经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷(A卷)经济数学期末考试试卷（A 卷）一、填空题（ 满分15分，每小题 3 分） 1.设21()11ln f x x x=-+的定义域为 .2. 当0x →时，若2ln(1)ax -与sin x x 是等价无穷小量，则常数a = ． 3. 设0()f x A '=，则0()(2)lim h f x f xh h →--=.4. 设()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数为sin 2x ，则()f x '= .5. 设()f x 为连续函数，且1()2()f x x f t dt=+⎰，则()f x =．二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）6．设()sin 010xx xf x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则在0=x 处，)(x f （ ）（A ）．连续 （B ）．左、右极限存在但不相等（C ）．极限存在但不连续 （D ）．左、右极限不存在7. 设2()sin x xf x xπ-=，则函数()f x （ ）14．设2cos 3sin x t y t=⎧⎨=⎩，求22d y dx四、计算题（10分）15．设sin ,(),x x f x ax b x ≤⎧=⎨+>⎩． （1）确定常数,a b 的值，使()f x 在0x =处可导； （2）求()f x '；（3）问()f x '在0x =处是否连续．五、计算题（满分10分） 16．求不定积分：11xdxe -+⎰ 17．求广义积分：21ln xdx x+∞⎰六、应用题（ 满分20分）18．过原点作曲线ln y x =的切线，求该切线与曲线ln y x =及x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。

19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x 吨时的边际收入函数为()1032R x x '=+，边际成本为2()40203C x x x '=--+。

求（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:20．设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增，证明1(),()(),x af t dt a x b F x x a f a x a ⎧<≤⎪=-⎨⎪=⎩⎰在区间[,]a b 上也单调递增.21．设()f x 在[0,]2π上可导，()02f π=，证明存在(0,)2πξ∈，使得()tan ()0f f ξξξ'+⋅=答案及评分标准一、1.11(0,)(,)ee --⋃+∞； 2.1-； 3. 2A ； 4.4sin 2x -； 5. 1x -．二、6．（B ）； 7.（D ）； 8．（A ）； 9. （B ）； 10．（B ）． 三、11．【解】111ln 1lim()lim 1ln (1)ln x x x x x x x xx x →→+-+=--........................（2分）1121ln 111limlim 1112ln x x x xx x x x x→→+-===---+--............（5分） 12．【解】因为222lim()lim(1)x a axx a x ax x x a a x a x a-⋅-→∞→∞+=+--2lim 2x axa x a e e →∞-==............（3分） 故28a e =，因此3ln 22a =............................................（5分） 13．【解】因sin ln sin ln ()(sin ln )x x x x dy d e e d x x ==...............................（2分）sin ln sin (cos ln )x x xe x x dx x=+.....................（4分）所以sin ln sin |(cos ln )ln x dy e dx dxππππππππ==+=-........................（5分） 14．【解】()3cos 3cot ()2sin 2dy y t t t dx x t t '===-'-....................................（2分）22323(cot )3csc 32()csc ()22sin 4t d y d dy t t dx dx dx x t t '--===-⋅=-'-............（5分） 【另解】函数的隐函数方程为22149x y +=，两边对x 求导，得94dy xdx y=-............（2分） 222239()99814()444x dy y x y xd y d dy y dx dx dx dx y y y ---==-⋅=-⋅=-............（5分）四、15．【解】（1）由()f x 在0x =处可导，知()f x 在0x =处连续且(0)f '存在，因此(0)lim ()x f f x →=，(0)(0)f f +-''=因000lim ()lim ()lim ()x x x f x f x ax b b ++→→→==+=，(0)sin 00f ==，故0b =又 00()(0)(0)limlim x x f x f axf a x x+++→→-'===，00()(0)sin (0)limlim 1x x f x f xf x x---→→-'===故1a =，(0)(0)(0)1f f f +-'''===，且sin ,0(),x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩....................................（4分）（2）当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==；当0x <时，()()1f x x ''== 因此，cos ,0()1,x x f x x <⎧'=⎨≥⎩。

...........................................（7分）（3）因为00lim ()lim cos 1x x f x x --→→'==，00lim ()lim 11x x f x ++→→'==，(0)1f '=所以，0lim ()(0)x f x f →''=，即()f x '在x =处是否连续．.....................（10分）五、16．【解】11(1)ln(1)111x x xx x x e dx dx d e e C e e e-==+=+++++⎰⎰⎰.............（5分） 17． 12111ln 1ln 11ln ()|()x x dx xd dx x x x x x+∞+∞+∞+∞=-=---⋅⎰⎰⎰............（3分）11ln 11lim |lim ()(lim 1)11x x x x x x x x +∞→+∞→+∞→+∞=--=---=............（5分）六、18．【解】设切点为0(,ln )x x ，则由1y x'=得切线的斜率为01k x =，切线方程为001ln ()y xx x x -=-（1）因切线过原点，将0x =，0y =代入（1）式，解得0x e=，故切点为(,1)e ，切线方程为1ln ()y e x e e-=- 即 1y x e=............（4分）该切线与曲线ln y x =及x 轴所围成的平面图形的面积为1111ln (ln 1)|1222e ee e A e xdx x x =⨯⨯-=--=-⎰............（7分）所求旋转体的体积为2221111ln (ln 2ln 2)|2(1)333e ee e V e xdx x x x πππππ=⨯⨯-=--+=-⎰......（10分）19．【解】由题设。

有20()(0)()10(40203)xxC x C C t dt t t dt '=+=+--+⎰⎰23104010x x x =--+20()(0)()0(1032)532xxR x R R t dt t dt x x'=+=++=+⎰⎰ （1）总利润函数为223()()()(532)(104010)L x R x C x xx x x x =-=+---+23107215x x x =-++-（2）22()()()(1032)(40203)33072L x R x C x x x x x x '''=-=+---+=-++()630L x x ''=-+令()0L x '=，得12x =（2x =-不合题意，舍去），(12)61230420L ''=-⨯+=-<，故当产量为12吨时，总利润最大。

七、20．【证明】因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()()x af t dtF x x a=-⎰在(,]a b 上连续，又()()lim ()lim lim ()()1x ax a x a x af t dtf x F x f a F a x a+++→→→====-⎰故()F x 在[,]a b 上连续。

.....................（2分） 当a x b <<时，由()f x 在[,]a b 上单调递增，知22()()()()[()()]()[]0()()x xx aaaf t dtx a f x f t dtf x f t dt F x x ax a x a ---''===>---⎰⎰⎰因此()F x 在区间[,]a b 上也单调递增. .....................（5分）21．【证明】令()sin ()F x x f x =⋅，[0,]2x π∈，则()F x 在[0,]2π上连续，且()cos ()sin ()F x x f x x f x ''=⋅+⋅，(0,)2x π∈...............（2分）又(0)sin 0(0)0F f =⋅=()sin ()0222F f πππ=⋅=，故由Rolle 定理知，存在(0,)2πξ∈，使得 ()cos ()sin ()0F f f ξξξξξ''=⋅+⋅= 两边同除以cos ξ，得()tan ()0f f ξξξ'+⋅=.....................（5分）。