经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷（A 卷）

一、

填空题（ 满分15分，每小题 3 分） 1.

设

2

1

()11ln f x x x

=

-+的定义域

为 .

2. 当0x →时，若2

ln(1)ax -与sin x x 是等价无穷小量，

则常数a = ． 3. 设0

()f x A '=，则0

()(2)

lim h f x f x

h h →--=

.

4. 设()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数为sin 2x ，则()f x '= .

5. 设()f x 为连续函数，且

1

()2()f x x f t dt

=+⎰，则

()f x =

．

二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）

6．设

()sin 010

x

x x

f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，则在0=x 处，)(x f （ ）

（A ）．连续 （B ）．左、右极限存在但不相等

（C ）．极限存在但不连续 （D ）．左、右极限不存在

7. 设

2()sin x x

f x x

π-=

，则函数()f x （ ）

14．设2cos 3sin x t y t

=⎧⎨

=⎩，求

22

d y dx

四、计算题（10分）

15．设sin ,

(),

x x f x ax b x ≤⎧=⎨

+>⎩

． （1）确定常数,a b 的值，使()f x 在0x =处可导； （2）求()f x '；

（3）问()f x '在0x =处是否连续．

五、计算题（满分10分） 16．求不定积分：11x

dx

e -+⎰ 17．求广义积分：21

ln x

dx x

+∞⎰

六、应用题（ 满分20分）

18．过原点作曲线ln y x =的切线，求该切线与曲线ln y x =及x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。

19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x 吨时的边际收入函数为()1032R x x '=+，边际成本为2

()40203C x x x '=--+。求

（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？

七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:

20．设

()

f x 在[,]a b 上连续且单调递增，证明1

(),()(),

x a

f t dt a x b F x x a f a x a ⎧<≤⎪

=-⎨⎪=⎩⎰在区间[,]a b 上也单调递增.

21．设()f x 在[0,]2π上可导，()02f π=，证明存在(0,)2

πξ∈，使得

()tan ()0f f ξξξ'+⋅=

答案及评分标准

一、

1.1

1(0,)(,)

e

e --⋃+∞； 2.1-； 3. 2A ； 4.

4sin 2x -； 5. 1x -．

二、6．（B ）； 7.（D ）； 8．（A ）； 9. （B ）； 10．（B ）． 三

、

11

．

【

解

】

111ln 1lim()lim 1ln (1)ln x x x x x x x x

x x →→+-+=--........................（2

分）

112

1

ln 111

lim

lim 1112ln x x x x

x x x x x

→→+-===-

--+--............（5分） 12．【

解

】因为

222lim()lim(1)x a ax

x a x a

x x x a a x a x a

-⋅-→∞→∞+=+--2lim 2x ax

a x a e e →∞-==............（3分） 故

28

a e =，

因

此

3ln 2

2

a =......................................

......（5分） 13

．

【

解

】

因

sin ln sin ln ()(sin ln )

x x x x dy d e e d x x ==..........................

.....（2分）

sin ln sin (cos ln )x x x

e x x dx x

=+

.....................（4分）

所

以

sin ln sin |(cos ln )ln x dy e dx dx

ππππ

ππππ

==+

=-...................

.....（5分） 14

．

【

解

】

()3cos 3

cot ()2sin 2

dy y t t t dx x t t '===-'-............................

........（2分）

2

232

3

(cot )3csc 32()csc ()22sin 4

t d y d dy t t dx dx dx x t t '

--===-⋅=-'-.....

.......（5分） 【另解】函数的隐函数方程为

22

149

x y +=，两边对x 求导，

得94dy x

dx y

=-............（2分） 22223

9()99814()444x dy y x y x

d y d dy y dx dx dx dx y y y ---==-⋅=-⋅=-.......

.....（5分）

四、15．【解】（1）由()f x 在0x =处可导，知()f x 在0x =处连续且(0)f '存在，因此

(0)lim ()x f f x →=，(0)(0)f f +

-

''=