第3章随机过程
通信原理第3章(樊昌信第七版)

即
Po ( f ) H( f ) H( f ) Pi ( f ) H( f ) 2 Pi ( f )
结论:输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘 以系统频率响应模值的平方。
应用:由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()
20
输出过程o(t)的概率分布
如果线性系统的输入过程是高斯型的,则系统的输出过
量之和。由概率论理论得知,这个“和” 也是高斯随机
变量,因而输出过程也为高斯过程。
注意,与输入高斯过程相比,输出过程的数字特征已经改变了。
21
3.5 窄带随机过程
什么是窄带随机过程?
若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率
fc附近相对窄的频带范围f 内,即满足f << fc
的条件,且 fc 远离零频率,则称该(t)为窄带
E[c (t)] 0, E[s (t)] 0
27
(t)的自相关函数:由自相关函数的定义式
R (t,t ) E[ (t) (t )] Rc (t,t ) cosct cosc (t ) Rcs (t,t ) cosct sin c (t ) Rsc (t,t ) sin ct cosc (t ) Rs (t,t ) sin ct sin c (t )
1. 输出过程的均值是一个常数。
E 轾 臌x0 (t) = E 轾 臌xi (t) H (0)=aH (0)
a是输入过程的均值,H(0)是线性系统在f=0时的频率响
应,即直流增益。
15
输出过程o(t)的均值
0(t) h( )i (t )d
对上式两边取统计平均:
第3章 平稳随机过程

一、 互相关函数的性质
(1) RXY (0 ) RYX ( 0 ) (2) RXY ( ) RYX ( ) 2 (3) RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 (4) C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程,则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) (1) R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
(2) R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
第三章随机过程作业

第三章随机过程作业1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量,求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程,且X a =0,方差函数为σX t 2。
记随机过程Y t =kX t +c ,k 、c 为常数,c≠0。
(1) 证明Y t 是独立增量随机过程;(2) 求Y t 的方差函数和协方差函数。
3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2,其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1,求{X t }的协方差函数。
4. 设U 是随机变量,随机过程X t =U,−∞ <t <∞ .(1) X t 是严平稳过程吗?为什么?(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2,证明:X t 的自相关函数是常数。
5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞ <t <∞ ,其中U 与V 独立同分布N(0,1)。
(1) X t 是平稳过程吗?为什么?(2) X t 是严平稳过程吗?为什么?6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。
7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息,2t ,如t 时手机未接收到短信息,试求:X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ~ U( −π ,π) , 令Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。
教程:第3章 随机过程

• 角度2:随机过程是随机变量概念的延伸
其一,它是一个时间函数; 其二,在固定的某一观察时刻t1 ,全体样本在t1时 刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。
可见,随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 因此,我们又可以把随机过程看成依赖时间参
数的一族随机变量。这个角度更适合对随机过程 理论进行精确的数学描述。
– 相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1,t2 ) R(t1, t2 ) a(t1) a(t2 )
若a(t1) = a(t2),则B(t1, t2) = R(t1, t2)
14
互相关函数
• 互相关函数 R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
f (t) fT (t)
T
0
T
2
2
t
28
– 对于平稳随机过程 (t) ,可以把f (t)当作是(t)的一个样本;
某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功
率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均,故 (t)
的功率谱密度可以定义为
P ( f )
E
Pf
(f)
lim E FT ( f ) 2
30
• 在维纳-辛钦关系基础上,我们可以得到以下结论:
– 对功率谱密度进行积分,可得平稳过程的总功率:
R(0) P ( f )df
上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。
– 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程 的功率谱密度。也就是说,每一样本函数的谱特性都能很好
地表现整个过程的的谱特性。
31
– 功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性,即有
随机过程第三章

随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程,其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合,其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程,其中事件的 发生是相互独立的,且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用,如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性,即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程, 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程:一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合,这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程,但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间,而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移,而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛, 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
应用随机过程(第三章)PPT课件

ptk
k!
ept
例3.1.5
• 天空中的星体数服从Poisson分布,其参数 为λV,V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p,则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为λpV的Poisson 分布。
与Poisson过程相联系 若干分布
Nt
3
2
1
0 X1X2X3
t
T0
0t1t2tn
例3.2.3
• 乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站, 火车在t 时刻启程,计算(0,t]内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。
P A 发生s之 在(s 前 ,时 t]内 A 没 , 刻有 发
P N t 1
P N S 1 P P N N t t1 N s 0
sesteetts
s t
定理3.2.3
在已知N(t)=n的条件下,事件发生的n 个时 刻T1,T2,…,Tn的联合密度函数为
ft1,
t2,
,
tn
tn n!
T1
T2
T3
X n 与 T n 的分布
T n 表示第n次事件发生的时间; n1,2, , 规定 T0 0 ,
X n 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔, n1,2, ,
定理3.2.1 X n n 1 ,2 ,
服从参数为λ的指数分布,且相互独立。
X 1 t N t 0
P X 1 t P N t 0 e t
定义3.1.2
计数过程N t,t0称为参数为λ的
Poisson过程,如果:
(1) N00;
(2)过程有独立增量;
(3)在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为λt的Poisson分布,即对 一切 s0,t0,有:
随机过程第3章离散鞅论

3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计 鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题
与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应
用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么 上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 (第4章内容)
利用Brown运动构造的鞅 (第5章内容)
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
概率论第三章 平稳随机过程

严平稳过程只要均方值有界, 就是广义平稳的, 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时,若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数,即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依,或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a,ω0为常数,Φ是在区间(0,2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经(遍历)随机过程
在上面的讨论中,每当谈到随机过程时,就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性,就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明,可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质(工程)
1.有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果,因此估计量本身是 随机变量,于是它也存在其均值和方差。
定义1:取对应于ρX(τ)=0.05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2:用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1,底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0,即
第三章 随机过程的随机分析

2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
3.1 均方极限
1、均方极限的定义
设{X n,n 1, 2, } H,X H ,
如果
lim E X n X 0
n
2
则称{ X n }均方收敛于X, 或称X是{ X n }的均方极限 记作
l.i.m X n X n
0
h 0
所以
l.i.m X (t0 h) X (t0 ) h0
设 X (t ) 在 t 0 处均方连续,
再证必要性
又
R(t0 h, t0 k ) E (X (t0 h)( X (t0 k ))
由均方收敛性质2得 lim R(t0 h, t0 k ) E (X (t0 )X (t0 )) R(t0 , t0 )
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
定理3.3.1
设{X (t ),t T }是二阶矩过程,RX ( s, t )是其相关函数, 则RX ( s, t )广义二阶可导的充分条件是RX ( s, t )关于s和t 的一阶偏导数存在,二阶混合偏导数存在且连续; RX ( s, t )广义二阶可导的必要条件是RX ( s, t )关于s和t的 一阶偏导数存在,二阶混合偏导数存在且相等。
2、均方可导准则 定义2 广义二次可微
设f (s, t )是普通二元函数,称f (s, t )在(s, t )处二阶可导, 如果下列极限存在:
f (s h, t k ) f (s h, t ) f (s, t k ) f (s, t ) lim h0 hk k 0
而此极限称为 f ( s, t ) 在 ( s, t ) 处广义二阶导数
第三章 几种重要随机过程

正态分布(高斯分布) 4.1.1 正态分布(高斯分布) n维正态随机变量的性质: 维正态随机变量的性质
(3)(线性变换) )(线性变换 ( X 1 , X 2 , L , X n ) ′服从n维正态分布 (µ, C)
的充要条件是它的任何一个线性组合 Y = ∑ ak X k = a′X 服从一维正态分布
1
C ( t1 , t1 ) C (t , t ) 2 1 C= M C ( t n , t1 )
特征函数: 特征函数:
1 ′u − u′Cu) ϕ (u1 , u2 ,L , un ) = exp(iµ 2
正态随机过程(高斯过程) 4.1.2 正态随机过程(高斯过程) 性质: 性质:
X b = ( X k1 , X k 2 , L , X k m ) ′ ( m ≤ n ) 也服从
X N (u, C) Xb N (ub , Cb )
µ b = ( µ k1 , µ k 2 , L , µ k m ) ′
Cb是保留 的第 1,k2,…,km行和列所得到的m×m矩阵 是保留C的第 的第k 行和列所得到的 × 矩阵
4 几种重要的随机过程
正态过程(高斯过程) 正态过程(高斯过程) 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 马尔可夫过程 生灭过程
4.1 正态过程(高斯过程 正态过程 高斯过程) 高斯过程
正态分布(高斯分布) 4.1.1 正态分布(高斯分布)
定义1 如果随机变量 的概率密度为 定义1:如果随机变量X的概率密度为
k =1
n
N (∑ ak µ k , ∑∑ ak ai Cki )
k =1 k =1 i =1
n
n
n
。
定理2 服从n 定理2:若 X = ( X 1 , X 2 , L , X n ) ′服从n维正态分布 态分布 N (eµ , eCe′。 )
随机过程第3章

第三章 随机过程一. 随机过程的基本概念 1.1 随机过程的定义设(Ω,F ,P )为给定的概率空间,T 为一指标集,对于任意t T ∈,都存在定义在(),,P ΩF 上,取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应,则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程,简记(){}t X ω,{}t X 或(){}X t注:随机过程(){}:,t X t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数,对于给定的时间0t ,是0(,)X t ω是概率空间(),,P ΩF 上的随机变量;对于给定样本点0ω∈Ω,0(,)X t ω是定义在T 上的实函数,此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数,也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间,也成为状态空间,通常用“t X x =”表示t X 处于状态x1.2随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类:连续型随机过程、离散型随机过程、连续型随机序列、离散型随机序列1.3 有穷维分布函数设随机过程{}t X ,在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,n t t X X 构成n 维随机向量()1,,nt t X X ,其n 维联合分布函数为:()()11,,11,,,,nnt t n t t n F x x P X x X x =≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,nt t n f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n F x x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
二.随机过程的数字特征 2.1 数学期望对于任何一个时间t T ∈,随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==⎰()t E X 是时间t 的函数2.2 方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差随机过程{}t X 的二阶原点矩定义为22()()tt E X x dF x +∞-∞=⎰注:2()X t σ是时间t 的函数,它描述了随机过程()X t 的诸样本对于其数学期望t μ的偏移程度2.3 协方差函数和自相关函数随机过程{}t X 对于任意12,t t T ∈,其协方差函数定义为12112212(,)(,)[(())(())]X t t t t t t c t t Cov X X E X E X X E X ==--当12t t t ==时,协方差函数就是方差随机过程{}t X 的自相关函数(相关函数)定义为121212(,)(),t t R t t E X X t t T =∈当12t t t ==时,自相关函数就是二阶原点矩。
第3章平稳随机过程总

在通信中,常常把稳定状态下的随机过 程,当作平稳随机过程来处理,这样,对 这个随机过程任何时候来测量,都会得到 同样的结果,从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程,在较短的时间 内,常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化,即当时间平移时,其任意的n维概率密度 不变,则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程(广义平稳过程,平稳过程) • 由于求n维概率密度比较困难,有时只用到一、二
阶矩,如功率(均方值和方差)和功率谱密度(自 相关函数),因此,平稳性的定义不需要那么严格, 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系: 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征; 严平稳过程只要均方值有界,则它必定是宽平 稳的,反之不一定成立; 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2
周荫清《随机过程理论》第3章随机过程的线性变换

周荫清《随机过程理论》第3章随机过程的线性变换随机过程的线性变换是随机过程理论中的重要概念,它在对随机过程进行分析和应用时起到了重要的作用。
本文将对周荫清《随机过程理论》第3章的内容进行详细介绍和解析。
随机过程的线性变换是指将一个随机过程通过线性变换得到另一个随机过程的过程。
具体而言,设X(t)是一个随机过程,A是一个常数矩阵,b是一个常向量,定义随机过程Y(t)=AX(t)+b,则Y(t)是X(t)的线性变换。
首先,本章介绍了随机过程的线性变换的性质。
线性变换保持了从一个状态到另一个状态的概率转移,即P{X(t2)∈B,X(t1)∈A}=P{Y(t2)∈B,Y(t1)∈A},其中B和A是任意集合。
这个性质保证了线性变换后的随机过程依然具有一些重要的性质,如马尔可夫性和平稳性。
接着,本章介绍了线性变换对随机过程的均值和自协方差函数的影响。
对于均值,线性变换后的随机过程的均值等于线性变换前随机过程的均值乘以线性变换矩阵的转置,即E[Y(t)]=AE[X(t)]+b。
对于自协方差函数,线性变换后的随机过程的自协方差函数等于线性变换前随机过程的自协方差函数乘以线性变换矩阵的转置,即R_Y(t1,t2)=AR_X(t1,t2)A^T。
然后,本章介绍了随机过程的线性滤波。
线性滤波是将一个随机过程通过滤波器的作用得到另一个随机过程的过程。
具体而言,设X(t)为一个随机过程,h(t)为一个给定的函数,则线性滤波得到的随机过程Y(t)定义为Y(t) = ∫h(t-s)X(s)ds。
本章介绍了线性滤波的定义和性质,包括线性滤波的线性性质和稳定性。
最后,本章介绍了随机过程的线性变换和线性滤波的应用。
线性变换和线性滤波方法常被用于模拟和预测随机过程以及信号处理等领域。
本章通过实例和应用案例,详细介绍了如何使用线性变换和线性滤波方法进行随机过程的分析和应用,如求解线性滤波器的响应和输出等。
总之,周荫清《随机过程理论》第3章详细介绍了随机过程的线性变换的概念、性质、影响以及应用。
《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换

+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中,τ = t1-t2,即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明(续) 根据大数定理,当n→∞时,有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)],其中L是线性变换, 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理

k0 j0
k 0
2rm r2k
k 0
2rm
1 r2
例3:设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 2 (m) ,线性
系统的单位冲激响应是
h(n) rn n 0,| r |1
求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
[解]
H(z)
h(k ) z k
k 0
rk zk
k 0
1 1 rz1 ,|
H (0 )
0
0
H () 2 d
e
0
H ()
2
max
等效原则:理想系统 与实际系统在同一白 噪声激励下的输出平 均功率相等,且理想 系统的增益为实际系 统的最大增益。
性质:
✓ 噪声等效通带只能由线性系统特性确定;
H () 2 d
fe
0
2
H ()
2
max
✓ 对于带通系统,输出平均功率
RY (0) feN0 H (0 ) 2
时域法
变换域方法
微分方程法 冲击响应法 频谱法
系统特 性描述
适用 范围
特点
微分方程和初 始值
h(t)
平稳和非平稳 平稳和非平稳
运算繁琐
h(t)较简单时, 较方便
H( )
平稳 方法简单
时域(冲击响应法)
频域(频谱法)
RXY ( ) h( ) RX ( )
RYX ( ) h( ) RX ( )
h(t1) h(t2 ) RX (t1,t2 )
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
m (t )
X
h(t )
mY (t )
RX (t1, t2 ) RX (t1, t2 )
第三章 更新理论-随机过程

n
n=0,1,2,,且在这些时刻的更新次数是独立的几何随机变量-1(例 如在 t=0 点,当 X1<时 X1 0 ,第一个事件在 t=0 发生,当 X2< 时 X 2 0, 第二个事件在 t=0 发生, , 直到某个 k 有 Xk时 X k , 第 k 个事件在 t=发生,因此在 t=0 发生的事件个数服从参数为 1 P{Xn} 的 几 何 分 布 -1 ) 其 均 值 为 -1 , 于 是
t
t [ ]
m(t ) E[ N (t )] E[ N (t )] m(t ) 结论得证。
0
2
3
t {[ ] 1}
三、若干极限定理(some limit theorems) 1.平均更新速率(the average renewal rate) (1) N () lim N (t)
第三章 更新理论(Renewal Theory) 一、 更新过程(a renewal process)概念 1.定义 定义 设 X1,X2, 是非负独立同分布的(independent and identically distributed) iidF, F(0)=P{Xn=0}<1。 令 S0=0,,Sn= X1+X2+ + Xn, n =1,2, 。 N(t)=sup{n:Snt}, (3.1.1) , 计数过程{N(t),t0}称为更新过程 (a renewal process)。 若将 Xn 解释为第 n-1 个事件与第 n 个事件之间的间隔时间,则第 n 个 事件在时刻 Sn 发生。由于间隔 iid,所以在各个事件发生时刻此过程在概率 意义上重新开始,事件发生时刻即系统更新时刻,事件即更新。N(t)就是系 统在[0,t]中更新次数 SN(t)就是系统在[0,t]中最后一次更新的时刻。 SN(t) t< SN(t)+1
第3章 随机过程讲诉

P 1 ,宽为 2 f H的三角形 ) ( f ) ( f ) (高为
R( ) P (f)
1 ( f ) f H Sa2 (f H )
R( ) 1 f H Sa2 (f H )
R() 1直流功率 2 R(0) R() 1 f H 1 f H 交流功率
定义:
高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量,也称高斯随机变量,其一维概率密度函数 为 x a 2 1 f x exp 2 2 2 a ~ 均值 常量 2 ~ 方差
exp ~ 以e为底的指数函数
均值a处,出现的概率最大。
18:13
o (t ) h( )i (t )d
对o(t)两边取统计平均,得到
E[ o (t )] E h( )i (t )d h( ) E[i (t )]d
Q函数和正态分布函数F(x)的关系:
1 xa xa F ( x) 1 erfc 1 Q 2 2
Q(-x)=1-
Q(x),x≥0;Q(0)=1/2, Q(∞)=0。
16
18:13
第3章 随机过程
3.4 平稳随机过程通过线性系统
确知信号通过线性系统(复习) :
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
B(t1, t2 ) E [ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )] E (t1 ) (t2 ) a(t1 ) (t2 ) a(t2 ) (t1 ) a(t1 )a(t2 ) 自相关函数和自协方差函数之间的关系
通信原理(第七版)-樊昌信-第三章-随机过程-重要知识点

通信原理(第七版)-樊昌信-第三章-随机过程-重要知识点⼀.⼀些必须知道的:1.均值(数学期望)(详情:):2.⽅差:3.协⽅差函数和相关函数:3.1协⽅差函数:3.2相关函数:3.3关系:4.性质:⼆、正题:1.严平稳与⼴义平稳:1.1 严平稳:1.2 ⼴义平稳:1.3 关系:严平稳⼀定是⼴义平稳,反之不⼀定成⽴。
2.各态历经性:平稳⼀定具有各态历经性反之不⼀定成⽴;3.⾃相关函数的性质(重点)4.维纳⾟钦定理(重点):平稳随机过程的⾃相关函数和功率谱密度是⼀对傅⾥叶变换。
(注意:是 R(时域)<---->P(频域))5.⾼斯随机过程:5.1性质:5.2⼀维概率密度函数:5.2.1图像性质5.3误差函数和互补误差函数:5.3.1误差函数:5.3.2互补误差函数:6.平稳随机过程通过线性系统:7.窄带随机过程:7.1 定义:△f << fc7.2 表达式(包络-相位形式):(同向-正交形式):8.两个重要结论:9.⽩噪声:9.1 定义:噪声功率谱密度在所有频率为⼀常数(实际中为噪声功率谱密度范围远⼤于⼯作频带时候)9.2 噪声功率谱密度:单边:Pn(f) = n0; 双边:Pn(f) = n0/2;9.3 带限⽩噪声:9.3.1 低通:9.3.2 带通:9.4 功率: N = n0 * B (BPF的带宽)(或者N = n0/2 * 2*B (BPF的带宽))三、⼀些题⽬和不容易理解以及总结:1.不易理解的:2.离散的怎么算:3.总结:3.1 算平均功率:1) R(0);2)3)3.2 算⽅差:1)E(X²) - E²(X)2)R(0) - R(∞)3)E[ [X-E(X)]² ]。
通原第三章随机过程课后题答案

第三章 随机过程错误!未定义书签。
.设()()()cos 2c Y t X t f t πθ=+,其中()X t 与θ统计独立,()X t 为0均值的平稳随机过程,自相关函数与功率谱密度分别为()X R τ,()X P f 。
(1)若θ在()0,2π均匀分布,求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度(2)若θ为常数,求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度 解:无论是(1)还是(2),都有()()()cos 20c E Y t E X t E f t πθ=+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()()()cos 2cos 22cos 2cos 221cos 2cos 422211cos 2cos 42222Y c c c c c c X c c c X c X c c R E Y t Y t E X t f t X t f t f E X t X t E f t f t f R E f f t f R f R E f t f ττπθτπθπττπθπθπττπτπθπττπττπθπτ=+⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦在(1)的条件下,θ的概率密度函数为[)10,2()2 0 else p θπθπ⎧∈⎪=⎨⎪⎩于是()()201cos 422cos 42202c c c c E f t f f t f d ππθπτπθπτθπ++=++=⎡⎤⎣⎦⎰因此()()1cos 22Y X c R R f ττπτ=()()()()()22cos 224X c j f j f Y Y X c X c R f P f R e d e d P f f P f f πτπττπττττ∞∞---∞-∞==-++=⎰⎰在(2)的条件下()()()()11cos 2cos 42222Y X c X c c R R f R f t f ττπττπθπτ=+++表明()Y t 是循环平稳过程。
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6
概率密度函数和概率分布函数之间的关系可 表述为: 函数 PX x 在该区间上的积分,即 :
p X x P x1 x x2
X 位于区间 x1 , x 2 内的概率是概率密度
Px1 X x2 PX x dx
x2 x1
x1
x2
x
7
若考虑两个随机变量X 、Y,定义二维随机变
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什么是随机过程?
设随机试验E的可能结果为(t),试验的样本
空间S为;{x1(t),x2(t),,xi(t),},i为正 整数,xi(t)为第 i 个样本函数(又称之为实现 (realization)),每次试验之后,(t)取空间S中 的某一样本函数,于是称此(t)为随机函数。 当 t 代表时间量时,称此(t)为随机过程
10
什么是随机过程?
随机过程是一类随时间作随机变化的过程,不能
用确切的时间函数描述。
角度1:随机过程可视为无穷多个样本函数的 集合 (assemble) 。 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有 一条时间波形(称为样本函数或实现),记作xi(t), 所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t), …, xn(t) …}就构成一随机过程,记作ξ(t)。简言 之,无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关:
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; )
R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中, (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测 得到的随机变量。可以看出,R(t1, t2)是两个 变量t1和t2的确定函数。
无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。
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什么是随机过程? 角度2: 随机过程可视为无穷多个随机变量 (ti) 的集合。
在任一给定时刻 t1上,每一个样本函数xi (t) 都是一个确定的数值xi (t1),但是每个xi (t1)都 是不可预知的。 在一个固定时刻t1上,不同样本的取值{xi (t1), i = 1, 2, …, n}是一个随机变量,记为 (t1).
f n ( x1 , x2 ,, xn;t1 , t2 ,, tn )
称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程, 简称严平稳随机过程(狭义平稳随机过程)。
28
性质: 该定义表明,平稳随机过程的统计特 性不随时间的推移而改变,即它的一维分布函 数与时间t无关:
f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 )
a(t ) E[ (t )] x f1 ( x, t )dx
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随机过程的数学期望
反映了随机过程各个时刻的数学期望(均值)
a(t ) E[ (t )] x f1 ( x, t )dx
随时间的变化情况;
是随机过程所有样本函数的统计平均函数;
它由随机过程的一维概率分布决定;
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互相关函数
R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此,R(t1, t2)又称为自相关函数。
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补:进行统计平均运算时常用到的一些公式
1. 和的平均等于平均的和 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 若X、Y相互统计独立,则积的平均等于平均 的积 E(XY)=E(X)E(Y) 3. 随机变量X的函数g(X)的平均 E[ g ( X )] g ( X ) f ( x)dx
时也用 a X 表示;D X 表示的 X 取值相对于均值
的“离散程度”,也常常表示为
2 X
。
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随机过程 (random process)
确定过程
其变化过程具有确定的形式,或者说具有必 然的变化规律。用数学语言来说,其变化过程 可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机过程 没有确定的变化形式,也就是说,每次对 它的测量结果没有一个确定的变化规律。用数 学语言来说, 这类事物变化的过程不可能用一 个或几个时间t的确定函数来描述。
量( X,Y )的联合概率分布函数为 FX ,Y x, y ,即X
小于或等于x 同时 Y 小于或等于 y 的联合概率。
FX ,Y x, y P X x;Y y
2
定义二维随机变量的联合概率密度函数为
FX ,Y x, y PX ,Y x, y xy 假设联合概率分布函数处处连续,且偏导 存在并处处连续。
27
3.2.1 平稳随机过程的定义
定义:平稳随机过程的统计特性将不随时间 的推移而发生变化,即其任何n维分布函数或 概率密度函数与时间起点无关,亦即对于任意 的正整数n和任意的实数 t1 , t2 , , tn , ,平稳 随机过程 (t ) 的n维概率密度函数满足: f n ( x1 , x 2 ,, x n ;t1 , t2 ,, tn )
13
什么是随机过程?
换句话说,随机过程在任意时刻的值是一 个随机变量。 因此,我们又可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这 个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学 描述。
14
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
xn (t) t tk
表征了随机信号的直流分量;
X t
0
t
21
随机过程的方差 (variance):
D[ (t )] E
E ξ 2 (t ) 2a (t )ξ (t ) a 2 (t ) E[ξ 2 (t )] a 2 (t )
2 (t ) 。 记为:
表征了随机信号的交流平均功率。
随机变量(random variable):在数学分析 中,将每次实验的结果用一个变量来表示, 如果变量的取值是不确定的(以某个概率 取某个值),则这种变量称为随机变量。
例如在给定的某一瞬间测量接收机输出 端上的噪声,所测得的噪声瞬间值就是一 个随机变量。
5
随机变量 X 的概率分布函数 FX x 是 X 的
称为随机过程ξ(t)的一维分布函数
17
如果存在
F 1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
称 f1 ( x1,t1 ) 为随机过程 (t ) 的一维概率密度函数
同理,任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布 函数被定义为:
Fn ( x1, x2 , xn ; t1, t2 , tn ) P { (t1 ) x1 , (t2 ) x2 ,
(tn ) xn}
n维概率密度函数被定义为:
Fn ( x1 , x2 ...;t1,t2 ...,tn )
n
x1 x2 ...xn
f ( x1 , x2 ..., xn ; t1 , t2 ...,tn )
18
3.1.2 随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面 地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中, 有时不易或不需求出分布函数和概率密度函 数,而用随机过程的数字特征来描述随机过 程的统计特性,更简单直观。
E[ξ 2 (t )] 2a (t ) E ξ (t ) a 2 (t )
(t) a(t)
2
反映随机过程在时刻 t 相对于均值的偏离程度;
22
相关函数(correlation function):
描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机 变量之间的相关程度。
1
第3章 随机过程
3.0 引言 3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 要求 3.7 高斯白噪声和带限白噪声
2
3.0 引言
1.信号的分类 按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。 确定信号:是指在相同的实验条件下,能够 重复实现的信号。又有周期信号和非周期信号 之分。确定性信号是时间的确定函数。 随机信号:是在相同的实验条件下,不能够 重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知 或不可能完全预知(具有随机性)。
8
随机变量的主要数字特征包括数学期望(均 值) E X 和方差 D( X ) 等。
E ( X ) x p X ( x)dx
DX E X aX
2
x aX pX x dx
2
E X 反映了随机变量 X 取值的集中位置,有
3
2. 通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号. 随机信号的不可预测性为所携带的信息,它 是有用的,而噪声的不可预测性是对信号的干 扰,是有害的。两者都不可预测,但均服从一 定统计规律,需用概率论方法进行分析。二者 统计特性不同,可从噪声中提取信号。
3.通信系统中的噪声为随机噪声,简称噪声。
4
3.1随机过程的基本概念
16
3.1.1 随机过程的分布函数 设ξ(t)表示一个随机过程,在任意给定的时 刻t1∈T, 其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。 随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率
P{ (t1 ) x1}
(t1 ) x1} 简记为F1(x1, t1),即 F 1(x 1 , t1 ) P{
取值小于或等于 x 的概率,即