大学物理答案第六章

S

v

图6-1 A

v i B

m 图6-2

第六章 气体动理论

6-1 一束分子垂直射向真空室的一平板，设分子束的定向速度为v ，单位体积分子数为n ，分子的质量为m ，求分子与平板碰撞产生的压强．

分析 器壁单位面积所受的正压力称为气体的压强．由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，所以推导压强公式时，应计算器壁单位面积在单位时间内受到气体分子碰撞的平均冲力．

解 以面积为S 的平板面为底面，取长度等于分子束定向速度v 的柱体如图6-1所示，单位时间内与平板碰撞的分子都在此柱体内．柱体内的分子数为nS v ．每个分子与平板碰撞时，作用在平板上的冲力为2m v ，单位时间内平板所受到的冲力为根据压强的定义，分子与平板碰撞产生的压强为

6-2 一球形容器，直径为2R ，内盛理想气体，分子数密度为n ，每个分子的质量为m ，(1)若某分子速率为v i ，与器壁法向成θ角射向器壁进行完全弹性碰撞，问该分子在连续两次碰撞间运动了多长的距离？(2)该分子每秒钟撞击容器多少次？(3)每一次给予器壁的冲量是多大？(4)由上结果导出气体的压强公式．

分析 任一时刻容器中气体分子的速率各不相同，运动方向也不相同，由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，气体压强公式的推导过程为：首先任意选取某一速率和运动方向的分子，计算单位时间内它与器壁碰撞给予器壁的冲力，再对容器中所有分子统计求和．解 (1)如图6-2所示，速率为v i 的分子以θ角与器壁碰撞，因入射角与反射角都相同，连续两次碰撞间运动的距离都是同样的弦长，为(2)该分子每秒钟撞击容器次数为(3)每一次撞击给予器壁的冲量为(4)该分子每秒钟给予器壁的冲力为由于结果与该分子的运动方向无关，只与速率有关，因此可得容器中所有分子每秒钟给予器

壁的冲量为

其中．根据压强的定义，分子与器壁碰撞产生的压强为

其中为分子的平均平动动能．

6-3　容积为10 L 的容器内有1 mol CO 2气体，其方均根速率为1440km/h，求CO 2气体的压强（CO 2的摩尔质量为kg/mol ）．

分析在常温常压下可以将气体视为理想气体，理想气体压强公式中引入了统计平均量----方均根速率和分子数密度n，1 mol的气体中分子数为阿伏伽德罗常量N A，根据这些关系可求出压强．

解容积为V的容器中有1 mol CO2气体，则分子总数为N A，摩尔质量为M，则分子数密度为，分子质量为，因此由气体压强公式得

代入数字得

6-4 在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约，试问在室温（273K）下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子？

分析引入玻尔兹曼常量k和分子数密度n后，理想气体状态方程可以表示为．

解由理想气体状态方程得

6-5 已知气体密度为1 kg/m3，压强为，(1)求气体分子的方均根速率；(2)设气体为氧，求温度．

分析气体密度是单位体积中气体的质量，因此与分子数密度n和分子质量m的关系为．

解压强公式可写为

(1)分子的方均根速率

(2)氧的摩尔质量M =kg/mol，由定义，则

6-6 体积为10-3m3，压强为的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？

分析气体动理论的能量公式给出了微观量气体分子的平均平动动能和宏观量气体温度之间的关系．分子的平均平动动能是大量分子的统计平均值，是每个分子平均占有的平动动能量值．

解由气体动理论的能量公式，分子的平均平动动能为

容器中分子数，又由压强公式，可得容器中所有分子的平均平动动能的总和为

6-7 一容器内贮有氧气，其压强为，温度T =，求(1)单位体积内的分子数；(2)氧气的密度；(3)氧分子的质量；(4)分子间的平均距离；

(5)分子的平均平动动能；(6)若容器是边长为0.30 m的立方体，当一个分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变多少？并将重力势能的改变与其平均平动动能相比较．

分析常温和常压下，氧气可视为理想气体．从宏观的角度，可以认为气体是空间均匀分布的，因此分子间的平均距离的立方就是每个分子平均占有的体积．通过本题的计算，可以得到气体动理论中常用到的物理量的量级概念．

解 (1) 由理想气体的状态方程，可得单位体积内的分子数为

(2) 利用理想气体的状态方程，氧气的密度为

(3) 氧分子的质量为

(4) 分子平均占有的空间开方等于分子间的平均距离

(5) 分子的平均平动动能

(6) 一个氧分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变为

与分子平均平动动能相比较，有

6-8 在什么温度时，气体分子的平均平动动能等于一个电子由静止通过1 V电位差的加速作用所得到的动能（即1eV的能量）．解根据题意，气体分子的平均平动动能

则

6-9 1 mol氢气，在温度时，求(1)具有若干平动动能；(2)具有若干转动动能；(3)温度每升高时增加的总动能是多少？

分析氢气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，根据能量按自由度均分原则可以求出平均平动动能和平均转动动能．

解 (1) 1 mol氢气的平动动能为

(2) 1 mol氢气的转动动能为

(3) 温度每升高，1 mol氢气增加的总动能为

6-10 1 mol单原子理想气体和1 mol双原子理想气体，温度升高时，其内能各增加多少？1g氧气和1g氢气温度升高时，其内能各增加多少？

分析一定量理想气体的内能，对于单原子理想气体，对于双原子理想气体，对于1 mol理想气体．氧气和氢气都是双原子气体，氧气的摩尔质量．

解 1 mol单原子理想气体温度升高，内能增量为

1 mol双原子理想气体温度升高，内能增量为

1 g氧气温度升高，内能增量为

1 g氢气温度升高，内能增量为

6-11 计算：(1)氧分子在时的平均平动动能和平均转动动能；(2)在此温度下，4 g氧的内能．

分析氧气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，．

解 (1) 氧分子在时的平均平动动能为

平均转动动能为

(2) 4 g氧在时的内能为

6-12 有40个粒子速率分布如下表所示 (其中速率单位为m/s)：

速率区间100以下100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 900以上粒子数 1 4 6 8 6 5 4 3 2 1

若以各区间的中值速率标志处于该区间内的粒子速率值，试求这40个粒