(b)-F(a).
目录 退出
预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分
(3)
1 0
16微积分基本定理课件人教A版选修2-2
D
ΔSi
sti1
P Δt
hi C
o
t i1
ti
t
图1.62
结合图1.61,可得物体总位移
n
n
n
n
S ΔSi hi vti1Δt s' ti1Δt.
i1
i1
i1
i1
显 ,n 越 然 ,即 大 Δ t越 ,区 小 a ,b 间 的分,划
n
n
Vti1Δt s'ti1Δt与S的近似程度就. 越好
Formula).
为 了 ,我 方 们 F 便 b 常 F a 记 常 F x 成 把 |b a ,即
a bfx d x F x |b aF b F a .
微 积 分 基 本 定,理 计表 算明 定 积abf分 xdx的 关 键
是 找 到 满F'足 xfx的 函F数x.通 常 ,我 们 可 以
3当 位 于x 轴 上 方 的 曲 边 y
梯形的面积等于x位轴于1
下方的曲边梯形面积时,
o
1
定积分的值0(图 为1.65),
ysinx π
图1.65
2π x
且等于位x于轴上方的曲
边梯形的面积减去x轴 位下 于方的曲边梯形. 面积
微 积 分 基 本 定 理 揭导示数了和 定积 分 之 间 的 内
在 联 系,同 时 它 也 提 供 了 计积算分定的 一 种 方. 法
2π x
图1.64
可 以 发 ,定现 积 分 的 值 可也能可取能正取值负 还可能 0: 是
1当 对 应 的 曲 边 x轴梯 上形 方 (图 位 1.时 6于 3),
定 积 分 的,值 且取 等正 于值 曲 边;梯 形 的
微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分的基本定理 课件
0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
高中数学(人教版)微积分基本公式课件
( x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
0 f (t)dt
定义
设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a, b]上连续，则 ( x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a, b]上连续，g( x), h( x) 可导
Φ~( x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ ( x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
f ( )(b a) 微分学 F理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3
计算
1 dx .
2 x
例4
f
(
x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
0 f (t)dt
定义
设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a, b]上连续，则 ( x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a, b]上连续，g( x), h( x) 可导
Φ~( x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ ( x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
f ( )(b a) 微分学 F理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3
计算
1 dx .
2 x
例4
f
(
x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
高中数学16微积分基本定理课件新人教A选修PPT课件
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
f(x)dx＝
__S_上___．
第6页/共37页
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
＝
_S_上_－__S_下____
第26页/共37页
定积分的应用
已知
f(x)＝
2x＋1，x∈[－2，2]， 1＋x2，x∈2，4]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
第27页/共37页
• [思路点拨] 第28页/共37页
(1)当k∈(2,3]时，
3
3
kf(x)dx＝k
(1＋x2)dx＝x＋13x3|
3 k
＝3＋13×33－k＋13k3
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
第3页/共37页
• [问题3] 求F(2)－F(0)的值． • [提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6. • [问题4] 你得出什么结论？
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
第4页/共37页
微积分基本定理
第12页/共37页
合作探究 课堂互动
第13页/共37页
求简单函数的定积分
•
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0 2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
人教版高一数学课件-微积分基本定理
a
b F '(x )dx
a
f (x )|ba
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
定積分公式
1) (cx )' 2) x n'
c nx n 1
b
cdx
a
cx |ba
b x ndx
1
a
n
xn
1
1 |ba
3) (sin x )' cos x
b
cos xdx
a
sin x |ba
4) (cos x )'
sin x
b
sin xdx
a
cos x |ba
5) (ln x )'
6) (e x )' e x
b e xdx
a
e x |ba
7) (ax )' ax ln a
b axdx
a
ax ln a
|ba
b a
f
(x)dx
2
sinxdx
=
__1_____
例2：求证 sin2xdx = -
例３:計算
2
f ( x)dx,其中
b F '(x )dx
a
f (x )|ba
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
定積分公式
1) (cx )' 2) x n'
c nx n 1
b
cdx
a
cx |ba
b x ndx
1
a
n
xn
1
1 |ba
3) (sin x )' cos x
b
cos xdx
a
sin x |ba
4) (cos x )'
sin x
b
sin xdx
a
cos x |ba
5) (ln x )'
6) (e x )' e x
b e xdx
a
e x |ba
7) (ax )' ax ln a
b axdx
a
ax ln a
|ba
b a
f
(x)dx
2
sinxdx
=
__1_____
例2：求证 sin2xdx = -
例３:計算
2
f ( x)dx,其中
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2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
(6)bexdx＝exba . a
∴
0
(cos x－ex)dx＝(sin x－ex)0－π
＝(sin 0－e0)－[sin(－π)－e－π]＝e1π－1.
(3)∵(ln x)′＝1x，
∴ e 1
1xdx＝ln
x e1
＝ln
e－ln
1＝1.
(4)∵2xx3－2 1＝2x－x12且x2＋1x′＝2x－x12，
∴ 3
2xx3－2 1＝x2＋1x31
2x， x∈[2，3]
在区间[0,3]上的定积分；
(2)求3 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx. -3
[解析] (1)3f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＋3f(x)dx
0
0
1
2
＝1x3dx＋2 xdx＋32xdx
0
1
2
＝14x410＋23x
3 2
21＋ln2x2 32
＝14＋43 2－23＋ln82－ln42 ＝－152＋43 2＋ln42.
＝9＋13－2＝232.
1．由微积分基本定理求定积分的步骤： 应用微积分基本定理求定积分baf(x)dx 的关键是找到原函数 F(x)：采用逆向 思考的方法，利用基本初等函数的导数公式和运算法则，确定原函数．为避 免出错，应该对原函数进行求导验证． 当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x)，再计算定积分，具体步骤如下． 第一步：求被积函数 f(x)的一个函数 F(x)； 第二步：计算函数的增量 F(b)—F(a)．
[典例 1] 计算下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos
x－ex)dx；
(3)1e1xdx； (4)32xx3－2 1dx.
1
[解析] (1)∵13x3＋x2＋3x′＝x2＋2x＋3，
∴12(x2＋2x＋3)dx＝13x3＋x2＋3x21 ＝83＋4＋6－13＋1＋3＝235. (2)∵(sin x)′＝cos x，(ex)′＝ex，
a
2．当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)， 则bf(x)dx＝ －S 下．
a
3．当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则bf(x)dx＝_S__上_－__S__下__， a
若 S 上＝S 下， 则bf(x)dx＝0.
a
[双基自测]
1.1(ex＋2x)dx 等于( ) 0
2
0
＝π4－12＝π－4 2.
(4)∵f(x)＝xx1＋1＝x1－x＋1 1，
且[ln x－ln(x＋1)]′＝x1－x＋1 1，
∴12xx1＋1dx＝12(1x－x＋1 1)dx ＝[ln x－ln(x＋1)]21 ＝ln43.
探究二 计算分段函数的定积分
[典例 2]
x3， x∈[0，1， (1)求函数 f(x)＝ x， x∈[1，2，
－4x，
x<－32，
(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝6，
－32≤x≤32，
4x， x>32，
∴
3 3
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝
3 2
-3
(－4x)dx＋
3
2
3
6dx＋
3 3
4xdx
2
2
＝(－2x2)
3 2
3
＋6x
3
2 3
2
＋2x2
3 3 2
＝45.
求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常 常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分 再计算．
1.6 微积分基本定理
考纲定位
重难突破
1.了解并掌握微积分基 重点：1.微积分基本定理.
本定理的含义.
2.利用微积分基本定理求定积分.
2.会利用微积分基本定 难点：用微积分基本定理解决与之相关
理求函数的积分.
的综合问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、微积分基本定理
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析：1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10 ＝(e1＋1)－e0＝e. 0
答案：C
2．
2
(1＋cos x)dx 等于(
)
2
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴
2
(1＋cos
x)dx＝(x＋sin
x)
2
＝π＋2.
(2)∵(12x2＋sin x)′＝x＋cos x，
∴
2 0
(x＋cos
x)dx＝(12x2＋sin
π x)20
＝π82＋1.
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而(12x－12sin x)′＝12－12cos x，
∴
2 0
sin2x2dx＝
2 0
(21－21cos
x)dx
＝(12x－21sin x)