第3章随机过程

二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; )
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什么是随机过程？
设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样本
空间S为；{x1(t)，x2(t)，，xi(t)，}，i为正 整数，xi(t)为第 i 个样本函数（又称之为实现 (realization)）,每次试验之后，(t)取空间S中 的某一样本函数，于是称此(t)为随机函数。 当 t 代表时间量时，称此(t)为随机过程
E[ξ 2 (t )] 2a (t ) E ξ (t ) a 2 (t )

(t) a(t)
2

反映随机过程在时刻 t 相对于均值的偏离程度；
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相关函数(correlation function)：
描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机 变量之间的相关程度。
f n ( x1 , x2 ,, xn；t1 , t2 ,, tn )
称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程, 简称严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。
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性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特 性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函 数与时间t无关：
f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 )
式中: a (t1) a(t2) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f 2(x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1 , t 2 ) R(t1 , t 2 ) a(t1 ) a(t 2 )
若a(t1) = a(t2)=0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)

式中 f ( x) 是随机变量X的概率密度函数。 4. 确知函数可视为常数 E[ f (t )] f (t ) 若 f ( x) 是确知函数，则 E[ f (t ) g ( X )] f (t ) E[ g ( X )]
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3.2平稳随机过程
狭义平稳（或严平稳）随机过程
广义平稳（或宽平稳）随机过程 平稳随机过程的“各态历经性” 平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程的功率谱密度
表征了随机信号的直流分量；
X t
0
t
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随机过程的方差 (variance)：
D[ (t )] E
E ξ 2 (t ) 2a (t )ξ (t ) a 2 (t ) E[ξ 2 (t )] a 2 (t )
2 (t ) 。 记为：
表征了随机信号的交流平均功率。

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什么是随机过程？
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一 个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这 个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学 描述。

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样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
xn (t) t tk
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3.1.1 随机过程的分布函数 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时 刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。 随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率
P{ (t1 ) x1}
(t1 ) x1} 简记为F1(x1, t1)，即 F 1(x 1 , t1 ) P{
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3.2.1 平稳随机过程的定义
定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间 的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或 概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意 的正整数n和任意的实数 t1 , t2 , , tn , ，平稳 随机过程 (t ) 的n维概率密度函数满足： f n ( x1 , x 2 ,, x n ；t1 , t2 ,, tn )
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协方差函数(covariance function)
B(t1 , t 2 ) E [ (t1 ) a(t1 )][ (t 2 ) a(t 2 )]



[ x1 a(t1 )][x2 a(t 2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
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随机过程的数学期望 设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是 一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则 ξ(t1)的数学期望为
E[ (t1 )] x1 f1 ( x, t1 )dx1


注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写 为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意 (t ) ， 于是 时刻的数学期望，记作
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Байду номын сангаас
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能
用确切的时间函数描述。
角度1：随机过程可视为无穷多个样本函数的 集合 (assemble) 。 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有 一条时间波形（称为样本函数或实现)，记作xi(t)， 所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t), …, xn(t) …}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言 之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
(tn ) xn}
n维概率密度函数被定义为:
Fn ( x1 , x2 ...;t1,t2 ...,tn )
n
x1 x2 ...xn
f ( x1 , x2 ..., xn ; t1 , t2 ...,tn )
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3.1.2 随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面 地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中， 有时不易或不需求出分布函数和概率密度函 数，而用随机过程的数字特征来描述随机过 程的统计特性，更简单直观。
R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测 得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个 变量t1和t2的确定函数。
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两层含义：
随机过程ξ(t)是大量样本函数的集合。
随机过程ξ(t)在任一时刻都是随机变量；
随机过程基本特征：
随机过程兼有随机变量和和时间函数的特点： 就某一瞬间来看，它是一个随机变量；就它 的一个样本来看，则是一个时间函数。随机过 程的样本空间是一个时间函数集，随机变量的 样本空间是一个实数集。
时也用 a X 表示；D X 表示的 X 取值相对于均值
的“离散程度”，也常常表示为
2 X
。
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随机过程 (random process)
确定过程
其变化过程具有确定的形式，或者说具有必 然的变化规律。用数学语言来说，其变化过程 可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机过程 没有确定的变化形式，也就是说，每次对 它的测量结果没有一个确定的变化规律。用数 学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一 个或几个时间t的确定函数来描述。
取值小于或等于 x 的概率，即
FX x P X x
在许多问题中，采用概率密度函数 PX x 比采用概率分布函数更方便。概率密度函 数被定义为概率分布函数的导数。
分布函 数：distribution function 概率密度函数： probability density function
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第3章 随机过程
3.0 引言 3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 要求 3.7 高斯白噪声和带限白噪声
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3.0 引言
1.信号的分类 按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。 确定信号：是指在相同的实验条件下，能够 重复实现的信号。又有周期信号和非周期信号 之分。确定性信号是时间的确定函数。 随机信号：是在相同的实验条件下，不能够 重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知 或不可能完全预知（具有随机性）。
a(t ) E[ (t )] x f1 ( x, t )dx


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随机过程的数学期望
反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）
a(t ) E[ (t )] x f1 ( x, t )dx


随时间的变化情况；
是随机过程所有样本函数的统计平均函数；
它由随机过程的一维概率分布决定；
无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。
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什么是随机过程？ 角度2： 随机过程可视为无穷多个随机变量 (ti) 的集合。
在任一给定时刻 t1上，每一个样本函数xi (t) 都是一个确定的数值xi (t1)，但是每个xi (t1)都 是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{xi (t1), i = 1, 2, …, n}是一个随机变量，记为 (t1).
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互相关函数
R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
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补：进行统计平均运算时常用到的一些公式
1. 和的平均等于平均的和 E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y) 2. 若X、Y相互统计独立，则积的平均等于平均 的积 E(XY)＝E(X)E(Y) 3. 随机变量X的函数g(X)的平均 E[ g ( X )] g ( X ) f ( x)dx
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随机变量的主要数字特征包括数学期望（均 值） E X 和方差 D( X ) 等。
E ( X ) x p X ( x)dx
DX E X aX
2




x aX pX x dx
2

E X 反映了随机变量 X 取值的集中位置，有
称为随机过程ξ(t)的一维分布函数
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如果存在
F 1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
称 f1 ( x1，t1 ) 为随机过程 (t ) 的一维概率密度函数
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布 函数被定义为：
Fn ( x1, x2 , xn ; t1, t2 , tn ) P { (t1 ) x1 , (t2 ) x2 ,
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概率密度函数和概率分布函数之间的关系可 表述为： 函数 PX x 在该区间上的积分，即 :
p X x P x1 x x2
X 位于区间 x1 , x 2 内的概率是概率密度
Px1 X x2 PX x dx
x2 x1
x1
x2
x
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若考虑两个随机变量X 、Y，定义二维随机变
随机变量(random variable):在数学分析 中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是不确定的（以某个概率 取某个值），则这种变量称为随机变量。
例如在给定的某一瞬间测量接收机输出 端上的噪声，所测得的噪声瞬间值就是一 个随机变量。
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随机变量 X 的概率分布函数 FX x 是 X 的
量( X,Y )的联合概率分布函数为 FX ,Y x, y ，即X
小于或等于x 同时 Y 小于或等于 y 的联合概率。
FX ,Y x, y P X x;Y y
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定义二维随机变量的联合概率密度函数为
FX ,Y x, y PX ,Y x, y xy 假设联合概率分布函数处处连续，且偏导 存在并处处连续。
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2. 通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号. 随机信号的不可预测性为所携带的信息，它 是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干 扰，是有害的。两者都不可预测，但均服从一 定统计规律，需用概率论方法进行分析。二者 统计特性不同，可从噪声中提取信号。
3.通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。
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3.1随机过程的基本概念