相对论一章习题解答

τ =
由此式可以解得
τ0
1− u2 c2
3 2 u = c ⋅ 1−τ 0 τ 2 = c ⋅ 1 − (4 5) 2 = c 5 所以，应当选择答案(B)。
习题 16 — 6 根据相对论力学，动能为(1/4)MeV 的电子，其运动速度约等于： ［ ］ (A) 0.1c。 (B) 0.5c。 (C) 0.75c。 (D) 0.85c。 (c 表示真空中的光速，电子静能 m0c2=0.5MeV) 解：由相对论能量公式可知
可得
v = c ⋅ 1 − l 2 l 02
根据相对论动能公式可得 ⎛ ⎞ 1 ⎛l ⎞ E k = E − E 0 = m0 c 2 ⎜ − 1 ⎟ = m0 c 2 ⎜ 0 − 1⎟ ⎜ 1 − v2 c2 ⎟ ⎝l ⎠ ⎝ ⎠ 习题 16—12 在惯性系 S 中，有两件事发生于同一地点，且第二件事比第一件 事晚发生△t=2 秒钟； 而在另一惯性系 S ′ 中观测，第二件事比第一件事晚发生 ∆t ′ ＝3 秒钟，那么在 S ′ 系中发生两件事的地点之间的距离是多少? 解： 设两个惯性系之间的相对运动速度为 u， 依题意我们知道△t 为固有时间 则 ∆t ′ = 所以 1 1− u c 即
υ
υ
16cN
的，所以飞船上的时间差为固有时间（ t飞 = τ 0 ） 。则
t地 =
t飞
1 − υ 2 c2
即,
16ຫໍສະໝຸດ BaiduN 4N = υ 1 − υ 2 c2
解得 υ = 解二、 此题也可用长度收缩计算， 地球到牛郎星的距离是静止在地球所在参考系 K 系下的长度，是固有长度，而在飞船上看，这个长度收缩了，飞船上看该长度为
l = l0 1 − u 2 c 2
可以解得
u = c ⋅ 1 − l 2 l 02 = c ⋅ 1 − (3 5) 2 =
所以，应当选择答案(C)。
4 c 5
习题 16—4 K 系与 K ′ 系是坐标轴相互平行的两个惯性系， K ′ 系相对 K 系沿 OX 轴正向运动，一根刚性尺静止在 K ′ 系中，与 O ′X ′ 轴成 30°角。今在 K 系中观测 的该尺与 OX 轴成 45°角，则 K ′ 系相对于 K 系的速度是： ［ ］ (A) 2 c。 3 (B) 1 c。 3 (C) 2 c。 3 (D) 1 c。 3
习题 16—10 一列高速火车以速度 u 驶过车站时，固定在站台上的两只机械手 在车厢上同时画出两个痕迹。 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间的距离 为 l，则在车厢上的观察者测出两痕迹间的距离为 。 解： 被机械手画出的痕迹固定在车厢上，车厢上的观察者测得的两痕迹间的 距离为固有长度 l0，站台上的观察者(同时)测出的两痕迹之间的距离为运动长度 l，根据长度收缩公式有
2
= M 0c 2
②
M0 =
所以，应当选择答案(D)。
2m0 1 − ( v c) 2
习题 16—8 已知电子的静能为 0.511MeV，若电子的动能为 0.25MeV，则它所 增加的质量 ∆m 与静止质量 m0 的比值近似为： ［ ］ (A) 0.1。 (B) 0.2。 (C) 0.5。 (D) 0.9。 解：由题意知
t地 = 16 cN υ ，而飞船上的观察者看来所需时间为 t飞 = 4N ，那么，哪个是固有
时间呢？ 如图所示， 我们可以看 做这样两个事件， 飞船从地 球上起飞是事件 1，飞船到 达牛郎星是事件 2；这两个 事件在飞船所在的参考系 K ′ 系下是在同一地点发生
图 事件 1 地球 飞船
K
K′
K′
飞船 事件 2 牛郎星
′ − t1 ′= ∆t ′ = t 2
′ 90 x′ 2 − x1 = s c c
∆x =
∆ x ′ + υ ∆t ′ 1 −υ 2 c2
90 + 0.8c × ( =
1 − (0.8) 2
90 ) c = 270 m
习题 16—3 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行。 如果宇航员希望把这 路程缩短为 3 光年，则他所乘坐的火箭相对于地球的速度应为： ［ ］ (A) u=c/2。 (B) u=3c/5。 (C) u=4c/5。 (D) u=9c/10。 解： 地球(K 系)测得的此路程为 l0=5 光年， 宇航员测得的此路程为 l＝3 光年， 则有
E = γm0c 2 = γE0
由题意知
E0 = 0.50MeV E = E0 + E k = 0.75 MeV E = E0 + E k = 0.75 MeV γ =
1 1−
则可得 γ =
3 ，又知 2
υ2 c2
可以解得电子的运动速度为 v = 0.75c 所以，应当选择答案(C)。 习题 16—7 在参照系 S 中，有两个静止质量都是 m0 的粒子 A 和 B，分别以速 度 v 沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量 M0 的 值为： ［ ］ (A) 2m0 (B) 2m0 1 − ( v c) 2 (C)
l = l0 1 − u 2 c 2
所以
l0 =
l
1− u2 c2
习题 16—11 匀质细棒的静止时的质量为 m0，长度为 l0，当它沿棒长方向作高 速的匀速直线运动时，测得它的长为 l ，那么，该棒的运动速度 v= ， 该棒所具有的动能 Ek= 。 解：由长度收缩公式
l = l0 1 − v 2 c 2
L = L0 1 − v 2 c 2 = 90 × 1 − (0.8) 2 = 54 m
解：在 K ′ 系中：尺长为固有长度 l0，有如下关系 tg 30 � = 在 K 系中：根据运动长度收缩公式有 tg 45 � = 由此式解得
l 0 y′ l 0 x′
tg 30 � 1− u2 c2
l 0 y′ l 0 x′ 1 − u 2 c 2
=
=1
u = c ⋅ 1 − tg 2 30 � = c ⋅ 1 − (1 3 ) 2 =
16 ⋅ c = 0.97c = 2.91× 108 m/s . 17
l = 16cN 1- υ 2 c 2
则飞船上观察所用时间为
2 2 l 16cN 1 − υ c t飞 = = 即, υ υ
16cN 1 − υ 2 c 2 4N = υ 解得 υ =
16 ⋅ c = 0.97c = 2.91× 108 m/s . 17
所以，应当选择答案(C)。
2 ⋅c 3
习题 16—5 在某地发生两事件，静止于该地的甲测得时间间隔为 4s，若相对甲 作匀速直线运动的乙测得时间间隔为 5s，则乙相对于甲的速度是： ［ ］ (A) 4c/5。 (B) 3c/5。 (C) c/5。 (D) 2c/5。 解： 设乙相对于甲的速度为 u。 依题意， 甲测得时间间隔为固有时间 τ 0 = 4 s ， 乙测得时间间隔为地方时 τ = 5 s 。根据时间膨胀公式有
v=0.999c，按地球上的时钟计算要用多少年时间 ?如果以飞船上的时钟计算，所 需要时间又为多少年?
解：按地球上的时钟计算，飞船自地球飞到半人马座 α 星所需要的时间为 ∆t =
S 4.3 × 1016 = = 1.43 × 10 8 s = 4.5年 8 v 0.999 × 3 × 10
飞船上测得的时间 ∆t ′ 是固有时间，因此 ∆t ′ = ∆t 1 − v 2 c 2 = 4.5 × 1 − (0.999) 2 = 0.20年 习题 16—16 一艘宇宙飞船的船身固有长度为 L0=90m， 相对于地面以 v=0.8c 的 匀速度在一观测站的上空飞过。 (1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少? (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少? 解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为
解：设相对观察者 A 静止的圆的半径为 R，则有
S = πR 2
对观察者 B，该图形为一椭圆，且运动方向的半径收缩为 R = R 1 − u 2 c 2 其面积为
S ′ = πab = π ( R 1 − u 2 c 2 ) ⋅ R
= πR 2 ⋅ 1 − u 2 c 2 = S 1 − u 2 c 2 = 12 × 1 − (0.8) 2 = 7.2 cm 2 习题 16—15 半人马座 α 星是距太阳系最近的恒星，它距离地球 S=4.3×1016m。 设有一宇宙飞船自地球飞到半人马座 α 星，若宇宙飞船相对地球的速度
2 2
∆t 1− u2 c2
=
∆t ′ 3 = ∆t 2 5 c 3
u = c 1 − (2 3) 2 =
由题设，在 S 系中 ∆x = x 2 − x1 = 0 ，所以由洛仑兹变换可得 ∆x′ = ∆x − u∆ t 1− u2 c2 =− 5 3 c× 2× 3 2
=
− u∆t 1− u 2 c2
E0 = 0.511MeV E = E0 + E k = 0.761MeV
由相对论能量公式
E = mc 2
E0 = m0c 2
显然，
m 3 ≈ m0 2
故，
∆m ≈ 0.5 m0
所以，应当选择答案(C)。 习题 16—9 牛郎星距地球约 16 光年，宇宙飞船若以 将用 4 年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时间)抵达牛郎星。 解一： 注意，光年是长度单位，一光年是光一年走的距离（ 1 cN ） ；设飞船相对于 地球以 υ 的速度匀速飞行，显然在地球上的观察者看来该过程所需时间为 的速度匀速飞行，
= − 5c = −6.71 × 10 8 m/s 因此，在 S ′ 系中发生两件事的地点之间的距离为 6.71×108m/s。
习题 16—13 在 K 惯性系中发生两事件，它们的位置和时间坐标分别是 (x1，t1) 及(x2，t2)；若在相对于 K 系沿正 X 方向匀速运动的 K ′ 系中观测，这两事件恰好 发生在同一地点上，试证明这两事件在 K ′ 系中看来它们的时间间隔是： ∆t ′ = ∆t 2 − (∆x c) 2 ，其中 ∆x = x 2 − x1 ， ∆t = t 2 − t1 。 解：依题意，在 K ′ 系中有
相对论一章习题解答
习题 16—1 在狭义相对论中，下列说法哪些是正确的?［ ］ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。 (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改 变的。 (3) 在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件在其它一切惯性系 中也是同时发生的。 (4) 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这钟 比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 (A) (1)，(3)，(4)。(B) (1)，(2)，(4)。(C) (1)，(2)，(3)。(D) (2)，(3)，(4)。 解：在以上四种所法中，只有 (3)违背了同时的相对性，是不正确的，其余 三种说法都是正确的，所以应当选择答案(B)。 习题 16—2 一宇宙飞船相对地球以 0.8c 的速度飞行。一光脉冲从船尾到船头， 飞船上的观察者测得飞船长度为 90m， 地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和 到达船头两事件的空间间隔为： ［ ］ (A) 90m。 (B) 54m。 (C) 270m。 (D) 15m。 解：设飞船为 K ′ 系，地球为 K 系，则有 在 K ′ 系中： ′ ∆x ′ = x ′ 2 − x1 = 90 m ， 由两事件时间间隔、空间间隔洛仑兹变换可得
m0 1 − ( v c) 2 2
(D)
2m 0 1 − ( v c) 2
解：两粒子相碰撞动量守恒
m0 v
1 − ( v c)
2
+
m 0 ( − v)
1 − ( v c)
2
=
M 0V
1 − (V c) 2
①
式中 V 是合成粒子的速度。由①可以得到 V =0 即碰撞后的合成粒子静止。两粒子相碰撞能量也是守恒的 2m 0 c 2 1 − ( v c) 由②可得合成粒子的静止质量为
∆x ′ =
由此式可以解得
∆ x − u∆ t 1 − u 2 c2
=0
u=
在 K ′ 系中这两事件的时间间隔为 ∆t ′ = 把①代入②并整理即得
∆x ∆t
①
∆t − u c 2 ⋅ ∆x 1− u2 c2
②
∆t ′ = ∆t 2 − (∆x c) 2 证毕。 习题 16—14 观察者 A 测得与他相对静止的 XOY 平面上一个圆的面积是 12cm2， 另一个观察者 B 相对于 A 以 0.8c(c 为真空中光速)平行于 XOY 平面作匀速直线运 动，B 测得这一图形为一椭圆，其面积是多少?